Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 0 60.. Viết phương trình ba cạnh của tam giácABC.. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp bi một viên bi.. Tìm xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu... SỞ GIÁO DỤC
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH LÂM ĐỒNG ĐỀ LUYỆN KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Trung Tâm Luyện Thi & Bồi Dưỡng Văn Hóa STAR MÔN: TOÁN - ĐỀ SỐ 1
website: www.maths.edu.vn Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề
Câu 1 ( 2,0 điểm ) Cho hàm số: y x3 3x2 2, có đồ thị C
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C
b Tìm tất cả những điểm trên đường thẳng y 2 mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị C
Câu 2 (1,0 điểm )
a Giải phương trình: sin2x 2 tanx 3
b Cho số phức z sao cho z 10 và phần thực của z bằng 3 lần phần ảo Tính z 1
Câu 3 (0,5 điểm ) Giải phương trình: 2 log 35 x 1 1 log352x 1
Câu 4 (1,0 điểm ) Giải hệ phương trình: 3 3
Câu 5 ( 1,0 điểm ) Tính tích phân sau:
2
1
1 log
1 ln
e
x
Câu 6 ( 1,0 điểm ) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ', cóABC là tam giác đều cạnh a Đỉnh A'cách đều các đỉnh A B C, , Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 0
60 Tính thể tích khối chóp A BCC B' ' ' và tính góc giữa hai mặt phẳng A BC' , CC B' '
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giácABC, đường phân giác trong của góc
Acó phương trình AD x y: 0, đường cao CH : 2x y 3 0, cạnh AC qua M 0, 1 , AB 2AM Viết phương trình ba cạnh của tam giácABC
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 21
2
và điểm
2,1,2
M Viết phương trình mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng bằng 3
3
Câu 9 (0,5 điểm) Một hộp chứa 30bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh Một hộp khác chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ và
9 bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp bi một viên bi Tìm xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu
Câu 10 ( 1,0 điểm ) Cho , , x y z là các số dương thỏa mãn xy yz xz xyz
Trang 2SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐÁP ÁN ĐỀ LUYỆN KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Trung Tâm Luyện Thi & Bồi Dưỡng Văn Hóa STAR MÔN: TOÁN - ĐỀ SỐ 1
website: www.maths.edu.vn Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề
Thí sinh làm cách khác nhưng đúng đáp án thì vẫn cho đủ số điểm
y x x Tập xác định: D
' 0
y
Hàm số nghịch biến trên;0 , 2; ; đồng biến trên 0;2
Điểm cực đại 2;2 , điểm cực tiểu 0; 2
Bảng biến thiên:
x 0 2
' y 0 0
y
CĐ 2
CT2
0,5 Đồ thị Điểm đặc biệt: x 3 1 1
y 2 2 0
0,5
b Đường thẳng d :y 2 Gọi điểm M thuộc đường thẳng d M m ;2
Phương trình tiếp tuyến qua M có hệ số góc k có dạng y k x m 2
Đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị C khi hệ phương trình sau phải có nghiệm
2
x x k
0,5
Trang 3Thay 2 vào 1 ta được
2
2
x
Trên đường thẳng d kẻ tới đồ thị C được ba tiếp tuyến khi phương trình * có 2
nghiệm phân biệt
2
1
2
2
m
m m
m
3
0,5
2 a sin2x 2 tanx 3
2
Với
2
x k
, chia 2 vế của phương trình cho cos2xta được
0,25
2
x
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm
4
S k k
0,25
b Gọi z a bi z a2 b2 ;a b,
Theo đề ra ta có
2 2
2 2
3 1
1
( )
a b
b
0,25
Với 3
1
a b
ta được số phức z 3–i z 3 i Vậy z 1 17
Với 3
1
a b
ta được số phức z 3 i z 3 i Vậy z 1 5
0,25
3
Trang 4 2
2
8
x
x
So sánh điều kiện * nên phương trình đã cho có 1 nghiệm S 2
0,25
y x
Dễ thấy x y; 0;0 không phải là nghiệm của hệ, chia vế theo vế của hai phương trình
x
6
xy
0,5
xy y y x
xy y y x
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 2 1 5
x y
0,5
2 2
1
ln 10
x x
Đặt t 1 lnx t2 1 lnx 2tdt dx
x
2
t x
x e t
2 2 2 1
1 2 1
ln 10
I
t
0,5
2
1
t t
0,5
Trang 5B
C
A'
B'
C' M'
M O
6 Vì 'A A A B ' A C' và ABC đều cạnh a A ABC' là hình chóp tam giác đều
Gọi M là trung điểm của BC và O là trọng tâm của ABC
Theo đề ra ta có A O' ABC
Vậy AO là hình chiếu của A A' lên mặt phẳng ABC
AA ABC', AA AO', A AO' 600
Ta có AM là đường cao trong ABC nên có 3
2
a
AM
a
a
OM AM Xét A OA' vuông tạiO, nên ta có '
tan 'A AO A O
OA
0
3
3
a
Vậy thể tích lăng trụ ABC A B C ' ' ' là:
' ' '
ABC A B C ABC
V A O S a (đvtt)
Và thể tích chóp A ABC' là:
'
V A O S (đvtt) Nên thể tích khối chóp A BCC B' ' ' là:
3 ' ' ' ' ' ' '
3 6
A BCC B ABC A B C A ABC
a
0,5
Gọi M' là trung điểm của B C' 'A M' ' A AM'
Mà BC A AM' BC A M MA' ' BC M M' và BC A M'
Ta có
A BC' , BCC B' ' A M M M' , ' A MM' '
Mà A MM' ' AA'M so le trong
3 3 3
a AO
3 3
a OM
0,5
Trang 6I M'
A
C H
D M
7 Gọi M x y là điểm đối xứng của M qua đường phân giác ' 0; 0 AD M'AB
Véctơ MM' x y0; 0 1 , trung điểm của đoạn
'
;
x y
, VTPT của đường thẳng AD
là n AD 1; 1 VTCP u AD 1;1
Ta có MM' AD MM u'. AD 0
0 0
0
0
' 1;0
0
M
Đường thẳng qua AB đi qua M' 1;0 và vuông góc CH
phương trình cạnh AB: x 2y 1 0
0,5
Ta cóA AB AD nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
1;1 0
x y
A
x y
Đường thẳng AC qua A 1;1 ;M 0; 1 phương trình cạnh AC : 2x y 1 0
Lại có C AC CH nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
; 2
x y
C
x y
Vì BAB B b2 1;bAB 2b2;b1
Ta có AB 5b2 10b5và AM 5
Vì AB 2AM 5b2 10b 5 2 5 b 1 hoặc b3
Vậy có 2 điểm B 3; 1 ; B 5;3
(Dễ thấy B 5;3 AB 2AM' AB AM, ' ngược hướng nên không thỏa yêu cầu)
BC
VTPT của BC là n BC 2;5 Vậy phương trình cạnh BC : 2x 5y110
0,5
8 Ta có N 1;1;2 , mà mặt phẳng chứa , N
Gọi n A B C; ; là VTPT của mặt phẳng
Vậy phương trình mặt phẳng có dạng :A x 1 B y1 C z 2 0
Vì nên u n 0 C B2A
0,5
Trang 7Theo đề ra có khoảng cách từ M tới mặt phẳng bằng 3
3
3
0 3
A
Chọn A1 thì B 1 C 1
Vậy phương trình mặt phẳng :x y z 0
0,5
9 Số trường hợp lấy 2 viên bi từ hai hộp ngẫu nhiên là: 1 1
52 25
n C C
Trường hợp 1: Số cách để lấy ra hai viên bi trắng từ hộp 1 và hộp 2: n1 C C301 101
Trường hợp 2: Số cách để lấy ra hai viên bi đỏ từ hộp 1 và hộp 2: n2 C C71 61
Trường hợp 3: Số cách để lấy ra hai viên bi đỏ từ hộp 1 và hộp 2: n3 C C151 91
0,25
Vậy xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu là:
1 1
52 25
P n
10
1
xy yz xz xyz
x y z
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
1
2
1 1 1 1 2
3
0,5
Cộng từng vế của 1 , 2 và 3 ta được:
x y z
0,5