Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị C tại hai điểm A, B phân biệt sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng có phương trình: x
Trang 1Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số 2 4
1
x y x
−
= +
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho A và B
đối xứng nhau qua đường thẳng có phương trình: x + 2y +3= 0
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: sin 2 1 2 os
x
c x
2 Giải hệ phương trình: 2 2 2 22
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: 2 cos
0
(e x s inx).sin 2 x dx
π
+
∫
Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp trong hình trụ có bán kính đáy r; góc giữa
BC’ và trục của hình trụ bằng 300; đáy ABC là tam giác cân đỉnh B có · 0
120
ABC= Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BC, A’C và AB Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE
Câu V: (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = 3
4 Chứng minh rằng: 3 1 3 1 3 1 3
a b + b c + c a ≥
Câu VI: (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) và đường thẳng ∆ : x – y + 1 = 0 Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt ∆ ở 2 điểm A, B phân biệt sao cho ∆MAB vuông tại M và có diện tích bằng 2
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 2 1
x = y− = z−
− − và mặt phẳng
(P) : ax + by + cz – 1 = 0 2 2
(a +b ≠0) Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua đường thẳng
d và tạo với các trục Oy, Oz các góc bằng nhau
Câu VII: (1,0 điểm)
Xét số phức z thỏa mãn điều kiện : z− =3i 1, tìm giá trị nhỏ nhất của z
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
tìm vuông góc với ∆: x + 2y +3= 0 nên có phương trình y = 2x +m
TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A, B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Trang 2D cắt (C) ở 2 điểm A, B phân biệt 2 4 2
1
x
x m x
−
2
⇔ + + + = có 2 nghiệm phân biệt khác - 1⇔m2−8m−32 0 (1)>
2
2
A B I
x
m
Do AB vuông góc với ∆ nên A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆: x + 2y +3= 0 ⇔ ∈∆ ⇔ = −I m 4
m = - 4 thỏa mãn (1) vậy đường thẳng d có phương trình y = 2x - 4
§iÒu kiÖn: sinx≠0, cosx≠0,sinx+cosx≠0
cos sin
cos sin 2 sin 2
+
x x
x x x
x
0 2 sin ) 4 sin(
cos
0 cos sin
cos 2 sin
2
=
⇔
= +
−
⇔
x x
x
x x
x x
x
2 0
2 4
4
n x
π
π
π
3
2
=
⇔ x π t π t
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ
π
π k
x= +
2
v x y
= +
= −
2
3 (2) 2
uv
⇔ + − + − =
Thế (1) vào (2) ta có:
2
uv+ uv+ − uv = ⇔uv+ uv+ = + uv ⇔uv=
4
uv
u v
=
+ =
( e x s inx).sin 2 x dx 2 e x.cos sin x x dx s inx.sin 2 x dx
2
cos
0
.cos sin
x
π
1 0
t e dt t e= − e dt=
0
2
cos
0
x
π
Trang 33 0 ' EF EF EC '.
A K C K F K A ABC
r
Gọi H là trung điểm của AC ta có FH // AA’ suy ra FH⊥(ABC) và
2
r
HK =HB HE= =
Gọi J là trung điểm KF, trong mp (FKH) đường trung trực của FK cắt FH tại I, I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE FK2 =FH2+KH2 =r2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE
R FI
Áp dụng
z y x
9 z
1 y
1 x
1 9 xyz
3 xyz 3 z
1 y
1 x
1 ) z y x
(
3
3
+ +
≥ + +
⇒
=
≥
+ + +
a 3 c c 3 b b a
9 a
3 c
1 c
3 b
1 b
a
1 P
+ + + + +
≥ +
+ +
+ +
Trung bình cộng – trung bình nhân cho 3 bộ ba số dương ta có
3
c 3a 1 1 1
3
+ + + + + ≤ + + + 1 4.3 6 3
3 4
≤ + =
Do đó P≥3; Dấu = xảy ra
3
4
a 3b b 3c c 3a 1
+ + =
+ = + = + =
Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình (x a− )2+ −(y b)2 =R2
∆MAB vuông tại M nên AB là đường kính suy ra ∆ qua I do đó:
a - b + 1 = 0 (1)Hạ MH ⊥AB có ( , )
2 1 1
2 2
M
MAB
S∆ = MH AB⇔ = R ⇔ =R Vì đường tròn qua M nên (2−a)2+ −(1 b)2 =2 (2)
Trang 4Ta có hệ 21 0 2 (1)
a b
− + =
− + − =
(x−1) + −(y 2) =2
Đường thẳng d qua M (0, 2, 1) có VTCP ur(1, 1, 1)− −
P) có VTPT n a b cr( , , )
d ⊂ P ⇒n vr r= ⇔ − − = ⇔ = +a b c a b c
0
b c
= ≠
= ⇔ r r = r r ⇔ = ⇔ = − ≠ Nếu b = c = 1 thì a = 2 suy ra ( )P : 2x1
+ y + z - 1 = 0 (loại vì M∉( )P1 Nếu b = - c = - 1 thì a = 0 suy ra ( )P : y - z - 1 = 0 (thỏa mãn)2
Vậy (P) có phương trình y - z - 1 = 0Đặt z = x + iy ta có z− = ⇔3i 1 x2+ −(y 3)2 =1Từ x2+ −(y 3)2 =1
ta có (y−3)2 ≤ ⇔ ≤ ≤1 2 y 4Do đó z = x2+y2 ≥ 0 2+ 2 =2Vậy giá trị nhỏ nhất của z bằng 2 đạt khi z = 2i