Công thức Bass cho chiều nội xạ Gorenstein

Chi·u nëi x¤ Gorenstein.. Cæng thùc Bass cho chi·u nëi x¤ Gorenstein... N«m 2000, Christensen ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng tr¶n v nhCohenMacaulay vîi mæun èi ng¨u, trong cæng thùc â, ng÷íi ta c

L×ÌNG œNH O€N

CÆNG THÙC BASS CHO CHI—U NËI X„ GORENSTEIN

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Ngh» An - 2013

L×ÌNG œNH O€N

CÆNG THÙC BASS CHO CHI—U NËI X„ GORENSTEIN

Chuy¶n ng nh: „I SÈ V€ LÞ THUY˜T SÈ

Möc löc 1

1.1 V nh v  mæun Noether 4

1.2 V nh àa ph÷ìng, mæun húu h¤n sinh 5

1.3 Phê cõa v nh v  gi¡ cõa mæun 7

1.4 D¢y ch½nh quy v  ë s¥u 7

1.5 V nh v  mæun àa ph÷ìng hâa 8

1.6 Chi·u x¤ £nh 10

1.7 Chi·u nëi x¤ 12

1.8 T½ch tenxì cõa hai mæun 14

1.9 H m tû Tor 15

1.10 H m tû Ext 17

2 Cæng thùc Bass cho chi·u nëi x¤ Gorenstein 19 2.1 Chi·u nëi x¤ Gorenstein 20

2.2 Cæng thùc Bass cho chi·u nëi x¤ Gorenstein 21

MÐ †U

Trong to n bë luªn v«n v nh luæn ÷ñc gi£ thi¸t l  giao ho¡n, câ ìn và

v  Noether Hìn núa chóng tæi luæn k½ hi»u (R,m, k) l  v nh àa ph÷ìngvîi i¶an tèi ¤i duy nh§t m v  tr÷íng th°ng d÷ k

Kh¡i ni»m "Gchi·u" cõa mët mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Noether

¢ ÷ñc Auslander v  Bridger ÷a ra v  nghi¶n cùu v o n«m 1969 B§tbi¸n çng i·u n y l  mët sü l m màn kh¡i ni»m chi·u x¤ £nh cê iºn v 

nâ công câ nhi·u t½nh ch§t t÷ìng tü nh÷ chi·u x¤ £nh Kh¡i ni»m "chi·unëi x¤ Gorenstein" l  mët kh¡i ni»m èi ng¨u vîi kh¡i ni»m Gchi·u, nâ

÷ñc ÷a ra bði Enochs v  Jenda v o n«m 1996 Câ thº nâi r¬ng chi·u nëix¤ Gorenstein l  mët sü mð rëng cõa kh¡i ni»m chi·u nëi x¤ cê iºn.Chó þ r¬ng, n¸u mët mæun húu h¤n sinh M tr¶n v nh àa ph÷ìng R

câ chi·u nëi x¤ húu h¤n th¼ chi·u nëi x¤ cõa nâ b¬ng ë s¥u cõa v nh cì sð:

injdimM= depthR

Cæng thùc n y ÷ñc bi¸t ¸n vîi t¶n gåi cæng thùc Bass (xem [5; rem 3.1.17]) N«m 2000, Christensen ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng tr¶n v nhCohenMacaulay vîi mæun èi ng¨u, trong cæng thùc â, ng÷íi ta câ thºthay th¸ chi·u nëi x¤ bði chi·u nëi x¤ Gorenstein N«m 2006, Christensenti¸p töc chùng minh ÷ñc i·u t÷ìng tü cho tr÷íng hñp mæun tr¶n v nh

Theo-àa ph÷ìng câ phùc èi ng¨u

Trong [9], Khatami v  Yassemi ¢ nghi¶n cùu chi·u nëi x¤ Gorensteincõa mæun húu h¤n sinh v  ¢ ÷a ra mët kiºu cæng thùc Bass cho chi·unëi x¤ Gorenstein tr¶n v nh giao ho¡n Noether tòy þ: N¸u mët mæun húu

h¤n sinh M tr¶n v nh giao ho¡n Noether tòy þ R câ chi·u nëi x¤ Gorensteinhúu h¤n th¼ chi·u nëi x¤ Gorenstein cõa nâ ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc

GidRM = sup{depthRp|p ∈ Supp(M )}

Tø â hå ¢ suy ra c¡c k¸t qu£ nâi tr¶n cõa Christensen nh÷ l  h» qu£

v  hå công chùng minh ÷ñc r¬ng n¸u v nh giao ho¡n àa ph÷ìng R thäam¢n dimM - depthR ≤ 1 th¼ vîi méi mæun húu h¤n sinh M tr¶n v nh R

ta câ chi·u nëi x¤ Gorenstein cõa M óng b¬ng ë s¥u cõa v nh R

Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n l  tr¼nh b y l¤i c¡c k¸t qu£ trong b i b¡o[9] cõa Khatami v  Yassemi

Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v  t i li»u tham kh£o, nëi dung cõa Luªnv«n gçm 2 ch÷ìng Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y chóngtæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· ¤i sè giao ho¡n nh÷ : V nh v  mæunNoether, v nh àa ph÷ìng, mæun húu h¤n sinh, v nh v  mæun àa ph÷ìnghâa, d¢y ch½nh quy, ë s¥u, chi·u x¤ £nh, chi·u nëi x¤, nh¬m möc ½ch

l m cì sð cho vi»c tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa Luªn v«n ð Ch÷ìng 2.Ngo i ra chóng tæi cán tr½ch d¨n mët sè k¸t qu£ ¢ câ d÷îi d¤ng nhúngm»nh · nh¬m phöc vö cho c¡c chùng minh ð ph¦n sau Ch÷ìng 2: Cængthùc Bass cho chi·u nëi x¤ Gorenstein Möc ½ch ch½nh cõa ch÷ìng n y l tr¼nh b y chi ti¸t c¡c k¸t qu£ trong b i b¡o [9] cõa Khatami v  Yassemi V¼th¸ tr÷îc h¸t chóng tæi tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m v· chi·u nëi x¤ Gorenstein.Sau â chóng tæi tr¼nh b y cæng thùc Bass cho chi·u nëi x¤ Gorenstein.Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨ntªn t¼nh, chu ¡o v  h¸t sùc nghi¶m kh­c cõa cæ gi¡o TS Nguy¹n ThàHçng Loan T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä líi c£m ìn s¥u s­c nh§t ¸n cæ gi¡o

TS Nguy¹n Thà Hçng Loan ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, ëng vi¶n v  t¤o i·uki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m · t i.Nh¥n dàp n y, t¡c gi£ xin tr¥n trång gûi líi c£m ìn tîi c¡c th¦y cæ gi¡otrong Bë mæn ¤i sè, Khoa To¡n, Pháng  o t¤o Sau ¤i håc, Ban Gi¡m

hi»u Tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ gióp ï v  t¤o i·u ki»n º t¡c gi£ câ mëtmæi tr÷íng håc tªp tèt v  h¸t sùc thuªn lñi.

Ngh» An, th¡ng 08 n«m 2013

T¡c gi£

câ d÷îi d¤ng nhúng m»nh · nh¬m phöc vö cho c¡c chùng minh ð ph¦nsau.

1.1 V nh v  mæun Noether

1.1.1 ành ngh¾a Cho M l  R-mæun Khi â

(i) Mæun M ÷ñc gåi l  mæun Noether n¸u måi d¢y t«ng c¡c mæuncon cõa M ·u døng, ngh¾a l  n¸u

0 = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂

l  mët d¢y t«ng c¡c mæun con cõa M th¼ ∃k ∈ N sao cho Mn = Mkvîi måi n ≥ k

(ii) V nh R ÷ñc gåi l  v nh Noether n¸u R l  R-mæun Noether

1.1.2 ành l½ (ành l½ °c tr÷ng cõa mæun Noether)

Cho mæun M Khi â c¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng:

(i) M l  R-mæun Noether.

(ii) Måi tªp hñp kh¡c réng c¡c mæun con cõa M ·u câ ph¦n tû cüc ¤itheo quan h» bao h m

(iii) Måi mæun con cõa M ·u húu h¤n sinh

1.1.3 H» qu£ Cho v nh R Khi â c¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng:(i) R l  v nh Noether

(ii) Måi tªp hñp kh¡c réng c¡c i¶an cõa R ·u câ ph¦n tû cüc ¤i theoquan h» bao h m

(iii) Måi i¶an cõa R ·u húu h¤n sinh

1.2 V nh àa ph÷ìng, mæun húu h¤n sinh

1.2.1 ành ngh¾a

(i) V nh R ÷ñc gåi l  v nh àa ph÷ìng n¸u trong R ch¿ câ duy nh§t mëti¶an cüc ¤i m Khi â v nh th÷ìng R/m l  mët tr÷íng v  gåi l tr÷íng th°ng d÷ cõa v nh R Kþ hi»u v nh àa ph÷ìng (R,m) ho°c(R,m, k) vîi (k = R/m)

(ii) V nh R ÷ñc gåi l  v nh nûa àa ph÷ìng n¸u R câ húu h¤n i¶an cüc

(ii) Gi£ sû m l  mët i¶an cüc ¤i cõa R N¸u måi ph¦n tû cõa tªp hñp

1 +m = {1 + a|a ∈ m} ·u kh£ nghàch trong v nh R th¼ R l  v nh àaph÷ìng vîi i¶an cüc ¤i duy nh§t l  m

1.2.3 ành ngh¾a Cho R v  S l  c¡c v nh Khi â mët çng c§u v nh

f : R → S ÷ñc gåi l  çng c§u àa ph÷ìng n¸u f(mR) ⊆ mS, vîi måi i¶ancüc ¤i mR cõa v nh R (mS l  i¶an cüc ¤i cõa v nh S)

1.2.4 ành ngh¾a Cho M l  mët R-mæun, S l  mët tªp hñp con cõa

M Khi â giao cõa t§t c£ c¡c mæun con cõa M chùa S l  mët mæuncon cõa M chùa S Mæun n y ÷ñc gåi l  mæun con sinh bði tªp S; k½hi»u: <S>

Khi â S ÷ñc gåi l  h» sinh hay tªp sinh cõa < S >

1.2.5 Chó þ (i) < S > l  mæun con b² nh§t cõa M chùa S

(ii) Méi ph¦n tû cõa < S > l  mët tê hñp tuy¸n t½nh tr¶n R cõa S, tùc

1.3 Phê cõa v nh v  gi¡ cõa mæun

1.3.1 ành ngh¾a (i) K½ hi»u SpecR l  tªp t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tècõa v nh R Khi â SpecR ÷ñc gåi l  phê cõa v nh R

(ii) Vîi méi i¶an I cõa v nh R ta k½ hi»u

V (I) = {p ∈ SpecR |p ⊇ I}

1.3.2 ành ngh¾a K½ hi»u Supp(M) l  tªp c¡c i¶an nguy¶n tè cõa Rsao cho Mp 6= 0 Tªp Supp(M) ÷ñc gåi l  gi¡ cõa mæun M

Vîi méi x ∈ M, k½ hi»u

AnnR(x) = {a ∈ R|ax = 0};

AnnRM = {a ∈ R|aM = 0} = {a ∈ R|ax = 0, ∀x ∈ M }

Ta câ AnnR(x) v  AnnR(M ) l  nhúng i¶an cõa R, AnnR(M ) gåi l  linhhâa tû cõa mæun M Hìn núa, n¸u M l  R- mæun húu h¤n sinh th¼

Supp(M ) = {p ∈ SpecR|p ⊇ AnnR(M )}

1.4 D¢y ch½nh quy v  ë s¥u

1.4.1 ành ngh¾a Cho M l  R-mæun húu h¤n sinh

(i) Mët ph¦n tû a ÷ñc gåi l  ph¦n tû ch½nh quy cõa M hay M- ch½nh quyn¸u ax 6= 0 vîi måi x ∈ M, x 6= 0

(ii) Mët d¢y c¡c ph¦n tû x1, x2, , xn cõa R-mæun ÷ñc gåi l  d¢y ch½nhquy cõa R-mæun M hay cán ÷ñc gåi l  M-d¢y n¸u

M/(x1, x2, , xn)M 6= 0v  xi l  M/(x1, x2, , xi−1)M-ch½nh quy vîimåi i = 1, , n

1.4.2 Chó þ Chó þ r¬ng a ∈ R l  ph¦n tû ch½nh quy cõa M khi v ch¿ khi x /∈ p, vîi måi p ∈ AssM Do â, x1, x2, , xn l  d¢y ch½nh quycõa M khi v  ch¿ khi M/(x1, x2, , xn)M 6= 0 v  xi ∈/ p, vîi måi p ∈AssM/(x1, x2, , xi−1)M vîi måi i = 1, , n.

1.4.3 ành ngh¾a (i) Gi£ sû x1, x2, , xn l  mët M-d¢y Khi â n ÷ñcgåi l  ë d i cõa d¢y

(ii) Cho I l  mët i¶an tòy þ cõa v nh R sao cho IM 6= M v  x1, x2, , xn

l  mët M-d¢y trong I Khi â x1, x2, , xn ÷ñc gåi l  d¢y ch½nh quycüc ¤i trong I n¸u khæng tçn t¤i y ∈ I sao cho x1, x2, , xn, y l  d¢ych½nh quy cõa M Ta bi¸t r¬ng måi d¢y ch½nh quy cüc ¤i trong còngmët i¶an I ·u câ còng ë d i ë d i n y ÷ñc gåi l  ë s¥u cõa M

èi vîi i¶an I v  ÷ñc k½ hi»u l  depthIM

• °c bi»t, n¸u I = m th¼ depthm(M ) ÷ñc gåi l  ë s¥u cõa M v 

÷ñc k½ hi»u l  depthM

• N¸u x1, x2, , xn l  mët d¢y ch½nh quy cõa M th¼ nâ công l  mëtph¦n h» tham sè cõa M Do â depthM ≤ dimM

1.5 V nh v  mæun àa ph÷ìng hâa

Cho S l  tªp nh¥n âng cõa v nh R Tr¶n t½ch ·-c¡c

K½ hi»u r/s thay cho (r, s) v 

S−1R = R × S/ ∼ = {r/s | r ∈ R, s ∈ S}

l  tªp th÷ìng cõa R × S theo quan h» t÷ìng ÷ìng ∼

Tr¶n S−1R trang bà hai ph²p to¡n cëng (+) v  nh¥n (.), khi â S−1Rtrð th nh mët v nh v  gåi l  v nh c¡c th÷ìng cõa R theo tªp nh¥n âng

S

Méi i¶an cõa v nh c¡c th÷ìng S−1R ·u câ d¤ng S−1I, trong â I l i¶an cõa v nh R Ta câ S−1I = S−1R ⇔ I ∩ S 6= φ Do â S−1I l  i¶anthüc sü cõa S−1R khi v  ch¿ khi I ∩ S = φ

Cho p ∈ SpecR Khi â S = R\p l  mët tªp nh¥n âng cõa v nh R

V nh S−1R trong tr÷íng hñp n y l  v nh àa ph÷ìng, k½ hi»u l  Rp, vîii¶an cüc ¤i duy nh§t l  pRp = {a/s | a ∈ p, s ∈ R\p} n¶n ÷ñc gåi l 

v nh àa ph÷ìng hâa cõa v nh R t¤i i¶an nguy¶n tè p

Cho M l  mët R-mæun Tr¶n t½ch ·-c¡c M × S ta x²t quan h» haingæi

(m, s) ∼ (m0, s0) ⇔ ∃t ∈ S : t(s0m − sm0) = 0

D¹ th§y ∼ l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n M × S Khi â M × S ÷ñcchia th nh c¡c lîp t÷ìng ÷ìng Vîi méi ph¦n tû (m, s) ∈ M × S, k½ hi»um/s l  lîp t÷ìng ÷ìng chùa (m, s), tùc l 

(m/s) = {(m0, s0) ∈ M × S | (m0, s0) ∼ (m, s)}

= {(m0, s0) ∈ M × S | ∃t ∈ S : t(s0m − sm0) = 0}.K½ hi»u S−1M = M × S/ ∼ l  tªp th÷ìng cõa M × S theo quan h» t÷ìng

÷ìng ∼, tùc l :

S−1M = M × S/ ∼ = {m/s | m ∈ M, s ∈ S}

Chó þ r¬ng trong S−1M : m/s = m0/s0 ⇔ ∃t ∈ S : t(s0m − sm0) = 0

Tr¶n S−1M trang bà hai ph²p to¡n cëng (+) v  nh¥n (.) Khi â S−1M

l  mët S−1R-mæun v  gåi l  mæun c¡c th÷ìng cõa M theo tªp nh¥n âng

S, vîi ph¦n tû khæng l  0/1 = 0M/s, ∀s ∈ S

S−1M công câ c§u tróc l  mët R-mæun vîi ph²p nh¥n vîi væ h÷îngx¡c ành nh÷ sau:

r.m/s = r/1.m/s = rm/s,trong â r ∈ R v  m/s ∈ S−1M

Cho p ∈ SpecR Khi â S = R\p l  mët tªp nh¥n âng cõa v nh R.Trong tr÷íng hñp n y ta vi¸t Rp thay cho S−1R v  vi¸t Mp thay cho S−1M.Mæun Mp ÷ñc gåi l  mæun àa ph÷ìng hâa cõa M t¤i i¶an nguy¶n tè

p

1.6 Chi·u x¤ £nh

1.6.1 ành ngh¾a Mët R-mæun P ÷ñc gåi l  x¤ £nh n¸u vîi måi çngc§u f : P → M00 v  måi to n c§u g : M → M00 c¡c R-mæun ·u tçn t¤imët çng c§u h : P → M sao cho gh = f

Sû döng ngæn ngú biºu ç, ành ngh¾a n y câ thº ph¡t biºu l¤i nh÷ sau:Mët mæun P tr¶n v nh R l  x¤ £nh n¸u måi biºu ç

P

f

M g //M00 //0

nhúng çng c§u cõa nhúng mæun tr¶n v nh R, trong â dáng l  khîp ·u

câ thº nhóng v o mët biºu ç giao ho¡n

P

h

||zzzzzz

zz f

M g //M00 //0

trong â gh = f

Sü tçn t¤i cõa mæun x¤ £nh ÷ñc cho bði m»nh · sau.

1.6.2 M»nh · Måi R-mæun tü do ·u x¤ £nh

1.6.3 ành ngh¾a Cho M l  mët R-mæun Líi gi£i x¤ £nh cõa M l mët d¢y khîp

//Pn //Pn−1 // //P1 //P0 //M //0,

trong â Pi l  x¤ £nh vîi måi i

Ng÷íi ta công ành ngh¾a mët líi gi£i x¤ £nh cõa M l  mët phùc c¡cR−mæun

Chó þ r¬ng måi R−mæun M ·u câ líi gi£i x¤ £nh

1.6.4 ành ngh¾a Cho M l  mët R-mæun Chi·u x¤ £nh cõa M, k½ hi»u

l  projdimRM (ho°c pdRM) l  sè nguy¶n n nhä nh§t (n¸u tçn t¤i) sao cho

câ mët líi gi£i x¤ £nh cõa M :

1.7 Chi·u nëi x¤

1.7.1 ành ngh¾a Mët R-mæun Q ÷ñc gåi l  nëi x¤ n¸u vîi måi çngc§u α : M0 → Q v  måi ìn c§u β : M0 → M c¡c R-mæun ·u tçn t¤imët çng c§u λ : M → Q sao cho λβ = α

Sû döng ngæn ngú biºu ç, ành ngh¾a n y câ thº ph¡t biºu l¤i nh÷ sau:Mët mæun Q tr¶n R l  nëi x¤ n¸u v  ch¿ n¸u måi biºu ç

0 //M0

α

β //Mλ }}|||||

|||

Qtrong â λβ = α

1.7.2 ành l½ Méi R-mæun ·u ¯ng c§u vîi mët mæun con cõa mët

R-mæun nëi x¤

1.7.3 ành ngh¾a Cho M l  R-mæun Líi gi£i nëi x¤ cõa M l  d¢ykhîp

0 //M //E0 //E1 // . //En // ,trong â Ei l  R-mæun nëi x¤ vîi måi i

Ng÷íi ta công ành ngh¾a líi gi£i nëi x¤ cõa M l  mët phùc c¡c R−mæun

0 //E0 //E1 // //En // .trong â Ei l  nëi x¤ còng vîi çng c§u ε : M → E0 sao cho

0 //M ε //E0 //E1 // . //En // .

l  mët d¢y khîp.

Chó þ r¬ng måi mæun ·u câ líi gi£i nëi x¤

1.7.4 ành ngh¾a Cho M l  mët R-mæun Chi·u nëi x¤ cõa M k½ hi»u

l  injdimRM (ho°c idRM) l  sè nguy¶n nhä nh§t n (n¸u tçn t¤i) sao cho

câ mët líi gi£i nëi x¤ cõa M :

0 //M ε //E0 //E1 // . //En //0Trong tr÷íng hñp khæng tçn t¤i líi gi£i nëi x¤ húu h¤n nh÷ tr¶n ta nâichi·u nëi x¤ cõa M l  væ h¤n, k½ hi»u l  injdimRM = ∞

1.7.5 M»nh · Cho R l  v nh Noether v  M l  R-mæun Khi â c¡c

i·u ki»n sau t÷ìng ÷ìng:

R-injdimM = sup{i | ExtiR(k, M ) 6= 0}

1.7.8 H» qu£ Cho (R,m, k) l  v nh àa ph÷ìng Noether, v  M l  R-mæunhúu h¤n sinh N¸u x ∈ m l  ph¦n tû R-ch½nh quy v  M-ch½nh quy th¼

injdimR/(x)M/xM = injdimRM − 1

1.8 T½ch tenxì cõa hai mæun

1.8.1 ành ngh¾a Cho M l  R-mæun

(i) Cho S l  mët tªp con cõa M Tªp S = {xi}i∈I ÷ñc gåi l  ëc lªptuy¸n t½nh n¸u måi tªp con húu h¤n J ⊆ I th¼ P

1.8.3 Chó þ (i) X²t ph²p chi¸u tü nhi¶n F → F/D = M ⊗

R

N Vîi méiph¦n tû (x, y) ∈ F , k½ hi»u x ⊗ y l  £nh cõa (x, y) trong M ⊗

R

N, cângh¾a x ⊗ y = (x, y) + D Tø ành ngh¾a ta suy ra:

(x + x0) ⊗ y = (x ⊗ y) + (x0 ⊗ y),

x ⊗ (y + y0) = (x ⊗ y) + (x ⊗ y0),(ax) ⊗ y = a(x ⊗ y) = x ⊗ (ay),vîi ∀x, x0 ∈ M ; ∀y, y0 ∈ N ; ∀a ∈ R

(ii) T½ch tenxì cõa hai mæun câ thº ành ngh¾a b¬ng t½nh phê döng nh÷sau: Cho M, N l  c¡c R-mæun Khi â t½ch tenxì cõa M v  N l  mëtc°p (T, ϕ) trong â T l  mët R-mæun v  ϕ : M × N → T l  ¡nh x¤song tuy¸n t½nh sao cho vîi måi c°p (U, ψ) trong â U l  R-mæun v 

ψ : M × N → U th¼ ∃!h : T → U l  çng c§u R-mæun sao cho biºu

ç sau giao ho¡n

ψ II$$I I I

PN : //Pn dn //Pn−1dn−1 //// . //P1 d1 //P0 d0//0 (1)

1.9.5 M»nh · (i) N¸u M l  mæun x¤ £nh th¼ TorR

n(M, N ) = 0 vîimåi n ≥ 1 v  vîi måi mæun N

(ii) N¸u N l  mæun x¤ £nh th¼ TorR

n(M, N ) = 0 vîi måi n ≥ 1 v  vîi måimæun M

n−1

∗ //HomR(M, En) d

n

∗ // . (2)

Mæun çng i·u thù n cõa d¢y phùc (2): Hn(HomR(M, EN)) ÷ñc gåi

l  mæun d¨n xu§t ph£i thù n cõa h m tû HomR(M, −) v  ÷ñc kþ hi»u l :ExtnR(M, N )

Khi â

ExtnR(M, −) : µR −→ µR

N 7−→ ExtnR(M, N )

÷ñc gåi l  h m tû d¨n xu§t ph£i thù n cõa h m tû HomR(M, −)

1.10.2 M»nh · (i) H m tû Ext khæng phö thuëc v o sü lüa chån v ogi£i nëi x¤ (gi£i x¤ £nh)

ExtnR(M, N ) = 0,vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n v  vîi måi mæun N.

(ii) N¸u N l  mæun nëi x¤ th¼

ExtnR(M, N ) = 0,vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n v  vîi måi mæun M

Theo-àa ph÷ìng câ phùc èi ng¨u.

Trong [9], Khatami v  Yassemi ¢ nghi¶n cùu chi·u nëi x¤ Gorensteincõa mæun húu h¤n sinh v  ¢ ÷a ra mët kiºu cæng thùc Bass cho chi·unëi x¤ Gorenstein tr¶n v nh giao ho¡n Noether tòy þ: N¸u mët mæun húuh¤n sinh M tr¶n v nh giao ho¡n Noether tòy þ R câ chi·u nëi x¤ Gorensteinhúu h¤n th¼ chi·u nëi x¤ Gorenstein cõa nâ ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc

GidRM = sup{depthRp|p ∈ Supp(M )}

Tø â hå ¢ suy ra c¡c k¸t qu£ nâi tr¶n cõa Christensen nh÷ l  h» qu£

v  hå công chùng minh ÷ñc r¬ng n¸u v nh giao ho¡n àa ph÷ìng R thäam¢n dimM - depthR ≤ 1 th¼ vîi méi mæun húu h¤n sinh M tr¶n v nh R

ta câ chi·u nëi x¤ Gorenstein cõa M óng b¬ng ë s¥u cõa v nh R

Nëi dung cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b y chi ti¸t c¡c k¸t qu£ trong [9] V¼th¸ trong ti¸t ¦u ti¶n cõa Ch÷ìng, chóng tæi tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m v·chi·u nëi x¤ Gorenstein Trong ti¸t hai, tr÷îc ti¶n chóng tæi tr¼nh b y chùngminh ành lþ nâi tr¶n cõa ([5]; Theorem 3.1.17) cho tr÷íng hñp mæun húuh¤n sinh M tr¶n v nh àa ph÷ìng R câ chi·u nëi x¤ húu h¤n Sau â, chóngtæi tr¼nh b y k¸t qu£ cõa [9] cho tr÷íng hñp mæun húu h¤n sinh M tr¶n

v nh giao ho¡n Noether tòy þ R câ chi·u nëi x¤ Gorenstein húu h¤n

2.1 Chi·u nëi x¤ Gorenstein

2.1.1 ành ngh¾a R-mæun M ÷ñc gåi l  nëi x¤ Gorenstein n¸u tçn t¤imët d¢y khîp c¡c R-mæun nëi x¤,

I = //I2 //I1 //I0 //I−1 //I−2 // .sao cho phùc HomR(J, I) l  khîp vîi måi R-mæun nëi x¤ J v  M =Ker(I1 → I0)

Rã r ng måi mæun nëi x¤ l  nëi x¤ Gorenstein, do â ta câ thº x¥ydüng mët líi gi£i nëi x¤ Gorenstein cõa mët mæun b§t ký

2.1.2 ành ngh¾a Cho M l  mët R-mæun Mët líi gi£i nëi x¤ Gorensteincõa M l  mët d¢y khîp

0 //M //G0 //G−1 // .trong â Gi l  nëi x¤ Gorenstein vîi måi i ≤ 0

2.1.3 ành ngh¾a M l  R-mæun Khi â chi·u nëi x¤ Gorenstein cõa

M, k½ hi»u GidRM l  mët sè nguy¶n nhä nh§t n sao cho M câ mët líi gi£inëi x¤ Gorenstein

0 //M //G0 //G−1 // //G−n //0.