Sử dụng tính chất đẳng cấp trong chứng minh Bất đẳng thức

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐẲNG CẤP TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ Trong bài viết này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc một kĩ thuật thường sử dụng để xử lí các bài toán về bất đẳ

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐẲNG CẤP TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ

Trong bài viết này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc một kĩ thuật thường sử dụng để xử lí các bài toán về bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị của một biểu thức trong đó các biểu thức và giả thiết của bài toán đều là những biểu thức, đẳng thức, bất đẳng thức đẳng cấp

Trước hết xin nhắc lại định nghĩa biểu thức đẳng cấp:

Biểu thức f x x( , , ,1 2 x n) được gọi là biểu thức đẳng cấp bậc k (k∈¥) nếu

( 1, 2, , n) k ( 1 2, , , n)

f mx mx mx =m f x x x

Nếu biểu thức f x x( , , ,1 2 x n) là biểu thức đẳng cấp bậc 0 thì với phép đặt x i = t x x i 1 1, ≠0,

2, 3, ,

i= n ta có: f x x( , , ,1 2 x n) = f (1, , , ,t t2 3 t n) là biểu thức n−1 biến, tức là ta đã làm giảm đi số biến Đặt biệt với biểu thức đẳng cấp bậc 0 hai biến thì ta có thể chuyển về biểu thức một biến Do đó để tìm cực trị của biểu thức này ta có thể sử dụng phương trình khảo sát hàm số

Sau đây là các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hai số thực x y, thay đổi và thỏa mãn x2+ y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2( 2 6 )2

x xy P

xy y

+

= + + (Đề thi ĐH Khối B – 2009 )

Lời giải

* Nếu y= ⇒0 P=1

* Nếu y≠0 thì đặt : x ty= ta có: 2 22(2 2 26 2)2 2(2 2 6 ) 2 ( )

Xét hàm số f t( ), ta có : ( )

2

2 2

'

2 3

t t

f t

=

2

t f t

→±∞ =

Lập bảng biến thiên ta được: max ( ) (3) 3, min ( ) ( 3) 3

f t = f = f t = −f = −

Vậy: maxP =3 đạt được khi

2

3

10 1

x y y

t

 =





+



Và minP = −6 đạt được khi

2

3 2

13 1

y

t



= −









Ví dụ 2 Cho x y, là hai số thực thay đổi và thỏa mãn 2

2

3 2y y 11 x

x + + = Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A 12 2y 3y2

x x

Lời giải

Đặt y t

x

= , từ giả thiết bài toán ta có: 12(3 2 2) 11 12 11 2

3 2

t t

x + + = ⇒ x = + t t+

Do t2 +2t+ > ⇒ ∈3 0 t ¡

Khi đó: 2 2

1 (1 2 3 ) 113 2 1

2 3

Xét hàm số 2

2

2 3

t t

t t

+ + ¡ có '( ) 4(22 4 1)2, '( ) 0 2 3

( 2 3)

t t

( 2 3) 2 3, ( 2 3) 2 3, lim ( ) 3

t

→±∞

Suy ra maxA=11 max ( ) 22 11 3f t = + đạt được khi

t t x

y x





 = − −



minA=11.min ( ) 22 11 3f t = − đạt được khi

t t x

y x





=



Ví dụ 3 Cho hai số thực 0, 1

4

x≥ y≥ thỏa x3 + y3 = x2 −2y2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x= +3y

Lời giải

Đặt x ty t= , ≥ 2, khi đó từ giả thiết bài toán ta suy ra :

3

2

1

t

t

−

+

y≥ ⇒t − t + ≤ ⇔ −t t − −t ≤ ⇔ + ≤ ≤t

Ta có: ( 3) ( 3)(3 2 2) 1 3 23 2 7

P y t

Xét hàm số ( ) 323 2 7, 1 13; 3

2 1

t t

t

'( )

( 1)

f t

t

=

+

Vì −3t4 +4t3+21t2 − =2 t3(3− +t) ( ) ( )t3−2 +2t2 9−t2 +3t2 > 0, ∀ ∈t D

Dẫn tới f t'( ) 0,> ∀ ∈t D Từ đó ta tìm được:

P= + f + = +

1 13 8 1 4

x y

=





 =



( ) 3

2

P= +f = đạt được khi

3 4 1 4

x y



=





 =



Ví dụ 4 Cho các số thực dương x y, thỏa xy y≤ −1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

P

2

2 0

y

= > ⇒ = +

Khi đó xy y≤ −1 trở thành x t tx2 − + ≤1 0, vì x tồn tại nên bất phương trình này phải có nghiệm x hay ∆ =t2−4t≥ ⇔ ≥0 t 4

Xét hàm số f t( ) t3 22,t 4

t

2

4

−

Suy ra

4

513 min ( ) (4)

8

t f t f

≥ = =

Vậy min 513

8

P= đạt được khi 12

2

x y



=





 =



Ví dụ 5 Chứng minh rằng với mọi số thực dương x y z, , thoả x x y z( + + ) 3= yz (*), ta luôn có:

(x y+ ) +(x z+ ) +3(x y y z z x+ )( + )( + ) 5(≤ y z+ ) (ĐH Khối A – 2009 )

Lời giải

Đặt y ax z bx= ; =

Khi đó gải thiết bài toán trở thành: x x ax bx( + + ) 3= abx2 ⇔ + + =1 a b 3ab(*) và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

(x ax+ ) +(x bx+ ) +3(x ax ax bx bx x+ )( + )( + ) 5(≤ ax bx+ )

(1 a) (1 b) 3(1 a)(1 b a b)( ) (a b)

Vì (*) và (1) là những biểu thức đối xứng đối với a b nên ta nghĩ tới cách đặt ,

;

S a b P ab  

Mỗi quan hệ giữa S và P là 2

2

1

S P

+ =

1 3 2

S P

S



⇔ 

 ≥



Khi đó :

(1+a) +(1+b) = 2+ +a b −3(1+a)(1+b)(2+ +a b) (2= +S) −4(1+S)(2+S)

Nên (1)⇔(2+S)3 −4(S2+3S+2) 4 (1+ S + S) 5≤ S3

2

2S 3S 2 0 (2S 1)(S 2) 0

⇔ − − ≥ ⇔ + − ≥ luôn đúng do S≥ 2

Vậy bài toán đã được chứng minh

Ví dụ 6 Cho các số thực x y z, ,   1;4 ;x y x z ,  Tìm giá rị nhỏ nhất của biểu thức

P

x y y z z x

   (ĐH Khối A – 2011 )

4

y ax z bx  a b    Khi đó:

1

P

x ax ax by bx x a a b b

Xét hàm số

f a a a b f a

Xét b(2 3 ) a 2 3(ab)2 9a b2 6ab4b3a2 3b2

15a b2 4b3a23b 2 3 5a b2  1 b(4 3 ) 0 b 

Nên f a là hàm đồng biến trên 1( ) 4;1 f a( )f  1411 1 44  1 b



 

P    b b  g b

Ta có:

(1 4 ) ( 1)



Từ đó suy ra: ( ) 1 34

2 33

g b g   

 

  hay P 3433 Đẳng thức xảy ra khi

1

4 4

2

x z b

  



2

x y

x y z    z 

 

   



Vậy min 34

33

P 

Ví dụ 7 Cho a b c, , > 0 thỏa (a 2 )b 1 1 4

b c

  và 3a c≥ Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn

nhất của biểu thức: P a2 2b2

ac

+

Lời giải Đặt a xb c yb x y= , = ; , >0

Từ giả thiết ta có: ( 2) 1 1 4 4 2 2( 1)

−

+

Khi đó: P x2 2 3y2 32y 3 f y( )

−

Xét hàm số f y( ) với y∈  2; 3, có :

Suy ra

2;3

11 max max ( ) (2)

6

 

 

3

a= b c= b

2;3

minP min ( )f y f(3) 1

 

 

= = = , đạt được khi a b c= , =3b

Ví dụ 8 Cho các số dương a b c, , thỏa mãn : (a b c) 1 1 1 16

a b c

+ +  + + =

  Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a2 2 b2

ab

+

=

Lời giải

Đặt b ay c ax x y= , = ; , > 0, từ giả thiết ta có: (1 x y) 1 1 1 16

x y

+ +  + + =

2

(1 )x y 13 x y 1 0

, ,

a b c tồn tại khi (*) có nghiệm x y, >0 hay là:

2

0

1 13 4( 1) 1 1 0

1 13

y

y y



 >





 + <





2

0

0

1 13

y

y

y

y y

y



 >



+ <





Khi đó P y 2

y

= + , khảo sát f y( ) y 2

y

= + với 7 3 5 7 3 5;

y∈  − + 

  ta tìm được

7 3 5 21 3 5

max

P= f − = +

7 3 5 2

2

=





−

 =



( )

minP= f 2 = 2 2, đạt được khi b 2a

c xa

 =



=

 với x là nghiệm của phương trình

( 2 1+ ) (x2− 13 2 3− )x+ 2 1 0+ =

Cuối cùng chúng tôi đưa ra một số bài tập để bạn đọc luyện tập

Bài 1 Cho x2 +y2+xy=1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A=x2 −xy+2y2

Bài 2 Cho các số thực x y, thỏa x2 + y2+ xy≤3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x2−xy y+ 2

Bài 3 Cho x y, là hai số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện x2 + y2+ xy≥1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2

1

x xy y P

y

=

Bài 4 Cho x y, ≥0 thỏa x3+ y3 = −x y Chứng minh rằng x2 + y2 <1

Bài 5 Cho các số thực a b c, , ≥0 thỏa 4abc≥2a3−(b c+ )3 Chứng minh rằng

16a + b +c ≥ a b − b c + c a

Bài 6 Cho các số thực dương a b c, , thỏa ab bc ca+ + =3b2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

P

Bài 7 Cho các số thực dương x y, thỏa x+2 xy ≥8y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Bài 8 Cho các số thực dương a b c, , thỏa (a c) 12 12 10

b

a b

  và c≥ 4b Tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a c b

b

+ −

GV: Nguyễn Tất Thu – GV trường THPT Lê Hồng Phong Biên Hòa Đồng Nai

Email: nguyentatthudn@gmail.com

ĐT: 01699257507