b Chứng tỏ rằng fn chia hết cho 120 với mọi n là số nguyên dương.. 8 điểm Cho tam giác ABC.. Gọi M, G lần lượt là trung điểm của BC và AC.. Đường thẳng song song với AB kẻ từ I lần lượt
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC
THÁI THỤY ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG NĂM HỌC 2007 – 2008
MÔN : TOÁN 8
(Thời gian làm bài : 120 phút)
ĐỀ BÀI
Bài 1 (3 điểm)
Cho f(n) = n5 – 5n3 + 4n (n là số nguyên dương)
a) Phân tích f(n) thành nhân tử
b) Chứng tỏ rằng f(n) chia hết cho 120 với mọi n là số nguyên dương
Bài 2 (4 điểm)
a) Cho x, y, z là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
A = 4x2y2 – (x2 + y2 – z2)2 > 0
b) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn : x y 3
Bài 3 (3 điểm)
Tìm các giá trị của x1, x2, x3, … , x2008 sao cho :
Bài 4 (2 điểm)
Cho các số a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện 1 1 1 0
a b c . Tính :
P
Bài 5 (8 điểm)
Cho tam giác ABC Gọi M, G lần lượt là trung điểm của BC và AC I là điểm thuộc đoạn BM (I khác B và M) Đường thẳng song song với AB kẻ từ I lần lượt cắt AM và AC tại D và E ; đường thẳng song song với AC kẻ từ I cắt AB tại K
KI AC và
b) So sánh BK và DE ;
MB và diện tích ABC là S Tính diện tích IDM.
Học sinh : ………Số báo danh : ……… Trường THCS : ………
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 (3 điểm)
a) f(n) = n(n4 – 5n2 + 4) = n(n2 – 1)(n2 – 4) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)
b) Ta thấy n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3, một số là bội của 5 f(n) ⋮ 3; f(n) ⋮ 5 f(n) ⋮ 15 (1) (vì (3 ; 5) = 1)
Mặt khác, trong 5 số nguyên liên tiếp kể trên, tồn tại ít nhất hai số chẵn, trong đó có một số là bội của 2 và một số là bội của 4 f(n) ⋮ 2.4 = 8 (2)
Vì (8 ; 15) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra f(n) ⋮ 8.15
Hay f(n) ⋮ 120 (đpcm)
Bài 2 (4 điểm)
a) Ta có A = 4x2y2 – (x2 + y2 – z2)2 = (2xy – x2 – y2 + z2)(2xy + x2 + y2 – z2)
= [z2 – (x – y)2][(x + y)2 – z2]
= (z – x + y)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z)
= (y + z – x)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z)
Vì x, y, z là ba cạnh của tam giác nên y + z > x, z + x > y, x + y > z và x + y + z > 0
(y + z – x)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z) > 0
A > 0 (đpcm)
x y x x y hay
x 2 x
4
3 Ta được 0 < x
4
3.
Vì x là các số tự nhiên nên x = 1 Thay vào (1) ta được y = 2
Trường hợp này ta được x = 1, y = 2 thoả mãn giả thiết
- Nếu x y, tương tự như trên, ta được x = 2, y = 1 thoả mãn giả thiết
Vậy có hai cặp (x ; y) cần tìm là (1 ; 2) và (2 ; 1)
Cách 2 Điều kiện x > 0 và y > 0.
Khi đó : x y 3
2(x + y) = 3xy 9xy - 6x - 6y = 0xy - 6x - 6y = 0
(9xy - 6x - 6y = 0xy - 6x) – (6y – 4) = 4
(3x – 2)(3y – 2) = 4 3x – 2 Ư(4) = {1; 2; 4}
Vì x là các số tự nhiên lớn hơn 0 nên x 1 3x – 2 1 Hơn nữa 3x – 2 chia cho 3
dư 1 Suy ra 3x – 2 {1 ; 4} Từ đó, ta có hai trường hợp:
Trang 3TH2 : 3x 2 4 x 2
Vậy có hai cặp (x ; y) cần tìm là (1 ; 2) và (2 ; 1)
Bài 3 (3 điểm)
Ta biến đổi hệ đã cho thành :
Suy ra :
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1) x (x 1) (x 1)(x 1) 0
(x 1) (x x 1) (x 1) (x x 1) (x 1) (x x 1)
2 2
Nhận xét : (xi – 1)2 ≥ 0 và x2i xi 1 (xi 1)2 3 0
(x 1) (x x 1) 0 (Dấu bằng xảy ra xi = 1)
Suy ra vế trái (1) 0
Do đó để (1) sảy ra x1 = x2 = x3 = … = x2008 = 1
Thử lại, x1 = x2 = x3 = … = x2008 = 1 thoả mãn hệ đã cho
Vậy x1 = x2 = x3 = … = x2008 = 1
Bài 4 (2 điểm)
a b c ab + bc + ca = 0.
Ta có a2 + 2bc = a2 + bc + bc = a2 + bc – ca – ab (thay bc = –ca – ab)
= a(a – b) – c(a – b) = (a – b)(a – c)
Tương tự ta có b2 + 2ca = (b – a)(b – c); c2 + 2ab = (c – a)(c – b)
Từ đó :
P
a (c b) b (a c) c (b a) (a b)(b c)(c a)
Mà a2(c – b) + b2(a – c) + c2(b – a) = a2(c – b) + b2[a – b) + (b – c)] + c2(b – a) =
= [b2(a – b) – c2(a – b)] – [a2(b – c) – b2(b – c)]
= (a – b)(b – c)(b + c) – (a – b)(b – c)(a + b) = (a – b)(b – c)(c – a)
Trang 4Vậy P (a b)(b c)(c a) 1
(a b)(b c)(c a)
Bài 5 (8 điểm)
a) Vì KI // AC nên áp dụng hệ quả của định lí Ta lét
Ta thấy MG là đường trung bình của ABC nên MG // AB Mà IE // AB (gt) và D IE) nên suy ra DE // MG Khi đó áp dụng hệ quả của định lí Ta lét cho AMG ta có :
AB
AC
2
KI AC và
b) Tứ giác AKIE có AK // EI, KI // AE nên là hình bình hành, suy ra KI = EA
c) Hai tam giác ABM và ABC có chung đường cao hạ từ đỉnh A nên :
ABM ABC
S S
2
Vì DI // AB nên MDI ~ MAB
2 2 IDM
ABM
m
2 2
m S
2
Vậy
2 IDM
m S S
2
K
E D G
M A