Hướng dẫn chấm này chỉ trỡnh bày sơ lược bài giải .Bài làm của học sinh phải chi tiết,lập luận chặt chẽ,tớnh toỏn chớnh xỏc mới ủược ủiểm tối ủa.. Tổ chấm trao ủổi và thụng nhất chi tiế
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
QUẢNG NINH
– – – – – – – – –
ðỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN : TOÁN ( BẢNG A )
Ngày thi : 23/10/2012 Thời gian làm bài : 180 phút
(Không kể thời gian giao ñề)
(ðề thi này có 01 trang)
Họ và tên,chữ ký của giám thị số 1 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Bài 1 (6 ñiểm) :
1 Cho hàm số 2
1
x y x
+
=
− có ñồ thị (C), gọi I là giao hai tiệm cận Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị (C) biết tiếp tuyến ấy cắt hai ñường tiệm cận của ñồ thị tại hai ñiểm A, B sao cho bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất
2 Tính giới hạn sau :
0
( 2012) 1 2 2012 lim
x
x
→
Bài 2 (3 ñiểm) :
Tìm m ñể phương trình sau ñây có nghiệm :
4
x
x
+
Bài 3 (3 ñiểm) :
Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi I là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác ðặt IA = x ,
IB = y , IC = z Chứng minh rằng : 2 2 2
x = y + z + yz
Bài 4 (5 ñiểm) :
Trong mặt phẳng (P) cho ñường tròn ñường kính BC cố ñịnh M là một ñiểm di ñộng trên ñường tròn ấy Trên ñường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại B lấy một ñiểm A cố ñịnh Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AM và AC
1 Chứng minh rằng khi M di ñộng mặt phẳng (BHK) cố ñịnh
2 Xác ñịnh vị trí của M ñể diện tích tam giác BHK lớn nhất
Bài 5 (3 ñiểm) :
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn abc = 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
– – – – – – – – – – – – –Hết– – – – – – – – – – – – –
Họ và tên thí sinh : – – – – – – – – – – – – –– – – – – – – – –Số báo danh: – – – –
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn Toán – Bảng A (ñề thi chính thức)
Bài 1
6ñiểm
1 Giao hai tiệm cận I( 1;1)
Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với ñồ thị tại ñiểm có hoành ñộ x0
=>phương trình tiếp tuyến có dạng: 0
0 2
x
0,5
Tiếp tuyến cắt tiệm cận ñứng tại A( 0
0
5 1;
1
x x
+
− ) Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang tại B(2x −0 1;1)
0,5
Ta có 0
x IA
+
− − IB= 2x0 − − 1 1) = 2 x0 − 1
0
6
1
x
−
0,5
Do vậy diện tích tam giác IAB : 1 6
2
S = IA IB=
Gọi p là nửa chu vi ∆IAB => bán kính ñường tròn nội tiếp ∆IAB : r S 6
p p
= =
=> r lớn nhất <= > p nhỏ nhất Mặt khác ∆IAB vuông tại I nên
0,5
2p=IA+IB+AB=IA+IB+ IA +IB ≥2 IA IB + 2IA IB =4 3+2 6
Dấu “ = ” xảy ra <=>IA=IB ⇔(x0−1)2 = ⇔ = ±3 x 1 3 0,5 Với x = −1 3ta có tiếp tuyến d1 : y= − −x 2( 3 1)−
Với x = +1 3ta có tiếp tuyến d2 : y=2( 3 1)+ − x 0,5
2 L =
0
( 2012) 1 2 ( 2012) lim
x
x
→
=
7 2
0
1 2 1 lim ( 2012)
x
x
x
→
Ta có L1 = 2
0
lim( 2012) 2012
x x
→ + = ; L3 =
0
x x
1
Tính L2 =
7 0
lim
x
x x
→
ðặt
7
1 2
2
t
− = => =
Và khi x → 0 thì t → 1
=> L2 = 7 2 3 4 5 6
t
Vậy L = 2012. 2 0 4024
− + = −
1
Trang 3Bài 2
3ñiểm
ðiều kiện:
2
2 0 4
x x
x x
+
0,5
Với ñ/k ñó phương trình ñã cho tương ñương với
( x 2x 8) m 8 2x x 2 8 2x x 6 m 0
− − + + − + − + + − − − = (1) 0,5
ðặt t = 2
8 +2x−x ; Khi x ∈ [ – 2; 4) thì t ∈ [ 0; 3] (2) Phương trình trở thành : – t2 – mt + 2t – 6 – m = 0 0,5
⇔ 2 2 6
1
t t m
t
− + −
= + Xét hàm số ( ) 2 2 6; [ ]0;3
1
t t
t
− + −
+ ; f’(t) =
2 2
2 8 ( 1)
t t t
− − + +
0,5
f’(t) = 0 ⇔ 4
2
t t
= −
=
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên ñoạn [ 0 ; 3 ]
f(t)
- 2
–6 9
4
−
0,5
Phương trình ñã cho có nghiệm x∈ [–2; 4) ⇔ Phương trình (2) có nghiệm t∈ [0; 3]
⇔ ðường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số f(t) , t ∈ [ 0; 3 ] ⇔ – 6 ≤ m ≤ – 2
Vậy với – 6 ≤ m ≤ – 2 thi phương trình có nghiệm 0,5
Bài 3
3ñiểm
Ta có:
sin 45 sin
2
x
B C
= o = + ;
; sin
2
r y
B
=
sin
2
r z
C
=
r
A
I
1
Suy ra:
+
+
2 2 2 2
y z a
x
= (1) 1
Trang 4Ngoài ra ñịnh lý hàm cos trong tam giác BIC cho :
a2 = y2 +z2 − 2yzcosBIC
<=> 2 2 2 2 (180 )
2
B C
a = y +z − yzcos − +
<=> 2 2 2
a = y +z − yzcos o <=> 2 2 2 2
2 2
a = y +z + yz (2)
Từ (1) và (2) ta có :
2 2
y z
y z yz
x = + + <=> 12 12 12 2
x = y + z + yz
1
Bài 4
5ñiểm
a)
CM AB
⊥
=> BH CM BH (ACM) AC
BH AM
⊥
=> AC BH AC (BHK)
AC BK
⊥
1
Mặt phẳng (BHK) ñi qua B cố ñịnh và vuông góc với AC cố ñịnh nên
mp(BHK) cố ñịnh
0,5
∆BHK vuông tại H => SBHK= (1/2) BH.HK
(const)
+
vậy ∆BHK có diện tích lớn nhất BH = HK ∆BHK vuông cân
Khi ñó
2
BK
BH =
1
Mà 1 2 12 1 2
BH = AB + BM 12 12 12
BK = AB + BC
=> 1 2 1 2 12 12 1 2 1 2
BK = BH <=> AB + BC = AB + BM
1
<=>
+
=>
2 2 2
(với R là bán kính ñường tròn (C), AB = h )
1
Mà B cố ñịnh => M thuộc ñường tròn tâm B bán kính
2 2
hR
h + R
=> có hai vị trí của M làm cho diện tích ∆BHK ñạt GTLN ñó là giao của
ñường tròn (C) và ñường tròn (B;BM)
0,5
H B
C M
A
K
Trang 5Bài 5
3ủiểm
Nhận xét: Do abc =2 2 nên a2, b2, c2 là các số thực dương
0,5
Xét : A =
x y xy
x y xy
+ + với x,y > 0
Chia tử và mẫu cho y2 và đặt t = x
y ta được A =
2 2
1 1
t t
t t
ư + + + với t > 0
0,5
Xét hàm số f(t) =
2 2
1 1
t t
t t
ư + + + trên (0;+∞)
Ta có : f’(t) =
2
2( 1)
t
t
t t
ư
= ⇔ = + +
Bảng biến thiên:
t 0 1 +
f’(t) – 0 +
f(t)
1 1
1
3
0,5
Dựa vào bảng biến thiờn ta cú ( ) 1
3
f t ≥ với mọi t > 0
Từ ủú A =
1 3
x y xy
x y xy
≥ + + với x,y > 0; dấu bằng xảy ra khi t = 1 nờn x = y
Áp dụng với x = a2 , y = b2 ta cú
1 3
a b a b
a b a b
≥
Tương tự
1 3
b c b c
b c b c
+ ư
≥ + + ,
1 3
c a c a
c a c a
+ ư
≥ + +
0,5
=> 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2
Áp dụng BðT Cụsi ta cú 2 2 2 3 2 2 2
a +b +c ≥ a b c = với abc =2 2 => P ≥ 4 dấu ủẳng thức xảy ra chẳng hạn khi a = b = c = 2
Vậy Pmin = 4 khi chẳng hạn a = b = c = 2
0,5
Chỳ ý:
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trỡnh bày sơ lược bài giải Bài làm của học sinh phải chi
tiết,lập luận chặt chẽ,tớnh toỏn chớnh xỏc mới ủược ủiểm tối ủa
2 Cỏc cỏch giải khỏc nếu ủỳng vẫn cho ủiểm Tổ chấm trao ủổi và thụng nhất chi tiết
nhưng khụng ủược quỏ số ủiểm dành cho cõu, phần ủú
3 Cú thể chia ủiểm thành từng phần nhưng khụng dưới 0,25 ủiểm và phải thống nhất trong
cả tổ chấm
4 ðiểm toàn bài là tổng số ủiểm cỏc phần ủó chấm Khụng làm trũn ủiểm
5 Mọi vấn ủề phỏt sinh trong quỏ trỡnh chấm phải ủược trao ủổi trng tổ chấm và chỉ cho ủiểm theo sự thống nhất của cả tổ
Trang 6sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh
kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2012-2013
Đề thi chính thức
môn : Toán
( bảng B )
Họ và tờn, chữ ký của giỏm thị số 1
Ngày thi : 23/10/2012 ……… Thời gian làm bài : 180 phút
(không kể thời gian giao đề) ………
(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1 (4 điểm):
Tớnh giới hạn sau :
3 2 0
lim
x
x
→
Bài 2 (3 điểm):
Cho tam giác ABC có C = α, B = β với α < β, trung tuyến AM Gọi ϕ là góc nhọn tạo bởi AM với cạnh BC, chứng minh rằng: 2cotϕ = cotα - cotβ
Bài 3 (4 điểm):
Giải bất phương trỡnh: x2 + + x 6 x + < 2 18
Bài 4 (6 điểm):
Cho tam giỏc ủều ABC cạnh a, ủường thẳng (d) qua A vuụng gúc với mặt phẳng (ABC) Trờn (d) lấy ủiểm M Gọi I là trực tõm của tam giỏc MBC, H là trực tõm của tam giỏc ABC, giao ủiểm của ủường thẳng HI với (d) là N
1 Chứng minh rằng tứ diện MNBC cú cỏc cặp cạnh ủối vuụng gúc với nhau
2 Chứng minh rằng khi M di chuyển trờn (d) thỡ tớch AM.AN khụng ủổi
Bài 5 (3 điểm):
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P =
với a, b là cỏc số thực thỏa món a ≠ 0, b ≠ 0
- Hết -
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 7MA TRẬN ðỀ
THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN BẢNG B ðỀ THI CHÍNH THƯC
(ðề tự luận)
Mức ñộ nhận thức
Chủ ñề kiến thức
Nhận biết Thông hiểu
Vận dụng
Tổng
Mức ñộ thấp
Mức ñộ cao
Giới hạn của hàm số
(lớp 11)
1
4
1 4,0
Hệ thức lượng giác trong
hình học phẳng (lớp 11)
1
3
1 3,0
Giải phương trình, bất
phương trình, hệ có sử dụng
tính chất của hàm số
(lớp 10, 12)
1
4
1
4,0
Hình học không gian
(lớp 11)
1
4
1
2
2
6,0
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của biểu thức có dùng
tính chất của hàm số
(lớp 10, lớp 12)
1
3
1
3,0
0
0,0
2
8,0
2
7,0
2
5,0
6
20,0
Trang 8SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN BẢNG B ðỀ CHÍNH THƯC
(Hướng dẫn chấm này có 03 trang)
®iÓm Bài 1
4 ñiểm Có :
3 2 0
lim
x
x
→
2 0
lim
x
x
→
+ − + + + − +
=
2
( 3) lim
1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 3 (1 3 )
x
→
=
lim
1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 3 (1 3 )
x
x
→
= 1 1 1
−
Bài 2
3 ñiểm
* Trường hợp góc β nhọn:
KÎ AH ⊥ BC, do α < β nên BH<BM;
cã cotϕ = HM/AH, cotα = CH/AH, cotβ = BH/AH
1,0
Do: HM = BM-BH ; HM = CH-CM; BM=CM
nên cộng vế-vế 2 ñẳng thức ta ñược: 2HM = CH-BH
0,5 0,5
=> 2HM/AH = CH/AH - BH/AH ,
hay 2 cotϕ = cotα - cotβ Ta có ñpcm !
B
A
C M
H
* Trường hợp góc β tù: Chứng minh tương tự
0,5
0,5
Bài 3
4 ñiểm
Nếu x ∈[-2; 0] thì: BPT ñã cho có VT ≤ 4 + 0 + 6 2 < 18 = VP
Suy ra ∀x ∈[-2; 0] ñều là nghiệm của BPT ñã cho
0,5 0,5 Nếu x > 0, xét hàm số y = f(x) = x2 + + x 6 x + với x∈ (0; +∞) 2
Có f’(x) = 2x + 1 + 3/ x + 2 > 0 ∀x∈ (0; +∞) => f(x) ñồng biến trên (0; +∞) 0,75
Mà f(2) = 18 nên với x∈(0; +∞) ta có: BPT ñã cho <=> f(x) < f(2) <=> x<2
Kết hợp với x∈ (0; +∞) ñược 0 < x < 2
1,0 0,5 Kết luận: BPT ñã cho có nghiệm là -2 ≤ x < 2 0,5
Trang 9Bài Sơ lược lời giải Cho
ñiểm Bài 4
6 ñiểm
4.1 (4 ñiểm)
Gọi E là trung ñiểm BC, từ giả thiết suy ra H∈AE, I∈ME => IH cắt (d) tại N 0,5 Theo giả thiết (d)⊥mp(ABC) => (d)⊥BC hay MN⊥BC 1,0 Chứng minh ñược BH⊥mp(MAC) rồi suy ra BH⊥MC
Mà BI⊥MC nên MC⊥ mp(BHI), từ ñó suy ra MC⊥BN
1,0 1,0 Chứng minh tương tự, ñược MB⊥CN
Vậy tứ diện MNBC có các cặp cạnh ñối vuông góc với nhau (ñpcm !) 0,5
4.2 (2 ñiểm)
Chứng minh ñược: BC⊥mp(MAE) => BC⊥IH và MC⊥mp(BKF) => MC⊥IH
suy ra IH⊥MB
Trong tam giác MNE, có: ANH = AEM (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
suy ra ∆ ANH ∼ ∆ AEM
1,0
0,5
do ñó: AN AH
AE = AM => AM.AN = AE.AH =
2
=
Vậy tích AM.AN không ñổi (ñpcm !) 0,5
H
N
B
C
A
E
M
K
I F
Trang 10Bài Sơ lược lời giải Cho
ñiểm Bài 5
3 ñiểm ðặt: t a b
b a
= + => t ≥2;
= + + ⇒ + = − =>
b +a = − +
0,5 Khi ñó: P =
+ − + + +
Xét hàm: f t( )= 4 2
t − t + +t với t ≥2, có: 3
f t = t − t+ ; 2
"( ) 12 10
f t = t − 0,75 Với t ≥2 thì f”(t) > 0 => hàm f’(t) ñồng biến trên (-∞ ; -2] và [2; +∞)
Nên : t > 2 => f’(t) > f’(2) = 13 > 0; t < –2 => f’(t) < f’(–2) = -11 < 0 0,75
Ta có bảng biến thiên :
t –∞ –2 2 +∞
f(t)
+∞
–2
+∞
2
Mà f(-2) = - 2 < 2 = f(2), suy ra : min f(t) = –2 ; ñạt khi t = –2 <=> a = – b ≠ 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -2, ñạt ñược khi a = - b ≠ 0 1
C¸c chó ý khi chÊm:
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược bài giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới ñược ñiểm tối ña
2 Các cách giải khác nếu ñúng vẫn cho ñiểm Tổ chấm trao ñổi và thông nhất chi tiết nhưng không ñược quá số ñiểm dành cho câu, phần ñó
3 Có thể chia ñiểm thành từng phần nhưng không dưới 0,25 ñiểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm
4 ðiểm toàn bài là tổng số ñiểm các phần ñã chấm Không làm tròn ñiểm
5 Mọi vấn ñề phát sinh trong quá trình chấm phải ñược trao ñổi trong tổ chấm và chỉ cho ñiểm theo sự thống nhất của cả tổ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH
