Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm học 2015-2016 trường THPT Chuyên Sư Phạm, Hà Nội

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015 Môn thi: Toán Dùng cho học sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin Thời gian: 120 phút Câu 1: 2,5 điểm 1... Câu 5: 1 điểmT

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015

Môn thi: Toán

(Dùng cho học sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)

Thời gian: 120 phút

Câu 1: (2,5 điểm)

1 Cho a ≥ 0, a # 1 Rút gọn biểu thức

2( 1)

a

a



2 Cho x, y thỏa mãn 0< x <1, 0 < y <1 và

1

x y 

Tính giá trị của biểu thức P x y   x2 xy y 2

Câu 2: (2 điểm)

Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dầy của cổng)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y ax 2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua Chứng minh a = -1

2 Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?

Câu 3: (1,5 điểm)

Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a2 b2   1 2(ab a b  )

Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) M là trung điểm của cạnh BC O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S Gọi X,Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng BS, AO Chứng minh rằng:

1 MX BF

2 Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng

3 EF BC

FY CD

Câu 5: (1 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh là các điểm nguyên (một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó là các số nguyên)

Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác ABC là một số nguyên

Hướng dẫn giải Câu 1: (2,5 điểm)

1 Cho a ≥ 0, a # 1 Rút gọn biểu thức

2( 1)

a

a



2 Cho x,y thỏa mãn 0< x <1, 0 < y <1 và

1

x y 

Tìm giá trị của biểu thức P x y   x2 xy y 2

Giải:

1

6 4 2 20 14 2 ( 3) 3 1 : 1

2( 1)

2 1

2 2 4

a

a

a a a

a



   

  

2

Ta có

1 3 2

x y xy

xy

x y



  

2

xy

x y  

Ta có

 2

3

3

1 3 1 3

P x y x xy y x y x y xy

xy

xy xy

Nếu xy> 1/3 Thì P = 2

Nếu xy < 1/3n thì P = 3xy

Câu 2: (2 điểm)

Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dầy của cổng)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y ax 2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua Chứng minh a = -1

2 Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?

1 Áp dụng định lý py ta go ta có /y/ = 4 thay x = 2

4 = /a/4 suy ra a= -1 ta được y = - x2

2 Thay x= 1.2 ta có y = 1.44

Khoảng cách còn lại 4- 1.44 = 2.56 vậy ô tô đi qua được

Câu 3: (1,5 điểm)

Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn

2

là số chính phương suy ra a là số chính phương a = x2(x là số nguyên)

2

2

1

b x

Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) M là trung điểm của cạnh BC O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S Gọi X,Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng È với các đường thẳng BS,AO Chứng minh rằng:

1 MX BF

2 Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng

3 EF BC

FY CD

1 Ta có BE, CF, AD là ba đường cao

Suy ra các tứ giác BFHD, BFEC , BFEC nội tếp Góc ACB = góc XFB = góc FBX ( cùng chắn cung AB, góc trong bằng góc ngoài đối diện) Tam giác BXF cân suy ra

XF = XB Vì M là trung điểm của BC nên FM là trung tuyến suy ra FM = MB.Vậy

XM là trung trực BF hay MX BF

2 Xét hai tam giác FHD và tam giác XMS

ta có góc DFH = góc SXM ( vì cùng phụ với hai góc bằng nhau)

Góc FDH = góc FBH = góc BSM ( cùng phụ với hai góc bằng nhau)

Vậy Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng

3 Ta chứng minh được tam giác AFE đồng dạng tam giác ACB và tam giác AFY đồng dạng tam giác ADC suy ra

3 EF BC

FY CD

Câu 5: (1 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh là các điểm nguyên (một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó là các số nguyên)

Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác ABC là một số nguyên

Đặt A(x2,y2) B(x3,y3) C(x1,y1) Thì P có hoành độ là x1 D có hoành độ x2, N có hoành độ là x3 R có tung độ y2 S có tung độ là y1 T có tung độ là y3

SABC = SCBNP- SABND- SADPC



1

2

1

) 2

y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x

y x y x y x y x

x y y y x x

2 SABC = x1(y2-y1) + y3(x2-x1)

Vì các tọa độ là các số nguyên vậy diên tích hai lần diện tích tam giác ABC là số nguyên