Hãy tìm vận tốc ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h Câu 4: 3,5 điểm Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC M không trùng với
Trang 1TRƯỜNG THCS phước hòa lê văn bính
ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2007 – 2008
Câu 1: (2 điểm) a/ Rút gọn biểu thức A = 5 5
1 5
+ + b/ Chứng minh đẳng thức: a b 2b 1
a b
a- b- a+ b - - = với a ³ 0; a ³ 0 và a ¹ b
Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0
Câu 3: (2 điểm) Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng 120km và ngược dòng 120km, thời gian cả đi và về
hết 11 giờ Hãy tìm vận tốc ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h
Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M không trùng
với B và C) Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẽ tử M đến AB và AC, O là trung điểm của
AM Chứng minh rằng:
a/ Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn
b/ Tứ giác OPHQ là hình gì?
c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất
Câu 5: (1 điểm) Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng:
2a 3b 2b 3a 4
a b 2a 3b 2b 3a
+
Trang 2TRƯỜNG THCS phước hòa lê văn bính
Giải đề : NĂM 2007 – 2008
b/ Với a ³ 0; a ³ 0 và a ¹ b, ta có: a b 2b
a b
a- b - a+ b - - = a( a b) b( a b) 2b a ab ab b 2b a b 1
-Câu 2: Ta có: D = (-3)2 – 4.1.(-108) = 9 + 432 = 441 => D = 21
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 3 21
2
= -12; x2 = 3 21
2
- +
= 9
Câu 3: Gọi x (km/h) là vận tốc ca nô khi nước yên lặng (x > 2)
Thời gian ca nô lúc xuôi dòng là : 120
2
x+ (giờ)
Thời gian của ca nô lúc ngước dòng là : 120
2
x− ( giờ)
Ta có pt: 120 120 11
x 2 x 2+ + - = <=> 120(x – 2) + 120(x + 2) = 11(x – 2)(x + 2)
<=> 11x2 – 240x – 44 = 0; D = 1202 + 11.44 = 14400 + 484 = 14884; => D = 122
x1 = -2/11 (loại); x2 = 22
Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 22km/h
Câu 4: a/ Chứng minh A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn
Ta có: ·APM AHM AMQ=· =· = 900
=> Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn đường kính AM
b/ Tứ giác OPHQ là hình gì?
O là trong điểm AM nên O là tâm đường tròn đường kính AM
=> OP = OH = OQ và ·POH HOQ=· = 600
D OPH và D OHQ là các tam giác đều bằng nhau
=> OP = PH = HQ = OQ => Tứ giác OPHQ là hình thoi
c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất
Ta có: PQ = OQ 3 = OM 3 = AM 3
2
PQ nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất <=> AM vuông góc BC
<=> M trùng H
Vậy M trùng H thì PQ có độ dài nhỏ nhất
Câu 5: đặt a t
b = Do a>o, b>o nên t>o
Khi đó BĐT đã cho trở thành
2 3 2 3 4
( 1)(12 13 13 12) 4(6 13 6)
2 3 2 3 1
12( 1) 13 ( 12 1) 0
12( 1) ( 1) 13 ( 1) 0
( 1) 12 1 13 0(*)
12 1 13 12 12 ( 1)
Do đó (*) đúng với mọi t>0 vậy BĐT đã cho đúng với mọi a, b dương
Dấu BĐT xảy ra khi và chỉ khi t=1 ⇔a=b
A
H M P
O
Q