Tuyển tập hệ phương trình có giải chi tiết

Hàm số này luôn đồng biến... Giải hệ phương trình Hệ này vô nghiệm... Do đó phương trình * vô nghiệm... Giải hệ phương trình:... iải hệ phương trình sau:... Thế vào 2 giải được nghiệm củ

   thỏa mãn điều kiện (*)

Khi x0 ta được      t 2 t 4 t 2 Từ đó kết hợp với x0 ta được

  thỏa mãn điều kiện (*) Vậy hệ có 2 cặp nghiệm…

Bài 3 Giải hệ phương trình  

x 4y x 5 1 4y x 2 2y

x, y4y x 4 x 2 x 1

Xét hàm số ug t  t2 2 t 1 với t 1;  Hàm số này luôn đồng biến

2 2

3 2

Từ phương trình (2) ta có 2xy x 2y2xy 1 x2y0

2xy 1 x 2y  2xy 1 0 2xy 1 x 2y 1  0

 





Mâu thuận điều kiện Loại

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất    x;y  2;1

x xy 2y y xy 2x 2 x y8y 6 x 1 2 y 2 y 4 x 2 3

Thay x y vào (2) ta được: 8x6 x 1 2 x2x4 x 2 3

(Trích Trường THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội lần 1 – 2015)

Điều kiện:

2 2

0 y 22y y 0

Với v 1 ta có x  0 y 1 Vậy hệ có nghiệm    x; y  0;1

Bài 11 Giải hệ phương trình

x 6x 13x y y 102x y 5 3 x y x 3x 10y 6

Bài 12 Giải hệ phương trình

Hệ này vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:     x; y 1;2 , 2;5 

Bài 13 Giải hệ phương trình x33 y3 3y2 x 4y 2 0 x, y 

Do đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất    x; y  2;3

t    và có nghiệm, hệ có nghiệm Lời giải tiếp như sau: Xét hàm số   12  

Do đó f x đồng biến trên   , nên  3 f x   f 2    x 2 y 3

Vậy hệ đã cho có nghiệm    x; y  2;3

2

13xy 1 9y 1

Nhận xét: nếu x0 thì không thỏa mãn hệ phương trình

 

g x

 là hàm đồng biến trên khoảng 0;

Ta có g 1 0 Vậy pt g x 0 có nghiệm duy nhất x 1

Bài 19 Giải hệ phương trình:

Giải ra ta được nghiệm  x; y là: 1 

Vậy hệ có 6 nghiệm  x; y theo (*) và (**)

Bài 20 iải hệ phương trình sau:

Với 2 x  2y0 mà y 0  y 0 và x 2 Th lại ta có x 2, y 0  là nghiệm

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là   30 2 17

x 3 xy x y y 5y 44y x 2 y 1 x 1

y 1 14y 2y 3 2y 1

 

Với y 2 thì x 5 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ là  5; 2

Bài 24 iải hệ phương trình:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1; 3 

Bài 25 iải hệ phương trình:  

1 5

x 2y x 2y

y2

Xét hàm số f t 2t3t, ta có f ' t 6t2    1 0, t f t  đồng biến trên

x 1 2

x 1 24x 5 1 2x

 Vậy hệ có hai nghiệm

Bài 27 iải hệ phương trình

Thế (3) vào (2) ta được phương trình 3 6 y 3 5y 9 2y 5  4 , điều kiện 9 y 6

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm        x; y  1;2 , x; y  4;5

Bài 28 iải hệ phương trình:

Vậy hpt đã cho có tập nghiệm T    4;4 , 6;6 

Bài 30 iải hệ phương trình

3y 2 x 8 2 x 10y 3xy 125y 2 x 8 6y xy 2 x

Vậy hệ phương trình có một nghiệm là   6

Vậy hệ phương trình có nghiệm   x; y  5;16

Dấu đẳng thức xảy ra khi xy  3

Thế (3) vào (2) ta được: 3x 1 2 19x3  8 2x2 x 5  4 , điều kiện x 1

3

 

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm    x; y  0;0 và    x; y  1;1

Bài 33 iải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là   x; y  1; 2 

Bài 34 iải hệ phương trình

3 2 2

32y

Suy ra (*) vô nghiệm

Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x; y 3; 11

Bài 38 iải hệ phương trình:

Bài 39 iải hệ phương trình:

Bài 41 iải hệ phương trình:  

2 2

y 2

x, yx

Vậy phương trình đ u của hệ tương đương với x y

Thay yx vào phương trình (2) ta được: 2 x x 1   2 x x2  *

Do 2 x  x 1 0 nên ta phải có 2  

x     x 2 0 x 1 do x 1Khi đó phương trình (*) tương đương với:

Bài 43 Giải hệ phương trình

21

Nếu x3 y, thay vào (1) ta được x 2  y 64

Nếu 3x y, thay vào (1) ta được x33x 4x2  3

Nếu v2u thì 1 x 2 1 x x 3 y 9

Nếu v 2 u thì 1 x  2 1 x pt vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là     3 9

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm  1;1 và  1; 1

Bài 47 Giải hệ phương trình  

Do hàm số f(x) liên t c trên đoạn 1;1 và f  1 0, f 1  4

Suy ra min f x  4, max f x 0

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất    x; y  1;0

Bài 48 Giải hệ phương trình

     

2 2

2 2

Vậy hệ đã cho có nghiệm là  x; y 23 8 7;11 4 7  

Bài 52 Giải hệ phương trình

Vậy hệ đã cho có nghiệm      x; y  1;0 , 5;4

Bài 53 Giải hệ phương trình

 Kết hợp điều kiện P0 ta được P 1, S 2

Giải hệ P 1, S 2 ta thu được a b 1

Suy ra hệ đã cho có nghiệm suy nhất  2;1

2 2

Vì y 0 8y 9  9 8y 9  3 Phương trình (3) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y    1 5;5

Bài 56 Giải hệ phương trình  2 22  2 2

x 5y 2 xy 6 x 5y 365y x 6x 2xy 6y

Nên từ f x 1   f y 3   x 1 y 3   x 2 y 3 1   *

2 9 x2 y 8y9 x  3 1 y 8y9 x 3 y 8y9Với điều kiện y0, bình phương 2 vế của phương trình trên và biến đổi thành:

y 16y 72y 63y 162  0 y 1 y 17y 99y 162 0

Suy ra y 1 và x3 Vậy hệ có nghiệm duy nhất    x; y  1;3

Bài 58 Giải hệ phương trình

2

2y 3y 1 y 1 x x xy2x y 3x 2y 4 3x 14x 8 0

Bài 59 Giải hệ phương trình

x, y9

Từ (3) và (4) suy ra VT(a) > VP(a) Do đó hệ vô nghiệm

Tương tự nếu 0 x y  hệ cũng vô nghiệm

Vì vậy (1) cho ta x y Thế vào (2) giải được nghiệm của hệ phương trình ban

Vậy nghiệm của hệ phương trình là   2;1 ,  2;1

Bài 62 Giải hệ phương trình

 

4 4

Thế (2) vào pt thứ hai của hệ ta được: y y 72y4 y 40  3

L luận pt (3) có nghiệm y 0 hoặc y 1

Đối chiếu điều kiện (*) và (**) suy ra hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  x; y

là    2;0 , 3;1

Bài 63 Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là 1; 4 và  2; 4

2x 30xy 5 x 5y 5xy 50y

x,y2x y 51

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm    x;y  5;1

Bài 65 Giải hệ phương trình

Bài 67 Giải hệ phương trình 3 3 2  

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất    x;y  2;4

Bài 68 Tìm m đ hệ phương trình sau có 3 cặp nghiệm thực phân biệt:

     trên  ;1, lập bảng biến thiên

Lập luận được mỗi giá trị x trên  ;1 thì có duy nhất 1 giá trị y, nên (3) phải có

3 nghiệm phân biệt

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: 1;2 , 0;0  

Bài 70 Giải hệ phương trình

3 2

2y 2x 1 x 3 1 x y2x 2xy 1 x y 1

Thay vào phương trình còn lại ta được 1 x 2x  2 1 2x 1 x 2

Đặt x cost, t  0;π Giải phương trình ta được:

ππ

3

x cos103

Bài 71 Giải hệ phương trình

Vậy hệ có nghiệm duy nhất   x; y   3; 1

2

2y y 2x 1 x 3 1 x

x, y2y 1 y 2 x

Vậy nghiệm của hệ là    x; y  1;0

Bài 74 Giải hệ phương trình

Nếu t 1 thì 2x   y 1 1 2x y 0 Thế vào phương trình (2) ta được:

Vì f 0  8 0 và f 2  8 4 20 nên f v 0 không có nghiệm v0Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là       1

Giải phương trình (1) theo ẩn y ta được y2 (loại) hoặc yx2

Giải phương trình ta được x5

Vậy hệ đã cho có nghiệm 5;25 

        (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm   x; y  1;1 , x; y    2; 2 

2 2

2 x 1 y 3y

Thay vào (2) ta được:        

23x

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  2;1 và 5; 2 

Bài 87 Giải hệ phương trình

4x 8x 4 12y 5 4y 13y 18x 94x 8x 4 2x 1 2y 7y 2y 0

Ta có: f ' t 12t2    1 0, t 0 hàm số f(t) đồng biến trên 0;

* f u f y 1    u y 1 2x 1   y 1 2xy 2y2Thế vào (2) ta được:

Bài 88 Giải hệ phương trình    2  4  

x   2 y 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm   x; y  2; 1 

Với x 0 không thỏa mãn (2)

Với x 3z thế vào (2) ta được: 3 3

Vậy nghiệm của hệ phương trình là   3

3

1x; y 9;1

Với y 1 , vế trái là hàm đồng biến nên (3) có tối đa 1 nghiệm

Bài 94 iải hệ phương trình 10x2 xy 2y 2 x, y 

a ab b 11 ab 5a

x y 0 không phải là nghiệm của hệ đã cho

Thay x 3y vào (1) ta được:  1 29y3     y 0 y 0 x 0 Th lại

x y 0 không phải là nghiệm của hệ đã cho

Thay x2y vào (1), ta được:   3 y 0

y  0 x 0, th lại không phải nghiệm của hệ đã cho

y 1  x 2, th lại thỏa mãn hệ đã cho

y    1 x 2, th lại thỏa mãn hệ đã cho

Vậy hệ có hai nghiệm       x; y  2;1 , x; y   2; 1

Ta có   2

f ' t 3t    1 0, t Do đó hàm số f(t) đồng biến trên Khi đó:

Với y 1 x2    2 x 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:   2;1 ,  2;1

Bài 100 Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm    x; y  1;1

Bài 101 Giải hệ phương trình: x42 y22 2x2 2y 6 x, y 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là   1; 1 , 1; 1   

2

x 1 x y 4 y 2

x,y3

Do đó f(t) nghịch biến trên Kết hợp với f 2x   f y  y 2x

Thay y 2x vào phương trình thứ hai của hệ ta được x2 3x x 1

Giải phương trình (1) ta được x2

Giải phương trình (2) ta được y6 Khi đó x 7 x 2 5 x 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:    x; y  2;6

Bài 104 Tìm các số thực dương x, y thỏa mãn hệ phương trình sau:

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là    1;1 , 2;2

xy 1 x x 1 x y 5x

x; y4x y 7x 2x y 1 2x 1

Nghiệm của hệ phương trình là:    x; y  1;0

Bài 110 Giải hệ phương trình: 2x 1 y2 4y x x; y 

  (thỏa điều kiện)

y 1 thì  *  x 0 (thỏa điều kiện)

Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm  x; y là 0; 1 , 7   4 3; 3,

74 3; 3

Bài 111 Giải hệ phương trình:    

Với x 1 ta được y 1 (thỏa điều kiện)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm    x; y  1;1

Bài 114 Giải hệ phương trình

2

2 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm là    x; y  2;1

Bài 115 Giải hệ phương trình

Vậy hệ có nghiệm duy nhất    x; y  0;1

Bài 116 Giải hệ phương trình  

Bài 117 Giải hệ phương trình sau trên tập số thực : x y 4

Xét phương trình (1) với điều kiện 2 x 10

   với t 1;  nên hàm số f(t) đồng biến trên 1;

Nên với điều kiện 2 x 10

 vào phương trình (2) ta thấy không thỏa mãn

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 119 Giải hệ phương trình

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

x x x     2 x 3 0 x 1 x     3 0 x 1

Suy ra y3

Vậy nghiệm của hệ là   x; y  1;3

Bài 120 Giải hệ phương trình  

So sánh các điều kiện trên ta thấy hệ có nghiệm duy nhất    x; y  5;4

Bài 122 Giải hệ phương trình    

y 2

y2

Bài 124 Giải hệ phương trình x32 4y32 3x2 4y 2 0 x, y 

Vậy phương trình có nghiệm t3, suy ra x3; y0

2 2

Với

2 2

Kết hợp với điều kiện trên ta có x 1 và x 1 17

2



 thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ đã cho có nghiệm là   1 17 1 17

2 2

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm

x; y 1 2;1 2 , 1   2;1 2 