D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC... Lê Trung Hiếu.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN SƠN DƯƠNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề)
Câu 1: (4 điểm )
a) Cho a, b ∈ Z và b > 0 So sánh hai số hữu tỉ a và a + 1
b b + 1
1 3 5 995 997 b) Cho A =
4 6 8 998 1000
2 4 6 996 998
B =
5 7 9 999 1001
So sánh A và B
Câu 2: (4 điểm )
a) Rút gọn biểu thức: A = 104 9 - 2.65 84 8 9
2 3 + 6 20
b) Tìm x biết: x + 3 + x + 1 = 3x
Câu 3: ( 3 điểm )
Cho đa thức A x = x + x + x + + x + x( ) 2 3 99 100
a) Chứng minh rằng x = - 1 là nghiệm của A(x)
b) Tính giá trị của đa thức A(x) tại x = 1
2
Câu 4: (2 điểm )
Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
a + b + c < 2 ab + bc + ca
Câu 5: ( 2 điểm )
Cho tam giác ABC D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC Chứng minh rằng: DE // BC và DE = 1
2BC
Câu 6: ( 5 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tại A và ·ABC = 60 0 Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho AB + BM = AC + CM Tính độ lớn góc ·CAM ?
-Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên……… số báo danh………
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
NĂM HỌC 2010 - 2011
Trang 2Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề)
a
Để so sánh hai số hữu tỉ a và a + 1
b b + 1 ta đi so sánh hai số
( ) ( )
a b + 1 và b a + 1
Xét hiệu a b + 1 - b a + 1 = ab + a - ab + b = a - b( ) ( ) ( )
TH1: Nếu a - b = 0 ⇔a = b thì: a b + 1 - b a + 1 = 0 ( ) ( ) a a + 1=
b b + 1
⇔
TH2: Nếu a - b < 0 ⇔a < b thì: a b + 1 - b a + 1 < 0( ) ( ) a a + 1<
b b + 1
⇔
TH3: Nếu a - b > 0 ⇔a > b thì: a b + 1 - b a + 1 > 0( ) ( ) a a + 1
b b + 1
⇔ >
0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ
b
Theo a) áp dụng TH2: a a + 1<
b b + 1 với 0 < a < b
Ta có: 1< ; < ;2 3 4 ; 997 < 998
4 5 6 7 ×××× 1000 1001
Do đó khi lấy tích của chúng thì A < B
2đ
( ) ( ) ( ( ) )
2 3 - 2 3.2 2 3 1 - 3 1
2 3 1 + 5 3
2 3 + 2.3 2 5
−
x -3 ta có: - x -3 -x -1= 3x x =
-5
+ Xét - 3 < x < - 1, ta có: x + 3 - x - 1 = 3x 0x = > -12
3
+ Xét x≥- 1, ta có: x + 3 + x + 1 = 3x ⇔ x = 4 ( thỏa mãn )
Vậy x = 4
2đ
a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
A -1 = -1 + -1 + -1 + + -1 + -1
= -1 + 1+ -1 + 1+ -1 + -1 + 1= 0
Vì có 50 số (- 1) và 50 số 1 ⇒ x = -1 là nghiệm của đa thức A(x)
1đ 0,5đ
b Với x = 1
2thì giá trị của đa thức: 2 3 99 100
2.A=1+ + + +
⇒
100
2A= ( + + + + + ) + 1-
1 A=1-
2
⇒
⇒
0,5đ 1đ
Trang 34 Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a < b + c, a > 0
a.a < a.(b + c) = ab + ac
⇔
Tương tự: b < bc + ab; c < cb + ca 2 2
Do đó a + b + c < 2 ab + bc + ca 2 2 2 ( )
2đ
5
B
C
Trên tia đối của tia ED lấy M sao cho EM = ED
Chứng minh ΔEAD = ΔECM c.g.c( )
AD = CM; DAE = MCE ( DAE và MCE so le trong)
⇒
⇒ AD // CM ⇒BDC = MCD· ·
Chứng minh ∆BDC = ∆MCD ( c.g.c) ⇒ ·DCB = CDM· ; BC = DM
DCB = CDM, DCB và CDM so le trong => DE // BC
DE = 1
2DM; BC = DM => DE = 1
2BC
B
5đ
Kẻ AH ⊥BC ( H ∈ BC ); theo tính chất của tam giác vuông có một
góc 300 ta có: BC = 2AB; AB = 2HB; AC = 2AH (1)
Theo gt AB + BM = AC + CM => AB + 2BM = AC + (CM + BM)
⇒AB + 2BM = AC + BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB + 2BM = 2AH + 2AB
⇒ 2BM = 2AH + 2BH
⇒2 ( BM - BH ) = 2AH ⇒ HM = HA
Vậy tam giác HAM vuông cân tại H nên HAM· = 45 0
Từ đó CAM = 90 - 30 - 45 = 15· 0 0 0 0
1đ 1đ
1đ 2đ
* Chú ý: Thí sinh có cách giải khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
Người ra đề
30o M
Trang 4Lê Trung Hiếu