Hình chiếu vuông góc của điểm D trên BB’ là điểm K nằm trên cạnh BB’ và BK= BB'1 4 ; hình chiếu vuông góc của điểm B’ trên mặt phẳng ABCD là điểm H nằm trên đoạn thẳng BD.. Tính theo a t
Trang 1TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A,B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số ( 1) (4 3 ) 1
3
+
− +
− +
= mx m x m x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số khi m = 1
2 Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại duy nhất một điểm A có hoành độ âm mà tiếp tuyến với (Cm) tại A vuông góc với đường thẳng : x 2y 3 0.+ − =
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
4
− = −
÷
2 Giải hệ phương trình:
2
2
1
xy
x y
+ + =
+ = −
(x, y∈ R)
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: 4
0
tan ln(cos ) cos
x
π
∫
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a;
góc DAB· =600; cạnh bên BB’= a 2 Hình chiếu vuông góc của điểm D trên BB’ là điểm K nằm trên cạnh BB’ và BK= BB'1
4 ; hình chiếu vuông góc của điểm B’ trên mặt phẳng (ABCD)
là điểm H nằm trên đoạn thẳng BD Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và DC’
Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực a, b, c, d thỏa mãn điều kiện 2 2
a +b =1; c d 3.− =
Tìm giá trị nhỏ nhất của M = ac bd cd + −
Câu VI (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn :(C):x2+ y2 = 16 Viết phương trình chính tắc của elip có tâm sai 1
2
e= biết elip cắt đường tròn (C) tại bốn điểm A, B, C, D sao cho
AB song song với trục hoành và AB = 2.AD
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hai đường thẳng:
1
:
; 2
:
và mặt phẳng (P) : x y+ −2z+ =3 0. Viết phương trình đường thẳng ∆song song với (P) và cắt d d1, 2 lần lượt tại A, B sao cho
29
AB=
Câu VII (1,0 điểm) Cho hai số phức z, z’ thỏa mãn z = z' 1= và z z+ ' = 3.
Tính z z− '
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì them
Họ và tên:……… SBD:………
Trang 2TRƯỜNG THPT
CHUYấN
NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA
NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MễN: TOÁN KHỐI A, B
I-1
(1điểm)
Với m=1 ta có 1 3
1 3
y= x + +x
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên
• Chiều biến thiờn:
y ' x= 2+1>0∀ ∈x Ă
0,25
+ Hàm số luụn đồng biến trờn Ă
+ Hàm số cú khụng cực đại và cực tiểu
• Giới hạn: =−∞ =+∞
+∞
→
−∞
x
Bảng biến thiờn:
0,25
Đồ thị:
Đồ thị giao với Oy tại (0;1)
0,25
I-2
(1điểm)
Tiếp tuyến vuụng gúc với đường thẳng x+2y-3=0 cú hệ số gúc k=2 Gọi x là hoành độ tiếp
điểm thỡ: f '(x) 2= ⇔mx2+2(m 1)x (4 3m) 2− + − = ⇔mx2+2(m 1)x 2 3m 0 (1)− + − = 0,25 Bài toỏn trở thành tỡm tất cả cỏc m sao cho phương trỡnh (1) cú đỳng một nghiệm õm
Nếu m≠0thỡ dễ thấy phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm là x 1 hay x=2 3m
m
−
do đú để cú một nghiệm õm thỡ
0
2 3
3
m m
<
− < ⇔
>
Vậy 0 hay 2
3
m< m> thỡ trờn (C) cú đỳng một tiếp điểm cú hoành độ õm thỏa yờu cầu đề bài
0,25
x y’
y
-∞
+
-∞
+∞ +∞
1
y
Trang 3(1điểm)
x
2
cos sin 2 cos 2sin cos sinx
(sinx cos )(1 sin 2 ) 0
0,25
4
⇔
0,25
II-2
(1điểm)
( ) ( )
2 2
2
2
1 1 2
xy
x y
+ + =
+ = −
Điều kiện: x + y > 0
x y
+
0,25
2
Với x + y > 0 thì x2 + y2 + + > x y 0
Nên (3)⇔ x y+ =1 thay vào (2) được − +y2 2y=0 0,25
Hệ có 2 nghiệm (x;y) = (1;0); (x;y) = (-1; 2)
0,25
III
(1điểm)
*Đặt t=cosx
dt=-sinxdx , đổi cận x=0 thì t=1 ,
4
thì 1
2
Từ đó
1
1 2
1 1
2
lnt lnt
*Đặt u ln ;t dv 12dt
t
= = du 1dt v; 1
Trang 4Suy ra
1 2 1 2
2
= − + ∫ = − −
*Kết quả 2 1 2ln 2
2
IV
(1điểm)
4
a
BK = ; trong tam giác vuông
4
a
0,25
Ta có ' 3 2
4
a
B K = ; trong tam giác vuông B’KD : 2 2 14
4
a
Suy ra ∆B’BD cân tại B’ do đó H chính là g iao điểm của AC và BD
0,25
' ' ' '
'
DC’//AB’ suy ra ( '; ' ) ( ';( ' )) ( ;( ' ) ( ;( ' )) 2
2
a
V
(1 điểm)
Nêu và chứng minh: ( a2 + b2)( c2+ d2) ≥ ac bd + Dấu bằng xảy ra khi ad = bc 0,25
Ta có
2 2
'( ) (2 3)
d
Để ý rằng
2 2
d
<
với mọi d nên dấu của f’(d) chính là dấu của : 2d+3
0,25
Bảng biến thiên của f(d) suy ra
4
2
2; a = - b =
1 2
±
0,25
Trang 5VI- 1
(1 điểm)
Giả sử elip có phương trình chính tắc
2 2
2 2 1
a +b = , theo đề bài 1
2
c e a
−
Suy ra elip có phương trình
4
3
a + a = ⇔ + = Tọa độ các giao điểm A, B,
C, D của elip và đường tròn là nghiệm của hệ :
2 2
x y 16 (1)
3x 4y 3a (2)
+ =
+ =
0,25
Do elip và đường tròn (C) cùng nhận trục hoành và trục tung làm trục đối xứng và
AB // Ox nên A, B đối xứng với nhau qua Oy ; C, D đối xứng nhau qua Ox
AB = 2CD ⇔2 x =2.2 y ⇔ x2 =4y2 (3)
0,25
Từ (1) và (2) tìm được
2 4 2 4
;
Thay vào (3) ta được 2 256
15
a =
Suy ra elip có phương trình
1
256 64
15 5
+ = .
0,25
VI-2
(1 điểm)
A∈d1 suy ra A(1+2t ; -1+t ; t) ; B∈d2 suy ra B(1+t’ ; 2+2t’ ; t’) 0,25 ( ' 2 ;3 2 ' ; ' )
AB t − t + −t t t t−
uuur
(P) có VTPT (1;1 2)nr −
AB // (P) suy ra uuur rAB n = ⇔ = −0 t' t 3 Khi đó uuurAB= − −( t 3;t− −3; 3)
0,25 Theo đề bài 2 ( ) (2 )2
AB = ⇔ +t + −t + = ⇔ = ±t 0,25 Với t = 1 suy ra A(3 ;0 ;1) ; uuurAB(− − −4; 2; 3)
Suy ra
3 4
1 3
= +
∆ =
= +
Với t = -1 suy ra A(-1 ;-2 ;-1) ; uuurAB(− − −2; 4; 3)
Suy ra
1 2
1 3
= − +
∆ = − +
= − +
0,25
VII.
(1 điểm)
2 2
2 2
1 ' 1
' ' 1
+ =
= = ⇔ + =
( ) (2 )2 ( 2 2) ( 2 2) ( ( ) (2 )2)
2.1 2.1 3 1
z z− = −x x + −y y = x +y + x +y − x x+ + +y y
