"Sử dụng phép suy luận Toán học để dạy họcsinh chứng minh bất đẳng thức" I- Lý do chọn đề tài: 1- Chúng ta đang cố gắng ngày một hoàn thiện phơng pháp dạy học có hiệu quả cao.. 3- Một lý
Trang 1"Sử dụng phép suy luận Toán học để dạy học
sinh chứng minh bất đẳng thức"
I- Lý do chọn đề tài:
1- Chúng ta đang cố gắng ngày một hoàn thiện phơng pháp dạy học có hiệu quả cao Đó là phơng pháp phát huy tích cực của học sinh, dạy học lấy học sinh làm trung tâm Chính vì thế ngay từng bài tập nhỏ ngời thầy giáo cần biết giúp cho học sinh biết khai thác từng khía cạnh nhỏ, phát triễn thành nhiều bài toán khác nhau mang ý nghĩa tích cực
2- Việc suy nghĩ lao động nghiêm túc để thiết kế cho một tiết lên lớp sẽ không cho phép thầy nói, hỏi tuỳ tiện Do vậy buộc học sinh phải suy nghĩ, phải làm việc, phải hoạt động một cách tích cực và tự giác mang tính chất sáng tạo - không thể sử dụng quá mức loại câu hỏi mà toàn thể học sinh chỉ
việc trả lời đồng thanh: có, không, đúng, sai Mà cần phải có hệ thống câu
hỏi có tính chất khai thác và phát triễn một cách logíc từ đó có quyết định phải đi theo hớng nào? phơng pháp nào? bắt đầu từ đâu và giải quyết nh thế nào?
3- Một lý do cần biết là đại đa số học sinh cha quen kết hợp các công
cụ toán học để giải toán, học đai số chỉ biết đại số, học hình học hay lợng giác thì chỉ biết hình học hay lợng giác cũng nh bất đẳng thức là bất đẳng thức chứ không phối hợp và phát triển đợc với tính cách có hệ thống - không
có thói quen kết hợp và nhìn nhận dới nhiều góc độ dẫn tới nhiều hạn chế về phơng pháp, lúng túng trớc nhiều bài toán mà đáng ra cách giải của nó không phải là khó
Vì vậy! để học sinh đợc suy nghĩ, đợc làm việc phải chăng là mục đích cao nhất của quá trình dạy học; mà đặc biệt là học sinh biết tìm tòi đầy đủ các khía cạnh của bài toán; phát triển bài toán một cách có trình tự, có khoa học thích nghi với xu thế phát triển
Chính vì thế tôi chọn đề tài " Sử dụng phép suy luận Toán học
để dạy học sinh chứng minh bất đẳng thức "
II- Nội dung:
1) Xuất phát từ những bài tập của sách giáo khoa hớng dần học sinh tập phân tích theo hớng:
- Chứng minh cái gì?
- Xuất phát từ đâu?
- Chứng minh nh thế nào?
- Sau đó khai thác bài toán theo hớng nếu trong bài toán thay đổi các dữ kiện hay các từ thì nội dung bài toán có thay đổi không? Hãy nêu lên bài toán mới
- Ngoài phơng pháp này ta có thể đa ra phơng pháp khác của bài toán, giáo viên có thể hớng dẫn phơng pháp t duy cho học sinh
- Phải đòi hỏi học sinh tự mình phân tích nội dung bài toán để xây dựng đợc cái đã cho cái phải tìm, từ đó tìm ra đờng lối giải bài toán Từ đó có thể đa ra hớng phát triển bài toán hay mở rộng bài toán
Từ một bài toán đơn giản nếu biết phân tích, tổng hợp cũng có thể cho một bài toán mới đầy thú vị
Sau đây là một số bài toán có đợc bằng cách khai thách bất đẳng thức thông dụng sau:
1/ a2+b2 ≥ 2ab; ∀a,b ∈R (1)
b
a+
Trang 22/ a+b ≥ ab
c b
* Từ (1) sẽ có hai bất đẳng thức tơng tự:
b2+c2 ≥ 2bc; c2+a2 ≥ 2ca
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:
Bài toán 1: Với ∀a,b,c ∈R Chứng minh rằng: a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca
Từ (2) ta cũng có bất đẳng thức tơng tự:
;
2 bc
c
b+ ≥ c+a≥2 ca;
Nhân ba đẳng thức trên vế theo vế ta có:
Bài toán 2: Cho a, b, c ≥ 0.Chứng minh rằng:
(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc
* Từ bài toán 1, nếu ta thay a bởi 1/a; thay b bởi 1/b, c bởi 1/c (a.b.c≠0) ta có:
Bài toán3: Chứng minh rằng:
∀a,b,c≠0
* Mặt khác từ (1) suy ra: 2a2 +2b 2 ≥ a 2 +2ab+b 2 = (a+b) 2
⇔ a 2 +b 2 ≥
2
) (a+b 2 ⇔ a2 +b2 ≥ (a+b)
2
2
; (a,b ≥ 0) Tơng tự:
Cũng từ đó ta lại có:
abc
c b a c b a
+ +
≥ + + 2 2
2
1 1 1
) ( 2
2 );
( 2
2
ca a
c bc c
b+c≥ 2 bc;c+a≥ 2 ca
b+ ≥ 2 ; + ≥ 2
Trang 3Bài toán 4: Cho a,b,c ≥0 Chứng minh rằng:
Lại có: 1+a2 ≥ 2a, ∀a∈R ⇔
2
1
1 2 ≤
+a
2
1
1 2 ≤ +b
b ;
2
1
1 2 ≤ +c c
Dẫn đến:
Bài toán 5: Với ∀a,b,c∈R, ta có:
2
3 1
1
+
+ +
+
c b
b a
a
Lại viết lại công thức (2) dới dạng: (a+b)2 ≥ 4ab ⇒
Tơng tự:
4
c
b
c
b
bc ≤ +
c b c b
bc ≤ +
Nên có:
2
c b a a c
ca c
b
bc
b
a
+
+ +
+
Lại thử "Xâm nhập" vào biểu thức a3+b3 xem sao?
Ta có: a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)
Suy ra: a3+b3+abc ≥ ab(a+b+c)
Hay
Tơng tự:
) (
1 1
3
1 1
3
Từ đó ta có:
abc abc a
c abc c b abc b
a
1 1
1 1
3 3 3
3 3
+ +
+ + +
+ + +
Bằng cách biến đổi hợp lý, ta thu đợc:
Bài toán 6: Cho a,b,c>0 ta có:
a/
2
c b a a c
ca c b
bc b
a
+
+ +
+
+
b/
abc abc a
c abc c
b abc
b
a
1 1
1 1
3 3 3
3 3
+ +
+ + +
+ +
+
ở Công thức (3) ta có:a+b+c ≥ 3 3 abc
Tơng tự ta có đẳng thức cho ba số dơng:
3
3 abc
1 1 1
) (
2
2 2 2 2 2
2
1
1 2 ≤ +a a
4
b a b a
ab ≤ + +
; 4
; 4
a c a c
ca c b c b
+
+
≤ +
; 2
c b a a c
ca c b
bc c a
+
+ +
+ +
) (
1 1
3
Trang 43 1 3
1
1
1
abc c
b
a + + ≥ Nên có: ( + + )(1+1`+1) ≥ 9
c b a c b a
Nếu thay a bởi a+b, thay b bởi b+c, thay c bởi c+a ta có:
2
9 ) 1 1
1
)(
+
+ +
+ +
+
+
a c c b b a
c
b
a
2
3 ) ≥ +
+ +
+
+
⇔
b a
c a c
b
c
b
a
Từ đó ta đợc:
Bài toán 7: Với ∀a,b,c>0 ta có:
a/ ( + + )(1+1+1) ≥ 9
c b a c
b
a
b/
2
3 ) ≥ +
+ +
+
c a c
b
c
b
a
Lại nhân hai vế của bất đẳng thức 7b) với a+b+c>0 ta có:
) (
2
3 ) (
2 2
2
c b a c
b a b a
c a
c
b
c
b
+
+
+
+
+
Và đợc:
Bài toán 8: Cho ∀a,b,c>0 ta có:
) (
2
1
2 2
2
c b a b a
c a
c
b
c
b
a
+ +
≥ +
+
+
+
+
Nếu cho a+b+c = 1 "ngụy trang" bởi:b+c = a-1; c+a = b-1; a+b = c-1 ta có bài toán sau:
Bài toán 9: Cho ba số dơng a,b,c sao cho:a+b+c=1
Chứng minh rằng:
2
1 1
1
1
2 2
2
≥
−
+
−
+
c b
b
a
a
Nh vậy chỉ cần thay đổi một chút dữ liệu, ta có thể có kết quả đẹp Trong sách
đại số lớp 10, phần bài tập ta có bài toán:
3(a2+b2+c2) ≥ (a+b+c)2; ∀a,b,c∈R ta suy ra đợc:
0 ) (
2
) (
2
3
2 2 2
2
>
+ +
+ +
≥
c b a
c b
a ; Với a2+b2+c2≠0 Vì vậy bài toán 7b) ta có:
Bài toán 10: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:
) (
2
) (
2 2 2
2
c b a
c b a b
a
c a
c
b
c
b
a
+ +
+ +
≥ +
+
+
+
+
Việc khai thác một bài toán đơn giản bằng các phép biến đổi thích hợp trong quá trình giảng dạy là một "chất men" kích thích hứng thú học tập, sự tìm tòi và sáng tạo của học sinh Đồng thời giúp học sinh biét suy luận tìm ra lời giải khoa học và hợp lý, thể hiện đợc sự thông minh và sáng tạo
Cho học sinh phát hiện nguồn gốc các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho ba số không âm x,y,z thoả mản:x+y+z=1.
Tìm giá trị lớn nhất của: A=xy+yz+zx
Bài toán 2: Cho ba só x,y,z thoả mản: (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=1
Tìm giá trị lớn nhất của : B= x+ 2y+ 3z− 8
Trang 5Bài toán 3: Cho hai số thoả mãn:
{00≤≤ x y≤≤34
Tìm giá trị lớn nhất của: C = (3-x)(4-y)(2x+3y)
III- Tính thực tiễn của đề tài:
- Đề tài giúp cho học sinh phát huy đợc trí lực học sinh một cách tích cực và tự giác
- Thực hiện đợc quá trình tìm cái mới trong một bài toán và nhận biết
đợc sự xuất hiện của bài toán này phải chăng là một sự xuất phát từ bài toán quen thuộc đợc mở rộng ra hay khái quát lên
- Học sinh bớc đầu làm quen đợc phơng pháp luận khoa học - Tự nghiên cứu khoa học một cách tinh tế và hợp lí cũng nh có hiệu quả
- Trên cơ sở một số suy luận toán học có lí mà học sinh biết tổng hợp
và phân tích vấn đề đã khái quát hoá hay cụ thể hoá vấn đề
- Biết kết hợp phơng pháp luận để giải toán và nghiên cứu toán học
Đề tài không chỉ dừng lại ở các bài tập về bất đẳng thức mà có thể phát triển trong nhiều phân môn khác và đợc áp dụng cho nhiều đối tợng đặc biệt
là đối tợng học sinh khá thích tìm tòi và sáng tạo
Trong quá trình làm đề tài không thể tránh khỏi sơ suất và thiếu sót mong các cấp có thẩm quyền cũng nh các bạn đọc góp ý để bổ sung cho đề tài đợc tốt hơn có hiệu quả cao hơn
Đồng Hới, ngày 05 tháng 3 năm 2012
Ngời viết đề tài
Tạ Quốc Khánh
ý Kiến tổ chuyên môn
ý kiến của hội đồng khoa học của trờng tHPT Chuyên
quảng bình
………