HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀ CHỨNG MINH CÁC YẾU TỐ HÌNH PHẲNG

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀ CHỨNG MINH CÁC YẾU TỐ HÌNH PHẲNGVí dụ 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm BC, E là hình chiếc vuông góc của D trên AC... *

MỤC LỤC

• Đề ra kỳ này

• Bài viết các chuyên đề luyện thi

1 Nguyễn Thành Hiển-"Hệ trục tọa độ và chứng minh các yếu tố hình phẳng."

2 Nguyễn Văn Phú - THPT Mỹ Đức A, Hà Nội-"Một vài mẹo nhỏ trong phương pháp liênhợp giải hệ phương trình."

3 Công Dân Lương Thiện-"Sáng tạo từ một bất đẳng thức cơ bản."

4 Nguyễn Thành Hiển-"Phương trình - Bất phương trình trong các đề thi thử 2015 (Phần 1)."

5 Ẩn Danh-"Dự đoán tính chất hình học trong bài toán Oxy."

6 Ẩn Danh-"Hệ phương trình giải bằng phương pháp đánh giá."

7 Ngô Đình Tuấn-"Thứ tự biến để giải bài toán cực trị."

• Diễn đàn dạy và học toán

1 Trần Minh Quang-"Tính đơn điệu của hàm số và một số sai lầm khi giải toán."

2 Đỗ Viết Lân-"Phép thế Ravi và bất đẳng thức Padoa."

3 Nguyễn Minh Tuấn-"Sử dụng công thức lượng giác để xây dựng một sột phương trình lượng giácdạng tích."

4 Trương Công Việt-"Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải phương trình."

5 Nguyễn Thành Hiển-"Ứng dụng dãy tỷ số trong sáng tạo và giải hệ phương trình (Phần 1)."

Câu 1 : Giải phương trìnhpx2− 4√3x + 12 +√

3x =px2− 2√3x + 4 + 4

(Ngô Minh Ngọc Bảo - K41-ĐHSP TPHCM)

Câu 2 : Giải bất phương trình

3x2+ 1

x − 3

√2x2− 3x + 1 > 7x2− 1

(Nguyễn Thế Duy)Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, phângiác trong góc [BAH cắt BH tại điểm D (1; 1) Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phươngtrình đường thẳng đi qua C và trung điểm của AD là (d) : x − 2y + 6 = 0

(Nguyễn Minh Tiến)

Câu 4 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có phương trình đường tròn ngoại tiếp(C) : (x − 1)2+ (y − 1)2 = 50 Một đường tròn (C1) tiếp xúc trong với (C) và tiếp xúc với cả AB, AClần lượt tại P, Q Tìm tọa độ 3 đỉnh tam giác ABC biết trung điểm P Q là I(2√

5 − 4; 2√

5 − 4) vàđiểm A có hoành độ dương

(Ngô Đình Tuấn - Đại học An ninh Nhân dân)Câu 5 : Cho a, b, c> 0 và a + b + c = 3 Chứng minh rằng

pa(b + c) +pb(c + a) +pc(a + b) > 3

√2abc

(Nguyễn Trung Tín)Câu 6 : Cho a, b, c là các số thực dương và a, b ∈ [1; +∞) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀ CHỨNG MINH CÁC YẾU TỐ HÌNH PHẲNG

Ví dụ 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm BC, E

là hình chiếc vuông góc của D trên AC Biết F (4; −12) là trung điểm DE, đường thẳng BE có phương trình2x − 5y − 48 = 0 và A thuộc d : x − y + 12 = 0 Tìm tọa độ A

• F là trung điểm DE nên suy ra F



a2c2(a2+ c2);

c2a2(a2+ c2)



• Cuối cùng :−BE.→−→

AF = 2a

4c2+ a2c22(a2+ b2)2 +−2a4c2− a2c2

2(a2+ b2)2 = 0suy ra BE ⊥ AF

• Đường thẳng AF qua F (4; −12) và vuông góc BE cóphương trình 5x + 2y + 4 = 0 Suy ra tọa độ A(−4; 8).www.boxtailieu.net

Ví dụ 2 :[Đề thi THPT 2015] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H

là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC, D là điểm đối xứng của B qua H, K là hình chiếu vuông góccủa C trên đường thẳng AD Giả sử H(−5; −5); K(9; −3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thăng

• H là trung điểm BD nên suy ra D

2b2c

b2+ c2;bc

2 − b3

b2+ c2



• Gọi M là trung điểm AC suy ra Mc

• Đường thẳng AD qua K(9; −3) và vuông góc với HM cóphương trình x + 3y = 0

• A là giao điểm của đường thẳng AD và đường tròn ngoạitiếp tứ giác AHKC, suy ra A(−15; 5)

Ví dụ 3 : Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB và AD lần lượt lấy E và Fsao cho EB

EA =

F A

F D Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đường thẳng BD có phương trình

x + 2y − 8 = 0, đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF là (C) : (x − 11/2)2+ (y − 5/2)2 = 25

1 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có D(8; −2) là chân đường vuông góc kẻ từ A Các điểm K

và P đối xứng với D qua các cạnh AC và AB Gọi E(6; 0) và F (19/2; −1/2) là giao điểm của KP với

AC và AB Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác

Hướng dẫn : Chứng minh tam giác NAM vuông cân tại N Đs : A(1; 1); C(7; 7)

4 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD (AB > BC) Điểm E(−2; 3) thuộc cạnh AD thỏa

DE = 2AE Trên cạnh DC lấy hai điểm F (−3; 0) và K sao cho DF = CK (F nằm giữa D và K) Đườngthẳng vuông góc với EK tại K cắt BC tại M Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D của hình chữ nhật, biết

M thuộc đường thẳng 4x + y − 10 = 0, diện tích hình chữ nhật ABCD bằng 30 và điểm D có tung độdương

Hướng dẫn : Chứng minh EF vuông góc với FM Đs : A(−1; 4); B(4; −1); C(1; −4); D(−4; 1)

5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có A(5; 5) M, N (7; 3) và P thứ tự là trungđiểm các cạnh AB, BD và AC Đường thẳng vuông góc với MP tại P cắt đường trung trực của cạnh

DC tại E(9; 5/2) Biết điểm D thuộc đường thẳng x + 2y − 6 = 0, tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hìnhthang ABCD

Hướng dẫn : Chứng minh MN vuông góc NE

Đs : D(4; 1); C(14; 1); B(10; 5)

www.boxtailieu.net

trong giải hệ phương trình

Nguyễn Văn Phú,12A3,THPT Mỹ Đức A-Hà Nội

*Nhận xét:Thông thường,với một số bài toán hệ phương trình,chúng ta sử dụng phép liên hợp để tìm mối liên hệ giữa các ẩn,thông thường sẽ xuất phát từ một phương trình nào đó của hệ.Nhưng sau khi liên hợp,phần sinh ra đôi khi chúng không luôn dương ngay trên điều kiện xác định,vì vậy chúng ta cần tìm điều kiện chặt của hệ,từ đó dễ dàng chứng minh được phần sau luôn dương hoặc luôn dương

Phần 1: Phương pháp.:Ta sẽ tìm điều kiện chặt từ phương trình còn lại của hệ bằng một số cách sau:

Lưu ý:ngoài ra d có thể là một biểu thức nào đó chứa biến x,y

2,Đưa về phương trình bậc 2 của một trong hai ẩn x,y,dùng điều kiện để phương trình bậc

ax bx c b  ac

3,Sử dụng bất đẳng thức: Thường là Cô –si

Sau đây,chúng ta sẽ đi vào những ví dụ điển hình để minh chứng cho những điều noi trên

Ví dụ 1:( (A-2012): Giải hệ phương trình sau

2 2

1, (2)2

Lời Giải: Điều kiện: , y2 0

Chú ý: Từ (2),ta dự đoán có nhân tử chung (x-y) và tiên hành liên hợp,cái hay của bài này

ở phần sau liên hợp,chúng ta cùng đi vào lời giải chi tiết cho bài toán này

21

Kết luận:Vậy hệ đã cho có nghiệm :(x, y)(1, 2)

Nhận xét: Một bài toán rất hay và khó,nó khó ở bước đánh giá (*) vô nghiệm,đòi hỏi

chúng ta có con mắt tinh tế để thông qua bất đẳng thức Cô-si,chứng minh được

3x 2xy  4 0

Qua 3 ví dụ được đề cập ở trên,chắc hẳn bạn đọc đã có cái nhìn cho loại hệ xử lí phần sau khi liên hợp,để xử lí tốt dạng này,chúng ta cần quan sát kĩ phương trình còn lại của hệ,sử dụng những lưu ý được nêu ở phần Lý thuyết,sau đây là một số bài tập để các bạn vận dụng

Giải các hệ phương trình sau:

CÔNG DÂN LƯƠNG THIỆN

Ta đã quen thuộc với bất đẳng thức 1a 1b  1 1 a ba b,  và chứng minh nó rất 0

Dấu = vẫn xảy ra khi ab 0

Và sau đây là một số ví dụ cho BĐT trên:

0

x yz  )

3 2

; ; 0; 0; 40

x y z yz

x y z x

Vậy MaxP  4 2 2 khi xy0;z 1

Ví dụ 3:Cho các số thực không âm thỏa xy 1 z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vậy MinP 8 21 khi xy1

Nãy giờ ta đã làm quen với bất đẳng thức 1a 1b  1 1 a ba b,  , bây giờ ta sẽ 0đến với 1 ví dụ khác sử dụng dạng tổng quát

www.boxtailieu.net

Vậy MaxP 576 khi x y z ; ;  0; 0; 4 hoặc x y z ; ;  0; 4; 0

Thực chất ví dụ 5 là biến tấu của ví dụ 1 Vậy các bạn hãy thử sáng tác cho mình 1 bài toán

có sử dụng BĐT này nhé Đó sẽ là cách phát triễn tự nhiên nhất!

Ví dụ 5:Cho ; ;x y z là các sô thực không âm thỏa 4x2 4 3 y 4 3 z 8 Tim giá trị lớn

P x  y z

www.boxtailieu.net

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2015

Câu 1 [THPT – Ngô Gia Tự - 2015] Giải bất phương trình x 1x2  2 3 x4x2

Câu 2 [Sở GD-ĐT Bắc Giang - 2015] Giải bất phương trình: 2 2

(4x  x 7) x210 4 x8x

www.boxtailieu.net

2 2(1)(4x  x 7) x210 4 x8x (4x2 x 7) x 2 2(4x2 x 7)2[(x2) 4]

www.boxtailieu.net

Với điều kiện: 0x15 x 2 15 2 16   nên phương trình 2 0 (*)vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm:  x  2 19

x x

1

x x

x x

Câu 7 [THPT-ischool - 2015] Giải phương trình: x  4  x  4  2 x  12  2 x2  16

Câu 6 [THPT-Hiền Đa-Phú Thọ - 2015] Giải bất phương trình sau:

2 2

Hướng dẫn :

Điều kiện xác định: x 4 Với điều kiện đĩ, phương trình đã cho tương đương

4 4

16 2

12 ) 4 ( ) 4 ( 4 4

2 2

x x

x x

x x

12

2

t

loại t

t t

848

164

44

x x x

x x

x x

x

.55

84

 Trường hợp này vô nghiệm vì

102

DỰ ĐOÁN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC TRONG BÀI TOÁN

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ OXY

ẨN DANH

Kể từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ra đề thi chung xét tuyển vào đại học – cao đẳng, bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy đã chiếm một vai trò quan trọng trong đề thi môn Toán Đặc biệt những năm trở lại đây, nó được xếp ở vị trí câu số 8 trong đề thi và ngày càng trở nên khó khăn hơn với các thí sinh để giải quyết trọn vẹn Cái khó trong bài toán này theo quan điểm cá nhân, xin đưa ra 2 nguyên nhân sau:

Một là bài toán không chỉ đơn thuần là tính toán nữa mà kết hợp các tính chất hình học thuần túy trong đó, những tính chất này phần lớn bắt nguồn từ kiến thức cũ của THCS, học sinh gần như đã quên nó từ bao giờ

Hai là ngay cả đối với những học sinh còn nhớ “kiến thức cũ” ấy thì phần lớn chỉ giải quyết được với những tính chất mình đã quen thuộc, còn khi gặp một bài toán “lạ”, gần như phải bó tay vì không thể phát hiện ra tính chất hoặc phát hiện ra tính chất nhưng không chứng minh được hoặc có khi phát hiện và chứng minh được rồi thì lại không biết vận dụng nó vào bài toán như thế nào

Để giúp giải quyết vấn đề này thì có lẽ ta phải biết “dự đoán” tính chất, điều này có vẻ nghe

vô lý nhưng thực tế cần phải như vậy, không phải dự đoán “bừa” mà phải có căn cứ Một vài hướng dự đoán thường gặp như: vuông góc, song song, trung điểm, thẳng hàng, đi qua một điểm cố định, tam giác cân, đối xứng,… Điều quan trọng nhất là chúng ta phải vẽ hình nhiều lần với các bài toán có yếu tố di động trong các trường hợp không phải là “đặc biệt” để dự đoán cho chính xác

Sau đây xin trình bày ví dụ và bài tập:

Bài toán 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD , I là giao điểm của AC

và BD , K0; 2 thuộc đoạn IA , M và N theo thứ tự là trung điểm của

AB,CD và cùng nằm trên đường thẳng d x  : 1 0 Q là giao điểm của KM và BC Tìm tọa độ các đỉnh A B C D, , , biết đường thẳng NQ đi qua điểm H4;8

Giải:

Dự đoán:Gọi P là giao điểm của IB và NQ , khi đó K và P đối xứng với nhau qua MN

(Ở đây các bạn thắc mắc tại sao lại dự đoán như vậy, có lẽ do trực giác mách bảo, vì khi gặp những bài toán “lạ” như thế này thì chỉ có cách nhìn tổng quát hình vẽ và dự đoán, sau đó kiểm nghiệm tính chất bằng cách đo đạc trực tiếp trên hình vẽ với 2 hoặc 3 hình ứng với 2 hoặc 3 vị trí khác nhau

www.boxtailieu.net

để giải quyết bài toán không Giả sử nó đúng thì ta thấy ngay sẽ tìm được P (đối xứng của K qua

MN ) và ta cũng nhận thấy rằng tam giác KIP vuông cân tại I , từ đó tìm được I Theo lẽ tự nhiên

ta cũng tìm được phương trình đường thẳng PH , cho giao với MN sẽ tìm được N , tính được IN, rồi IAIBICID 2IN rồi tìm được các đỉnh của hình vuông bằng cách cho đường tròn tâm

I bán kính IA giao với hai đường thẳng IK và IP đã biết

Việc còn lại của ta bây giờ là chứng minh dự đoán hay

đi chứng minh PB KA

PI  KI Ta thấy QB // IN nên ta

“biến đổi ngay” PB QB

PI  IN (1) Theo cách như trên ta

cũng lợi dụng định lý Ta-lét để biến đổi tỉ số KA

KI , để

làm được điều này ta lợi dụng hai đường thẳng song

song có sẵn là MI và AD , do đó phải gọi E là giao

điểm của KM và AD Khi đó: KA AE

 N1; 1  Với dữ kiện tam giác KIP

vuông cân tại I, ta tìm được hai điểmI là  1;1 và 1; 3 nhưng do  I và N nằm cùng phía so với

KP nên I 1;1 , suy ra IAIBICID 2IN 2 2 Phương trình IK : xy20  tọa

  là trung điểm của BC Tiếp tuyến của đường tròn  C tại A

cắt đường thẳng BC tại E , từ E kẻ tiếp tuyến EF tới  C ( F là tiếp điểm, F A ), FM cắt

 C tại D khác F Biết AD có phương trình xy 1 0, AD  2 và điểm A có tung độ

www.boxtailieu.net

(Đề bài cho tam giác ABC không có đặc điểm gì đặc biệt, thêm nữa nhìn vào hình vẽ cũng không cho thấy có góc gì đó đặc biệt, nhưng có vẻ như yếu tố song song là có khả năng nhất với cặp

đường thẳng AD và BC)

Chứng minh:Nhìn vào hình vẽ, ta thấy một tính chất quen thuộc là 5 điểm A E F M I, , , , cùng thuộc

đường tròn đường kính EI  gợi ý cho ta sử dụng biến đổi

góc và tính chất góc nội tiếp để chứng minh Để AD // BC thì ADFEMF, mà ta lại có:

IM  AD , biết tọa độ M , biết phương trình đường thẳng AD nên ta viết được phương trình MI

là xy20 Đề bài cho AD , lại cho biết bán kính đường tròn IAID 13 nên ta tính được

2 2

Sau đây là một số bài tập rèn luyện khả năng dự đoán của các bạn:

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A0; 2, H là hình

chiếu vuông góc của B lên đường thẳng AC , E là điểm trên tia đối của tia BH sao cho BEAC

www.boxtailieu.net

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB2AD , hai điểm M

và N lần lượt thuộc cạnh AB , AD sao cho AM AN , đường thẳng qua A và vuông góc với

H 

  Biết

A thuộc đường thẳng 2x y50 và có hoành độ nguyên, tìm tọa độ A

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC, D E F, , lần lượt là chân đường cao hạ từ đỉnh , ,A B C , đường thẳng EF có phương trình y  2 0M2; 1  là trung điểm của CF, H  3; 0 là hình chiếu vuông góc của D lên AB Biết điểm F có hoành độ âm, tìm tọa

độ A B C, ,

www.boxtailieu.net

www.boxtailieu.net

Dấu bằng xẩy ra khi t = 1 , suy ra : x = 1; y = 1

3 hoặc x = 1 ; y =

13

www.boxtailieu.net

THỨ TỰ BIẾN ĐỂ GIẢI CỰC TRỊ

NGÔ ĐÌNH TUẤN Tên của phương pháp này chỉ là bất chợt nghĩ ra nên bạn đọc cũng đừng tìm ở đâu, hay đặt câu hỏi gì về nó cả Hẳn khi làm bất đẳng thức, không ít bạn đã từng bắt gặp các bài toán giải bằng cách mà mở đầu: giảsử ≥ ≥ Thế là vào một ngày nọ, tò mò một chút về sự tương tác giữa các thành phần , , và − , − , − kế thợp cùng sự đặc biệt của các biểu thức khác, tôi bỗng nhận thấy nhiều kết quả thú vị, có nhiều bài toán tìm được lời giải rất đẹp Ý tưởng tôi muốn nêu ra trong bài viết nhỏ này là tạo đa thức đối xứng có cực trị, xuất phát từ những đánh giá bình thường, phù hợp với những người mới bắt đầu làm quen bất đẳng thức Bắt nguồn từ giả thiết: ≥ ≥ Ta xây dựng tích được tạo từ bộ( , , ) và ( − , −, − )

Xét ( − )( − ) ≤ 0 ↔ + − ≤ Rõ ràng vế trái có thể là một đa thức đối xứng, chỉ thiếu Như vậy, việc đánh giá đa thức đối xứng đó có GTLN hay không phụ thuộc vào cách ta đánh giá biểu thức + theo điều kiện đề cho.Chúng ta đến với một bài toán khá quen thuộc, đã có nhiều cách giải dài nhưng lần này được xem xét dưới góc độ tư duy trên

www.boxtailieu.net

27 ℎ = = =

13

ậ ủ = 8

27 ℎ = = =

13Qua những ví dụ mẫu được nêu trên, ta có nhận xét rằng: Cách sử dụng này đem lại nhiều lại giải rất thú vị, ngắn gọn nhưng lại thường dành cho những bài toán có hình thức đơn giản, không quá cầu kì, và có phần hơi khuôn mẫu Tuy vậy, tìm ra một cái gì đó hay từ những bài toán quen thuộc cũng rất thú vị, ví dụ ở đây, xuất phát từ những đánh giá rất bình thường, đó là cái hay của toán, bởi vì để một bài toán có thể gây hứng thú với người làm, không phải ở chỗ nó khó hay không, giải dài hay không mà tùy thuộc vào chính lời giải của nó

www.boxtailieu.net