Nếu tăng số thứ nhất lên 3 đơn vị và số thứ hai lên 2 đơn vị thì tích của chúng tăng lên 45 đơn vị.. Kẻ BB’ vuông góc với OA, AA’ vuông góc với OB... Nếu tăng số thứ nhất lên 3 đơn vị và
Trang 1Sở Giáo Dục & Đào Tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2 điểm)
1) Phân tích x2 – 9 thành tích
2) x = 1 có là nghiệm của phơng trình x2 – 5x + 4 = 0 không ?
Câu 2: (1 điểm)
1) Hàm số y = - 2x + 3 đồng biến hay nghịch biến ?
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = - 2x + 3 với trục Ox, Oy
Câu 3: (1,5 điểm)
Tìm tích của hai số biết tổng của chúng bằng 17 Nếu tăng số thứ nhất lên 3
đơn vị và số thứ hai lên 2 đơn vị thì tích của chúng tăng lên 45 đơn vị
Câu 4: (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức: P = 2 1
:
với a, b 0 và a ≠ b
Câu 5: (5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại B, các đờng cao AD, BE cắt nhau tại H Đờng thẳng d đi qua A và vuông góc với AB cắt tia BE tại F
1) Chứng minh rằng: AF // CH
2) Tứ giác AHCF là hình gì ?
Câu 6: (1 điểm)
Gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đờng tròn (O) với các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại D, E, F Kẻ BB’ vuông góc với OA, AA’ vuông góc với OB Chứng minh rằng: Tứ giác AA’B’B nội tiếp và bồn
điểm D, E, A’, B’ thẳng hàng
Câu 7: (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của A = (2x – x2)(y – 2y2) với 0 x 2
0 y 1
2
-
Hết -Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh…………
Giám thị số 1 (họ tên và kí):………
Giám thị số 2 (họ tên và kí):………
Đáp án
Câu 1: (2 điểm)
1) Phân tích x2 – 9 thành tích
x2 – 9 = (x + 3)(x - 3)
2) x = 1 có là nghiệm của phơng trình x2 – 5x + 4 = 0 không ?
Thay x = 1 vào phơng trình ta thấy: 1 – 5 + 4 = 0 nên x = 1 là nghiệm của
ph-ơng trình
Câu 2: (1 điểm)
1) Hàm số y = - 2x + 3 đồng biến hay nghịch biến ?
Trang 2Hàm số y = - 2x + 3 là hàm nghịch biến vì có a = -2 < 0
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = - 2x + 3 với trục Ox, Oy
Với x = 0 thì y = 3 suy ra toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = - 2x + 3 với trục Ox là: (0; 3)
Với y = 0 thì x = 3
2 suy ra toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = - 2x + 3
với trục Oylà: (3
2; 0)
Câu 3: (1,5 điểm)
Tìm tích của hai số biết tổng của chúng bằng 17 Nếu tăng số thứ nhất lên 3
đơn vị và số thứ hai lên 2 đơn vị thì tích của chúng tăng lên 45 đơn vị
Gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y
Vì tổng của hai số bằng 17 nên ta có phơng trình: x + y = 17 (1)
Khi tăng số thứ nhất lên 3 đơn vị thì số thứ nhất sẽ là x + 3 và số thứ hai lên 2
đơn vị thì số thứ hai sẽ là y + 2
Vì tích của chúng tăng lên 45 đơn vị nên ta có phơng trình:
(x + 3)(y + 2) = xy + 45
2x + 3y = 39 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình: 17
2 3 39
x y
Giải hệ phơng trình ta đợc 12
5
x y
Câu 4: (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức: P = 2 1
:
với a, b 0 và a ≠ b
2
với a, b 0 và a ≠ b
Câu 5: (5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại B, các đờng cao AD, BE cắt nhau tại H Đờng thẳng d đi qua A và vuông góc với AB cắt tia BE tại F
1) Chứng minh rằng: AF // CH
2) Tứ giác AHCF là hình gì ?
Trang 3d F
E
D
C A
B
1) Ta có H là trực tâm tam giác ABC suy ra CH AB
d AB suy ra AF AB suy ra CH // AF
2) Tam giác ABC cân tại B có BE là đờng cao nên BE đồng thời là đờng trung trực suy ra EA = EC , HA = HC, FA = FC
Tam giác AEF = tam giác CEH nên HC=AF suy ra AH = HC = AF = FC nên tứ giác AHCF là hình thoi
Câu 6: (1 điểm)
Gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đờng tròn (O) với các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại D, E, F Kẻ BB’ vuông góc với OA, AA’ vuông góc với OB Chứng minh rằng: Tứ giác AA’B’B nội tiếp và bồn
điểm D, E, A’, B’ thẳng hàng
Tứ giác AA’B’B nội tiếp vì có suy ra AB A' ' ABA' màABA' DBA ' suy ra
' ' '
Tứ giác BDB’O nội tiếp vì có BB O BDO' 90 0
Do đó D, B’, A’ thẳng hàng
Tơng tự ta cũng có E, A’, B’ thẳng hàng suy ra ĐPCM
Trang 4E
D B' A'
C B
A
O
Câu 7: (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của A = (2x – x2)(y – 2y2) với 0 x 2
0 y 1
2
Với 0 x 2 0 y 1
2 thì 2x-x
2 0 và y – 2y2 0
áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có 2x – x2 = x(2 - x)
2
x 2
1 2
x
y – 2y2 = y(1 – 2y ) =
2
.2 (1 2 )
(2x – x2)(y – 2y2) 1
8
Dấu “=” xảy ra khi x = 1, y = 1
4
Vậy GTLN của A là 1
8 x = 1, y =
1 4