11 chuyên đề phương trình hệ phương trình bất phương trình

Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hưng Yên – năm 2015... Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - năm 2015 Giải hệ phương trình sau 46... +Học sinh tìm

ĐỀ BÀI – CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

1 (Đề thi thử THPT QG Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh năm 2015)

Giải hệ phương trình:

{

√ √ √ √ ( ) (√ √ √ )

2 (Đề thi thử THPT QG Sở GD Thanh Hóa – năm 2015)

5 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Lào Cai – năm 2015)

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực { √ √

Giải phương trình

2 2

14 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Tây Ninh – năm 2015)

15 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Đăc Nông – năm 2015)

Giải hệ phương trình sau {

22 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Khối D lần 2 năm 2015)

33 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 6 năm 2015)

Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau có nghiệm:

{ ( ) ( ) ( ) ( )

34 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 7 năm 2015)

Giải phương trình √

35 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh – năm 2015)

Giải bất phương trình : ( )√

36 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hùng Vương – Phú Thọ - Lần 3 - năm 2015)

Giải phương trình sau : √ √ √

37 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hưng Yên – năm 2015)

88

2 2

2 2 3 3

y y x

y x y x y x

39 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên – lần 1 – năm 2015)

45 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - năm 2015)

Giải hệ phương trình sau

46 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ- Hà Nội –lần 1 - năm 2015)

Giải hệ phương trình:

{( )( )

47 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – lần 2 - năm 2015)

{ √ √ √ √

57 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh – lần 1 - năm 2015)

62 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Gang Thép – Thái Nguyên – lần 1 - năm 2015)

Giải hệ phương trình sau:

67 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hiền Đa – Phú Thọ – lần 2 - năm 2015)

Giải bất phương trình sau:

2 2

73 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lê Quý Đôn – Hải Phòng - năm 2015)

81 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nghèn – Hà Tĩnh - năm 2015)

Giải hệ phương trình {( ) √ ( )

√

82 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa - năm 2015)

Giải hệ phương trình sau:

88 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Phù Cừ - Hưng Yên - năm 2015)

61

3

132

33

3 2

3 2

y x

x x

y y

x x x x

92 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Quỳnh Lưu 2- năm 2015)

Giải hệ phương trình:

),(3

3

335

25

2

2 2

2 2

R y x x

x y

y

x y y

y x

104 (Đề thi thử THPT QG Trường THCS & THPT Nguyễn Viết Xuân - năm 2015)

108 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Ngọc Quyến – lần 2 - năm 2015)

Giải hệ phương trình: { ( √ )(√ )

( ) ( )√

ĐÁP ÁN – CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

1 (Đề thi thử THPT QG Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh năm 2015)

4 3(4 3)

Ta lại có g(0)  g( 3) 0 suy ra x0;x 3 là các nghiệm của phương trình

2 (Đáp án đề thi thử THPT Quốc Gia Sở GD Thanh Hóa năm 2015)

Điều kiện: x2y2 Gọi hai phương trình lần lượt là (1) và (2) (2)

)1(3133

3 2 3 23

)11(

0112

)1

2(20

111

1

2 2

2 2

2

x

x x x

x y

x

y y x

x y x

1(

0)

1(013

51

;2

51)

;2

51)

;(x y

3 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – HN- lần 4 – năm 2015)

+Học sinh chỉ tìm được 1 nghiệm, cho ¼ điểm

+Học sinh tìm được 2 nghiệm mà không CM được phần còn lại vô nghiệm, cho ½ điểm

-Có thể nhẩm nghiệm và tách thành tích: (1) ⇔(x+1)(2x – 1)h(x) = 0 rồi CM h(x) vô nghiệm

4 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa – lần 1 – năm 2015)

y y

 1  2 1

22.4y 1 2 x 2log x

Với x  2 y 1 , suy ra hệ phương trình có một nghiệm  2;1

5 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Lào Cai – năm 2015)

{ √ √ ( ) √ ( )Điều kiện và 0,25đ

Với điều kiện trên :

Ta thấy

( ) √ √ ( )

√ ( )

√ / > 0 Nên (3) có nghiệm duy nhất x = 2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ) /

6 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bạc Liêu – năm 2015) Ta có √ √( ) ( ) , dấu bằng xảy ra khi x = y và

Tương tự √ √( ) ( ) , dấu bằng xảy ra khi x = y và

Do đó √ √ ( ) khi x = y và (0,25 đ) Thay y = x vào phương trình thứ 2 ta được: (√ √ )√ ( ) (điều kiện )

⇔( )√ ( )(√ √ )

⇔( )(√ (√ √ ))

⇔[√

√ √ ( ) (0,25 đ) Ta có (1) ⇔ √( )( )

⇔( )( ) √( )( ) ⇔ [√ ( ) √ ( )

(2) ⇔ ⇔ ( )( ) ⇔ (0,25 đ) Tóm lại hệ có 3 nghiệm ( ) ( ) ( )

7 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bình Dương – năm 2015) Điều kiện xác định

Với điều kiện trên , bất phương trình đã cho tương đương √ ( ) √ ( ) ( ) 0,25đ 

√

√ ( ) 0,25đ ( ) √ √ /  0,25đ 

So sánh điều kiện , bất phương trình đã cho có nghiệm là 0,25đ

8 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Cà Mau – năm 2015)

Đk:

2 2

 

Với y2 thì x5 Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là  5; 2

9 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Cần Thơ - năm 2015)

ĐK : Với điều kiện này thì bất phương trình đã cho tương đương :

Do đó

√ √ 0,25đ

Khi đó ( )

√ √ /  

Kết hợp với điều kiện , nghiệm của bất phương trình là 0,25đ

10 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Lâm Đồng – năm 2015)

{ √ ( )( ) ( )( )√ √ ( )

+So ĐK, kết luận nghiệm của hệ phương trình: { (0,25 đ)

11 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Quảng Nam – năm 2015)

2 ( √ ) √ ( )

Từ đó : √

 ( ) [ √

√ (thỏa (*)) Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm : √ và √ 0,25đ

12 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Quảng Ngãi – năm 2015)

Đk : x

Hệ đã cho tương đương với :

{ √( )( ) ( ) √( )( ) ( )

Hệ có nghiệm duy nhất x = 2 ; y = 2 0,25đ

13 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bắc Ninh – năm 2015)

Kết hợp với điều kiện đề bài, suy ra nghiệm hệ phương trình là S (1, 3)

15 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Đăc Nông – năm 2015)

16 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc – lần 1– năm 2015)

{ √ ( ) ( )√ ( )

 1+ √ ( )√ 0,5

 ( ) 0 √( ) 1 ( ) 0 √( ) 1 ( )

Xét hàm số ( )= ( √ ) Ta có ( ) √

√ >0, ( ) đồng biến trên R 0,5

⇔ {

(0,25 đ)

+⇔ 2 ⇔ (0,25 đ)

So với điều kiện và suy ra tập nghiệm của bất phương trình là , -

18 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hạ Long – năm 2015)

- Với √ √ , phương trình vô nghiệm vì vế trái

19 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Khoa học tư nhiên – lần 2 – năm 2015)

(1)  x2 + 4xy – 20y – 1 = 4y2 – x + 2√

(2)  4xy = 16y + 2√ Thay vào (1) ta có:

√ ( ) √( )

(0,5)Xét hàm số u = g(t) = t2 + 2√ với t , ) Hàm số này luôn đồng biến

√

Nghiệm x2 bị loại vì √ √

Hoàn toàn tương tự ta có √ √ +2√  x = √

Vậy hệ đã cho có nghiệm là ( √ √ ) và ( √ √ )

21 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 2 năm 2015)

Đặt √ √ Ta có { ( )

Phương trình (*) trở thành ( ) ( )

⇔ ( ) ⇔ ( )( ) (0,25đ)

Nếu thì √ √ ⇔

Nếu thì √ √ => PT vô nghiệm

Tóm lại phương trình có các nghiệm là ( ) ( ) ( ) (0,25đ)

22 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Khối D lần 2 năm 2015)

Với

Vậy hệ có nghiệm ( ) ( )

24 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Trung Thiên – lần 1 – năm 2015)

Phương trình biến đổi thành: ( )(√( ) ) (√ ) (0,25đ)

Phương trình tương đương ⇔

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (0,25đ)

25 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Bạch Đằng – Hải Phòng – năm 2015)

Đk:

2 2

b) Đk: x Khi đó

x3 – y3 + 3y2 + 32x = 9x2 + 8y + 36 (x-3)3

+ 5(x-3) = (y-1)2 + 5(y-1) (1) 0,25 Xét hàm số f(t) = t3

+ 5t; f’(t) = 3t2 + 5 >0 suy ra f(t) đồng biến Mặt khác (1) f(x-3) = f(y-1) x-3 = y -1 0,25

Thế y = x – 2 vào phương trình (2) của hệ ta được 4√ +√ = x2

(√ )(√ ) -(√ )(√ ) – 1)=0 0,25

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (-1;-3); (2;0)

27 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Bến Tre – lần 2 năm 2015)

Xét hai trường hợp sau đây:

TH1, Với √ Khi đó và Hơn nữa hai biểu thức và không đồng thời bằng 0 Vì vậy

( ) √ ( ) (0,5đ)

Suy ra √ thỏa mãn bất phương trình đã cho

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm √ √ √ (0,5đ)

29 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐH Vinh - lần 2 - năm 2015)

3 x  2x  t Dễ dàng có được t  1;2 ; với mọi x  2;2

Khi đó vế phải của (1) chính là:   3 2  

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 0 ; x = ±2

30 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 5 năm 2015)

Điều kiện 0 Đặt t = x + 12 => 0 Phương trình trở thành:

( ) √( )( ) √( )( ) √( )( ) √ (0,25 đ)

Suy ra f(t) = f(-t), do đó f(t) là hàm số của số chẵn trên tập D = (-∞; -12] [12; +∞) nên chỉ cần xét trên [12; +∞)

Ta có: ( ) √( )( ) √( )( ) √( )( ) với mọi giá trị t (12; +∞)

Suy ra f(t) đồng biến trên (12;+∞), nên f(t) = 12 + 17√2 có nhiều nhất một nghiệm thuộc [12; +∞)

Do f(t) là hàm số chẵn nên t = -13 là nghiệm duy nhất của phương trình trên [12; +∞)

Vậy nghiệm của phương trình là x =1, x = -25

31 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 5 năm 2015)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình gồm các giá trị của x thỏa mãn

32 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 6 năm 2015)

Điều kiện x ≥ -1 Phương trình đã cho tương đương với

Chú ý: Có thể giải cách khác đặt √ , từ đó phương trình đã cho được biến đổi thành

( )( )( )

33 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 6 năm 2015)

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:

{ ( )

⇔ {

( ) ( ) (0,5đ) Suy ra hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

{

√ √

[ √ √

(0,5 đ)

Vì m là số nguyên nên m = - 2

34 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 7 năm 2015)

Phương trình đã cho được viết thành

Từ đ su ra phương trìn (*) c không quá một nghi m tr n khoảng ( )

+ Mặt khác G( ) ( ) Vậ phương trình (*) c du nhất một nghi m tr n khoảng ( )

T m lại phương trình đã cho c nghi m duy nhất ( đ)

Cách khác Từ suy ra 4x – 4 > 0

Ta c ( )

( ) √( ) √ ⇔ √ Suy ra √ đẳng thức xả ra khi v chỉ khi 2 ⇔

Vậy nghi m của phương trình l

35 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh – năm 2015)

So với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là 0 √ / 0,25đ

36 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Hùng Vương – Phú Thọ - Lần 3 - năm 2015)

ĐK , phương trình tương đương với :

√ √( )( ) ( √ )( √ )

√

Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1 0,25đ

Cách khác : có thể chứng minh (*) vô nghiệm như sau :

Với x22y2    x y 1, thay vào (2) ta có:

38 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt – năm 2015)

+ Biến đổi phương trình thứ 1:

1911

2

1

x x

+ Với

17

1911





y

)

39 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên – lần 1 – năm 2015)

Hệ đã cho tương đương với (0,50đ)

{

⇔ {

⇔{ ⇔ [ (1.00đ)

Vậy phương trình có 2 nghiệm (1; 1) và ( -1; -1)

40 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM - năm 2015)

⇔*√ √

√ √ ⇔ [

(0,25 đ)

⇔* √ √

√ √

Vậy hệ có nghiệm là (1;1), ( √ √ ) ( √ √ )

41 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lê Qúy Đôn – Đà Nẵng - năm 2015)

Điều kiện Biến đổi bất phương trình

√ ( )( ) (( ) ) (√ ) ( )

( ) ( ) (0,25đ) Đặt ( ) ( ), ta có ( ) ( ) (0,5đ)

Hơn nữa ( ) liên tục trên R, nên đồng biến trên R

Với y = 2 –x thay vào (2) ta được

2√ + 2√ = x2

– 2x + 1

⇔(2√ – x – 1) + (2√ + x – 3) = x2

– 2x - 3

⇔ (x2

– 2x - 3) (1+

√ + √ ) = 0 0,25

⇔ (x2 – 2x - 3) = 0 ⇔ [

Đối chiếu với điều kiện, hpt có nghiệm (-1;3) và (3; -1) 0,25

43 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - năm 2015)

{√ ( ) ( ) ( ) √( ) ( ) ( )

√ √ ( ) + Ta có (1)  √( ) ( ) √( ) ( )

+ Xét hàm ( ) √ Ta có ( )

√ √

√ Suy ra ( ) đồng biến trên R 0,25đ

Û x³ 3-2

6x3+16x2+16x=0

ìí

ïîï

Ûx=0

(x; y)=(0;1)

x y

+ Nếu √ ⇔ , nhân hai vế của PT (1) với √ , ta được

(1) ⇔ (√ ) ( ) ⇔ (√ ) (0,25đ)

⇔ √

⇔ (√ )(√ ) ( )( ) ( )

Với | | | | , ta có √ √ ( )( )

Nên (√ )(√ ) ( )( ) , từ đó PT (3) vô nghiệm (0,25đ)

Đối chiếu với điều kiện ta thấy (x;y)=(0;1) là nghiệm của HPT đã cho

48 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ- Hà Nội - năm 2015)

Điều kiện: {

⇔ {

Ta có: ( ) √

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất: ( )

49 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Sơn Tây – Hà Nội - năm 2015)

a b 0

1b

a2

a b 15 loai

1b2

é =

ê = + ë ; Bảng biến thiên của f(t) trên đoạn  0 ; 3 

Phương trình (1) có nghiệm x - 2; 4)  Phương trình (2) có nghiệm t  0;3

Vậy phương trình có nghiệm là : 0,25đ

53 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Thăng Long – Hà Nội - năm 2015)

x 1 x 1 3x 5 3x 5

Suy ra bất phương trình   1     x 2 0 x 2 tmdk 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 2

54 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 2 - năm 2015)

55 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3 - năm 2015)

ĐK {

⇔

0,25

Khi hệ có nghiệm (x;y) ( )→ x + y

Ta thấy √ (*) dấu bằng khi x = y thật vậy

(*) (2x +y)2 ⇔ (x – y)2 0 luôn đúng với mọi x, y

Tương tự √ x + 2y (**) dấu bằng khi x = y 0,25

Từ (*), (**) VT(1) = √ √ ( ) (1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y (3)

Thế (3) vào (2) ta được √ + 2√ = 2x2 + x + 5 (4) điều kiện x