tạp chí nhóm toán bài tập toán hay

TRƯỜNG ĐHKHTN TP.HCM HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016Biên soạn: LÊ ĐỨC BIN Chuyên đề : HỆ PHƯƠNG TRÌNHLƯỢNG LIÊN HỢP TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Việc sử dụng lượng liên hợp trong giải

MỤC LỤC

• Đề ra kỳ này

• Hướng dẫn giải bài kỳ trước

• Bài viết các chuyên đề luyện thi

1 Lê Đức Bin-"Lượng liên hợp trong giải hệ phương trình."

2 Nguyễn Thành Hiển-"Tổng hợp Oxy trong các đề thi thử THPT 2015."

3 Đỗ Viết Lân-"Phép thế lượng giác trong chứng minh bất đẳng thức."

• Hướng đến kỳ thi THPT 2015-2016

– Đề số 2

• Đấu Trường

1 Lời giải bài thách đấu 03

2 Trần Quốc Việt-Bài thách đấu số 04

3 Ngô Minh Ngọc Bảo-Bài thách đấu số 05

• Tự học : "Phương trình - Bất phương trình"

Trang 01

x + 3 = 2y − x + 3

(Ngô Minh Ngọc Bảo)Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cùng bằng cạnh đáylớn AB Gọi M (5; 7) là trung điểm CD Biết \M BC = [CAB và đường thẳng AB có phương trình

−3x + 5y − 3 = 0, tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D của hình thang

(Nguyễn Thành Hiển)

Câu 4: Cho các số thực x, y, z thoả mãn 1

2 6 x 6 y 6 z và xy + xz + yz = 3x Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức

• Lời giải sẽ đăng trong số tiếp theo kèm với danh sách những bạn làm tốt

• Thời hạn nhận bài : trước ngày 25 hàng tháng

GIẢI BÀI KỲ TRƯỚC

 Nguyễn Thế Duy :

3x 3 2x 3x 1 7x 1 x x

10

2

x x

T     

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T T1T2

 Ngô Đình Tuấn :

Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC cân tại Acó phương trình đường tròn ngoại tiếp

  C : x12y12 50 Một đường tròn C' tiếp xúc trong với C và tiếp xúc với cảAB AC, lần lượt tạiP Q, Tìm tọa độ 3 đỉnh tam giác ABC biết trung điểm PQ làI2 54; 2 54 và điểm A có hoành

độ dương

Lời giải:

GọiM 1;1 ,Nlần lượt là tâm của C và C'

K là điểm đối xứng củaAquaM , H là giao điểm củaAK BC,

Dễ dàng chứng minh được A M I N H K, , , , , thẳng hàng vì cùng thuộc phân giác BAC

Ta có NM:x yMN    C  A K,  Tọa độ A K, là nghiệm của hệ

Tới đây suy ra được B C, hoán vị của 2 điểm 2; 6 ,  6; 2

 Lời giải các bài khác các bạn tham khảo tại đây nhé

http://nhomtoan.com/wp-content/uploads/giai-bai-ky-truoc-online.rar, số sau sẽ cố gắng up đầy đủ…

TRƯỜNG ĐHKHTN TP.HCM HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016Biên soạn: LÊ ĐỨC BIN Chuyên đề : HỆ PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG LIÊN HỢP TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Việc sử dụng lượng liên hợp trong giải phương trình vô tỷ nó đã trở thành quá quen thuộc với chúng

ta Nhưng đối với việc giải hệ phương trình nó đỏi hỏi sự nhạy bén và chút phán đoán Sau đây chúng

ta tìm hiểu kỹ hơn thông qua những ví dụ

II VÍ DỤ MINH HỌA

2x − 11 = 11

*Phân tích: Ta không làm gì được với P T (2) nên sẽ chuyển trọng tâm qua P T (1)

Bây giờ ta muốn có mối quan hệ (x; y) từ P T (1); nhẩm một chút ta sẽ có y = x − 1

Quá ảo phải không nhỉ :) ? Không đâu,tất cả đều có cơ sở Ta để ý rằng hai vế đều có căn bậc hai vàcăn bậc ba Muốn hai về bằng nhau thì hai đại lượng phải thoát căn Muốn vậy thì trong căn bậc haiphải đưa về bình phương và trong căn bậc ba phải đưa về hằng số Giả sử y = ax − b (a, b > 0),suy

rapx2− x − y =px2− (a + 1)x + b và √3

x − y = p(a − 1)x + b3

Rõ ràng để mất x thì a phải bằng 1,suy ra b = 1

Thử lại ta thấy y = x − 1 thỏa phương trình đã cho

Thay y = x − 1 vào ta được

Lời giải ĐK:x ≥ 1

2, x 6= y Nếu y = 0 thì HPT vô nghiệm.

Nếu y < 0 thì x − y > 0, suy ra V P (1) < 0,V T (1) > 0 Do đó P T (1) vô nghiệm, suy ra y > 0 Khi

Tới đây đơn giải phải không nào,suy ra x = 5

2 Kết luận nghiệm của HPT (x; y) = (

4√2x + 1 + x + 2 = 2y

Tương tự phân tích ở trên ta áp dụng ta tìm được y = x−1 Từ đó ta thu được

(2px2+ 3x − y = 2(x + 1)

py2+ 4x = x + 1Lời giải ĐK: x ≥ −1

21; 17 + 4√

21)

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

( p4x2+ (4x − 9)(x − y) +√

xy = 3y4p(x + 2)(y + 2x) = 3(x + 3)

*Phân tích: Một chút trực giác đập ngay vào mặt là ngay P T (1) chứa điều thiên cơ Với cấu hình này

có thể dùng liên hợp được,nhưng mà liên hợp cái gì với nhau? Ta thử đoán quan hệ (x; y) thử nhé, taphân tích là vế trái có chứa hai cái căn và vế phải lại không có căn nào, như vậy vế trái phải thoát căn

Và ta sẽ phải sử dụng vế phải tách ra để liên hợp! Vậy quan trong là tách ra làm sao? Thấy ngay 4x2cóthể tự khai văn và√

xy khai căn được khi x = y, mà khi x = y thì

( p4x2 + (4x − 9)(x − y) = 2y

√

xy = yLiên hợp thôi nào!

Ta chứng minh 8x + 4y − 9 > 0 thật vậy với y > 0 ⇒ x ≥ 0 Căn cứ vào P T (2) ta bình phương lên

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình

(2x2+ 2x + 1 +√

x − y + x = 2 + (x − y − 1)√

y2y2− 3x + 6y + 1 = 2√x − 2y −√

4x − 5y − 3

Đề ĐH khối B – 2014

*Phân tích : Nhìn vào thấy hai phương trình đều chứa hai căn Vậy ta nên phân tích phương trìnhnào đây? Ở phương trình hai thấy nó khá rườm rà về quan hệ x, y còn phương trình một thức biểudiễn theo x, y khá đẹp và ít hệ số Nên ta sẽ phân tích phương trình một! Mà lại thấy để làm mấthai cái căn ở P T (1) thì y = 1 sẽ làm ngay điều đó Vậy chắc chắn rằng P T (1) có thể rút được y − 1

Vì √

y = 1 lại câu thần chú "biểu thức bằng gì thì ta liên hợp với cái đó" Trang 07

Lời giải ĐK: y ≥ 0; x ≥ y; x ≥ 2y; 4x ≥ 5y + 3.

√5

2 ;

−1 +√5

2 ).

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 1: Giải hệ phương trình

xy) = 4

Bài tập 6: Giải hệ phương trình

(4x + 4 +√

2x + 1 = 4y2− 4y +√2y − 1

Bài tập 7: Giải hệ phương trình

(

x − 4y + 3√

y =√2x + y

y

√2x + y − 2 +√

5x − 4 +√

2 − y + 6x2− x − 8 = 0Bài tập 9: Giải hệ phương trình

2x + 3y = 3√

x + 4ypx(y3+ 2) +py(x2+ 2) = x

3+ y2+ 5x + y + 4

2√3Bài tập 11: Giải hệ phương trình

(2px2+ 5x − 2y =p4y2 + 9x + 6y + x + 2

Bài tập 13: Giải hệ phương trình

B A

( 1; 4)

A  , trực tâm H Đường thẳng AH cắt cạnh BC tại M , đường thẳng CH cắt cạnh AB tại N Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN là I(2; 0), đường thẳng BC đi qua điểm P(1; 2) Tìm toạ độ các đỉnh B C, của tam giác biết đỉnh B thuộc đường thẳng d x: 2y 2 0

Hướng dẫn :Ta thấy tứ giác BMHN nội tiếp, suy ra I là trung điểm của

BH;BdB(2 2 ; ) t t Suy ra

(2 2 ; ) (3 2 ; 4), (2 1; 2)

H  t  t AH   t  t BP t  t

.Do H là trực tâm của tam giác ABC

Câu 2 (Thpt – Chu Văn An – An Giang) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh C thuộc đường thẳng :d x2y  , điểm (1;1)6 0 M thuộc cạnh

BD biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm M trên cạnh AB và AD đều nằm trên đường thẳng

:x y 1 0

    Tìm tọa độ đỉnh C

Hướng dẫn :Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB AD Gọi , N là giao điểm của KM

và BC .Gọi I là giao điểm của CM và HK Ta có DKM vuông tại K

và DKM  450 KM KD KM NC (1) Lại có MH MN (

do MHBN là hình vuông) Suy ra hai tam giác vuông KMH CNM bằng ,

nhau  HKM MCN Mà NMCIMK nên

NMC NCM IMK HKM  Suy ra CI HK Đường thẳng CI

đi qua M(1;1) và vuông góc với đường thẳng d nên

( 1;1)

VTPT n VTCP u   nên có phương trình

(x 1) (y 1) 0 x y 0

        Do điểm C thuộc đường thẳng CI và đường thẳng  nên tọa độ điểm

C là nghiệm của hệ phương trình 0 2

M A

I x-7y=0

N(2;-1) M(-2;-1)

C

B A

D

Câu 3 (Thpt- Chí Linh – Hải Dương) Trong hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có 10

5

BD AC Biết rằng M  ( 2; 1) , N(2; 1) lần lượt là hình chiếu của D xuống các đường thẳng AB, BC và đường thẳng

x y

Câu 4 (Thpt – Trần Thị Tâm – Quảng Trị) Trong mặt phẳng oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh

BC là x - 2y + 3 = 0, trọng tâm G(4; 1) và diện tích bằng 15 Điểm E(3; -2) là điểm thuộc đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A Tìm tọa độ các điểm A, B, C

Hướng dẫn : Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A: 2x+y-4=0 Gọi A(a;4-2a), trung điểm đoạn BC là

Câu 5 (Thpt – Nguyễn Viết Xuân – Phú Yên) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD   0

90

BADADC có đỉnh D2; 2 và CD2AB Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm D lên

đường chéo AC Điểm 22 14;

Đáp số : A(1;5); B(-3;1); C(1;-3); D(5;1)

Câu 7 (Thpt – Nguyễn Bỉnh Khiêm – Gia Lai) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có

diện tích bằng 144 Gọi điểmM(2;1) là trung điểm của đoạn AB; đường phân giác trong góc A có phương

trình AD x:    Đường thẳng AC tạo với đường thẳng AD góc y 3 0  mà cos 4

5

  Tìm tọa độ các đỉnh

của tam giác ABC biết đỉnh B có tung độ dương

Đáp số : A 3; 6 , B 1;8, C  ( 18; 3)

Câu 8 (Thpt – Nguyễn Trãi) Trong mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A

và D, đáy lớn là cạnh CD; đường thẳng chứa cạnh AD có phương trình 3xy0, đường thẳng chứa cạnh

BD có phương trình x2y0; góc tạo bởi 2 đường thẳng BC và AB bằng 0

45 Biết diện tích hình thang ABCD bằng 24 Viết phương trình đường thẳng BC, biết điểm B có hoành độ dương

Đáp số : BC: 2xy4 100

Câu 9 (Thpt – Tĩnh Gia) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC Trên hai đoạn thẳng AB, AC lần lượt lấy hai điểm E, D sao cho ABD ACE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB cắt tia CE tại M(1;0) và N(2;1) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC cắt tia BD tại I(1;2) và K Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNK

(x1) (y1) 1

Câu 10 (Thpt – Lương Thế Vinh) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là d x :  y   3 0 Hình chiếu vuông góc của tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC lên đường thẳng AC là điểm E (1;4) Đường thẳng BC có hệ số góc âm và tạo với đường thẳng AC góc 450 Đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn  2 2

( ) : C x  2  y  5 Tìm phương trình các cạnh của tam giác ABC

Câu 12 (Sở GD – Bắc Giang – Lần 4) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và

B có AB = BC= 2CD Gọi M là trung điểm cạnh BC, điểm H 4 8;

Câu 13 (Thpt – Quảng Xương 4 – Thanh Hoá) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD

vuông tại A và D, D(2; 2) và CD = 2AB Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên AC Điểm 22 14

Câu 15 (Thpt – Hiền Đa – Phú Thọ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy Cho hình vuông ABCD

có C(2; -2) Gọi điểm I, K lần lượt là trung điểm của DA và DC; M(-1; -1) là giao của BI và AK Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương

Đáp số : A (-2; 0); B(1; 1); D(-1;-3)

PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

ĐỖ VIẾT LÂN

Đà Nẵng - Sưu tầm

Nếu các bạn đã từng đối mặt với các tích phân chứa căn thức như

Zp

1 − x2 dx,

Zp

1 + y2 dy,

Zp

z2− 1 dz

khi đó phép đổi biến lượng giác như x = sin t, y = tan t, z = 1

sin t luôn tỏ ra hiệu quả Đốivới các bất đẳng thức, việc sử dụng phép thế lượng giác cũng tương tự như vậy

Bài toán 1 (Latvia 2002) Cho a, b, c, d là các số thực dương sao cho

Chứng minh Ta đặt a2 = tan A, b2 = tan B, c2 = tan C, d2 = tan D, với A, B, C, D ∈

0,π2
Khi đó điều kiện bài toán viết lại thành:

cos2A + cos2B + cos2C + cos2D = 1

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:

sin2A = 1 − cos2A = cos2B + cos2C + cos2D ≥ 33

√cos2B cos2C cos2D

Tương tự ta có:

sin2B ≥ 33

√cos2C cos2D cos2Asin2C ≥ 33

√cos2D cos2A cos2Bsin2D ≥ 33

√cos2A cos2B cos2CNhân bất đẳng thức trên theo vế ta thu được

sin2A sin2B sin2C sin2D ≥ cos2A cos2B cos2C cos2DSuy ra abcd ≥ 1

Bài toán 2 (Korea 1998) Cho x, y, z là những số thực dương sao cho x + y + z = xyz

Chứng minh Đặt x = tan A, y = tan B, z = tan C với A, B, C ∈ 0,π2
.

cos A + cos B + cos C −3

2

= 2 cos A + B

2

 cos A − B

= 2 sinC

2 cos

 A − B2



− 2 sin2C

2 −

12

= − 2

sinC

2 −

1

2cos

 A − B2

2

− 1

2sin

2 A − B2



≤ 0

Kể cả khi trong giả thiết bài toán không có những điều kiện như x + y + z = xyz hay

xy + yz + zx = 1 thì phép thế lượng giác vẫn có hiệu quả nhất định, chẳng hạn như trongbài toán sau

Bài toán 3 (APMO 2004/5) Chứng minh rằng, với mọi số thực dương a, b, c ta có

Do đó bất đẳng thức đã cho viết lại là

A + B + C

3 = cos θ.

Áp dụng AM-GM ta có: cos A cos B cos C ≤ cos A + cos B + cos C

Từ đây ta có điều phải chứng minh

Bài tập 1 Cho các số thực dương x, y, z sao cho 0 < x, y, z < 1 và xy + yz + zx = 1

2 .Bài tập 2 Cho các số thực dương x, y, z sao cho x + y + z = xyz Chứng minh rằng

2 .Bài tập 3 Cho các số thực dương x, y, z sao cho x + y + z = xyz Chứng minh rằng

xy + yz + zx ≥ 3 +p1 + x2+p1 + y2+p1 + z2.Bài tập 4 Cho các số thực dương x, y, z sao cho x + y + z = xyz Chứng minh rằng

Bài tập 7 Cho p, q, r ≥ 0 với p2+ q2+ r2 + 2pqr = 1 Hãy chứng minh rằng tồn tại

A, B, C ∈0,π

2 sao cho p = cos A, q = cos B, r = cos C và A + B + C = πBài toán 4 (USA 2001) Cho a, b, c là những số thực không âm sao cho a2+b2+c2+abc =

4 Chứng minh rằng 0 ≤ ab + bc + ca − abc ≤ 2

Chứng minh Nếu cả a, b, c đều lớn hơn 1 thì a2 + b2+ c2 + abc > 4 Giả sử a ≤ 1 ta có

ab + bc + ca − abc ≥ (1 − a)bc ≥ 0

Để chứng minh ab + bc + ca − abc ≤ 2 ta đặt a = 2p, b = 2q, c = 2r Khi đó ta có

p2+ q2+ r2+ 2pqr = 1 Theo Bài tập 7 ta có thể viết

a = 2 cos A, b = 2 cos B, c = 2 cos C với A, B, C ∈h0,π

Giả sử A ≥π3 nghĩa là 1 − 2 cos A ≥ 0

V T (1) = cos A(cos B + cos C) + cos B cos C(1 − 2 cos A)

≤ cos A 3

2 − cos A

+ cos(B − C) + cos(B + C)

2

(1 − 2 cos A)

= cos A 3

2 − cos A

+ 1 − cos A

2

(1 − 2 cos A)

= 12

Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh

Bài tập 8 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

x2+ y2+ z2+ 2xyz = 1Chứng minh rằng

(i) xyz ≤ 1

8(ii) xy + yz + zx ≤ 3

4(iii) x2+ y2+ z2 ≥ 3

4(iv) xy + yz + zx ≤ 2xyz +1

2

THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI

ĐỀ SỐ 2(Thời gian làm bài : 180 phút)

Câu 1(1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x

4

2 − x2+ 3

2.Câu 2(1,0 điểm) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) = x3− (m + 2)x2+ (m − 1)x + 2m − 1 tạiđiểm có hoành độ x = 1 và đường thẳng d : 2x + y − 1 = 0 tạo với nhau một góc 300

Câu 3(1,0 điểm)

a) Giải phương trình 3x+4+ 3.5x+3 = 5x+4+ 3x+3

b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thoả (4 − 7i)z − (5 − 2i) = 3iz

Câu 4(1,0 điểm) Tính tích phân I =

Câu 6(1,0 điểm)

a) Giải bất phương trình (x2 − 4)√x2− 3x 6 0

b) Một cái hộp có chứa 5 viên bi màu đỏ được đánh số thứ tự từ 1 đến 5, 4 viên bi màu xanh được đánh sốthứ tự từ 1 đến 4, 3 viên bi màu vàng được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từhộp trên Tính xác suất để ba viên bi được chọn có đủ 3 màu và đôi một khác số nhau

Câu 7(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và \BAD = 600 Hình chiếu của

S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABC Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SAB)bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC với AB

Câu 8(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH và đườngphân giác trong BD sao cho \BDA = 450 Biết rằng HD : x − y + 1 = 0, điểm C(0; 2) và điểm A thuộc đườngthẳng 3x − 5y − 2 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A và B của tam giác ABC

Câu 9(1,0 điểm) Tìm m để hệ sau có nghiệm



= 30 Tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu thức

P = b + 2c − 7

√72a2 + c2

LỜI GIẢI BÀI THÁCH ĐẤU SỐ 03

• Tác giả : Trần Quốc Việt

• Đề bài : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x4+ y4+ z4 6 xy + xz + yz Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức

94(xy + xz + yz).

• Lời giải và bình luận : Ta thấy bài toán có sự đối xứng cả ba biến và với giả thiết đã cho thì ta cóđiểm rơi tại x = y = z = 1

Ta sẽ có hai cách cho bài toán như sau

Cách 1 Sử dụng đánh giá từ điều kiện đã cho

Với giả thiết đã cho ta có

Ta có

p2(x + yz)(y + xz)(z + xy) ≤ 2 + x + y + z + xy + yz + xz

4

2

≤ 4Suy ra

= 14

1

 1

+ 34

s1

√x

1

√y

1

√z

√xyz = 4

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

x4+ y4

2 + 2

√xy+ ≥ x2y2+√