Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ACD.. Chứng minh rằng OE⊥CD... Gọi G là giao điểm của CD và AO suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC.. Lại có OD vuông góc AB nê
Trang 1UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN
(Thời gian 150 phút - Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 4 điểm)
a) Cho
3
x ( 5 2) 17 5 38 2
=
+ − − Tính P = ( x
2 + x + 1)2013
b) Cho A 1 1
xy
= − Biết x, y ∈Q và x≠0; y ≠0 thỏa mãn : x3+ y3 = 2x2y2
Chứng minh rằng : A∈Q
Bài 2: ( 4 điểm) Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn : a + b + c = 2013 và
1 1 1 1
a + + =b c 2013
Thì trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2013
Bài 3: ( 4 điểm)
a) Giải phương trình: x2+ + = +3x 1 (x 3) x2+1
b) Giải hệ phương trình :
2
y 2x 2xy 1
Bài 4 : ( 4 điểm ) Cho a ∈R thỏa mãn a5 – a3 + a = 2 Chứng minh rằng : 3< a6 < 4
Bài 5: ( 4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D là trung
điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ACD Chứng minh rằng OE⊥CD
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh:……… Giám thị 1:……….Giám thị 2………
Trang 2UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐÁP ÁN VÀ CÁCH CHO ĐIỂM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN
Bài 1 : ( 4 điểm ) Mỗi ý đúng 2 điểm.
a) Ta có : 317 5 38− =3 ( 5 2)− 3= 5 2−
4 2 3+ = ( 3 1)+ 2 = 3 1+
( 3 1) 3 1
5 4 2 ( 5 2)( 5 2) 2
+ −
− −
Vậy P = (1 - 1 + 1)2013 = 1
b) Ta có
2
+
2
4(1 ) 4A
Vậy A x2 y2 : 2
= − Do đó A∈Q
Bài 2 : ( 4 điểm )
Điều kiện a, b, c ≠0 Từ 1 1 1 1 (bc ac ba)(a b c) abc 0
+ +
⇔(a + b)(b + c)(c + a) = 0 ⇔
a b 0
b c 0
c a 0
+ =
+ =
+ =
Nếu a + b = 0 mà a + b + c = 2013 thì c = 2013
Nếu b + c = 0 mà a + b + c = 2013 thì a = 2013
Trang 3Nếu c + a = 0 mà a + b + c = 2013 thì b = 2013 Vậy 1 trong 3 số a, b, c bằng 2013
Bài 3 : ( 4 điểm ) Mỗi ý đúng 2 điểm.
a) Giải phương trình sau: x2+ + = +3x 1 (x 3) x2+1
Đặt x2 + =1 y với y 1≥ Khi đó ta được
y 3x (x 3)y (y 3)(y x) 0
y x
=
Từ đó dẫn đến phương trình có nghiệm là x= ±2 2
b)
2
y 2x 2xy 1
y 1 0 (y 1)(2x y 1) 0
2x y 1 0
y 1 0
y 2x 1
Giải hệ y 1 02 2
− =
ta được nghiệm (2;1); (-3;1)
Giải hệ y2 2x 12
= − −
ta được nghiệm (1;-3);
8 11 ( ; )
5 5
−
Bài 4 : ( 4 điểm)
Dễ thấy a ≠0 ta có
2
a
+
2
2( ) 2(a ) 0 suy ra
+
= = + 〉 a > 0 do đó a 1 2 a6 1 4 a6 2 1 3
a
Dấu bằng sảy ra ⇔ a = 1 (loại) Vậy a6 > 3 Mặt khác ta có 2 + a3 = a5 + a
Trang 4⇔ + = + 〉 ( do a ≠ 1) Nên có a 3 < 2 suy ra a6 < 4 Nên có 3 < a6 < 4
Bài 5: (4 điểm)
G
E O A
M
Kẻ các trung tuyến CM,DN của tam giác ACD chúng cắtt nhau tại E Gọi G là giao điểm của CD và AO suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có CE CG 2 EG / /AB
CM = CD = ⇒3 Lại có OD vuông góc AB nên OD vuông góc EG(1) Mặt khác DN//BC và OG vuông góc với BC suy ra OG vuông góc với DN hay OG vuông góc với DE (2)
Từ (1), (2) suy ra O là trực tâm của tam giác GDE Vậy OE vuông góc với DG hay OE vuông góc với CD (đpcm)
Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.