Đề thi học kì kết thúc môn Đại Số A2 Khoa Toán Tin học Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP HCM Đề thi là đề tổng hợp gồm 3 năm học Năm học 20092010 Năm học 20102011 Năm học 20112012 Đề thi mẫu không có lời giải.
Trang 1ĐỀ THI ĐẠI SÔ A2 (2009-10)
Thời gian: 120 phút
Bài 1 Cho ma trận:
A= ( 1 0 0 1 1 1 1 1
1 1 1 0
−1 −1 0 1 )
a) Chứng minh rằng 1 là trị riêng duy nhất của A
b) Tìm dạng chính tắc Jordan A’ của A và ma trận khả nghịch P sao cho A '=P−1AP
Bài 2 Trong không gian Euclide R4 với tích vô hướng chính tắc cho các vector
u1=(1,1,1,1) ; u2=(1,2,2 ,−1) ; u3= (1,0,0,3) và x=( 4 ,−1 ,−3,4)
a) Xây dựng một cơ sở trực chuẩn cho không gian W của R4 sinh ra bởi các vector u1,u2, u3 b) Tìm hình chiếu trực giao của x lên W
Bài 3 Trên không gian R3 cho dạng toàn phương:
Q ( x1, x2, x3) = x12
+ 2 x1x2+ 4 x2x3
a) Viết ma trận của Q trong cơ sở chính tắc và tính hạng của Q
b) Tìm dạng song tuyến tính cực của Q
c) Tìm tập hợp W của vector Q – trực giao với vector e1=(1, 0, 0) trong không gian R3 Chứng minh rằng W là một không gian con của R3và tính số chiều của W
Trang 2ĐỀ THI ĐẠI SÔ A2 (2010-11)
Thời gian: 90 phút
Bài 1 Cho ma trận thực
A= ( 3 0 −2 2 2 0
−1 3 0 )
a) Chứng minh A không chéo hóa được
b) Tìm dạng chính tắc Jordan J của A và chỉ ra một ma trận khả nghịch sao cho P−1A P=J
Bài 2 Trong không gian Euclide R4 với tích vô hướng thông thường, cho W là không gian nghiệm của phương trình tuyến tính:
{ −2 x − y+ z+t=0 x + y −2 z−t=0
a) Tìm số chiều và một cơ sở của W
b) Tìm số chiều và một cơ sở trực chuẩn của W⊥
Câu 3 Cho B=(u1,u2, u3) là cơ sở của R3, trong đó
u1=(1, 1, 1); u2=(−2,−1, 0) ; u3=(1,2, 2)
Và Q là dạng toàn phương trong R3 thỏa [ Q ]β= ( 5 2 2 1 −1 −1
−1 −1 m )
a) Tìm biểu thức của Q trong cơ sở chính tắc B0
b) Tìm m sao cho Q xác định dương.
c) Với m=1, đưa Q về dạng chính tắc và xác định phép biến đổi toạn độ tương ứng
Trang 3ĐỀ GIỮA KỲ ĐẠI SỐ A2 – (2011-12)
Thời gian: 60 phút
Câu 1 Cho ma trận A= ( m 2m−3 2m−3 0 4−m 4−2m
0 m−2 2m−2 )
a) Tìm m để A không chéo hóa được
b) Chéo hóa ma trận A với m=1
Câu 2 Cho ma trận A= ( 3 −1 0 1 1 0 0 0
3 0 5 −3
4 −1 3 −1) Tìm dạng Jordan của A và chỉ ra ma trận P khả nghịch sao cho P−1AP có dạng Jordan