MỘT số QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN PHÂN THỨ và ỨNG DỤNG TRONG tài CHÍNH

Một loạt các bài báo được xuất bản nhằm giải quyết các bài toán cơ bản của tính toán ngẫu nhiên: xây dựng định nghĩa tích phân ngẫu... Có thể nói đây là định nghĩa thành công nhấttheo ng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN TIẾN DŨNG

mét sè qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn

ph©n thø vµ øng dông trong tµi chÝnh

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN TIẾN DŨNG

mét sè qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn

ph©n thø vµ øng dông trong tµi chÝnh

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 62 46 15 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS TRẦN HÙNG THAO

Hµ Néi - 2011

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các

số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được aicông bố trong bất kỳ công trình nào khác

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Tiến Dũng

Lời cảm ơn

Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS.Trần Hùng Thao, người Thày đã và đang hướng dẫn, đào tạo tôi nghiêncứu khoa học rất nhiệt tình, giúp tôi ngày càng có thêm niềm say mênghiên cứu khoa học, đồng thời tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp tôihoàn thành bản luận án này

Tiếp theo tôi muốn bày tỏ những lời cảm ơn tới các thành viêntrong Bộ môn Xác suất Thống kê đã thường xuyên giúp tôi trong việctrau dồi, mở rộng thêm kiến thức khoa học Đặc biệt tôi muốn cảm ơnGS.TS Nguyễn Văn Hữu, người đã cho tôi tham gia xê mi na Toán tàichính của ông và luôn cho tôi những lời nhận xét quý báu

Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám đốc Đạihọc Quốc gia Hà Nội, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học tự nhiên,Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Phòng sau đại học đã tạo nhữngđiều kiện để tôi nghiên cứu tốt hơn và giúp tôi hoàn thành thủ tục bảo

vệ luận án

Cuối cùng, tôi xin gửi lòng biết ơn sâu sắc của mình đến gia đình,

họ hàng, bạn bè thân thiết, những người đã rất hiểu và luôn đứng bên

cổ vũ tôi

Hà nội, 03/2011NCS: Nguyễn Tiến Dũng

Mục lục

1.1 Định nghĩa và các tính chất 5

1.2 Tính chất nhớ lâu của fBm 8

1.3 Biểu diễn Volterra của fBm 9

1.4 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ theo quỹ đạo 11

1.4.1 Tích phân phân thứ tất định 11

1.4.2 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ 15

2 Phương pháp xấp xỉ semimartingale 17 2.1 Các kết quả xấp xỉ 17

2.2 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ 19

2.2.1 Định nghĩa tích phân 19

2.2.2 Một lớp các quá trình ngẫu nhiên khả tích 25

2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ 26 2.3.1 Các quá trình kiểu Ornstein-Uhlenbeck phân thứ 27

2.3.2 Các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ

với hệ số dịch chuyển đa thức 32

2.3.3 Các quá trình hồi phục trung bình hình học phân thứ 38

2.4 Lọc tuyến tính ngẫu nhiên phân thứ 46

3 Các ứng dụng trong Tài chính 49 3.1 Mô hình quản lý tài sản và nợ trong bảo hiểm 49

3.2 Mô hình Black-Scholes phân thứ 52

3.2.1 Mở rộng kết quả xấp xỉ 54

3.2.2 Mô hình Black-Scholes phân thứ xấp xỉ 59

Kết luận 68 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 70 Tài liệu tham khảo 71 Phụ lục 77 A Tính toán Malliavin 77 A.1 Khai triển nhiễu loạn Wiener-Itô 77

A.1.1 Tích phân Itô lặp 77

A.1.2 Khai triển nhiễu loạn Wiener-Itô 79

A.2 Tích phân Skorohod 79

A.2.1 Tích phân Skorohod 80

A.2.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Skorohod 82

A.2.3 Tích phân Skorohod là một mở rộng của tích phân Itô 83

A.3 Đạo hàm Malliavin 83

A.3.1 Tính toán đạo hàm Malliavin 84

A.3.2 Đạo hàm Malliavin và tích phân Skorohod 85

ucp hội tụ đều theo xác suất

C λ [a, b] Không gian các quá trình ngẫu nhiên λ-H¨older

liên tục h.c.c trên đoạn [a, b]

C λ − [a, b] ∩

0<µ<λ

C µ [a, b]

Mở đầu

Trong nhiều thập kỷ qua lý thuyết về tích phân ngẫu nhiên vàphương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu Wiener đã có những pháttriển rực rỡ trong cả lý thuyết lẫn thực hành Gần đây, người ta bắt đầukhám phá ra rằng lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên với nhiễu Wiener(hay tổng quát hơn là nhiễu martingale hoặc nhiễu có tính chất Markov)

là không đủ để mô tả nhiều bài toán thực tiễn trong viễn thông, địnhgiá tài sản hay bất kỳ chủ thể nào có tính chất "nhớ lâu" Và nhu cầu tựnhiên nảy sinh là cần tìm các quá trình ngẫu nhiên thay thế cho nhiễuWiener để khắc phục điều đó Chuyển động Brown phân thứ (fBm) làmột trong các quá trình ngẫu nhiên như vậy

Mặc dù fBm được đề cập đến bởi A N Kolmogorv [33] từ nhữngnăm 1940 nhưng phải đến năm 1968, sau bài báo của Madelbrot về biểudiễn hiển của fBm và các áp dụng của nó [38], fBm mới dần bắt đầuthu hút được các tác giả khác quan tâm nghiên cứu Khó khăn chínhtrong việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên đối với fBm là bởi vì fBmkhông phải là một semimartingale hay là một quá trình Markov Do đócác tính toán ngẫu nhiên Itô cổ điển không thể áp dụng được và ta cầnxây dựng hẳn một lý thuyết mới cho hệ động lực ngẫu nhiên điều khiểnbởi fBm

Trong khoảng 16 năm trở lại đây, tức là bắt đầu từ những năm

1995, tính toán ngẫu nhiên đối với fBm mới đạt được các phát triển rực

rỡ Một loạt các bài báo được xuất bản nhằm giải quyết các bài toán

cơ bản của tính toán ngẫu nhiên: xây dựng định nghĩa tích phân ngẫu

nhiên phân thứ, công thức Itô phân thứ, sự tồn tại và tính duy nhấtnghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ, bài toán lọc tối

ưu, các kết luận thống kê về các quá trình phân thứ, vv Các hướngnghiên cứu chính có thể tóm tắt như sau:

(i) Phương pháp tính toán Malliavin: Decreusefond & ¨Ust¨unel (1995,1999), Coutin & Decreusefond (1999), Alos, Mazet & Nualart (1999,2000) vv Bài toán tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình

vi phân ngẫu nhiên phân thứ vẫn mở, ngay cả đối với dạng tuyếntính đơn giản nhất

(ii) Phương pháp tính toán Wick: Duncan, Hu & Pasik-Duncan (2000)

đã sử dụng tích Wick thay cho tích thông thường trong tổng

Rie-mann khi định nghĩa tích phân và khi H = 12 họ nhận được tíchphân Itô cổ điển Có thể nói đây là định nghĩa thành công nhấttheo nghĩa mở rộng tích phân Itô cổ điển, tuy nhiên hướng nghiêncứu này ít được sử dụng trong các bài toán ứng dụng bởi công thứcđịnh nghĩa tích phân không phù hợp với ý nghĩa ứng dụng trong tàichính (Bjork & Hult (2005))

(iii) Phương pháp tính toán theo quỹ đạo: Lyons (1994) sử dụng phươngpháp "phân tích quỹ đạo thô" để xây dựng tích phân và chứng minhđược sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân ngẫunhiên bằng sơ đồ lặp Picard Z¨ahle (1998, 1999) sử dụng các tínhtoán phân thứ tất định để mở rộng tích phân Lebesgue-Stieltjes cổđiển và áp dụng tới fBm, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phươngtrình vi phân ngẫu nhiên được chứng minh bởi Nualart & Ră¸scanu

(2002) cho H > 12.

Về phương diện ứng dụng mà nổi bật là ứng dụng trong Tài chính,fBm là một công cụ rất phù hợp để mô tả diễn biến của các quá trìnhgiá phái sinh có tính chất "nhớ lâu" Giữa một số lượng lớn các bàibáo đã xuất bản, có thể kể đến các bài báo nổi bật của Rogers (1997),

Comte & Renault (1998), Cheridito (2001, 2003), Hu, Øksendal & Sulem(2003), Biagini et al (2002) vv Đặc biệt là quyển sách của Doukhan,Oppenheim & Taqqu (2003) cho một tổng hợp đầy đủ về lý thuyết vàứng dụng của các quá trình nhớ lâu.

Vào năm 2003, một phương pháp xấp xỉ fBm bởi các

semimartin-gale trong không gian L2(Ω) được đề xuất bởi T H Thao đã được vậndụng bước đầu vào tính toán ngẫu nhiên phân thứ Mục đích của Luận

án này là nhằm phát triển phương pháp xấp xỉ ấy Ưu điểm của phươngpháp này là thay vì phải xây dựng một lý thuyết mới cho tính toán ngẫunhiên đối với fBm, chúng ta vẫn sử dụng được các tính toán ngẫu nhiên

cổ điển đã biết (Itô, Skorohod) Từ đó mở ra khả năng nghiên cứu đượccác phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ, đặc biệt chúng tôi tìmđược công thức định giá quyền chọn mua phân thứ kiểu châu Âu trongkhi nhiều phương pháp khác là chưa làm được

Luận án gồm ba chương và được cấu trúc như sau:

Trong Chương 1, sau khi giới thiệu về fBm: định nghĩa và các tínhchất của nó, chúng tôi nhắc lại một cách ngắn gọn tích phân ngẫu nhiênphân thứ giới thiệu bởi Z¨ahle, kiểu định nghĩa tích phân được sử dụngtrong Chương 3 của Luận án này

Đóng góp chính của Luận án được trình bày ở Chương 2 và Chương

3 Trong Chương 2, đầu tiên chúng tôi nhắc lại kết quả đã biết về xấp

xỉ semimartingale của fBm và một định nghĩa cho tích phân ngẫu nhiên

phân thứ như là giới hạn trong L2(Ω) của tích phân đối với gale Sau đó, một vài lớp các quá trình ngẫu nhiên khả tích được đưa

semimartin-ra, chúng tôi cũng chứng minh rằng hai kiểu định nghĩa tích phân ngẫunhiên phân thứ là trùng nhau đối với một lớp các quá trình ngẫu nhiênphù hợp Trên cơ sở đó chúng tôi nghiên cứu bài toán tồn tại và duy nhấtnghiệm cho một vài lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ

có ứng dụng quan trọng trong thực hành Sự tồn tại và duy nhất nghiệmtrong trường hợp tổng quát vẫn là một bài toán mở Trong chương này,

chúng tôi cũng nghiên cứu bài toán lọc cho một hệ động lực ngẫu nhiênphân thứ tuyến tính.

Chương 3 trình bày về các ứng dụng của các quá trình phân thứtrong tài chính và bảo hiểm: Đầu tiên chúng tôi nghiên cứu bài toánđánh giá xác suất rủi ro trong mô hình quản lý tài sản và nợ của mộtngân hàng hoặc một công ty bảo hiểm Sau đó chúng tôi nghiên cứu môhình Black-Scholes phân thứ trong Toán tài chính, mà khó khăn chínhnhư đã chỉ ra bởi Shiryayev [56] rằng mô hình này thừa nhận cơ hội có

độ chênh thị giá Cheridito [11] đã vượt qua khó khăn này bằng cách

xấp xỉ fBm bởi các martingale nhưng kết quả chỉ đúng khi H > 34 Dựa

vào xấp xỉ semimartingale của fBm, chúng tôi chứng minh rằng mô hìnhBlack-Scholes xấp xỉ là không có độ chênh thị giá, từ đó các kết quả của

Cheridito được mở rộng cho mọi tham số H > 12.

Cuối cùng, trong phần phụ lục chúng tôi giới thiệu sơ lược về tínhtoán Malliavin và nhắc lại một vài dạng của Bổ đề Gronwall

Chương 1

Chuyển động Brown phân thứ

Trong Chương này sau khi trình bày về định nghĩa và các tính chất quan trọng của chuyển động Brown phân thứ, chúng tôi nhắc lại ngắn gọn một định nghĩa tích phân ngẫu nhiên phân thứ được xây dựng bởi Z¨ ahle.

1.1 Định nghĩa và các tính chất

Định nghĩa 1.1 Chuyển động Brown phân thứ (sẽ viết tắt là fBm, tức là

fractional Brownian motion) với chỉ số Hurst H ∈ (0, 1) là một quá trình

Gauss quy tâm {W H

t , t ≥ 0} với hàm tương quan R H (t, s) = E[W t H W s H]cho bởi

4 Quá trình ngẫu nhiên X định nghĩa bởi

Chứng minh của hai Mệnh đề trên có thể tìm thấy trong [14]

Mệnh đề 1.3 Cho H ∈ (0, 1), các quỹ đạo của fBm là α-H¨older liên tục

Mệnh đề 1.4 Cho 0 < H < 1 và cố định T > 0 Khi đó

(i) W H có biến phân vô hạn trên đoạn [0, T ],

(ii) W H có biến phân bậc p hữu hạn trên đoạn [0, T ] với mọi p > H1.

Hơn nữa, tồn tại hằng số ε = ε p > 0 và biến ngẫu nhiên dương K(ω)

thỏa mãn

V p,T π (X) ≤ K(ω)|π| ε

, h.c.c.

Chứng minh (i) Ta ký hiệu {π n } là dãy các phân hoạch của đoạn [0, T ]

thỏa mãn π n ⊂ π n+1 , tức là dãy các phân hoạch được làm mịn dần Ta

(ii) Khi p > H1 : bởi vì các quỹ đạo của W H là λ-H¨older liên tục với mọi

λ < H nên nếu ta chọn H > λ > 1p thì tồn tại một biến ngẫu nhiên

một semimartingale liên tục thì giới hạn lim

Nếu [X] T là đồng nhất không thì semimartingale X có biến phân hữu

Trường hợp H > 12 : Xét phân hoạch π : 0 < T n < 2T n < < T của

đoạn [0, T ] Ta vẫn giả sử rằng W H là một semimartingale, thế thì

egordic bởi vì ρ(n) → 0 , n → ∞ (ρ(n) được định nghĩa trong Mục 1.2

bên dưới) Do đó theo định lý egordic trong [57] ta phải có 2H + α > 1 Điều này mâu thuẫn với việc lựa chọn α.

1.2 Tính chất nhớ lâu của fBm

Định nghĩa 1.2 Dãy dừng {X n , n ≥ 0} được gọi là có tính chất nhớ lâu

nếu hàm tự tương quan ρ(n) = Cov(X k , X k+n) thỏa mãn

lim

ρ(n)

cn −α = 1,

giá trị lớn của n Điều này có nghĩa là các tính chất của W H tại thời

điểm t = 1 vẫn được lưu giữ lại trong các giá trị tại đuôi của nó Bởi

tính chất này, ta nói fBm là một quá trình có tính chất nhớ lâu

1.3 Biểu diễn Volterra của fBm

Trong toàn bộ Luận án này, biểu diễn tích phân Volterra ngẫunhiên của fBm đóng vai trò quan trọng, nó là cơ sở để ta có thể xấp xỉfBm bởi các semimartingale và từ đó xây dựng các tính toán ngẫu nhiênphân thứ

Ta biết rằng nếu W t H,(1) là một fBm thì nó có biểu diễn sau (chẳnghạn, xem [9])

Hơn nữa lọc tự nhiên sinh bởi W H,(1) trùng với lọc tự nhiên sinh bởi W.

Biểu diễn hiển đầu tiên của fBm là được cho bởi Mandelbrot vàJ.van Ness [38], biểu diễn đó như sau

Bởi vì U t là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục tuyệt

đối nên tính chất nhớ lâu của fBm được lưu trữ trong W t H,(2) Vì lý do

này và hơn nữa nhờ có dạng biểu diễn đơn giản mà W t H,(2) được nhiềutác giả (chẳng hạn, [1, 8]) sử dụng như một nhiễu thay cho fBm Ta cóđịnh nghĩa sau

Định nghĩa 1.3 Chuyển động Brown phân thứ dạng Liouville (sẽ ký hiệu

là LfBm, tức fractional Brownian motion of Liouville form) là quá trìnhngẫu nhiên định nghĩa bởi

này đúng cho mọi chỉ số Hurst H ∈ (0, 1) và công cụ chính được sử dụng

là các tính toán phân thứ tất định Z¨ahle mở rộng tích phân Stieltjes cổ điển

Lebesgue-b

∫

a

f (x)dg(x)

cho lớp các hàm có biến phân không bị chặn

Đầu tiên ta chú ý rằng nếu f hoặc g là các hàm trơn trên đoạn hữu hạn (a, b) thì tích phân Lebesgue-Stieltjes có thể viết thành

a+(L p ) và I b α − (L p) là ảnh của không gian

L p(R) qua các toán tử phân thứ I α

Chú ý 1.1 (i) Như đã chứng minh bởi Z¨ahle [51] rằng Định nghĩa trên

là không phụ thuộc vào sự lựa chọn α ∈ [0, 1].

Tiếp theo chúng ta nhắc lại một vài ước lượng hữu ích cho tích

phân phân thứ Cố định tham số 0 < λ < 12, ta ký hiệu W1−λ,∞ [0, T ] là

không gian các hàm đo được g : [0, T ] → R thỏa mãn

f dg có thể hiểu như tích phân Riemann-Stieltjes thông thường và

ta có công thức đổi biến sau

1.4.2 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ

Theo Mệnh đề 1.3 ở trên, ta biết rằng W H có các quỹ đạo λ-H¨older

liên tục h.c.c trên đoạn [0, T ] với mọi λ < H Do đó đạo hàm phân thứ

D t1− −α W s H tồn tại với mọi α > 1 − H và ta có thể thay vai trò của hàm

g trong Định nghĩa 1.4 bởi W H để nhận được định nghĩa cho tích phânngẫu nhiên phân thứ

Tích phân ngẫu nhiên phân thứ (1.3) là được định nghĩa với mỗi ω

cố định, như vậy với mỗi t cố định trong đoạn [0, T ] ta cần chứng minh

tích phân là một biến ngẫu nhiên hoặc một cách tương đương là chứng

minh khi t cố định tích phân là một hàm F-đo được theo biến ω Ta biết

rằng tổng, tích của các hàm F-đo được là một hàm F-đo được, giới hạn

h.c.c của một dãy các hàm F-đo được cũng là một hàm F-đo được Do

đó yêu cầu về tính F-đo được của tích phân là được đảm bảo.

Để tránh nhầm lẫn với một định nghĩa khác của tích phân ngẫu

nhiên phân thứ trong Chương 2, ta viết (Z)

t

∫

0

f (s)dW s H để chỉ rằng tíchphân ngẫu nhiên phân thứ là được định nghĩa bởi Z¨ahle Ta có

Tích phân này có tính chất cộng tính quen thuộc: Xét 0 ≤ a < b < c ≤ t

Trong trường hợp H < 12, cũng như tất cả các phương pháp khác, ta

chưa thể nói gì về nghiệm của phương trình

2.1 Các kết quả xấp xỉ

Phương pháp xấp xỉ chuyển động Brown phân thứ bởi các

semi-martingale trong L2(Ω) được trình bày đầu tiên bởi T H Thao [45, 49]cho LfBm và bởi Coutin [9] cho fBm Kết quả xấp xỉ này sẽ là nền tảngxuyên suốt Luận án bởi vậy chúng tôi phát biểu và chứng minh lại nómột cách chi tiết với một vài sửa đổi Kết quả xấp xỉ được mở rộng trong

không gian L p (Ω) vớ mọi p > 0.

Xét W t H là một fBm hoặc LfBm Với mỗi ε > 0 cố định ta định

nghĩa quá trình ngẫu nhiên

II Semimartingale W t H,ε hội tụ tới W t H trong L p (Ω), p > 0 khi ε → 0.

Sự hội tụ này là đều theo t ∈ [0, T ]

Chứng minh Chứng minh của phần I là như sau: Áp dụng đinh lý Fubini

đặc biệt p = 2, sử dụng công thức đẳng cự Itô ta có

Định lý được chứng minh xong

2.2 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ

2.2.1 Định nghĩa tích phân

Chúng tôi tuân theo ý tưởng của T H Thao và Christine [47] đểgiới thiệu kiểu định nghĩa tích phân ngẫu nhiên phân thứ như sau

Định nghĩa 2.1 Cho W H là một fBm hoặc LfBm với chỉ số H ∈ (0, 1)

và {f t , t ∈ [0, T ]} là một quá trình tương thích với lọc tự nhiên sinh bởi

Nếu biến ngẫu nhiên

t

∫

0

f s dW s H,ε tồn tại giới hạn trong L2(Ω) khi ε → 0

thì ta gọi giới hạn đó là tích phân ngẫu nhiên phân thứ của f đối với fBm W H Ký hiệu

Bài toán tự nhiên đặt ra là xây dựng lớp các hàm khả tích, tức là

tìm điều kiện về hàm f để giới hạn trong vế phải của (2.6) tồn tại Mục 3.3 tiếp theo sẽ trả lời câu hỏi này chung cho mọi chỉ số H ∈ (0, 1) Ở

đây, để người đọc có thể hình dung một cách rõ ràng lớp các hàm khảtích chúng tôi phát biểu một kết quả trong bài báo [22] với một vài sửa

đổi để làm mịn hơn Cụ thể, khi H > 12 và nếu hàm f ∈ C1

2+δ [0, T ] (mịn hơn so với giả thiết f ∈ C3

4+δ [0, T ] như trong [22] ) thì tích phân ngẫu

nhiên phân thứ sẽ trùng với tích phân phân thứ của Z¨ahle và do đó nó

có thể hiểu như tích phân Riemann-Stieltjes thông thường Ta cần Bổ

Chứng minh (a) Bất đẳng thức (2.8) là một tính chất cơ bản của LfBm

và chứng minh của nó có thể tìm thấy trong [25], khi W t H là fBm ta códấu bằng xảy ra Bất đẳng thức (2.9) được chứng minh như sau:

Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng s ≤ t Bởi công thức

đẳng cự của tích phân Itô ta có

Các tích phân trong vế phải của bất đẳng thức trên là hội tụ với mọi

0 < λ < 1/2, và ta chọn p trong ước lượng (2.10) thỏa mãn 2λ < p < 1.

Như vậy tồn tại một hằng số dương c3 thỏa mãn

E ∥W H,ε − W H ∥2

λ,1 ≤ c3ε(1−p)H

Bổ đề được chứng minh xong

Định lý 2.2 Cho quá trình ngẫu nhiên tương thích f : [0, T ] × Ω → R thỏa mãn điều kiện: Với δ > 0 nào đó tồn tại hằng số M > 0 thỏa mãn

2+δ [0, T ] nên tích phân ngẫu nhiên phân thứ của Z¨ahle,

(Z)

t

∫

0

f (s)dW s H , có thể hiểu như tích phân Riemann-Stieltjes Do đó ta

có thể áp dụng công thức tích phân từng phần tới cả hai tích phân

Ta có hệ quả sau như một điều kiện đủ cho sự tồn tại của tíchphân ngẫu nhiên phân thứ.

Hệ quả 2.1 Nếu f ∈ C1

2+δ [0, T ] thì tích phân ngẫu nhiên phân thứ tồn

tại và nó trùng với tích phân ngẫu nhiên phân thứ của Z¨ahle

2.2.2 Một lớp các quá trình ngẫu nhiên khả tích

trong đó δW s là vi phân Skorohod và D W F là đạo hàm Malliavin của

biến ngẫu nhiên F đối với W Chi tiết về tích phân Skorohod và đạo

hàm Malliavin là được trình bày trong Phụ lục A

Giả thiết (H): Giả sử rằng f là một quá trình ngẫu nhiên tương thích

thuộc D1,2 và tồn tại hằng số β với β + H > 1/2 và p > 1/H thỏa mãn

Cho quá trình ngẫu nhiên f thỏa mãn giả thiết (H), Coutin [9]

đã chứng minh rằng biến ngẫu nhiên

t

∫

0

f s dW s H,ε hội tụ trong L2(Ω) khi

ε → 0+ Mỗi số hạng trong vế phải của (2.14) hội tụ tới giá trị của nó

ứng với ε = 0 Định lý sau đã được phát biểu trong [9].

Định lý 2.3 Cho f là quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn giả thiết (H).

Khi đó tích phân ngẫu nhiên phân thứ có biểu diễn sau

2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ

Mục đích của phần này là để nghiên cứu một phần bài toán tồntại và duy nhất nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên phânthứ Chúng ta xét phương trình dạng tổng quát sau:

dX t = a(t, X t )dt + σ(t, X t )dW t H , 0 ≤ t ≤ T, (2.15)

điều kiện ban đầu X0 là một biến ngẫu nhiên đo được bình phương khảtích Nghiệm của phương trình được định nghĩa là một quá trình ngẫunhiên tương thích {X t , 0 ≤ t ≤ T } thỏa mãn

Ý tưởng chính của chúng tôi là sử dụng các xấp xỉ semimartingale và

sau đó chuyển qua giới hạn trong L2(Ω) Cụ thể:

Bước 1: Xét các phương trình "xấp xỉ" với cùng điều kiện ban

đầu

dX t ε = a(t, X t ε )dt + σ(t, X t ε )dW t H,ε , 0 ≤ t ≤ T, (2.17)Phương trình (2.17) có thể đưa về dạng phương trình vi phân Itô cổ điểnnhờ phân tích (2.1) như sau:

dX t ε = [a(t, X t ε ) + σ(t, X t ε )φ ε t ]dt + ε 2α σ(t, X t ε )dW t (2.18)

Bước 2: Dưới những điều kiện phù hợp về các hệ số a(t, x) và

σ(t, x) thì nghiệm của phương trình (2.17) sẽ hội tụ trong L2(Ω) và giớihạn tìm được sẽ là nghiệm của phương trình (2.15)

Việc thiết lập được một định lý tổng quát về sự tồn tại và duynhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ theo hướngnày là một vấn đề hết sức khó và vẫn còn là một bài toán mở

Tuy nhiên, trong Luận án này chúng tôi đã giải quyết được một sốlớp quan trọng của phương trình (2.15), trong đó có những dạng phươngtrình có nhiều ý nghĩa ứng dụng Kết quả của Mục này đã được trìnhbày trong các bài báo [18, 21, 22] của tác giả

2.3.1 Các quá trình kiểu Ornstein-Uhlenbeck phân thứ

Quá trình ngẫu nhiên {X t , 0 ≤ t ≤ T } gọi là một quá trình kiểu

Ornstein-Uhlenbeck phân thứ nếu nó là nghiệm của phương trình viphân ngẫu nhiên phân thứ sau:

Một dạng đặc biệt của (2.19) là phương trình Langevin cổ điểntrong Vật lý hay mô hình lãi suất Vasicek

dX t = (α − bX t ) dt + σ dW t (2.20)

mà nghiệm của nó gọi là một quá trình Ornstein-Uhlenbeck

Để tìm nghiệm hiển của (2.19), đầu tiên ta xét phương trình xấp

xỉ với cùng điều kiện ban đầu

Nghiệm của (2.21) sẽ là X t ε = X1(t)+X2(t) Đầu tiên ta thấy rằng (2.23)

là một phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô, do đó ta có thể tìm đượcnghiệm của nó

Phương trình (2.24) là một phương trình vi phân thông thường với mỗi

Mệnh đề 2.2 Giả sử rằng H ∈ (0, 1) Phương trình vi phân ngẫu nhiên

phân thứ (2.19) có nghiệm duy nhất Hơn nữa, nghiệm này là giới hạn

trong L2(Ω) của nghiệm X t ε của phương trình xấp xỉ (2.21) khi ε → 0

một cách đều theo t ∈ [0, T ].

Chứng minh Đầu tiên ta chú ý rằng sự tồn tại nghiệm của phương

trình (2.19) là dễ dàng được chứng minh Thật vậy, ta xét không gian

L2(Ω, [0, T ]) với chuẩn sau

∥L(u) − L(v)∥ 2,λ0 < 1

2∥u − v∥ 2,λ0.

Như vậy L là một toán tử co, do đó sự tồn tại nghiệm duy nhất của

phương trình (2.19) là được đảm bảo

−−−→ X t khi ε → 0+, sự hội tụ này là đều theo t ∈ [0, T ]

Định lý 2.4 Giả sử rằng H ∈ (0, 1) và X0 là biến ngẫu nhiên thỏa mãn E |X0|2 < ∞ Nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ (2.19) là duy nhất và cho bởi

Chứng minh Đầu tiên, từ Mệnh đề 2.2 ta thấy rằng nghiệm của (2.19)

là giới hạn trong L2(Ω) của nghiệm X t ε của phương trình xấp xỉ tươngứng với nó Như vậy để chứng minh khẳng định của định lý ta cần

chứng minh X t ε hội tụ tới X t trong L2(Ω) khi ε → 0 Mặt khác bởi vì

Định lý được chứng minh xong

Chú ý 2.2 Kết quả của Định lý trên là đúng với mọi H ∈ (0, 1).

2.3.2 Các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ với hệ

Phương trình trên là một tổng quát hóa của nhiều phương trình vi phân

ngẫu nhiên có ứng dụng quan trọng trong thực tiễn: khi a = 0 ta tìm được phương trình Black-Sholes trong toán tài chính, khi n = 2 ta có phương trình Verlhust trong nghiên cứu dân số và khi n = 3 ta có phương

trình Ginzburg-Landau trong vật lý lý thuyết

Đầu tiên ta nghiên cứu phương trình xấp xỉ ứng với (2.27):