Biết SH vuông góc với mặt phẳng ABCD và SH = a.. Tính thể tích khối chóp S.. HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a.. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Trang 1ĐỀ MINH HỌA KỲ THI QUỐC GIA 2015 – MÔN TOÁN
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
Câu 1: (2điểm) Cho hàm số
1
1
2 +
-
=
x
x
y
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (D) : y = x – 1
Câu 2: (1điểm)
a) Giải phương trình : 3 cos 2 sin ( x x ) + cos x ( 2 sin x + 1 ) = 0
b) Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết:
î
í
ì
=
= +
13
.
10
z
z
z
Câu 3: (0,5điểm) Giải phương trình 5 2 x - 2 - 26 . 5 x - 2 + 1 = 0
Câu 4: (1điểm) Giải hệ phương trình :
3 2
2
ï
í
ï
Câu 5: (1điểm) Tính các tích phân: = ò
2
0
3 . sin
2 sin
p
dx
x
x
I
Câu 6: (1điểm) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a Trên cạnh
AB lấy điểm M sao cho
2
a
AM = , cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
SH = a . Tính thể tích khối chóp S. HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a. Câu 7: (1điểm) Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, CD = 2AB. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là điểm đối xứng của I qua A với 2 17
3 3
Mæç ; ö ÷
è ø . Biết phương trình đường thẳng DC : x + y – 1= 0 và diện tích hình thang ABCD bằng 12. Viết phương trình đường thẳng BC biết
điểm C có hoành độ dương.
Câu 8: (1điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):
2 2 2
x + y + z - x + y - z - = và mặt phẳng (P): x + y + z + 2015 = 0
a) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S). Viết phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) và tiếp xúc (S)
Câu 9: (0,5điểm)Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có duy nhất 1 tấm mang số
chia hết cho 10.
Câu 10: (1điểm) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz.
Chứng minh rằng :
3
4
x +y +x z+y z +y +z +y x+z x+z +x +z y+ x y £
HẾT
Trang 2Câu 1.
(2,0đ)
1. 2 1
1
x
y
x
-
= + Tập xác định: D = ¡ \{–1}.
x lim y 2
xlim y1 ; lim y x 1
®- = -¥ ®- = +¥ Tiệm cận đứng: x = - 1
0,25
2 )
1 (
3 '
+
=
x
y > 0, "xÎD
Hàm số tăng trên (–¥;–1), (–1;+¥)
Hàm số không có cực trị.
0,25
y
2
+¥
–¥
2
0,25
x
5 4 3 2 1 1 2 3 4
y
2
1
1
2
3
4
5
0,25
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D) là :
2 1
1
1
x
x
x
-
2
– 2x = 0
0,25
Câu 2 1. Giải phương trình: 3 cos 2 sin ( x x ) + cos x ( 2 sin x + 1 ) = 0
Trang 3(1,0đ) sin 2 3 cos 2 3 sin cos
sin 2 cos cos 2 sin sin cos cos sin
k
p p
p
é
ê
ê
¢
2
2
k
k x
p
p
p p
é
= - +
ê
ê = +
ê
¢
0,25
2 Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết:
î
í
ì
=
= +
13
.
10
z
z
z
Giả sử z = x + yi =>z = x– yi. (x, yÎIR)
Theo đề bài ta có :
ï
ï
í
ì
= +
=
.
13
.
10
2
2
2
y
x
x
.
0,25
Û
î
í
ì
±
=
=
12
5
y
x
Câu 3
(0,5đ)
Giải phương trình 5 2 x - 2 - 26 . 5 x - 2 + 1 = 0
Đặt t = 5 x >0. Pt <=> t 2 –26t + 25 = 0 <=> ê
ë
é
=
=
25
1
t
t
0,25
<=> ê
ë
é
=
=
2
0
x
x
Câu 4
(1,0đ) Giải hệ phương trình :
3 2
2
ï
í
ï
î
0
Trang 4Điều kiện : 0
1
>
ì
í + ³ -
î
y
x y ( vì y=0 không thỏa hpt)
1
- +
+ + +
x
1
+ + +
1
+ + +
0,25
0,25
Xét A = x 2 + (3y – 1 )x + 3y 2 – 3y + 1
D= 3(y 1) 2 £0 " Îx R => A ³ 0 " x y , Î R
(3) Û x = 1
0,25
Thay x = 1 vào (2) ta có : y2 + y +5 = 5
1 17
2
1 17
( )
2
é - +
=
ê
ê
Û
ê - -
=
ê
ë
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 1 ; 1 17
2
- +
)
0,25
Câu 5
(1,0đ) Tính các tích phân: = ò
2
0
3 . sin
2 sin
p
dx
x
x
I
I = ò
2
0
4
. cos sin 2
p
dx
x
Đặt t=sinx => dt=cosxdx
0,25
▪ = ò
1
0
4
2 dt t
=
1
5
5
2 t =
5
2
Trang 5Câu 6(1,0
điểm)
* Tính thể tích khối chóp S.HCD:
Hai tam giác vuông AMD và DAC có AM AD 1
AD = DC = 2 nên đồng dạng, Suy ra ADH· · = DCH , mà ADH· · + HDC = 90o Þ DHC· = 90 o
DADC vuông tại D: AC2 =AD2+DC2 ÞAC= a 5
Hệ thức lượng DADC: DH.AC = DA.DC
Suy ra: DC.DA 2a
DH
DDHC vuông tại H: 2 2 4a
5
0,25
Do đó diện tích DHCD:
2 HCD
Thể tích khối chóp SHCD:
3
0,25
Tính khoảng cách giữa SD và AC:
Dựng HE ^ SD
Ta có SH ^ (ABCD) nên SH ^ AC và DH ^ AC , do đó AC ^(SHD)
Mà HE Ì (SHD) nên HE ^ AC
Từ đó HE là đoạn vuông góc chung của SD và AC.
nên HE = d SD; AC ( )
0,25
Trang 62 2 2
HE
3
HE = SH + HD Þ =
Vậy d SD; AC( ) HE 2a
3
Câu 7(1,0
điểm)
I
A
B
M
H
Ta có : tam giác MDC vuông tại D
=>(MD) : x – y + 5 = 0
=> D(2; 3)
0,25
MD = 8 2
3 => HD =
3
4 MD = 2 2
Gọi AB = a => SABCD = 3a.2 2
2 = 12 => a = 2 2
0,25
=>DC = 4 2
Gọi C(c; 1 –c ) => DC 2 = 2(c + 2 ) 2 => c = 2 hay c = 6 (loại)=>C(2; 1)
0,25
=>B(3; 2)
=> (BC): 3x – y – 7 = 0
0,25
Câu 8 (1,0
điểm) (S): x2+ y2 + z2 - 2 x + 4 y - 6 z - = 2 0 và (P): x + y + z + 2015 = 0
(D) qua I(1; 2; 3) và có VTCP u r
= (1; 1; 1;) có ptts :
x 1 t
z 3 t
= +
ì
ï
= - +
í
ï = +
b) (Q)// (P) => (Q): x + y + z + D = 0 (D ¹ 2015)
( )
d I Q = Û D = - ±
0,25
Trang 7Vậy (Q) : x + y + z - ± 2 4 3 = 0 0,25 Câu 9:
(0,5điểm)
Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong
đó chỉ có 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ có : C 10 30 cách chọn
Ta phải chọn :
5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ có C15
5
cách chọn.
1 tấm thẻ chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, có : C 1 cc
4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm như vậy, có :
C 4 12
0.25
Vậy xác suất cần tìm là : P(A) =
5 4 1
15 12 3
10
30
. 99
667
=
C C C
C
0.25
Câu 10 (1,0
điểm)
Chứng minh rằng :
3
4
x +y +x z+y z +y +z +y x+z x+z +x +z y+ x y £
Ta có : xy + yz + zx = 3xyz 1 1 1
3
Với x >0; y > 0; z > 0 ta có x 3 + y 3 ≥ xy(x + y) ; 1 1 1 1
4
+
2
+ y 2 ≥ 2xy 0,25
4
xy(x y)
+
£ ê ç + ÷+ ú = ç + ÷ +
(1)
0,25
Chứng minh tương tự :
yz
y z y x z x
£ ç + ÷ +
0,25
Trang 83 3 2 2
zx
z x z y x y
£ ç + ÷ +
(3)
Công (1) ; (2); (3) theo vế ta được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
0,25
DETHITHUDH.NET