SKKN rèn kĩ năng biến đổi đơn giản căn thức bậc hai

Bờn cạnh đú , trong đề thi vào trung học phổ thụng thỡ bài toỏn rỳt gọn biểu thức cú chứa căn bậc hai là một dạng toỏn thường gặp và cú tỉ lệ điểm số cao hơn phần kiến thức khỏc.. Tuy nh

A PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài :

- Thực hiện chủ trương của đảng và nhà nước đề ra : Đổi mới phương phỏp dạy học , nõng cao chất lượng giỏo dục ở cỏc bậc học , đòi hỏi không ngừng nghiên cứu cải cách đổi mới nội dung, phơng pháp giảng dạy các bộ môn văn hoá,đặc biệt là mụn toỏn nhằm giúp học sinh chẳng những tiếp thu đợc những đơn vị kiến thức khoa học cơ bản ở các bộ môn là còn vận dụng đợc vào trong thực hành và trong đời sống thực tế

- Trong chơng trình Toán của bậc THCS hiện nay, nhìn chung hệ thống bài tập đợc cấu trúc từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp và rất đa dạng về thể loại

Do đó việc ứng dụng lý thuyết để giải quyết hết số lợng bài tập theo quy định đối với học sinh là một việc làm hết sức khó khăn

Trong quá trình giảng dạy môn Toán ở cấp THCS, bản thân tôi nhận thấy :Phần kiến thức căn thức bậc hai là hết sức quan trọng , học sinh phải học trong một phần tư năm học về thời lượng chương trỡnh Bờn cạnh đú , trong đề thi vào trung học phổ thụng thỡ bài toỏn rỳt gọn biểu thức cú chứa căn bậc hai là một dạng toỏn thường gặp

và cú tỉ lệ điểm số cao hơn phần kiến thức khỏc Vỡ vậy, việc rốn cho học sinh lớp 9 thực hiện tốt bài toỏn rỳt gọn biểu thức là yờu cầu bắt buộc Qua quỏ trỡnh giảng dạy và

ụn thi tuyển sinh vào lớp 10 tụi nhận thấy rằng : Đa số học sinh nắm vững cỏc khỏi niệm , cụng thức biến đổi của phần căn thức bậc hai Tuy nhiờn khi làm bài tập thỡ vận dụng cỏc cụng thức biến đổi khụng hợp lớ , việc nhận dạng kiến thức đối với học sinh cũn yếu dẫn đến lời giải bài toỏn dài dũng , phải ỏp dụng nhiều cụng thức mới cú kết quả Việc phối kết hợp với kiến thức ở lớp dưới cũn yếu : Cũn thực hiện sai thứ tự phộp tớnh , thiếu dấu ngoặc trong quỏ trỡnh thực hiện

II Mục đớch nghiờn cứu :

Đề tài này được thực hiện nhằm mục đớch :

- Đổi mới phương phỏp dạy học đơn vị kiến thức căn thức bậc hai , vận dụng phương phỏp dạy học theo hướng tớch cực húa vai trũ của người học làm cho học sinh chủ động tiếp cận kiến thức , từ đú cỏc em tiếp thu kiến thức một cỏch tự giỏc theo hướng tự phỏt hiện và tỡm hiểu

- Khắc phục tỡnh trạng lựa chọn bài tập khụng hợp lớ nờn khụng cú hiệu quả cao trong việc khắc sõu kiến thức và rốn kĩ năng

- Rốn kĩ năng giải bài toỏn rỳt gọn biểu thức khụng điều kiện cho học sinh lớp 9 chuẩn bị ụn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT

Trường THCS Hợp Hưng Năm học 2010 - 2011

- Trong khuôn khổ đề tài này, bằng vốn kiến thức còn rất hạn chế của mình, tôi xin

nêu một số quan điểm trong quá trình nghiên cứu giải bài toán " Rỳt gọn biểu thức "

nhằm mục đích hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm tòi lời giải của một dạng toán trên cơ sở kiến thức đã học Hy vọng nó sẽ là cầu nối giữa lý thuyết và thực hành Toán học

III Nhiệm vụ nghiờn cứu :

Để đạt được cỏc mục đớch trờn thỡ nhiệm vụ của đề tài này là :

- Nghiờn cứu tỡnh hỡnh giảng dạy và việc nắm kiến thức cũng như kĩ năng giải bài tập về căn thức bậc hai của học sinh lớp 9

- Tỡm hiểu nội dung của đơn vị kiến thức căn thức bậc hai một cỏch cú hệ thống từ

đú đưa ra mức độ hợp lớ với việc ứng dụng dạy học ở trung học cơ sở

- Đề ra cỏch vận dụng phương phỏp dạy học theo hướng tớch cực húa vai trũ của người học, cỏc phương tiện dạy học vào việc truyền thụ kiến thức cho học sinh

IV Phạm vi và đối tượng nghiờn cứu :

- Phạm vi nghiờn cứu :

Chương I CĂN BẬC HAI , CĂN BẬC BA (chương trỡnh toỏn lớp 9 trung học cơ sở)

- Đối tượng nghiờn cứu : Dạng toỏn rỳt gọn biểu thức khụng điều kiện

V Phương phỏp nghiờn cứu :

- Nghiờn cứu lớ luận

- Thực nghiệm sư phạm : Kiểm tra , đỏnh giỏ

VI Điểm mới trong kết quả nghiờn cứu :

- Hỡnh thành cỏc phộp biến đổi căn thức bậc hai bằng cụng thức cú bổ sung phần phỏt biểu tổng quỏt so với sỏch giỏo khoa giỳp học sinh dễ nắm được cỏc phộp biến đổi và cỏc đặc điểm đặc trưng của từng phộp biến đổi

- Hỡnh thành kĩ năng phỏt hiện cỏc đặc điểm đặc trưng của một đơn vị kiến thức đặc biệt những đơn vị kiến thức mà sỏch giỏo khoa chỉ thể hiện ở dạng cụng thức

- Hỡnh thành kĩ năng nhận dạng kiến thức ỏp dụng giải toỏn trước khi thực hành giải một bài toỏn cụ thể

B PHẦN NỘI DUNG

I, Cơ sở lý luận :

- Khái niệm rút gọn một biểu thức gắn liền với việc thực hiện các phép tóan có trong biểu thức đó bao gồm cả biểu thức có dấu ngoặc và không dấu ngoặc

- Khái niệm căn bậc hai đã được học từ lớp 7 cùng với số vô tỉ ( thường căn bậc hai dương của các số nguyên tố )

- Học sinh đã được học tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng , phép nhân đơn thức với đa thức ở lớp dưới

- Học sinh đã biết rút gọn một phân thức từ lớp 8 và thực hiện thành thạo với các phân thức trong trường hợp tử và mẫu chỉ cần phân tích thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức

II, Thực trạng khi thực hiện đề tài :

- Trong quá trình lĩnh hội các kiến thức của chương " Căn bậc hai , căn bậc ba" học sinh gặp khó khăn trong việc lĩnh hội các kiến thức về căn thức bậc hai , các phép biến đổi căn thức bậc hai

- Việc vận dụng các phép biến đổi căn thức bậc hai vào giải các bài tập rút gọn của học sinh gặp nhiều khó khăn , mắc nhiều lỗi

- Học sinh không nhận dạng được kiến thức ( phép biến đổi ) cần áp dụng để rút gọn một biểu thức không điều kiện

- Khi thực hành giải toán học sinh còn thực hiện sai các kiến thức kĩ năng cơ bản

Kết quả kiểm tra trước khi áp dụng đề tài ( năm học trước )

Trường THCS Hợp Hưng Năm học 2010 - 2011

III, Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

1 Hình thành lý thuyết tổng quát bổ nghĩa cho công thức :

- Khi dạy học các phép biến đổi đơn giản căn thức bậc hai Sau khi đưa ra hệ thống ví

dụ như sách giáo khoa cần yêu cầu học sinh tổng quát được thành lí thuyết tóm tắt các phép biến đổi theo hai ý :

+ Khi nào áp dụng phép biến đổi này ?

+ Làm như thế nào ?

2 Rèn kĩ năng nhận dạng kiến thức trước khi giải toán :

- Khi dạy học giải bài tập rút gọn biểu thức không điều kiện cần yêu cầu học sinh : nhận dạng phép biến đổi đơn giản căn thức cần áp dụng để biến đổi từng hạng tử trong biểu thức Giúp học sinh hiểu rằng để rút gọn một biểu thức cần phải phối hợp nhiều phép biến đổi

3 Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức đã học ở lớp dưới :

- Trong quá trình dạy học giải bài tập cần yêu cầu học sinh nhắc lại phần kiến thức có liên quan ở lớp dưới : thứ tự thực hiện phép tính ; hằng đẳng thức ; phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

4 Sử dụng bài tập trong các đề thi làm mục tiêu phấn đấu cho học sinh:

- Trong các tiết học luyện tập cần lựa chọn các bài tập ở các kì thi với mức độ phù hợp

để học sinh rèn luyện nhằm tăng tính hứng thú học tập của học sinh, tạo niềm tin ở tính thực tế của kiến thức mới tiếp thu

5 Kiểm tra đánh giá :

- Sau mỗi đơn vị kiến thức cần tiến hành kiểm tra thường xuyên , đánh giá mức độ nắm kiến thức của học sinh , chữa lỗi kĩ năng , nhận xét chi tiết trong bài để học sinh khắc phục

IV Áp dụng cụ thể đối với từng đơn vị kiến thức :

1 Hằng đẳng thức A2 A

1.1 Làm ?3 ( Bổ sung thêm hàng tính giá trị tuyệt đối của số a)

1.2 Rút ra kết quả a2 a với mọi số a

1.3 Làm bài tập ví dụ :

Ví dụ 2 : Tính

Ta có 12 2 = |12| = 12 Ta có ( 7 ) 2 = |-7| = 7

Ví dụ 3 : Rút gọn

a) ( 2 1)  2 b) (  2 5 ) 2

Ta có ( 2 1)  2 = | 2-1| Ta có (  2 5 ) 2=

|2-5|

= 2-1 ( vì 2> 1 ) = 5-2 ( vì 5 > 2 )

1.4 Chú ý : ( Như SGK)

1.5 Ví dụ :

Ví dụ 4 : Rút gọn

) 2 ( x với x 2 b) a6 với a < 0

a2

2

a

a

Với A là biểu thức ta có :

2

A = |A|

Trường THCS Hợp Hưng Năm học 2010 - 2011

Ta có ( x 2 ) 2 = |x-2| Ta có a6 = (a3 ) 2= | a3| = x – 2 ( vì x 2) = - a3 (Do a < 0 )

1.6 Củng cố bằng vấn đáp :

+ Để áp dụng hằng đẳng thức A2 = |A| Thì biểu thức dưới dấu căn phải

cĩ dạng như thế nào ? + Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần chú ý điều gì ? 1.7 Củng cố bằng bài tập luyện tập:

Bài 13 SGK / 11 Rút gọn biểu thức

a) 2 a2  5a 2a  5a 2a 5a 7a(Vì a < 0 nên a a)

b) 25a2  3a  5a  3a= 5a+3a = 8a (Vì a0 nên 5a 0)

9a  3a  3a  3a  6a

5 4a  3a  5 4 a  3a  5.2a  3a  10a  3a  13a (Vì a < 0 nên 2a3 < 0 ) Bài tập :

Gi¶i : a) Ta cã : 1  32   1 3  3 1 

b) Ta cĩ : 6 2 5   5 2 5 1     5 1  2  5 1   5 1 

*) Tiến trình hướng dẫn câu b

+ Để áp dụng hằng đẳng thức A2 = |A| ta phải phân tích biểu thức dưới dấu

căn thành dạng nào ?

+ Bộ phận nào của biểu thức đĩng vai trị hai lần tích của hằng đẳng thức bình phương

+ Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích ở bảng phụ và trình bày

+ Rút ra nhận xét : Những biểu thức chứa căn từ hai lớp ta phân tích biểu thức dưới dấu căn thành dạng hằng đẳng thức bình phương rồi áp dụng hằng đẳng thức A2

= |A|

1.8 Bài tập vận dụng cấp cao

Rĩt gän biĨu thøc :

1 x x 1 x x

)

b

6 12 33 6 6 15

)

a

2 2

















2 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương :

2.1 Định lí :

2.1.1 Định lí : Với hai số a và b không âm, ta có

.

a b a b

2.1.2 Chú ý : 2.2 Áp dụng :

2.2.1, Quy tắc khai phương một tích (Như SGK và hình thành thêm cơng thức )

VD1:áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

a) 49 1 , 44 25= 49 1 , 44 25 =7.1,2.5=42

b) 810 40= 81 4 100= 81 4 100 =9.2.10=180

? 2 Tính : ( Làm theo nhĩm)

a) 0 , 16 0 , 64 225= 0 , 16 0 , 64 225.=0,4.0,8.15=4,8 b) 250 360 = 25 36 100.= 25 36 100=5.6.10=300 2.2.2 Quy tắc nhân các căn bậc hai : ( Như SGK và hình thành thêm cơng thức )

VD2:Tính:

a) 5 20= 5 20= 100 =10

b) 1 , 3 52 10 = 1 , 3 52 10 = 13 52 = 13 13 4 = ( 13 2 ) 2 =26

? 3 Tính ( Hoạt động nhĩm)

a) 3 75  3 75  225=15.

b) 20 72 4 , 9  20 72 4 , 9= 2 2 36 49  4 36 49.=2.6.7=84.

2.2.3 Chú ý :

VD3:Rút gọn các biểu thức sau:

Trường THCS Hợp Hưng Năm học 2010 - 2011

a) 3a 27a với a0

= 3a 27a  81a2  ( 9a) 2 = 9a =9a (vì a0)

b) 2 4

9a b = 2 4

.

9 a b =3 a b2

? 4 Tính ( Hoạt động nhĩm )

(Với a, b khơng âm) a) 3 12a3 a= 3a3 12a  36a4  ( 6a2 ) 2 = 6a2 =6a2 b) 2a 32ab2 = 64a2b2 = 64 a2 b2 =8ab (vì a0, b0)

3 Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương :

3.1 Định lí :

3.1.1 Định lí : Với hai số a và b không âm, ta có

b  b

3.2 Áp dụng :

3.2.1 Quy tắc khai phương một thương

(Như SGK và hình thành thêm cơng thức )

VD1:áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:

121

25 121

25



4

3 36

25 : 16

9 36

25 : 16

9





? 2 Tính : ( Làm theo nhĩm)

a)

16

15 256

225 256

225



10

14 10000

196 0196

,

3.2.2 Quy tắc chia các căn bậc hai : ( Như SGK và hình thành thêm cơng thức )

b

VD2:Tính:

a) 80  80  16  4 b) 49 : 31  49:25  49 7.

? 3 Tính ( Hoạt động nhóm)

111

999 111

999



 =3 b) 11752 1313..94 94 32

117

52







3.2.3 Chú ý :

VD3:Rút gọn các biểu thức sau:

a)

5

2 5

4 25

4 25

4a2 a2 a2 a





3

27 3

27





a

a a

a

=3 (với a>0).

? 4 Tính ( Hoạt động nhóm )

a)

5

) 9 ( 25 25

50

2a2b4 a2b4 a2b4 ab2 2





5

2

b a

.

b)

162

2ab2

=

162

2ab2 =

81 81

2

2 ab ab

9 9

2 b a ab

 .

4 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn :

?1: Chứng tỏ: a2b a b với a0, b0 [ Vấn đáp làm ngắn gọn ra bảng động]

Ta có: b0, nên b có nghĩa

b a b a b



Vậy: a2b a b với a0, b0

Ví dụ 1:

a) 3 2 2 3 2

b) 20 4 5 2 2 5 2 5







Ví dụ 2:

3 5+ 20+ 5.

=3 5+ 2 2 5+ 5=3 5+2 5+ 5=(3+2+1) 5=6 5.

?2: Rút gọn biểu thức:

a) 2+ 8  50.= 2+2 2+5 2=8 2 b)4 3+ 27  45  5=4 3+3 3-3 5+ 5=7 3-2 5

*) Tiến trình tổng quát lí thuyết :

+ Nhận xét dạng phép tính dưới dấu căn khi sử dụng phép biến đổi đưa thừa số ra ngoài dấu căn ?

+ Để đưa thừa số ra ngoài dấu căn ta làm như thế nào ?

Một cách tổng quát:

Trường THCS Hợp Hưng Năm học 2010 - 2011

Với hai biểu thức A, B mà B0, ta có A2 B A B , tức là:

Nếu A0 và B0 thì A 2 B =A B Nếu A< 0 và B0 thì A 2 B = -A B.

Ví dụ 3 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a) 4x2y với x0, y0 b) 18xy2 với x0, y<0

= 4x2y= ( 2x) 2y 2x y

x y x

y) 2 3 2

3

( 2

=2x y (vì x0, y0) =-3y 2x (vìx0, y<0)

? 3 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn a) 4 2

28a b với b0 b) 2 4

72a b với a<0

= 7 4a4b2  7 ( 2a2b) 2 = 2 ( 6ab2 ) 2

= 2a2b 7 =2a2b 7(vì b0) = 6ab2 2=-6ab2 2 (Vì a<0)

5 Đưa thừa số vào trong dấu căn

Phép đưa thừa số ra ngồi dấu căn có phép biến đổi ngược với nó là phép đưa thừa số vào trong dấu căn.

Với A0 và B0 ta có A B= A2B Với A<0 và B0 thì A 2 B =- A2B .

VD4: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a)3 7= 3 2 7 63







c)5a2 2a  ( 5a2 ) 2 2a  25a4 2a  50a5 với a0

d)-3a2 2ab   ( 3a2 ) 2 2ab (với ab0)

=- 9a4 2ab   18a5b VD5:So sánh 3 7 với 28

Cách 1: 3 7= 3 2 7 63

 Vì 63> 28 nên 3 7> 28 Cách 2: 28= 2 2 7 2 7

 Vì 3 7>2 7 nên 3 7> 28

?4: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a)3 5= 3 2 5= 45 b)1,2 5= ( 1 , 2 ) 2 5= 7 , 2 c)ab4 a với a0 d)-2ab2 5a với a0

= (ab4 ) 2 a = 3 8

b

a với a0 =- ( 2ab2 ) 2 5a =- 3 4

20a b với a

0

+ Nhận xét về biểu thức dưới dấu căn trước và sau khi đưa thừa số vào trong dấu căn ?

+ Phép biến đổi đưa thừa số vào trong dấu căn thường dùng làm gì ? ( So sánh )

6 Khử mẫu của biểu thức lấy căn :

VD1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a)

3

6 3

3 2 3 3

3 2 3

2

2 



b

a

7

5

với a.b>0.

= 75b a..77b b  5(7a b.7)b2  357b ab .

Tổng quát:

Với các biểu thức A, B mà A.B0 và B 0, ta có:

B

A

= B AB

?1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) 5

4 =

5 5

5

4 = 22

5

5 2

= 5

5

2 b)

125

3 = 3

5

3 =

5 5

5 3

3 = ( 5 2 ) 2

15

= 2

5

15 =

25

15

c) 3

2

3

a =

a a

a

2 2

2 3

3 = ( 2 2 ) 2

6

a

a

= 2

2

6

a a

*) Tiến trình củng cố : + Phép biến đổi khử mẫu của biểu thức lấy căn có tác dụng gì ? ( làm mất

mẫu của biểu thức lấy căn) + Phép biến đổi khử mẫu của biểu thức lấy căn áp dụng khi nào ?( Khi

dưới dấu căn là một phân thức )

+ Khử mẫu của biểu thức lấy căn làm như thế nào ? ( Nhân cả tử và mẫu với một

đại lượng sao cho mẫu có dạng chính phương rồi đưa ra ngoài dấu căn )

7 Trục căn thức ở mẫu :

VD2: Trục căn thức ở mẫu:

a) 253 =

3 3 2

3 5

6

5 3 2

3 5

) 1 3 )(

1 3

(

) 1 3 ( 10

1

3

10











Trường THCS Hợp Hưng Năm học 2010 - 2011

c) 56 3

 =( 56( 35)( 53) 3)







1 3

) 1 3 ( 10



 =5( 3  1 )

=

3 5

) 3 5 ( 6





=3( 5  3 ) Tổng quát:

a)Với các biểu thức A, B mà B>0, ta có: A B A B B b) Với các biểu thức A, B, C mà A0 và A B2, ta có:

2

) (

B A

B A C B A

C









c) Với các biểu thức A, B, C mà A0, B0 và A B, ta có:

B A

B A C B A

C







) ( 

?2: Trục căn thức ở mẫu:

a) 358 53..88 5.2242 5122 2b với b>0

= 2b.b b 2b b (vì b>0) b) 5 52 3 (5 52(53)(25 32) 3)









) 3 2 ( 25

) 3 2 5 ( 5





= 13

3 10

25 

a

a

 1

2 =(1 2a(a1)(1 a)a)







=

a

a a



 1

) 1 (

2 (vì a0 và a 1)

c) 7 4 5 ( 74( 57)( 75) 5)









5 7

) 5 7 ( 4



 =2( 7  5 )

b a

a

 2

6

=(2 a6a(2b)(a2 a b) b)







=

b a

b a a



 4

) 2

(

6 (vì a>b>0)

*) Tiến trình củng cố :

+ Phép biến đổi trục căn thức ở mẫu có tác dụng gì ? ( Làm mất căn thức ở mẫu)

+ Phép biến đổi trục căn thức ở mẫu áp dụng khi nào ? ( Khi dưới mẫu thức có chứa căn thức )

+ Trục căn thức ở mẫu làm như thế nào ?( Nhân cả tử và mẫu với căn thức có ở

mẫu nếu mẫu có dạng tích Nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp của mẫu nếu mẫu có dạng tổng hoặc hiệu )