Rèn kĩ năng giải toán chứng minh cho sinh viên ngành sư phạm toán trường CĐSP điện biên thông qua giảng dạy học phần hình học sơ cấp và thực hành giải toán

Chúng tôi cho rằng kỹ năng đầu tiên cần phải rènluyện đó là kỹ năng giải toán chứng minh.Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng giải toán chứng minh cho sinh viên ngành sư phạm toá

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hiện nay, đổi mới nội dung và phương pháp giảng dạy tạo điều kiên chosinh viên Cao đẳng Sư phạm, những giáo viên Trung học cơ sở tương lai, đápứng đòi hỏi của xã hội đang là mục tiêu lớn được ngành Giáo dục và đào tạoquan tâm Việc đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo phải khắc phục lối truyềnthụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo cho sinh viên, từng bước ápdụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện vào quá trình dạy và học

Trên tinh thần đó, để phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của sinhviên, người thầy cần tăng cường cho sinh viên vận dụng kiến thức đã học vàonhiều tình huống khác nhau thông qua hệ thống bài tập Ngược lại, khi vận dụngkiến thức vào nhiều tình huống khác nhau sinh viên sẽ nhạy bén hơn trong việcgiải bài tập, từ đó rèn luyện được kĩ năng giải toán và phát triển tư duy cho sinhviên

Việc bồi dưỡng các năng lực tư duy cho sinh viên ngành sư phạm Toánkhi dạy các học phần toán là một nhiệm vụ cơ bản của quá trình dạy học vàđồng thời cũng là yêu cầu thường xuyên, cần thiết Trong đó, việc phát triểnnăng lực giải toán cho sinh viên là một nhiệm vụ rất quan trọng đối với các họcphần toán Vì vậy người thầy không chỉ cung cấp cho sinh viên phương phápgiải, những dạng toán cụ thể mà cần phải thông qua nó, rèn luyện cho sinh viêncác năng lực phân tích, tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy luậnlôgic, năng lực tư duy linh hoạt, trí nhớ toán học,…

Như vậy, bài tập toán là một phần không thể thiếu trong giảng dạy các

học phần toán Trong đó dạng bài toán chứng minh có vị trí quan trọng hơn cả.

Còn đối với phần Hình học sơ cấp, dạng bài toán chứng minh không những làdạng toán quan trọng mà đây là dạng toán chủ yếu

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm các học phần toán hình cho sinh viênCĐSP toán chúng tôi nhận thấy kỹ năng giải hình của sinh viên còn nhiều hạnchế đặc biệt là kỹ năng giải toán hình sơ cấp Bên cạnh đó, qua những lần đưasinh viên đi thực tập, chúng tôi nhận thấy sinh viên rất “sợ” tập giảng, thi giảng

các tiết hình, đặc biệt các tiết bài tập hình.Tại sao vậy? Vì chính kĩ năng giảitoán hình của các sinh viên còn yếu Do đó, một việc cần làm ngay là bồi dưỡngcho các sinh viên kỹ năng này Chúng tôi cho rằng kỹ năng đầu tiên cần phải rènluyện đó là kỹ năng giải toán chứng minh.

Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng giải toán chứng minh cho sinh viên ngành sư phạm toán- Trường CĐSP Điện Biên thông qua giảng dạy học phần hình học sơ cấp và thực hành giải toán ".

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh hìnhcho sinh viên ngành sư phạm Toán và áp dụng chúng trong quá trình dạy họchọc phần hình học sơ cấp và thực hành giải toán ở trường CĐSP Điện Biênnhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Biện pháp rèn kỹ năng giải toán chứng minh hìnhhọc sơ cấp

- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học học phần Hình học sơ cấp vàthực hành giải toán của giảng viên và sinh viên ngành sư phạm Toán trườngCĐSP Điện Biên

4 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định được những biện pháp rèn kỹ năng giải toán chứng minh hình hiệuquả và áp dụng vào giảng dạy học phần hình học sơ cấp và thực hành giải toán ởtrường CĐSP Điện Biên thì sẽ nâng cao kỹ năng giải toán hình sơ cấp cho sinhviên ngành sư phạm toán

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận về các vấn đề rèn kỹ năng toán chứng minh hìnhhọc sơ cấp cho sinh viên

5.2 Khảo sát điều tra thực trạng biện pháp rèn kỹ năng giải toán chứng minhhình của giảng viên; thực trạng kỹ năng giải toán chứng minh hình của sinh viênngành sư phạm toán trường CĐSP Điện Biên làm cơ sở thực tiễn cho đề tài

5.3 Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng cơ bản giải giải toán chứng

minh hình và rèn kỹ năng giải một số dạng toán chứng minh hình cơ bản

5.4 Thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả áp dụng

6 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh cho sinhviên ngành sư phạm toán trong dạy học học phần Hình học sơ cấp và thực hànhgiải toán ở trường CĐSP Điện Biên

7 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí thuyết

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

8 Đóng góp của đề tài

- Hệ thống hoá các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài

- Đánh giá thực trạng về biện pháp rèn kĩ năng và kĩ năng giải toán hìnhcủa giảng viên và sinh viên ngành sư phạm Toán trường CĐSP Điện Biên

- Đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán chứng minhhình cơ bản nhằm nâng cao kỹ năng giải toán chứng minh cho sinh viên ngànhToán trong dạy học Hình học sơ cấp và thực hành giải toán

9 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của đề tài bao gồm 3chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài

Chương 2: Rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh hình cho sinh viênCĐSP toán- Trường CĐSP Điện Biên

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Khái niệm kỹ năng, kĩ năng giải toán

1.1.1.1 Khái niệm về kỹ năng

Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năngvận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụmới”

Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữliệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiệnnhững thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ

lý luận hay thực hành xác định”

Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụngnhững kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"

1.1.1.2 Khái niệm về kỹ năng giải toán

Theo G.Pôlya: “Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán,thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứngminh nhận được”

Ví dụ: Chứng minh rằng trong số các tam giác có cùng chu vi, tam giác

đều có diện tích lớn nhất

Sinh viên phải có khả năng nhận biết các mối quan hệ trong bài toán làcác tam giác có chu vi không đổi, liên quan đến diện tích khi biết tổng độ dàicác cạch không đổi, từ đó ta chọn công thức Hêrông để tính diện tích và sử dụngđịnh lí Cô si để chứng minh bài toán này

Như vậy, kỹ năng giải toán là kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học đểgiải các bài tập toán

1.1.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho sinh viên

Cùng với vai trò của tri thức cần thấy rõ tầm quan trọng của kĩ năng Rèn

kĩ năng có vai trò quan trọng đối với sự phát triển trí tuệ Kiến thức toán về mộtmặt nào đó sẽ không được củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng như

Có thể dạy cho sinh viên kỹ năng toán học bằng những con đường khácnhau như:

Con đường thứ nhất: Sau khi hướng dẫn sinh viên nắm vững vốn tri thức

cần thiết thì yêu cầu sinh viên vận dụng tri thức đó để giải các bài toán liên quantheo mức độ tăng dần

Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định

hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó

Con đường thứ ba: Dạy sinh viên các hoạt động tâm lý cần thiết đối với

- Kỹ năng vận dụng vào đời sống

Có thể nói, giải bài tập toán chính là cơ hội tốt nhất để rèn luyện kỹ năngtoán Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho sinh viên, giáo viên cần tăng cườnghoạt động giải toán Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán hình, rèn luyện kỹnăng toán cho sinh viên cần:

* Yêu cầu sinh viên phải hiểu đề, phải nắm được yêu cầu của bài toán,phải biết bài toán cho cái gì, yêu cầu của bài toán là gì Để hiểu rõ đề toán hơnnên vẽ hình cho bài toán

Ví dụ 1: Trong hình vuông ABCD, vẽ nửa đường tròn đường kính AD

và vẽ cung AC mà tâm là D Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửađường tròn đường kính AD ở K Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đếnAB

Để giải bài toán này, sinh viên phải xác định được khoảng cách từ P đến

AB Từ đó nhận dạng bài toán là dạng chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau,tiếp tục tư duy đến các cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

* Giúp sinh viên hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập,các đối tượng cùng loại

Trong ví dụ 1, khi sinh viên đã tìm hiểu kĩ đề, vẽ hình cho bài toán, nắm

rõ yêu cầu của bài toán là chứng minh PK=PI Ta đi tìm tòi lời giải bằng sơ đồphân tích đi xuống

Lời giải 1: Kẻ PI  AB

Xét APK và API: APK vuông tại K (Vì AKD = 900 góc nội tiếpchắn nữa đường tròn đường kính AD)

ADP cân tại D, AD = DP  P = DAP  

Mặt khác: P = DAP 1  (So le trong vì AD // PI)

Do đó: P = P 1 2  APK = API (Có chung cạnh huyền và một cặpgóc nhọn bằng nhau)  PK = PI

Ngoài ra, còn tạo nhu cầu hướng thú cho sinh viên, khắc phục ảnh hưởngtiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện ba mặt sau:

+ Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạch khác nhau, từ đó tìm ra các cách giảikhác

Trở lại ví dụ 1, ngoài cách chứng minh hai tam giácAPK và  API bằngnhau bằng cách chứng minh P = P 1 2 trong lời giải 1, ta còn có thể chứng minh

Lời giải 2: Gọi F là giao điểm của AP với đường tròn đường kính AD

Ta có: AFD = 900 (Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

Tam giác ADP cân tại D có DF là đường cao nên DF cũng là phân giác suy ra D = D  1  2 mà D = A  2  1 ; D = A  1  2 (Vì đều là góc có các cặp cạnh tương ứngvuông góc)

Suy ra: A = A  1  2  APK = API (Có chung cạnh huyền và một cặpgóc nhọn bằng nhau)  PK = PI

+ Có thể sử dụng kết quả hay phương pháp giải cho một bài toán kháckhông?

+ Đề xuất những bài toán mới nhờ tương tự, tổng quát hóa,…

Nhìn lại lời giải hai của ví dụ 1 ta thấy: A = A  1  2 và  

1.1.3 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh là dạng toán chủ yếu, quan trọng bậc nhất đối vớihọc phần Hình học sơ cấp và thực hành giải toán, cũng như phần hình học củachương trình toán ở THCS Các dạng toán chứng minh trong học phần “Hìnhhọc sơ cấp và thực hành giải toán”, ở trường CĐSP được học ở các ngành SPToán, nhằm mục đích củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng giải toán chứng minhcho sinh viên qua đó góp phần nâng cao kĩ năng nghề cho sinh viên

Trong học phần “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” bài toán chứngminh có mặt xuyên suốt học phần (trừ chương 6: Quỹ tích , dựng hình), và đượcphân loại ở chương 2

1.2 Cơ sở thực tiễn

1.2.1 Khái quát về khảo sát, điều tra thực trạng

1.2.1.1 Mục đích khảo sát điều tra

Qua khảo sát điều tra thực tế nhằm đánh giá thực trạng biện pháp rèn kỹnăng giải toán chứng minh hình của giảng viên; thực trạng kỹ năng giải toánchứng minh hình của sinh viên ngành sư phạm toán trường CĐSP Điện Biênlàm cơ sở thực tiễn cho đề tài Từ đó đề xuất các biện pháp rèn kỹ năng giải toánchứng minh hình học sơ cấp có hiệu quả

* Thực trạng về biện pháp rèn kỹ năng giải toán chứng minh hình của giảng viêntoán trường CĐSP Điện Biên

* Thực trạng về kỹ năng giải toán chứng minh hình của sinh viên ngành sư

phạm Toán trường CĐSP Điện Biên

1.2.1.3 Phương pháp khảo sát điều tra

- Quan sát sư phạm

- Dự giờ

- Đàm thoại, phỏng vấn

- Sử dụng phiếu điều tra

1.2.1.4 Đối tượng và địa bàn khảo sát

- Sinh viên ngành sư phạm toán- Trường CĐSP Điện Biên

- Giảng viên, giáo viên toán- Trường CĐSP Điện Biên

1.2.2 Thực trạng về biện pháp rèn kỹ năng giải toán chứng minh hình của giảng viên toán trường CĐSP Điện Biên

Chúng tôi tìm hiểu thông qua trao đổi trực tiếp với các giáo viên dạy toántại trường CĐSP Điện Biên và đặc biệt là các giáo viên đã từng giảng dạy họcphần “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” được các giáo viên cho biết vớithời lượng phân phối chương trình chỉ đủ thời gian để hướng dẫn sinh viênnhững bài toán chứng minh hình cơ bản nhất, sinh viên chưa có điều kiện tiếpxúc với những dạng toán phức tạp, đặc biệt là một số bài toán không mẫu mực

Vì với dạng toán này, việc rèn luyện kỹ năng giải cho sinh viên đòi hỏi có quỹthời gian và sự nỗ lực cao của cả giảng viên lẫn sinh viên

Thông qua trực tiếp dự giờ thăm lớp, chúng tôi nhận thấy biện pháp chủyếu mà các giáo viên sử dụng để rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh hìnhcho sinh viên là hướng dẫn sinh viên giải các bài toán đó Chưa có sự địnhhướng cụ thể để sinh viên tự học, tự nghiên cứu, đặc biệt là nguồn tài liệu cungcấp cho sinh viên tham khảo chưa phong phú, sinh viên tham khảo chủ yếutrong giáo trình “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán”

1.2.3 Thực trạng về kỹ năng giải toán chứng minh hình của sinh viên ngành

sư phạm Toán trường CĐSP Điện Biên

1.2.3.1 Sự đánh giá từ phía giảng viên giảng dạy “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” đối với sinh viên toán CĐSP về kỹ năng giải toán chứng minh hình sau khi đã học xong học phần “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán”.

Để nghiên cứu mức độ nắm vững kỹ năng giải toán chứng minh hình củasinh viên toán sau khi đã học xong học phần “Hình học sơ cấp và thực hành giảitoán”, chúng tôi đã tìm hiểu đánh giá vấn đề này từ 6 giáo viên đã từng dạy họcphần “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” ở trường CĐSP Điện Biên

Bảng 1: Đánh giá của giáo viên CĐSP về kỹ năng giải toán chứng minh hình của sinh viên.

Kỹ năng giải toán chứng minh hình Số ý kiến

tán thành %

Nắm vững kiến thức và có kỹ năng thành thạo 1 16.65Nắm vững kiến thức và có kỹ năng thành thạo, vận

dụng linh hoạt, sáng tạo trong mọi tình huống 1 16.65

Qua phiếu điều tra, kết hợp với phỏng vấn cán bộ giảng dạy “Hình học sơcấp và thực hành giải toán”, chúng tôi thu được kết quả:

Phần lớn sinh viên toán CĐSP mới chỉ dừng ở mức hiểu được kiến thức

và có kỹ năng cơ bản khi giải toán chứng minh hình mà chưa hiểu thấu đáo nội

dung kiến thức và có kỹ năng thành thạo khi giải toán chứng minh hình Chỉ cómột số rất ít sinh viên biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo trong mọi tình huống khigiải toán chứng minh hình.Điều này chứng tỏ việc dạy học học phần “Hình học

sơ cấp và thực hành giải toán” chưa rèn luyện tốt kỹ năng giải toán chứng minhhình cho sinh viên Các cán bộ giảng dạy còn cho biết, đa số các sinh viên đã

nhận thấy được tầm quan trọng của việc rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh hình đối với nghề nghiệp của họ sau này Tuy nhiên, đó chỉ là các dạng toán cơ

bản mà sau này các em phải trực tiếp giảng dạy ở các trường trung học cơ sở.Một số ít sinh viên còn cho rằng việc rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh

Nguyên nhân của tình trạng trên là do trong quá trình giảng dạy chínhgiảng viên trực tiếp giảng dạy học phần “Hình học sơ cấp và thực hành giảitoán” mới chỉ dừng lại ở việc hướng dẫn cho sinh viên những kiến thức và kỹnăng cơ bản của toán chứng minh hình mà ít định hướng cho sinh viên tự học, tựnghiên cứu về chủ đề toán chứng minh hình bởi hai lí do chính, đó là:

Khả năng tiếp cận và khai thác tài liệu tham khảo về toán chứng minh

hình của sinh viên còn nhiều hạn chế Các tài liệu về toán chứng minh hình tạithư viện của nhà trường chưa phong phú Sinh viên chưa giành nhiều thời giancho việc tự học, tự tìm hiểu các thông tin trên mạng

Nguyên nhân thứ hai là mặc dù dạng toán chứng minh là dạng toán chủ

yếu của hình học sơ cấp nhưng thời lượng giành cho chương 2 (các dạng toán

hình học) theo đề cương chi tiết là 15 tiết Với lượng thời gian này chỉ đủ đểhướng dẫn cho sinh viên những kiến thức và kỹ năng cơ bản của toán chứng

minh, không có thời gian cho phép giáo viên đi sâu vào việc hướng dẫn các bài

toán chứng minh phức tạp

1.2.3.2 Biện pháp thực hiện

Từ việc phân tích các nguyên nhân như trên, chúng tôi tiến hành điều trathăm dò ý kiến của giảng viên dạy CĐSP về những biện pháp rèn luyện kỹ nănggiải toán chứng minh trong dạy học “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán”cho sinh viên, kết quả thu được là:

Bảng 2: Các biện pháp cần thực hiện

STT

1

Các giải phápRèn luyện cho sinh viên một số kỹ năng

cơ bản khi giải toán chứng minh hình

như: tìm hiểu đề, vẽ hình, tìm tòi lời

giải, trình bày lời giải

Tánthành6/6=

100%

Khôngtán 0%

Không có

ý kiến gì

0%

2 Giúp SV nắm vững một số dạng toán

chứng minh cơ bản trong dạy học Hình

học sơ cấp và thực hành giải toán

5/6 =83,3%

chứng minh hình cơ bản trong dạy học

Hình học sơ cấp và thực hành giải toán

4 Rèn luyện cho SV có kỹ năng vận dụng

linh hoạt, sáng tạo khi giải toán chứng

minh hình trong mọi tình huống

3/6 =50%

2/6 =33,3%

1/6 =16,7%

Từ số liệu ở bảng 2 cho thấy:

Hầu hết các giảng viên đều đồng ý cả 4 giải pháp đã nêu trên Đây là những

tiêu chí quan trọng để định hướng xây dựng một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giảitoán chứng minh hình nhằm nâng cao hiệu quả của việc dạy học “Hình học sơ cấp

và thực hành giải toán” và góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán cho sinhviên toán CĐSP

Tóm lại, từ thực trạng dạy học “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” ởCĐSP cùng với việc thăm dò một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải phươngtrình trong dạy học “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” như đã trình bày ở

trên, chúng tôi cho rằng cần thiết phải đưa ra một số biện pháp cụ thể giúp sinh

viên củng cố và nâng cao kỹ năng giải toán chứng minh hình Đồng thời giúpsinh viên làm quen với các vấn đề tự học

Kết luận chương 1

Đề tài đã trình bày được ba con đường rèn kỹ năng toán học cho sinhviên, đặc biệt là hướng cho sinh viên biết cách phân tích đặc điểm bài toán, hìnhthành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại, tạonhu cầu hướng thú cho sinh viên Đây là cơ sở để tiến hành nghiên cứu và đềxuất biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình mà đề tài xây dựng Tìm hiểu tình hình dạy học về dạng toán chứng minh hình ở trường CĐSP,

từ đó đề xuất những nội dung cần trang bị thêm cho sinh viên Toán CĐSP khi họcchủ đề các dạng toán chứng minh Đây là cở sở thực tiễn cho sự cần thiết phải xâydựng một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh hình trong dạy học “Hìnhhọc sơ cấp và thực hành giải toán”

CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH HÌNHHỌC CHO SINH VIÊN NGÀNH TOÁN – TRƯỜNG CĐSP ĐIỆN BIÊN

2.1 Biện pháp rèn luyện một số kỹ năng cơ bản khi giải toán chứng minh hình học

2.1.1 Kỹ năng tìm hiểu đề bài

Để giải được bài toán trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán

đó Để hiểu rõ đề toán, đầu tiên phải đọc kĩ đề toán sao cho thấy được toàn bộbài toán càng rõ ràng, sáng sủa càng tốt Phải nắm vững các khái niệm đề cậptrong bài toán Cần phải nhớ lại các khái niệm đó được định nghĩa như thế nàohoặc một số tính chất tương đương với định nghĩa khái niệm đó

Ví dụ 1: Trong đề toán cho tứ giác ABCD là hình bình hành Ít nhất sinh

viên cũng phải hiểu được định nghĩa hình bình hành hoặc tính chất tương đươngnhư:

- Tứ giác ABCD có các cạnh đối song song

- Tứ giác ABCD có hai cạnh đối song song và bằng nhau

- Tứ giác ABCD có các cạnh đối bằng nhau

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Tiếp tục phân tích bài toán, phải trả lời được các câu hỏi: Yêu cầu (ẩn, kếtluận, cái cần tìm) của bài toán là gì? Bài toán cho cái gì (Giả thiết, cái đã biết,

dữ kiện)? Đâu là điều kiện (Mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm)? Điềukiện của đề bài có thỏa mãn không? Điều kiện đề bài có đủ xác định ẩn không?

Có thừa hay thiếu hay mâu thuẫn không?

Nếu cần thiết phải vẽ hình cho bài toán Hình vẽ hiện lên đồng thời cácyếu tố đã biết, các yếu tố chưa biết cũng như mối quan hệ giữa chúng Vì thế,sau khi vẽ đúng hình giúp ta hiểu được đề toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn.Khi vẽ hình cần lưu ý:

- Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trường hợpđặc biệt vì như thế dễ gây ngộ nhận

Ví dụ 2: Khi đề toán cho tam giác ABC không nên vẽ tam giác vuông,

cân hay đều nếu như bài toán không yêu cầu; đối với tam giác thường nên vẽ

tam giác có các góc xấp xỉ là 40 ,60 ,80 Đề toán cho các đoạn thẳng bất kì0 0 0

không nên vẽ các đoạn thẳng bằng nhau Đề toán cho các đường thẳng bất kìkhông nên vẽ các đường thẳng song song hoặc vuông góc…

- Hình vẽ phải rõ rằng, chính xác dễ nhìn thấy các quan hệ (song song, cắtnhau, vuông góc,…) và các tính chất (đường trung trực, đường phân giác, tamgác vuông, cân, đều,…) mà bài toán đã cho Với những bài toán cho góc có số

đo cụ thể nên vẽ chính xác số đo của góc để tránh dẫn tới những kết luận sailầm

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có góc A bằng 450.Các cạnh AB, AC lần lượt cắt đường tròn đường kính BC tại E, F Chứng minhrằng tứ giác EOFC cân

Trong ví dụ này ta chỉ cần vẽ góc A lớn hơn 45 thì về trực quan tứ giácEOFC ta nhận được trên hình không là tứ giác lồi Từ đó dẫn đến người giải đitìm cách kết luận đề toán sai

Thông thường, khi vẽ hình phải tuân theo trật tự của bài toán, đề cho yếu

tố nào trước thì vẽ trước Nhưng với một số bài toán nếu vẽ theo trật tự của bàitoán thì sẽ dẫn đến hình vẽ thiếu chính xác hoặc rất khó nhìn, khó tư duy

Ví dụ 4 : Cho hình thang vuông ABCD (có ), phân giác góc

A đi qua trung điểm E của BC Chứng minh rằng AB + CD = BC

Với bài toán này thông thường học sinh sẽ vẽ tuần tự theo các thứ tự nêutrong đề bài toán và vì vậy khi đó hình vẽ sẽ dẫn đến AE không là phân giác gócBAD hoặc E không là trung điểm của BC như hình bên

- Trước hết cần vẽ phác họa hình vẽ theo đúng trật tự của bài toán.

- Vẽ lại hình theo các bước sau: Vẽ góc vuông BAx, kẻ phân giác của gócBAx, trên đó lấy điểm E tuỳ ý Lấy sao cho E là trung điểm của BC Từ C kẻđường vuông góc với Ax cắt Ax tại D ta có hình thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ngoài ra, để làm nổi bật vai trò khác của các đường, các hình trong hình

vẽ có thể vẽ bằng nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt hoặc dùng màu khác…

Khi nghiên cứu đề toán, nhiều trường hợp ta phải chọn kí hiệu và đưa kíhiệu vào một cách thích hợp, đặc biệt thể hiện trên đề toán Bằng cách thể hiệncác kí hiệu trên hình vẽ ta biết đề toán cho yếu tố gì, cần chứng minh yếu tố gì,

và mối quan hệ giữa chúng Cách kí hiệu thích hợp có thể nhanh chóng giúp tahiểu được đề toán Có người đã ví, toán học là trò chơi kí hiệu, ai kí hiệu tốt thì

sẽ làm toán tốt Khi chọn các kí hiệu cần lưu ý:

- Khi kí hiệu trên hình thì hai hình bằng nhau phải có cùng kí hiệu

- Mỗi kí hiệu phải có nội dung và dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu nướcđôi, thứ tự tương quan giữa các kí hiệu phải giúp chúng ta liên tưởng đến thứ tự

và tương quan giữa các đối tượng tương ứng

Ví dụ 5 : Khi chứng minh hai tam giác bằng nhau viết các đỉnh theo thứ tự

tương ứng, chẳng hạn nếu muốn chứng minh hai tam giác ABC và DEF bằngnhau có ; AB = ED và BC = DF ta nên viết xét hai tam giác ABC vàEDF Với cách viết này ta không cần nhìn vào hình vẽ cũng xác định được cácgóc ; và CA = EF

- Không dùng một kí hiệu để chỉ các đại lượng khác nhau Các kí hiệu cùngloại để chỉ các đối tượng cùng loại Ví dụ như: Các chữ cái in hoa A, B, C,…đểchỉ các điểm, các chữ cái in thường a, b, c,… để chỉ các đường thẳng

2.1.2 Kỹ năng tìm lời giải

Tìm tòi lời giải là bước quan trọng nhất trong hoạt động giải toán Nóquyết định sự thành công hay không thành công Điều cơ bản của bước này làbiết định hướng đúng để tìm ra được nhanh chóng hướng giải bài toán Không

có một thuật toán nào để giải mọi bài toán cả Để tìm được lời giải sau khi đãhiểu kĩ đề bài, sinh viên có thể nghĩ đến các bài toán liên quan, có thể vẽ thêmhình, có thể mò mẫm dự đoán bằng cách xét trường hợp tương tự, đặc biệt, hoặc

có thể phân tích, biến đối bài toán về những bài toán đơn giản hơn,…

2.1.2.1 Nghĩ đến những bài toán liên quan

Bài toán liên quan có thể là bài toán tương tự hoặc gần giống với bài toáncần giải, hoặc bài toán tổng quát hơn bài toán đã cho, hoặc là trường hợp đặcbiệt của bài toán đã cho,… Thực tế khó mà đặt ra được một bài toán hoàn toànmới, không giống hay không liên quan một chút nào đến các bài toán đã có.Cũng có thể có rất nhiều bài toán liên quan đến bài toán đang xét, ta cần phải lựachọn bài toán hợp lí nhất Nghĩ đến bài toán liên quan để tìm cách sử dụng kếtquả hay phương pháp giải của các bài toán đó

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có AB // CD Gọi O là giao điểm của hai

đường chéo Đường thẳng qua O song song với hai đáy cắt AD và BC lần lượttại hai điểm M và N Chứng minh O là trung điểm của MN

N O

M

B A

Giả thiết của bài toán có AB//MN//CD, do đó ta nghĩ đến bài toán sau:Bài toán liên quan: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau ở O sao cho

AB song song với CD Đường thẳng qua O song song với AB cắt BC ở I Chứng

A

Theo giả thiết ta có AB //CD // OI và IB + IC = BC

Áp dụng định lí Ta-lét ta có

(*)(**)

1 1 1

AB CD OI

Áp dụng kết quả của bài toán liên quan ta có lời giải của bài toán ban đầu

Lời giải: Áp dụng bài toán liên quan ta có

Ví dụ 2: Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC Kẻ

đường cao AH, bán kính OA Chứng minh OAH = ACB - ABC

Ta thấy OAH = ACB - ABC  ACB=OAH + ABC, do đó ta nghĩ cách vẽthêm hình phụ để có góc bằng ACB là góc ngoài của tam giác mà có hai góctrong lần lượt bằng OAH và ABC Từ đó ta có cách vẽ thêm nhình phụ sau:

Kẻ OI  AC cắt AH ở M Ta có OMH = ACB(góc có các cặp cạnh tương

ứng vuông góc), AOM= ABC (cùng bằng 1

2sđAC) Như vậy ta dễ dàng chứng

Vẫn áp dụng tính chất góc ngoài tam giác nhưng ta có thể vẽ hình phụtheo cách khác Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại A cắt BC ở D Ta có

vuông góc) Từ đó ta chứng minh được bài toán

Ngoài cách đi vẽ hình phụ để áp dụng tích chất của góc ngoài tam giác, ta

có thể nghĩ đến việc vẽ hình phụ sao cho có một góc bằng tổng hai góc OAH+

ABC Kẻ đường kính AOD, kẻ DK  BC Ta có DK // AH OAH = ODK   (so

le trong), ABC = ADC   (góc nội tiếp cùng chắnAC) Như vậy ta cũng không khókhăn khi chứng minh KDCACB

Với cách tư duy như trên nhưng ta có thể vẽ hình phụ theo một cách hoàntoàn khác Tại A kẻ tiếp tuyến Ax và đường thẳng Ay // BC Ta có OAH = xAy   (1)(góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc), ABC = BAy   (2) (so le trong) Để

chứng minh được bài toán ta chỉ cần chứng minh BAxACB , điều này là rõràng.

2.1.2.3 Tìm tòi theo sơ đồ “phân tích đi lên” hoặc sơ đồ “phân tích đi xuống”

• Phân tích đi lên: Giả sử ta cần chứng minh mệnh đề A, ta nhận thấy

mệnh đề A sẽ chứng minh được nếu A1 đúng, mệnh đề A1 đúng nếu mệnh đề A2

đúng, … nghĩa là ta có sơ đồ sau: A  A 1  A 2   An1  An

Theo sơ đồ này, để chứng minh mệnh đề A đúng, ta chỉ cần chứng minhmệnh đề A đúng Nếu A n n là mệnh đề sai thì không có cơ sở để kết luận A làđúng (hay là sai)

• Phân tích đi xuống: Giả sử ta cần chứng minh mệnh đề A, ta nhận thấy

rằng A đúng thì mệnh đề A1 đúng, mệnh đề A1 đúng thì mệnh đề A2 đúng, …,nghĩa là ta có sơ đồ sau: A  A 1  A 2   An1  An

Theo sơ đồ trên ta thấy rằng nếu An là mệnh đề đúng chưa thể kết luậnđược gì về A Tuy nhiên sơ đồ đó cho ta một dự đoán là có thể chứng minh được

sơ đồ sau:An A n1  A 2  A 1  A Khi đó nếu mệnh đề An là đúng thì mệnh

đề A được chứng minh

Chú ý trong sơ đồ trên, nếu “An là mệnh đề sai” thì kết luận “A là mệnh

đề sai”

Đối với mỗi sinh viên, sau này các em là những giáo viên tương lai nênviệc áp dụng tìm tòi lời giải theo sơ đồ phân tích đi lên hoặc đi xuống là khôngthể thiếu Áp dụng phương pháp này ngoài việc tìm ra lời giải bài toán, còn rènluyện các em kĩ năng dạy chứng minh định lí, giải bài tập toán

Ví dụ 3: Cho tứ giác ADEC có góc A bằng góc C và B là trung điểm của

đoạn thẳng AC Chứng minh rằng nếu CBE BDA thì DB là phân giác của gócADE

Tìm tòi lời giải

B

D

E

Giả sử DB là tia phân giác của góc ADE, ta chứng minh được sơ đồ sau:

DB là tia phân giác của ADE  ADB BDE  ADBBDE  AD AB

2.1.2.4 Mò mẫm, dự đoán bằng cách xét một số trường hợp có thể xảy ra: trường hợp đặc biệt, trường hợp tương tự, trường hợp tổng quát…

Khi chúng ta đọc tài liệu, người ta chứng minh bài toán rất ngắn gọn màkhông phân tích quá trình tìm tòi ra lời giải bài toán Thực ra không phải tựnhiên người ta nghĩ ra ngay được bổ đề nọ, bổ đề kia, vẽ đường phụ này, đườngphụ nọ mà đó là kết quả của một quá trình mò mẫm, dự đoán, suy luận, tìmtòi Ngay những ý tưởng sáng tạo độc đáo, bất ngờ cũng thường nảy sinh từ conđường quanh co khi tìm lời giải của bài toán Để có được lời giải bài toán nhiềukhi ta phải dạy cho học sinh bằng cách mò mẫm, dự đoán kết hợp với suy luận

để tìm ra được hướng đi cho bài toán

Mò mẫm, dự đoán là bằng cách thử các trường hợp có thể xảy ra, xét trườnghợp đặc biệt, trường hợp tương tự hay xét bài toán tổng quát hơn, từ đó kếthợp với suy luận ta có thể đi đến những phán đoán (giả thuyết), những đườngphụ, những bổ đề từ đó hình thành lời giải bài toán Thực tế hiện nay nhiềuhọc sinh khi làm các bài như vậy không biết thử một cách có hệ thống, ít chú ýđến suy luận để giảm phép thử Các em thường không biết nhận xét khi thử,không suy luận khi thử, cũng không xét đến các trường hợp đặc biệt, trường hợptương tự hay tổng quát hơn Chính vì vậy phép thử nhiều mà không đem lạihiệu quả

Ví dụ 4: Cho góc xOy 900, trên tia Ox lấy điểm A cố định, trên tia Oylấy điểm B di động Đường tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc với AB tại M,

OB tại N Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Với bài toán này nếu không mò mẫm, chỉ bằng suy luận thiết nghĩ để cóđược MN đi qua điểm cố định nào quả thật là bài toán khó

Cách dự đoán nhờ mò mẫm kết hợp với suy luận:

x

y

H M M'

N' N

I' I

Ngoài ra nếu vẽ trên máy tính (sử dụng phần mềm hình học Geo Skechpat, Cabri II,…) có thể không cần lấy điểm B mà cho B chạy, tạo vết cho MN thì ta

có thể dễ dàng xác định được điểm cố định bằng trực quan Sau khi có đượcđiểm H ta tiếp tục quan sát tới đặc điểm của điểm H Bằng quan sát ta có thể

thấy được O, I, H thẳng hàng, suy ra H nằm trên tia OI (tia OI cũng là đường

phân giác của góc ) Vấn đề xác định tiếp H còn nằm trên đường nào nữa

Trở lại đề toán và điểm A cố định Vậy H còn phụ thuộc vào điểm A,nối AH và quan sát dẫn đến dự đoán AH vuông góc với OI Như vậy ta chỉ cầnchứng minh kết luận: đường MN luôn đi qua chân đường vuông góc hạ từ Axuống đường phân giác của góc .

Lời giải:

Xét trường hợp OA < OB Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB

và H là giao của OI và MN Khi đó ta có:

AI là phân giác của , OI là phân giác của , BM = BN Tam giác

giác nội tiếp Suy ra => AH ⊥ OI

x

y

H M

Suy ra MN đi qua điểm H cố định

Trường hợp OA ≥ OB, chứng minh tương tự ta cũng có AIMH là tứ giácnội tiếp vì có hai góc AIH và AMH là hai đỉnh kề nhau và bằng nhau cùng nhìn

Kinh nghiệm cho thấy để tìm ra được lời giải của bài toán hình cần chú ý:

- Xét các trường hợp khác nhau của hình vẽ, để có được phán đoán chínhxác

- Xét trường hợp đặc biệt, liên hệ đến những bài toán tương tự hoặc xét cácbài toán tổng quát hơn

- Phân tích bài toán theo hướng đi ngược, đi phân tích từ những điều chưabiết đến những điều chưa biết khác gần hơn và đến những điều đã biết

Việc mò mẫm, dự đoán sẽ cho ta có được những đoạn thẳng, góc bằngnhau, những phán đoán về các đường thẳng song song, đồng quy, điểm cố địnhcủa đường thẳng cũng như các quan hệ hình học khác Thông qua các phán đoán

(giả thuyết) đó ta sẽ đi tìm cách để chứng minh được giả thuyết (dự đoán) của

ta là đúng hay sai và từ đó hình thành được lời giải của bài toán

2.1.3 Kỹ năng trình bày lời giải

Sau khi đã tìm được cách giải rồi thì ta tiến hành trình bày lời giải Nộidung của bước này là: Trình bày chứng minh bằng suy luận diễn dịch để giải bàitoán Thực hiện bước này là công việc chủ yếu, là kết quả đánh giá hoạt độnggiải toán Nó được ví như giai đoạn thu hoạch mùa vụ của người nông dân Khi

đã tìm thấy cách giải rồi thì việc trình bày lời giải không khó khăn như trướcnữa, nhưng tính chất công việc có thể khác nhau

Khi đang tìm kiếm lời giải thì có thể tự do mò mẫm, dự đoán và khôngngại gì dùng một lập luận “tạm thời” Nhưng khi trình bày lời giải thì các lậpluận đều phải chặt chẽ Trình tự trình bày trong lời giải có thể rất khác với trình

tự tìm tòi lời giải Cần phải trình bày lời giải một cách chính xác, mạch lạc, gọngàng, sáng sủa Đặc biệt, đối với những bài toán phức tạp, khi trình bày lời giảiphải chú ý đến trình tự các chi tiết Phải trình bày sao cho tường minh sự liên hệgiữa mỗi chi tiết, cũng như sự liên hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lờigiải và trong toàn bộ lời giải

2.1.4 Kỹ năng khai thác bài toán

Sau khi giải xong bài toán, chúng ta cần nhìn lại bài toán và lời giải Đầutiên phải kiển tra lại kết quả và toàn bộ quá trình giải toán Việc kiểm tra lại lờigiải sẽ giúp ta sửa chữa được những sai sót đáng tiếc xảy ra Khi giải một bàitoán, hầu hết sinh viên chỉ dừng đến đây Nhưng đối với một số ít những sinhviên giỏi, yêu thích toán hình, các em còn đi tìm lời giải khác cho bài toán, đềxuất những bài toán mới,…Hay gọi chung là các em đi khai thác bài toán.

Việc khai thác bài toán là một phần cần thiết và bổ ích mà trên thực tế ítngười giải toán thực hiện nó Ta có thể khai thác bài toán trên nhiều phươngdiện khác nhau như: Tìm những lời giải khác cho bài toán; áp dụng phươngpháp giải của bài toán cho những bài toán khác; áp dụng kết quả của bài toán đểgiải quyết bài toán khác; đề xuất những bài toán mới nhờ tương tự, tổng quáthóa,…

Ví dụ: Cho tam giác ABC, gọi D, E là các điểm lần lượt nằm trên các

cạnh AB, AC sao cho DB=CE Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, DE,đường thẳng MN cắt AB tại P, AC tại Q Chứng minh rằng MPB MQC  

Lời giải: Gọi O là trung điểm của BE Ta có NO//BP nên MPB MNO  

(đồng vị)(1) Tương tự, có OM//AC nên MQC  NMO (so le ) (2)

O

Q P

M

N

E A

D

Xét tam giác ONM có

1 2 1 2 ( )

hay tam giác ONM cân

Suy ra NMO MNO (3)

Từ (1), (2), (3) ta được MPB MQC  

Khai thác bài toán

Nhận xét 1: Nhìn lại việc chứng minh bài toán ta thấy, nếu từ MPB MQC  

cùng với các giả thiết còn lại ta cũng suy ra được BD=CE Từ đó ta nghĩ đếnviệc thiết lập bài toán mới bằng cách giữ nguyên các giả thiết chỉ thay giả thiếtBD=CE bởi giả thiết MPB MQC   , còn kết luận MPB MQC   bởi kết luậnBD=CE

Bài toán 1: Cho tam giác ABC, gọi D, E là hai điểm lần lượt thuộc các

cạnh AB, AC Gọi M, N là trung điểm của BC, DE Đường thẳng MN cắt AB,

AC theo thứ tự P, Q Chứng minh rằng nếu MPB MQC   thì BD=CE

Nhận xét 2: Theo phần chứng minh trên ta có thể kết luận tam giác APQ

cân Mặt khác BAC là góc ngoài của tam giác APQ nên  1 

2

MPB BAC Từ đó tasuy ra phân giác trong của góc A song song với MN Ta có thêm bài toán mới

Bài toán 2: Cho tam giác ABC, gọi D, E là hai điểm lần lượt thuộc các

cạnh AB, AC sao cho BD=CE Gọi M, N là trung điểm của BC, DE Chứngminh rằng đường phân giác trong của góc BAC song song với MN

Nhận xét 3: Dựa vào hình vẽ ta có thể phát biểu bài toán theo cách khác

để được bài toán mới

Bài toán 3: Cho tứ giác lồi BDEC có BD=CE Gọi A là giao của BD với

CE Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, DE Đường thẳng MN cắt BD, CEtheo thứ tự P, Q Gọi A là giao của BD với CE Chứng minh tam giác APQ cân

Bài toán 4: Cho góc xOy Trên tia Ox lấy hai điểm B, D; trên tia Oy lấy

M, N là trung diểm của BC và CE Đường thẳng MN cắt BD tại P, cắt Oy tại

CE Chứng minh rằng tam giác OPQ cân Với điều kiện nào của góc xOy thìtam giác OPQ đều?

2.2 Rèn kỹ năng giải một số dạng toán chứng minh hình học trong dạy học Hình học sơ cấp và thực hành giải toán

2.2.1 Chứng minh các hình bằng nhau

Để chứng minh các hình bằng nhau, ta thường quy về chứng minh cácđoạn thẳng, các góc bằng nhau

2.2.1.1 Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau

* Một số gợi ý để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

- Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba

- Hai đoạn thẳng có cùng số đo

- Là hai cạnh tương ứng của tam giác

- Hai đoạn thẳng bằng nhau được suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giácđều, tam giác đều, tam giác vuông,…

- Hai đoạn thẳng bằng nhau được suy ra từ tính chất của thang cân, hình bìnhhành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông,…

- Tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang

- Tính chất của các tỉ số bằng nhau

- Tính chất của dây cung, cung bằng nhau trong đường tròn

- Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa trung tuyến của tam giác,định nghĩa phân giác của một góc

- Tính chất của các phép dời hình: Tịnh tiến, quay, đối xứng tâm, đối xứng trục

* Ví dụ minh họa

Bài toán: Trong tam giác ABC lấy điểm P sao choPAC PBC  Từ điểm P dựng

PM BC, PK CA Gọi D là trung điểm của AB, chứng minh rằng DK DM.

Tìm tòi lời giải: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta đi chứng minh haitam giác bằng nhau Mục đích ta phải vẽ thêm hình phụ để có hai tam giác lầnlượt nhân DK, DM làm cạnh và chúng bằng nhau Để ý rằng D là trung điểmcủa AB, muốn áp dụng triệt để tính chất này lấy I, J lần lượt là trung điểm của

AP, BP Kết hợp với tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông dựđoán IDK JMD.

Lời giải : Gọi I,J là trung điểm của AP, BP Dễ thấy tứ giác DIPJ là hình bình

DIK DIP PIK DIP PAC

Khai thác bài toán

Nhận xét 1: Nếu thay đổi đề bài, chẳng hạn chuyển điều kiện DK DM ở kếtluận thành giả thiết và điều kiện PAC PBC  ở giả thiết thành kết luận, các điềukiện khác giữ nguyên Ta thiết lập được bài toán mới

Bài toán 1: Trong tam giác ABC lấy điểm P sao choPAC PBC  Từ điểm Pdựng PM BC, PK CA, gọi D là trung điểm của AB Chứng minh rằng nếu

DK DM thì PAC PBC  

Nhận xét 2: Ta có thể phát biểu bài toán 1 dưới một cách khác.

Bài toán 2: Cho góc xCy, P là một điểm trong góc đó Trên tia Cx lấy điểm A,

trên tia Cy lấy điểm B sao cho PAC PBC  Gọi M, K lần lượt là chân đườngvuông góc hạ từ P xuống Cx, Cy Chứng minh rằng đường trung trực của MK điqua trung điểm của AB

* Hệ thống bài tập

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có B 90 0và B  2C Vẽ đường cao AH Trên tiađối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BH Đường thẳng EH cắt AC ở D, chứngminh rằng:

b) Lấy F đối xứng với H qua D, rõ ràng tứ giác AHCF là hình chữ nhật nênAF=HC và AFH=C  

Mặt khác theo phần a) ta có   1 

AEH=C(= B)

2 , do đó ΔBEHAEFcân tại A hay AE=AF.Vậy HC=AE

Bài tập 2: Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE.

Vẽ hình bình hành EADF, chứng minh BCF là một tam giác đều

Dễ thấy BDA=FEC (1)   , cần chứng minh DAE=FEC   Ta có

Từ (1) và (2), suy ra BDA=FEC=BAC (III)   

Từ (I), (II), (III) ta được ABCDBF  EFC BD BF FC  FBC đều

Bài tập 3: Cho một tứ giác nội tiếp một đường tròn, các cạnh của tứ giác kéo

dài cắt nhau tại PQ Chứng minh giao điểm của các đường phân giác của hai góc

P và Q với các cạnh của tứ giác tạo thành một hình thoi

Lời giải: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), CD cắt AB tại P, AB cắt

CB tại Q Đường phân giác góc Q cắt (O) tại I, J; đường phân giác góc P cắt (O)

E K

J P

Q

O

D

+) Chứng minh QJ vuông góc với PN tại G

Áp dụng tính chất của góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn ta có

+) Chứng minh tứ giác EFHK là hình thoi

Do QJ vuông góc với PN nên tam giác GIE và tam giác ÌM là các tamgiác cân tại G, I, kéo theo GI=GE=IF (1)

Do tam giác IMF cân nên IE là đường trung trực của MF nên EF=EM (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Bài tập 4: Từ điểm M ở ngoài đường trong tâm O vẽ hai tiếp tuyến MA và MB

với đường tròn đó Từ A vẽ tia song song với MB cắt đường tròn tâm O tại C

Đoạn thẳng MC cắt đường tròn tâm O tại E Hai tia AE và MB cắt nhau tại K.Chứng minh rằng MK=KB.

Bài tập 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H là trực tâm của

tam giác đã cho

a Chứng minh AH=2OM với M là trung điểm của cạnh BC

b Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC và đường tròn ngoại tiếptam giác ABC có bán kính bằng nhau

a Gọi G là trọng tâm tam giác, theo tính chất của đường thẳng Ơle ta có

G, H, O nằm trên đường thẳng Ơle Do đó ta có GHA GOM theo tỉ số 2.Hay AH=2OM

b Gọi A' là giao điểm thứ hai của AH với (O) Xét hai tam giác HBC và

A’BC có BC chung, HCB A CB  ' ( B AA '), CBH  A BC' ( C AA ')  HBC=

A’BC(g-c-g)

Rõ ràng (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác A'BC Do đó đường trònngoại tiếp tam giác HBC cũng có bán kính bằng bán kính đường tròn (O) Từ đó

ta có điều phải chứng minh

Bài tập 6: Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB Ax và By là hai tiếp

tuyến của nữa đường tròn Tiếp tuyến tại M của nữa đường tròn cắt Ax và By tại

D và C , AC cắt BD tại I, MI cắt AB tại H Chứng minh I là trung điểm củaMH

Lời giải : Vì AD // BC nên theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có AD DI

C

D

A

Theo định lí Ta-lét đảo ta suy ra MI // BC hay MH // AD // BC

Theo bài toán (1) ta có: 1 1 1 (*)

- Hai góc cùng bằng hoặc cùng phụ hoặc cùng bù với góc thứ ba

- Dựa vào định nghĩa tia phân giác, góc đối đỉnh,

- Tính chất của hai đường thẳng song song ( góc đồng vị, góc so le…)

- Hai góc nhọn hoăc tù có cạnh tương ứng song song hoặc vuông góc thì bằngnhau

- Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng

- Dựa vào tam giác đều, tam giác cân, hình thang cân, hình bình hành, hình thoi

- Sử dụng tính chất của góc liên quan đến đường tròn: Góc ở tâm, góc nội tiếp,

…

- Sử dụng hàm số lượng giác: sin, cos, tan, cot

- Sử dụng tính chất của phép biến hình: Đối xứng, vị tự, …

*) Ví dụ minh họa

Bài toán: Cho hai đường tròn tâm O và tâm O’ cắt nhau tại A và B Qua A vẽ

đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn O và O’ tại C và D Tia CB cắtđường tròn tâm O’ tại F, tai DB cắt đường tròn tâm O tại E So sánh góc BAE vàBAF

Tìm tòi lời gải: Điểm mấu chốt của bài toán là AB vuông góc với CD nên suy

ra được BC, BD lần lượt là hai đường kính của hai đường tròn Từ EBC FBD

là hai góc đối đỉnh kết hớp với tính chất của góc nội tiếp ta giải quyết được bàitoán

E

F

D C

Từ (1), (2), (3) ta được BAE BAF

Khai thác bài toán

Nhận xét 1: Ta để ý rằng OO' song song với CD nên OO' vuông góc với AB.

Gọi OO' cắt AE tại I, AF tại J Khi đó tam giác AIJ cân tại A, Từ đó ta có bàitoán

Bài toán 1: Cho hai đường tròn tâm O và tâm O’ cắt nhau tại A và B Qua A vẽ

đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn O và O’ tại C và D Tia CB cắtđường tròn tâm O’ tại F, tại DB cắt đường tròn tâm O tại E Gọi OO' cắt AE tại

I, AF tại J Chứng minh tam giác AIJ cân tại A

Nhận xét 2: Thấy rằng EBC FBD g g( ) BE BF BEF BCD c g c( )

Nên ta có BFE BDA   BFE BFA   hay FB là tia phân giác của góc AFE, tương

tự EB cũng là tia phân giác của góc FEA Nói cách khác B chính là tâm đườngtròn nội tiếp tam giác AEF Từ đó ta có bài toán mới

Bài toán 2: Cho hai đường tròn tâm O và tâm O’ cắt nhau tại A và B Qua A vẽ

đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn O và O’ tại C và D Tia CB cắtđường tròn tâm O’ tại F, tại DB cắt đường tròn tâm O tại E Chứng minh rằng B

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF

* Hệ thống bài tập

Bài tập 1: Cho tứ giác ADEC có góc A bằng góc C và B là trung điểm của đoạn

AC Chứng minh rằng nếu CBE BDA   thì DB là đường phân giác của góc ADE.Lời giải

Bài tập 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O Điểm D di động

trên cung nhỏ AC Gọi E là giao điểm của AC và BD Gọi F là giao điểm của

AD và BC Chứng minh rằng:

a AFB ABD

b Tích AE.BF không đổi

Lời giải

a Xét hai tam giác ABD và AFB có BAD chung, ADB FBA   60 0 nên

Bài tập 3: Cho tam giác ABC và điểm M nằm trên cạnh BC của tam giác đó.

Trung trực của đoạn thẳng BM và MC lần lượt cắt các tia BA và CA ở P và Q a) Chứng minh PMQ BAC  

b) Qua A dựng đường thẳng song song với BC cắt MP, MQ lần lượt ở B' và C'.Chứng minh tam giác MB'C bằng tam giác ABC

c) Chứng minh điểm N đối xứng với M qua đường thẳng PQ nằm trên đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài tập 4: Cho hình bình hành ABCD, từ B vẽ đường thẳng cắt CD tại M, qua D

vẽ một đường thẳng khác cắt BC tại N sao cho BM=DN Gọi I là giao điểm của

BM và DN Chứng minh rằng IA là phân giác của góc BID