Khảo sát hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ trong môi trường nguyên tử khí Rb 5 mức năng lượng

Trong lân cận miền phổ cộng hưởng, biên độ của các hệ số này thay đổi mạnh theo tần số và quy luật thay đổi được quy định bởi đặc trưng cấu trúc của các nguyên tử trong môi trường.. Hiệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Chương II: HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

TRONG MÔI TRƯỜNG NGUYÊN TỬ KHÍ Rb NĂM MỨC

MƠ ĐẦU

Hấp thụ và tán sắc là hai tham số cơ bản đặc trưng cho các tính chất quang học của môi trường Hai hệ số này có quan hệ nhân quả theo hệ thức Kramer-Kronig và thường được biểu diễn tương ứng theo phần thực và phần

ảo của độ cảm điện χ Trong lân cận miền phổ cộng hưởng, biên độ của các

hệ số này thay đổi mạnh theo tần số và quy luật thay đổi được quy định bởi đặc trưng cấu trúc của các nguyên tử trong môi trường Tuy nhiên, sự ra đời của ánh sáng laser thì tính chất quang học của các nguyên tử có thể được thay đổi một cách “có điều khiển” Tiêu biểu cho điều này là sự tạo hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ (electromagnetically induced transparency) Đây là hiệu ứng được đề xuất vào năm 1989 và kiểm chứng thực nghiệm vào năm 1991 bởi nhóm nghiên cứu ở Stanford Hiệu ứng này là kết quả của sự giao thoa giữa các biên độ xác suất của các kênh dịch chuyển trong nguyên tử dưới sự kích thích kết hợp của một hoặc nhiều trường điện từ dẫn đến sự trong suốt của môi trường đối với một chùm quang học nào đó

Điều khiển sự hấp thụ và tán sắc dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ hiện đang được chú ý nghiên cứu trên cả hai phương diện lý thuyết và thực nghiệm đối với các hệ nguyên tử khác nhau bởi có nhiều triển vọng ứng dụng Tiêu biểu là tạo các bộ chuyển mạch quang học, làm chậm vận tốc nhóm của ánh sáng, xử lý thông tin lượng tử , tăng hiệu suất các quá trình quang phi tuyến, phổ phân giải cao Đặc biệt, sự ra đời của các kỹ thuật làm lạnh nguyên tử bằng laser trong thời gian gần đây đã tạo ra các hệ nguyên

tử lạnh (nhiệt độ cỡ µK) mà ở đó chúng ta có thể bỏ qua các va chạm dẫn đến

sự biến đổi pha giữa các trạng thái lượng tử của điện tử và các hiệu ứng mở rộng vạch phổ Doppler Các nhà khoa học kỳ vọng điều này sẽ tạo một bước đột phá trong ứng dụng vào chế tạo các thiết bị quang tử học có độ nhạy cao

Để đạt được mục đích này, việc mô tả chính xác hệ số hấp thụ và hệ số tán

sắc là rất quan trọng.

Cấu hình cơ bản để nghiên cứu hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ

là các cấu hình 3 mức năng lượng Khi đó, sự trong suốt quang học có thể được tạo ra trong miền phổ rất hẹp (gọi là “cửa sổ”) xung quanh tần số cộng hưởng Để tăng khả năng ứng dụng của hiệu ứng này, các nhà khoa học đã chú ý đến việc tạo ra nhiều cửa sổ trong suốt Một phương án đã được đề xuất

là đưa thêm các trường laser điều khiển để kích thích thêm các trạng thái tham gia quá trình giao thoa Cách làm này mặc dù tạo ra nhiều cửa sổ trong suốt tuy nhiên việc điều khiển đồng thời nhiều chùm sáng như vậy là rất phức tạp Theo một cách khác, nhóm nghiên cứu H Wang và các cộng sự trong công trình đã đề xuất sử dụng chỉ một chùm laser điều khiển để liên kết đồng thời với 4 mức năng lượng theo cấu hình kích thích bậc thang Cách làm này đã tạo ra 3 cửa sổ trong suốt trong hệ nguyên tử Rb85 Kết quả tính toán lý thuyết của nhóm này mặc dù phù hợp tốt với các kiểm chứng thực nghiệm nhưng không thuận lợi cho các ứng dụng khác nhau do các hệ số này chỉ được xác định bằng phương pháp số tại một vài giá trị thông số của trường laser điều khiển Để khắc phục hạn chế này, chúng tôi đề xuất sử dụng phương pháp giải tích đã được áp dụng cho các hệ nguyên tử 3 mức trong công trình và các công trình của nhóm Quang học quang phổ tại trường Đại học Vinh cho hệ 3 mức, bốn mức vào hệ 5 mức này [6] Theo đó, điều kiện cường độ chùm laser

dò yếu so với chùm laser điều khiển được đưa vào để đơn giản hóa quá trình giải hệ phương trình ma trận mật độ của hệ nguyên tử

Với lý do này chúng tôi chọn đề tài "Khảo sát hiệu ứng trong suốt

cảm ứng điện từ trong môi trường nguyên tử Rb 5 mức năng lượng" làm

đề tài luận văn thạc sỹ của mình

Đề tài sẽ tập trung nghiên cứu sự thay đổi hệ số hấp thụ và tán sắc của

hệ nguyên tử Rb85 cấu hình bậc thang năm mức

Cấu trúc luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo,

bao gồm hai chương:

Chương 1: Trình bày cơ sở lý thuyết về tương tác giữa nguyên tử với trường

quang học dựa trên lý thuyết bán cổ điển Tìm hiểu về hệ nguyên tử hai mức,

ba mức năng lượng từ đó rút ra bản chất vật lý của dao động Rabi, hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ (EIT) làm cơ sở để dẫn ra hệ số hấp thụ và tán sắc của hệ nguyên tử năm mức cấu hình bậc thang

Chương 2: Dẫn ra hệ số hấp thụ và tán sắc của nguyên tử Rb85 cấu hình bậc thang năm mức được kích thích kết hợp bởi trường laser dò có cường độ yếu

và laser điều khiển có cường độ mạnh Từ đó, khảo sát ảnh hưởng của hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc theo các thông số của trường điều khiển

CHƯƠNG I TƯƠNG TÁC GIỮA NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG LASER

1.1 Tương tác của nguyên tử với trường laser

1.1.1 Định nghĩa và tính chất của ma trận mật độ:

Ma trận mật độ là một phương pháp dùng để tính giá trị kỳ vọng của các toán tử ứng với các đại lượng vật lý cần đo trong trường hợp không biết hàm sóng một cách chính xác

Để đưa vào khái niệm ma trận mật độ, chúng ta xét một hệ lượng tử có hàm sóng Ψ( t r, ) .

Hàm sóng Ψ( t r, ) được khai triển qua các hàm riêng U n (r) với các giá trị riêng C n (t):

∑

= Ψ

r U t C t

, (

) ( ) ( )

(

r U A C t

r A

r U t C r U A

n n

n

n n n

Ψ

m n

n n m

m m

n

n m

n

m t C t U r A U r C t U r A U r C C

t r A

t

r

,

* ,

) , (

n mn

m t A C t C

,

* ( ) ( ),

như vậy, =∑

n m

n mn

m A C C A

,

*

(1.3)Nếu ta không biết trạng thái chính xác của hệ thì sự thiếu thông tin này

sẽ được phản ánh trong độ bất định về giá trị của Cn khai triển của Ψ( t r, )

Tuy nhiên, nếu có đầy đủ thông tin để tính được giá trị trung bình theo tập hợp của n

nm mn

n m nm mn

n m

n

C A

, ,

Tr Kết quả này được suy ra từ điều kiển chuẩn hóa Chúng ta nhớ lại rằng theo quan điểm lượng tử thì tất cả các thông tin về trạng thái của một hệ đã cho có thể được biểu diễn trong các số hạng của giá trị kỳ vọng của các toán tử được chọn một cách thích hợp Như vậy, vấn đề cơ bản bây giờ là phải tính toán các giá trị kỳ vọng Vì giá trị kỳ vọng của bất cứ toán tử nào cũng có thể thu được bằng cách sử dụng phương trình (1.6), nên ma trận mật độ chứa tất cả các thông tin cần thiết về hệ

Kiểu lấy trung bình với một gạch ngang ở trên đầu là lấy trung bình theo tập hợp Quá trình này có thể giải thích như sau: Người ta tạo ra một tập hợp gồm N hệ đủ lớn sao cho các hệ này gần như đồng nhất với nhau, theo mức độ mà các thông tin không đầy đủ có được cho phép Sau đó, để các hê này tiến triển theo thời gian, như vậy được đặc trưng bởi một hàm trạng thái:

( )r t, C( )( ) ( )t U n r

n

j n j

* ,

m n mn

m n

A =∑C C A

j m n

m

N t C t C t

1

*

) (

ρ (1.7) Trung bình theo tập hợp là trung bình trên cả N hệ

Theo cách lý giải vật lý đó thì ma trận mật độ biểu diễn một số khía cạnh xác suất của tập hợp đang xét với phần tử đường chéo là xác suất để một trong các hệ đó ở trạng thái U n( )r Các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng trung bình theo tập hợp của n

* m n

u Ψ Ψ = (1.8)

Từ (1.5) và (1.8), ta được: ρ = Ψ Ψ (1.9)Như trên đã trình bày, trong cơ sở của { }u n toán tử mật độ được biểu diễn bằng một ma trận, gọi là ma trận mật độ với các thành phần:

nm C C m n mn

ρ = = ρ ↔ ρ + = ρ

C ( ) ( ) ( )t U r U r C ( ) ( )t U r H U ( )r

t

n n n

m n

t

t C

C C t

m

m n

nm

∂

∂ +

Phương trình (1.15) là phương trình Liuvin cho ma trận mật độ, nó được áp dụng để mô tả tương tác của hệ nguyên tử với trường bức xạ cũng như để mô tả các quá trình phi tuyến khác

Lý thuyết cơ sở của sự phát xạ và hấp thụ trong nguyên tử bao gồm các cơ chế mở rộng vạch Độ rộng vạch sinh ra từ phát xạ tự phát bằng độ mở rộng vạch do phát xạ Sự phân rã của nguyên tử có nhiều nguyên nhân như quá trình phân rã do phát xạ tự phát (là quá trình các nguyên tử đang ở trạng thái có mức năng lượng cao tự động nhảy xuống trạng thái có mức năng lượng thấp hơn) và phân rã do va chạm

Phương trình (1.15) chỉ đúng trong trường hợp lý tưởng nghĩa là khi

cường độ, pha và tần số của trường kích thích là hoàn toàn đơn sắc và các mức năng lượng không suy biến và khi không chú ý đến phân rã của các trạng thái Thực tế do nhiều nguyên nhân, các thông số thường có thể thăng giáng

và các mức năng lượng của hệ có thể suy biến với một độ rộng phổ nào đó

Sự mở rộng có thể do va chạm, do sự mở rộng tự nhiên, mở rộng Doppler Vì vậy, để khảo sát thực tế hơn, chúng ta phải bổ sung ảnh hưởng của các yếu tố ảnh hưởng trên vào phương trình, tức là phải đưa thêm vào ma trận suy giảm tương ứng với các thăng giáng, các quá trình phân rã Khi đó phương trình (1.15) trở thành:

d i[ , ]H .

dt

ρ = − ρ + Λρ

h (1.16)Trong đó, H là Hamiltonian toàn phần của nguyên tử, thông thường H được biểu diễn như tổng hai phần: một phần mô tả tương tác giữa nguyên tử với trường, phần còn lại đặc trưng cho Hamiltonian của nguyên tử khi không

Với Hˆ 0: là Hamiltonian tự do; HˆI: là hamiltonian tương tác

Phương trình (1.17), (1.18) sẽ được chúng tôi sử dụng và từng trường hợp cụ thể ở các phần sau của luận văn

1.2 Các hiệu ứng kết hợp do sự tương tác nguyên tử và trường laser

1.2.1 Các trạng thái kết hợp và không kết hợp

Trong hệ nguyên tử hai mức, dưới tác dụng của trường điều khiển thì hai trạng thái của hệ sẽ thay đổi theo thời gian Tuy nhiên, nếu có thêm một trường nữa cùng tác dụng thì mô hình nguyên tử hai mức không thể mô tả được và ta phải sử dụng mô hình nguyên tử nhiều mức Đó là hạn chế của nguyên tử hai mức Minh họa cho điều này là hệ nguyên tử ba mức được kích thích bởi hai trường laser Lúc đó, có thể xảy ra nhiều hiệu ứng thú vị mà ta không thể quan sát được trong hệ nguyên tử hai mức Tính chất quan trọng

mà dẫn tới sự khác biệt giữa các hệ ba mức hay nhiều mức với hệ hai mức là

sự liên kết giữa hai trường laser với tần số khác nhau Một sự pha trộn các nguyên tử hai mức khác nhau có thể cộng hưởng với nhiều hơn một trường đơn sắc Tuy nhiên, mỗi trường laser chỉ cộng hưởng với một loại nguyên tử

và thậm chí nếu cường độ là đủ cao để đẩy các nguyên tử ra xa trạng thái cân bằng, thì mỗi trường laser không có ảnh hưởng lên nhau và do đó không có sự liên kết giữa các chùm khác nhau Mặt khác, trong hệ nguyên tử ba mức, hai sóng laser với các tần số khác nhau có thể tương tác với cùng một nguyên tử Nếu chúng là đủ mạnh để đẩy hệ nguyên tử ra xa sự cân bằng, thì mỗi sóng quang học có thể ảnh hưởng khác nhau – môi trường “trộn” các sóng

Môi trường nguyên tử cho phép các cơ chế khác nhau để liên kết các trường laser khác nhau mà chúng ta có thể phân loại thành các nhóm một cách khái quát đó là các nhóm cơ chế “kết hợp” và “không kết hợp” Trong trường hợp liên kết kết hợp, các nguyên tử liên kết thông tin pha và biên độ giữa hai chùm, trong khi đó chỉ có thông tin cường độ được liên đới trong trường hợp không kết hợp

Một thí dụ điển hình về cơ chế không kết hợp là bơm quang học, trong đó một sóng bơm quang học mạnh (mũi tên đậm trong hình 1) làm di chuyển độ cư trú ra xa dịch chuyển tới một dịch chuyển mà nó liên kết và do

đó làm tăng lên số các nguyên tử tương tác với chùm dò Mặt khác các sự tương tác kết hợp, trao đổi độ liên kết giữa các dịch chuyển khác nhau (trái ngược với các độ cư trú)

Hình 1.1 Bơm quang học trong các hệ ba mức.

từ và các quá trình dịch chuyển chỉ xảy ra trong phạm vi hai mức

Trong sự mô tả bán cổ điển, trường bức xạ đặt vào nguyên tử được

mô tả bởi một sóng phẳng điện từ cổ điển,

E E= 0 cos( ωt kz− ). (1.19)

Mặt khác, nguyên tử thì được lượng tử hóa Ở đây, chúng ta khảo sát hệ

nguyên tử hai mức có các trạng thái riêng E 1 và E 2 như mô tả trên hình 1.1

Do bước sóng λ của sóng điện từ lớn hơn nhiều lần đường kính d của

nguyên tử nên pha của sóng điện từ không thay đổi bên trong thể tích của nguyên tử vì kz= (2 / ) π λ << 1 với z d≤ Do đó, chúng ta có thể bỏ qua các đạo hàm riêng phần của biên độ trường Đây được gọi là gần đúng lưỡng cực

Trong hệ tọa độ với gốc tại tâm nguyên tử, chúng ta giả sử rằng kz ; 0ở bên trong thể tích nguyên tử, và do đó biểu thức (1.19) có thể viết dưới dạng:

0

2

i t i t E

ở đây, chúng ta đã sử dụng H0 1 = h ω 1 1 và H0 2 = h ω 2 2

Tương tự, phần Hamilton H I biểu diễn sự tương tác của nguyên tử với trường có thể được viết trong gần đúng lưỡng cực là:

d =d =e x là phần tử ma trận của momen lưỡng cực điện.

Bây giờ, chúng ta mô tả trạng thái của hệ theo hình thức luận ma trận mật độ như đã đưa ra ở trên Trạng thái của hệ là tổ hợp tuyến tính của các trang thái 1 và 2 , tức là Ψ =C1 1 +C2 2 Khi đó, toán tử ma trận mật độ có

thể được viết là:

Trở lại Hamilton tương tác, bây giờ chúng ta viết lại dưới dạng các phần tử ma trận như sau,

d E t H

e− 2ω ; ∆ = ω0− ωL gọi là độ lệch tần số của tần số trường laser so với tần số

dịch chuyển quang học; ab 0

22 ( 21 12 ) 2 22 2

Hệ các phương trình này cho phép chúng ta khảo sát các hiệu ứng do sự tương tác giữa hệ nguyên tử và trường laser gây ra Tuy nhiên, để nghiên cứu một cách đầy đủ các hiệu ứng này xẩy ra trong các hệ thực thì chúng ta khảo sát sự tương tác trong hệ nhiều mức Một trong số hệ quả của nguyên tử hai mức nổi bật là dao động Rabi

 Dao động Rabi:

Mô hình nguyên tử hai mức có thể xem như là kết quả của sự lượng tử hóa mô hình Lorentz – Lorenz cổ điển [2] Ở đây, điện trường dao động điều khiển các lưỡng cực và các điện tích được gia tốc của lưỡng cực dao động có tác dụng giống như một nguồn phát sóng thứ cấp Hai sóng lan truyền cùng với nhau và sự giao thoa giữa chúng gây ra sự tắt dần, tức là sự hấp thụ, cũng như sự dịch chuyển pha, tức là sự tán sắc Về bản chất, mô hình bán cổ điển mô tả tình trạng theo một cách rất tương tự: một sóng điện từ kích thích các nguyên tử có tác dụng giống như lưỡng cực điện Sự khác nhau chủ yếu là chúng được mô tả theo cơ học lượng tử

Hình 1.2 Mô hình nguyên tử hai mức tương tác với trường laser.

Nếu hệ nguyên tử hai mức thỏa mãn điều kiện dịch chuyển lưỡng cực tương tác với trường laser có tần số ωc gần với dịch chuyển của nguyên tử ω12 như trên hình 1.2 thì xảy ra dịch chuyển qua lại giữa hai mức này Một trong những hệ quả của nguyên tử hai mức tương tác với trường điện từ là độ cư trú của mỗi trạng thái cũng dao động tuần hoàn với tần số Rabi (ký hiệu là ΩR) được cho bởi biểu thức:

chuyển nguyên tử, d12 là phần tử ma trận momen lưỡng cực dịch chuyển giữa

hai trạng thái, còn E là cường độ điện trường của trường laser Chúng ta có

thể minh họa sự thay đổi độ cư trú sau mỗi chu kỳ dao động như trên hình 1.2

Chúng ta thấy rằng, khi độ lệch tần tăng thì tần số Rabi tăng và do đó chu kì dao động Rabi T = 2 / π ΩR giảm xuống Tức là, khi tần số của trường ngoài xa tần số cộng hưởng thì ảnh hưởng của trường lên sự thay đổi độ cư trú là rất nhỏ và có thể bỏ qua Còn trong sự cộng hưởng thì tần số dao động

Rabi tỉ lệ với cường độ trường laser, 12

R

d E

Ω =

Hình 1.3 Sự thay đổi độ cư trú theo thời gian của nguyên tử hai mức dưới

tác động của trường ngoài sau một chu kì dao động Rabi

1.2.3 Tương tác giữa nguyên tử ba mức với trường laser

Chúng ta sẽ sử dụng thuyết bán cổ điển để khảo sát sự tương tác giữa nguyên tử và bức xạ điện từ một sóng điện từ biến thiên theo thời gian và không gian tương tác với nguyên tử Để đơn giản, trước hết ta xét hệ nguyên

tử gồm ba mức năng lượng tham gia vào quá trình này 1 là trạng thái cơ bản, 2 là trạng thái kích thích và 3 là trạng thái có mức năng lượng cao nhất và có tương tác lưỡng cực điện với 1 và 2 khác 0

thời gian

Khi nguyên tử cô lập, Hamiltonian trong phương trình (1.11) là toán

tử không phụ thuộc thời gian, phương trình sóng (1.11) có dạng:

đó, toán tử mô tả các hiện tượng quan sát được không phụ thuộc tường minh vào thời gian

Giả sử ba trạng thái | 1 , | 2 và | 3 tương ứng với ba hàm sóng ψ1( )r ,

( )r

2

ψ và ψ 3( )r ứng với năng lượng E1, E2 và E3.

Từ (1.17), hàm sóng phụ thuộc thời gian tương ứng là:

Ψ 1( )r t, = exp(−iE t1 / h)ψ 1 ( ).r

Ψ 2( )r t, = exp(−iE t2 / h)ψ 2 ( ).r (1.43)

Ψ 3( )r t, = exp(−iE t3 / h)ψ 3 ( ).r

Hàm sóng Ψ ( , )r t mô tả trạng thái của nguyên tử và là tổ hợp tuyến

tính của các hàm sóng thành phần ψ1( )r , ψ2( )r và ψ 3( )r tương ứng với các

trạng thái | 1 , | 2 và | 3 :

Ψ (r,t) =C1Ψ1(r,t) +C2Ψ2(r,t) +C3Ψ3(r,t), (1.44)

trong đó C1, C2 và C3 là các hệ số không phụ thuộc vào không gian

Đưa vào hệ nguyên tử hai nguồn laser có tần số và cường độ thích hợp, một nguồn liên kết có cường độ mạnh (Ec) được điều hưởng tần số để kích thích nguyên tử từ trạng thái | 2〉 lên trạng thái | 3〉 và một chùm dò có cường độ Ep yếu hơn nhiều so với chùm liên kết với tần số điều hưởng trong dịch chuyển từ trạng thái | 1 〉(trạng thái cơ bản) lên trạng thái | 2 〉 Hệ nguyên

tử có ba trạng thái tham gia vào quá trình tương tác với hai trường laser ngoài

như trên là hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang Trong đó, dịch chuyển giữa | 1〉và| 3〉 bị cấm theo quy tắc dịch chuyển lưỡng cực Phương trình mô tả tương tác của hai nguồn ánh sáng laser với hệ nguyên tử ba mức có dạng (1.17) Trong trường hợp trường tương tác là laser, phương trình (1.17) trong gần đúng sóng quay và trong hệ tọa độ quay với tần số bằng tần số của laser Ứng với hệ nguyên tử ba mức, ρlà toán tử ma trận mật độ cỡ (3x3):

23 22 21

13 12 11

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

d i [H, ] 21 21L 32 32L .

dt

ρ = − ρ γ+ ρ γ+ ρ

h (1.46)Trong đó, Hamiltonian toàn phần của phương trình theo (1.18)

Do bước sóng λcủa sóng điện từ lớn hơn nhiều lần đường kính d của nguyên tử nên pha của sóng điện từ không thay đổi bên trong thể tích nguyên

tử Do đó, bằng cách sử dụng tính chất đầy đủ của hệ, H0 được viết dưới dạng:

= hω 1 1 1 +hω 2 2 2 + hω 3 3 3 (1.47)

ở đây, chúng ta đã sử dụng H0 1 = hω 1 1 ; H0 2 = hω2 2 và H0 3 = hω3 3

Tương tự, phần Hamiltonian của HI biểu diễn sự tương tác với trường

có thể được viết trong gần đúng lưỡng cực là: