Chuỗi lũy thừa padic Luận văn Thạc sĩ Toán học

Việc nghiên cứu khái niệm số p-adic là một bước ngoặt rất quan trọng, nó đã giúp các nhà Toán học chứng minh được rất nhiều bài toán mà trong trường số thực vàtrường số phức không thể ch

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 Giá trị tuyệt đối và trường định giá 4

1.2 Xây dựng trường số hữu tỉ p-adic p 10

1.3 Xây dựng trường số phức p-adic p 13

CHƯƠNG 2 CHUỖI LŨY THỪA P-ADIC 15

2.1 Chuỗi lũy thừa trên trường Acsimét 15

2.2 Chuỗi lũy thừa p-adic 16

2.3 Hàm Gamma 21

2.4 Đa giác Newton 22

2.5 Độ cao của chuỗi lũy thừa 24

KẾT LUẬN 27

TÀI LIỆU THAM KHẢO 28

MỞ ĐẦU

Mặc dù lý thuyết số p-adic đã được xây dựng hơn một thế kỷ, nhưng giải tích

p-adic chỉ mới phát triển mạnh mẽ và trở thành một chuyên ngành độc lập trong

khoảng 70 năm trở lại đây

Việc nghiên cứu khái niệm số p-adic là một bước ngoặt rất quan trọng, nó đã

giúp các nhà Toán học chứng minh được rất nhiều bài toán mà trong trường số thực vàtrường số phức không thể chứng minh được Chuỗi lũy thừa p-adic cũng là một phần

kiến thức rất quan trọng trong trường phi-Acsimét

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu và hệ thống lại một số kết quả của chuỗilũy thừap-adic Với mục đích đó, nội dung luận văn được trình bày trong 2 chương.

Chương 1 Các kiến thức cơ sở

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ sở để phục vụ chochương 2

Chương 2 Chuỗi lũy thừa p-adic

Trong chương này chúng tôi hệ thống lại các khái niệm, các tính chất về chuỗilũy thừa p-adic, so sánh tính chất hội tụ của một số chuỗi lũy thừa trên hai trường cơ

sở là trường Acsimét và trường phi Acsimét

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn khoa họccủa thầy giáo GVC.TS Mai Văn Tư Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy

và cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số và

lý thuyết số của Khoa Toán - trường Đại học Vinh đã tận tình giảng dạy giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô giáo phòng sau đại học – trường Đạihọc Vinh, ban lãnh đạo trường Đại học Vinh, trung tâm DN-HN-GDTX Đức Thọ, cácbạn bè đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên và giúp đở tôi

để tôi hoàn thành khóa học và thực hiện được luận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những hạn chếthiếu sót Rất mong được sự cảm thông, góp ý chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đồngnghiệp.

Nghệ An, tháng 08 năm 2013

Thái Phương

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Giá trị tuyệt đối và trường định giá

1.1.3 Định nghĩa

Hai giá trị tuyệt đối trên một trường K được gọi là phụ thuộc (còn gọi là tươngđương) nếu chúng xác định cùng một tôpô trên K Trong trường hợp ngược lại, chúngđược gọi là độc lập (còn gọi là không tương đương).

Lược đồ chứng minh định lí này là a b c d  a.

+) a b. Giả sử tồn tại x K sao cho 1

Khi đó

 11

1.1.7 Kí hiệu và ví dụ

Giả sử p là một số nguyên tố và x,x0, khi đó x có thể viết dưới dạng

  trong đó p j j, 1, 2, ,k là các số nguyên tố, từng đôi một khác nhau

và j là các số nguyên khác không Các số nguyên j được gọi là chỉ số lũy thừa của

số nguyên tố p j có mặt trong sự phân tích của số hữu tỷ x.

min ord ( ),ord ( ) ord ( )

min ord ( ) ord ( ),ord ( ) ord ( )

min ord ord , ord ord mi

(vì dễ thấy ord ( ) ord +ordp ab  p a p b)

Khi đó với mọi x y x, , 0,y0,x y 0, chúng ta có:

ax ord , ord ord ( )

Người ta gọi p là giá trị tuyệt đối p-adic

Trên trường số hữu tỉ , ngoài giá trị tuyệt đối tầm thường và giá trị tuyệt đốithông thường ,



 chúng ta đã chỉ ra một họ các giá trị tuyệt đối p-adic Vấn đềđặt ra là trên  có tồn tại giá trị tuyệt đối nào khác nữa không? Định lí Ostrowski sẽtrả lời cho câu hỏi đó

0 1 0 0s,0 a 0, 0

n a a n  a n  n a Khi đó

n a0 a n1 0   a n s 0s

1 n0  n0s

   

Đặt  p  01 Nếu q là số nguyên tố, qp và giả sử q 1, suy ra tồn

tại m n, là số tự nhiên sao cho 1, 1

Giả sử p là một số nguyên tố cố định, dãy  x n các số hữu tỉ được gọi là các dãy

cơ bản theo giá trị tuyệt đối p-adic p nếu với mọi  0,luôn tồn tại một số tự nhiên

Vậy số nguyên  có thể chọn trong tập 0,1, 2, ,p  j 1 

Định lí sau đây làm cơ sở cho việc xác định các số nguyên p-adic

1.2.7 Định lí

Với mỗi lớp tương đương a Q p, a  p 1, có đúng một dãy Côsi  a j

thỏa mãn hai điều kiện sau:

Trong định lí trên ta luôn giả thiết a  p 1. Vậy điều gì sẽ xảy ra khi a  p 1. Để

đi đến kết luận chúng ta biến đổi như sau:

Mọi số p -adic có dạng  p m, trong đó m Z  , là phần tử khả nghịch

Trong trường số thực, bao đóng đại số của trường số thực lại chính là trường

số phức  Có thể xem là không gian véctơ 2 chiều trên  Vấn đề được đặt ra từ,

p

 bằng phương pháp tương tự có thể mở rộng nó thành một trường đóng đại số vàđầy đủ hay không? Câu trả lời là khẳng định song có những điểm khác nhau, chẳng hạngiá trị tuyệt đối trên  và trên pkhác nhau nên tôpô trên chúng cũng khác nhau Mặtkhác, bao đóng đại số của là một trường đầy đủ còn bao đóng đại số của pkhông



1.3.1 Định lí

p

 là trường không đầy đủ.

(Nghĩa là tồn tại một dãy cơ bản các phần tử của p nhưng không hội tụ)

Giả sử X là tập hợp các dãy cơ bản gồm các phần tử của p , dãy  x n đượcgọi là dãy không nếu limn x n p 0.

  Hai dãy cơ bản  x n và  y n được gọi là tương đương nếu và chỉ nếu  x n  y n

CHƯƠNG 2 CHUỖI LŨY THỪA P-ADIC 2.1 Chuỗi lũy thừa trên trường Acsimét

Mục đích của mục này là hệ thống lại một số tính chất liên quan đến chuỗi lũythừa trong  (hoặcC) và so sánh xem nó có gì khác biệt khi xét trong trường phiAcsimét

2.1.2 Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

Số thực dương r sao cho chuỗi

0,

  hội tụ với mọi x x: r và phân

kì với mọi x x: r được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi

  hội tụ với mọi x thì r .

+) Nếu chuỗi lũy thừa

0,

  phân kỳ với mọi x 0 thì r 0.

2.1.3 Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

a) Định lí Abel

Giả sử lim n 1

n n

B Xét sự hội tụ của chuỗi tại các đầu mút của khoảng hội tụ, x r và xr.

Từ đó suy ra được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

a   thì ( ) f z hội tụ khi và chỉ khi z 

2.2 Chuỗi lũy thừa p-adic

Ta biết rằng trên trường định giá K (K Z Q C  p, p, p ) với giá trị tuyệt đối

là phi Acsimét Một dãy x n nKđược gọi là dãy Côsi (Cauchy) nếu và chỉ nếu

Cũng như trong trường hợp Acsimét (chuỗi lũy thừa trong )

Chúng ta định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa như sau

2.2.1 Định nghĩa

Số thực dương r sao cho chuỗi

0,

 K hội tụ với mọi x x: p r và

phân kì với mọi x x: p r được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi

0,

Điều gì sẽ xảy ra khi x p r Ta xét các ví dụ sau.

2.2.2 Các ví dụ.

(i) Xét chuỗi    

1 1

n n n

 Trong trường hợp Acsimét (trường số thực)

n n n

z

(2)Chuỗi (2) hội tụ với mọi z Cz  Tuy nhiên chuỗi lũy thừa p – adic (2) chỉ hội tụ trongmiền  : 1/(p 1)

(iv) Xét chuỗi lũy thừa n

n

n z p

Nếu

0

n n

n n n

 



(ii) Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có ngay kết quả

(iii) Áp dụng (i) và (ii) ta có  ( k  1)   k k ( )    k ! (1)  k !

2.3.3 Mệnh đề

*,

( ).

p p

s s s

( ).iii Cho s  p và m là một số nguyên dương không chia hết cho p Khi đó

1 1

( ).i Suy ra trực tiếp từ định nghĩa.

( ).ii Với s 1 ta có p(1)  1 theo định nghĩa Và p(0)  p(1) 1  Suy ra:

( )

m p h m

, ( )

s s

2.4 Đa giác Newton

( Nếu như a i 0 ta bỏ các điểm này hoặc ta coi nó như điểm vô tận nằm phía trên trục

hoành)

Đa giác Newton của f x( ) được định nghĩa là bao lồi của tập hợp những điểm

này nghĩa là đường thẳng cao nhất nối (0,0) với ( , n ord ap n) sao cho nó đi qua hoặc

nằm dưới tất cả các điểm ( , i ord ap i). Bao lồi này được xây dựng bằng cách lấy một

đường thẳng đi qua (0,0) và quay quanh (0,0) ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi

nó gặp điểm ( , i ord a1 p i1).

Đoạn thẳng nối (0,0) với ( , ) i a1 i1 là đoạn thẳng đầu tiên của đa giác Newton.

Sau đó quay đường thẳng quanh ( , i ord a1 p i1) cho đến khi gặp

1

1

thẳng thứ 2 của đa giác Newton Tiếp tục quay đường thẳng quanh ( , i ord a2 p i2) và lặp

lại quá trình trên cho đến khi gặp điểm ( , n ord ap n).

i a Đoạn thẳng nối điểm ( , )i m và

( ', ')i m thì độ dốc của nó là: ( ' m m  ) / ( ' ) i i  Độ dài của dốc là i i' , đó là độ dài củahình chiếu của đoạn thẳng tương ứng xuống trục hoành

2.5 Độ cao của chuỗi lũy thừa

(3,-1)

lũy thừa Định lý sau đây nêu lên mối liên hệ giữa tính hội tụ và độ cao của chuỗi lũythừa.

2.5.3 Định lý

Chuỗi lũy thừa (1) hội tụ trong đĩa Dr khi và chỉ khi đường thẳng t0  logpr

là đường tiệm cận của đường đa giác h ( , )  t

Định lý được chứng minh bởi bổ đề sau

Với mọi v z ( )  v z ( ),0 bởi vậy lim ( )  n ( ) 

p z





 (Ví dụ 2.2.2 (iii))

Chúng ta có v a ( )n  nt n  2  nt  khi n   với mọi t.

Vì v a( )n nt triệt tiêu khi t0 n, do đó nếu n   thì t   0 , tức là r  .

Vậy chuỗi này hội tụ trên toàn mặt phẳng C p

(ii) Cho chuỗi lũy thừa 2

0

n n n

Chúng ta nhận được v a ( )n  nt  n2 nt triệt tiêu khi t0 n do đó khi

\ {0}

p

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được các kết quả sau

1 Trình bày lại một cách có hệ thống các khái niệm về giá trị tuyệt đối và trường địnhgiá, xây dựng trường số hữu tỷ p- adic p và xây dựng trường số phức p- adic p.

2 Trình bày và chứng minh các định lý về tính hội tụ của chuỗi lũy thừa

3 So sánh tính hội tụ của chuỗi lũy thừa trong trường Acsimét và trường phi Acsimét

4 Tìm hiểu mối quan hệ giữ khái niệm độ cao của chuỗi lũy thừa và tính hội tụ của nó

Các kết quả chính đã tìm hiểu và trình bày chi tiết là các định lý 1.1.5; 1.1.9 cácmệnh đề : 2.2.4; 2.3.2; 2.3.3; định lý 2.5.3; ví dụ 2.2.2 và nhận xét 2.5.6

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng việt

[1] Nguyễn Thành Quang (1998), Sự suy biến của các đường cong chỉnh hình và tính

hyperbolic Brody p-adic, luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh

[2] Mai Văn Tư (1995), Lý thuyết Nevanlinna - Cartan P - adic và ứng dụng, luận án

Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh

[3] Mai văn Tư (2012), bài giảng Lý thuyết p-adic, Trường Đại học Vinh.

Tiếng anh

[4] D.Chen end X Yang (2004), Hausdor measures of a class of Sierpinski carpets,

Anal Theory Appl 20, 167-174

[5] HaHuyKhoai and MaiVanTu (1995), p-adic Nevanlinna Cartan theorem, Inter J.

Math Vol, No.5

[6] N.I Koblitz (1979), Padic numbers, padic analysis and Zetafunction, Springer

-Verlag

[7] S.Lang (1991), Number theory III, Encyclopedia of Mathematical Sciences

-Verlag

[8] Z Zhou and J.Le (2006), Some Problems on Fractal Geometry and

Dynamical Sytems, J Eng Math Xian, 761-766.