Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng các biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng

9 2 Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng các biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng 13 2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị.. 17 2.4 Luật số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiê

MỤC LỤC

Mục lục 1

Lời nói đầu 2

1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach 4

1.1.1 Định nghĩa 4

1.1.2 Tính chất 5

1.1.3 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên 6

1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện 7

1.2 Các dạng hội tụ và luật số lớn 8

1.2.1 Các dạng hội tụ 8

1.2.2 Luật số lớn 9

2 Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng các biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng 13 2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị 13

2.2 Hội tụ Mosco 15

2.3 Tính hoán đổi được 17

2.4 Luật số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng 21

Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34

LỜI NÓI ĐẦU

Trong mấy thập kỷ gần đây, lý thuyết về các biến ngẫu nhiên đa trị đãxuất hiện và có những bước phát triển mạnh mẽ, dẫn tới nhiều ứng dụngtrong các lĩnh vực khác nhau như: tối ưu hóa và điều khiển, hình học ngẫunhiên, toán kinh tế, thống kê, y học, Trong bài báo đầu tiên viết về luật

số lớn cho các biến ngẫu nhiên đa trị, các tác giả Artstein và Vitale đã thiếtlập luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối,nhận giá trị tập compact trên một không gian Euclide (1975) Kết quả này

mở rộng một kết quả đã có về xác suất đơn trị Cho đến nay luật số lớn chocác biến ngẫu nhiên đa trị đã được nghiên cứu dưới các dạng hội tụ khácnhau như: hội tụ Kuratowski, hội tụ Mosco, hội tụ Wijsman, hội tụ slice,hội tụ theo khoảng cách Hausdorff, Chúng ta có thể kể tên một số nhàtoán học tiêu biểu trên thế giới nghiên cứu về vấn đề này như: G Beer, C.Castaing, C Hess, F Hiai, R L Taylor, H Inoue,

Gần đây, trong bài báo [6], các tác giả Nguyễn Văn Quảng và Dương XuânGiáp đã thiết lập các luật số lớn theo tôpô Mosco cho mảng tam giác cácbiến ngẫu nhiên độc lập theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gianRademacher dạng p (1 < p ≤ 2)

Khái niệm các biến ngẫu nhiên hoán đổi được là một mở rộng của kháiniệm các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối Để tiếp nối hướng nghiêncứu trong bài báo [6], chúng tôi quyết định chọn đề tài "Luật số lớn dạnghội tụ Mosco cho mảng các biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi đượctheo hàng."

Nội dung chính của luận văn được chia làm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kí hiệu, khái niệm và tính chất

cơ bản của xác suất trên không gian Banach Cụ thể, chúng tôi trình bày các

kí hiệu, khái niệm và tính chất của phần tử ngẫu nhiên, kỳ vọng của phần

tử ngẫu nhiên, các dạng hội tụ và luật số lớn đối với phần tử ngẫu nhiên.Chương 2 Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng các biếnngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng.

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày các kí hiệu, khái niệm

và tính chất của biến ngẫu nhiên đa trị, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đa trị,các dạng hội tụ đối với biến ngẫu nhiên đa trị và trình bày những khái niệm,tính chất của biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi được Các khái niệm này đều

là đối tượng nghiên cứu chính trong luận văn Sau đó chúng tôi thiết lập luật

số lớn cho trường hợp mảng tam giác Kết quả của chúng tôi là một mở rộngkết quả của H Inoue và R L Taylor Khi thiết lập luật số lớn cho mảng tamgiác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng, nếu sử dụng kĩ thuật chứngminh như của H Inoue và R L Taylor thì không thu được kết quả Vì thế,chúng tôi đưa ra phương pháp mới để xây dựng mảng các lát cắt, cũng nhưđưa ra một số kỹ thuật biến đổi khác Trong bài báo [6], khi thiết lập luật

số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng, nhận giátrị tập đóng trên không gian Banach khả ly các tác giả đã chỉ ra điều kiện

kỳ vọng bị chặn của mảng các biến ngẫu nhiên đa trị là cần thiết đối với kĩthuật chứng minh được sử dụng Tuy nhiên, trong luận văn này, chúng takhông cần giả thiết kỳ vọng bị chặn của mảng các biến ngẫu nhiên

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình, chu đáo và hết sức nghiêm khắc của thầy giáo PGS TS NguyễnVăn Quảng Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy,người đã chỉ dạy cho tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập,nghiên cứu khoa học và cả trong cuộc sống Nhân dịp này, tác giả cũng xinchân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Xác suất Thống kê và Toánứng dụng, các thầy cô Khoa Toán Tác giả xin cảm ơn thầy giáo ThS DươngXuân Giáp cùng các anh chị trong nhóm Seminar "Xác suất thống kê " đãgiúp đỡ tận tình cho tác giả Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tớigia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện tốt để tác giảthực hiện luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếusót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, côgiáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

1.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian

lập thành một σ-đại số con của σ-đại số F σ-đại số này được gọi là σ-đại

số sinh bởi X Hơn nữa, σ(X) là σ-đại số bé nhất mà X đo được Do đó X

là phần tử ngẫu nhiên G-đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G

Phần tử ngẫu nhiên X : Ω −→ X được gọi là phần tử ngẫu nhiên rời rạcnếu |X(Ω)| không quá đếm được Đặc biệt, nếu |X(Ω)| hữu hạn thì X đượcgọi là phần tử ngẫu nhiên đơn giản (trong đó |X(Ω)| là lực lượng của tập

hợp X(Ω)).

Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n > 1} được gọi là hội tụ đến ánh xạ

X : Ω → X (khi n → ∞), nếu Xn(ω) → X(ω) (theo chuẩn, khi n → ∞) vớimọi ω ∈ Ω

Ký hiệu Xn → X (khi n → ∞)

Giả sử {Xt, t ∈ ∆} là họ các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên

(Ω, F , P), nhận giá trị trên (X, B(X)) Khi đó, họ {Xt, t ∈ ∆} được gọi làđộc lập đôi một (độc lập) nếu họ σ-đại số {σ(Xt), t ∈ ∆} độc lập đôi một(độc lập)

Với1 ≤ p < ∞, ký hiệu Lp(Ω, F , P, X) = Lp(Ω, X)là không gian Banachgồm các phần tử ngẫu nhiên F-đo được f : Ω → X sao cho chuẩn

2 Giả sử ánh xạ X : Ω → X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được Khi đó,ánh xạ kXk : Ω → R là biến ngẫu nhiên G-đo được

3 ( Tính chất này chỉ ra một đặc trưng quan trọng của phần tử ngẫunhiên.) Ánh xạ X : Ω → X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được khi và chỉ khivới mọi f ∈ X∗ thì f (X) là biến ngẫu nhiên G-đo được

4 Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên G-đo được, a, b ∈ R và ξ : Ω →

R là biến ngẫu nhiên G-đo được Khi đó aX + bY và ξX là các phần tử ngẫunhiên G-đo được

5 Nếu {Xn, n > 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên G-đo được và Xn → X khi

n → ∞ thì X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được

6 Ánh xạ X : Ω → X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được khi và chỉ khi X

là giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G-đo được Nghĩa là

tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G-đo được {Xn, n > 1}, sao cho

lim

n→∞sup

ω∈Ω

kXn(ω) − X(ω)k = 0

7 Ánh xạ: X : Ω → X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được khi và chỉ khi

X là giới hạn (theo chuẩn) của một dãy các phần tử ngẫu nhiên đơn giản

G-đo được {Xn, n > 1}, sao cho kXn(ω)k 6 2kX(ω)k với mọi n > 1 vàmọi ω ∈ Ω Nghĩa là tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản G-đo được

{Xn, n > 1} thoả mãn lim

n→∞kXn(ω) − X(ω)k = 0 và kXn(ω)k 6 2kX(ω)k

với mọi n > 1 và mọi ω ∈ Ω

8 Giả sử{Xn, n > 1} là dãy phần tử ngẫu nhiênG-đo được và Xn

h.c.c.

−−−→ X

(khi n → ∞) Khi đó tồn tại phần tử ngẫu nhiên G-đo được X0 sao cho

X0 = X h.c.c và Xn −h.c.c.−−→ X0

9 Giả sử X1, X2 là các không gian Banach thực khả ly và {Xt, t ∈ ∆} là

họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong X1 Khi đó, nếu với mỗi

t ∈ ∆, Tt : X1 → X2 là ánh xạ B(X1)/B(X2) đo được thì họ {Tt(Xt), t ∈ ∆}

là họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong X2

10 Giả sử X1, X2, , Xn là các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên

(Ω, F , P), nhận giá trị trên (X, B(X)) Khi đó, điều kiện cần và đủ để

X1, X2, , Xn độc lập là với mọi f1, f2, , fn ∈ X∗, các biến ngẫu nhiên

Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên và p > 0 Nếu EkXkp < ∞, thì ta nói

X khả tích bậc p Nếu X khả tích bậc 1, thì để đơn giản, ta nói X khả tích.1.1.3.2 Tính chất

1 Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là biến ngẫu nhiên cùng xácđịnh trên (Ω, F , P), a ∈ R, α ∈ X Khi đó, nếu tồn tại EX, EY, Eξ thì

1) Tồn tại E(X + Y ) và E(X + Y ) = EX + EY;

2) Tồn tại E(aX) và E(aX) = aEX;

3) Tồn tại E(αξ) và E(αξ) = αEξ;

Ω → X gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với G nếu

(i) Y là phần tử ngẫu nhiên G-đo được;

(ii) E(Y IA) = E(XIA), với mọi A ∈ G

Kí hiệu Y = E(X|G)

1.1.4.2 Tính chất

1 (Tính chất này cho ta một phương pháp khác để định nghĩa kỳ vọng

có điều kiện, tương tự như định nghĩa kỳ vọng.) Giả sử X, Y là các phần tửngẫu nhiên Khi đó Y = E(X|G) khi và chỉ khi f (Y ) = E(f (X)|G) với mọi

2) Nếu X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được thì E(X|G) = X.

3) E(X + Y |G) = E(X|G) + E(Y |G)

Dãy {Xn, n > 1} hội tụ theo trung bình cấp r > 0 đến X (khi n → ∞),nếu X, Xn (n > 1) khả tích bậc r và lim

Từ định nghĩa trên suy ra rằng dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n > 1} hội

tụ hầu chắc chắn (đầy đủ, theo xác suất, theo trung bình cấp r) đến phần

tử ngẫu nhiên X (khi n → ∞) khi và chỉ khi dãy biến ngẫu nhiên (thực)

{kXn− Xk, n > 1} hội tụ hầu chắc chắn (đầy đủ, theo xác suất, theo trungbình cấp r) đến 0 (khi n → ∞) Do đó, bằng cách sử dụng các tính chấttương ứng của dãy biến ngẫu nhiên thực, ta có ngay các tính chất sau đâycủa dãy phần tử ngẫu nhiên

1 Xn → X h.c.c (khi n → ∞) khi và chỉ khi với mọi ε > 0,

4 Nếu Xn −h.c.c.−−→ X hoặc Xn −→ XLr thì Xn −→ XP (khi n → ∞)

5 Nếu dãy {Xn, n ≥ 1} hội tụ theo xác suất thì tồn tại dãy con {Xnk; k >1) ⊂ (Xn, n ≥ 1} sao cho {Xnk; k > 1} hội tụ h.c.c

1.2.2 Luật số lớn

1.2.2.1 Định nghĩa

Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n > 1} gọi là tuân theo luật mạnh số lớnnếu

(1n

1.2.2.2 Luật yếu số lớn đối với dãy

Chúng tôi giới thiệu luật yếu số lớn đối với dãy phần tử ngẫu nhiên độclập nhận giá trị trên không gian Rademacher dạng p Trước hết, chúng ta cóđịnh nghĩa không gian Rademacher dạng p như sau:

 Định nghĩa Giả sử {rj, j > 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độclập, cùng phân phối thỏa mãn P(r1 = 1) = P(r1 = −1) = 1/2 Không gianBanach X được gọi là không gian Rademacher dạng p (1 6 p 6 2) nếu tồntại một hằng số C > 0 sao cho, với mọi i > 1 và mọi vj ∈ X (1 6 j 6 i),

E

Hoffmann - Jorgensen đã chứng minh được rằng một không gian Banach

là không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2) nếu và chỉ nếu tồn tại mộthằng số dương C = Cp sao cho với mọi dãy hữu hạn các phần tử ngẫu nhiên

 Định lý Giả sử X là không gian Rademacher dạng p (1 6 p 6 2),

{Xn, n > 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên X, {bn, n >

1} là dãy số dương Đặt Yni = XiI(kXik6bn) Khi đó

1.2.2.3 Luật mạnh số lớn đối với dãy

Chúng tôi giới thiệu luật mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập,cùng phân phối, nhận giá trị trên không gian Banach thực, khả ly bất kỳ Kỹthuật chứng minh định lý này được lấy từ bài báo của Terán và Molchanov

 Định lý Cho {X, Xn : n > 1} là họ các phần tử ngẫu nhiên nhận giátrị trên không gian Banach thực khả ly X Giả sử {Xn : n > 1} độc lập đôimột, cùng phân phối với X và EkXk < ∞ Khi đó

1n

n

X

i=1

Xi → EX h.c.c khi n → ∞

1.2.2.4 Luật mạnh số lớn đối với mảng

Chúng tôi giới thiệu luật số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên độclập theo hàng nhận giá trị trên không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2)

 Định lý Giả sử X là không gian Rademacher dạng p, {fni : n ≥

1, 1 ≤ i ≤ n} là mảng tam giác các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng nhậngiá trị trên X, {an} là một dãy các số thực dương sao cho an+1 > an và

nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn

Chương 2

LUẬT SỐ LỚN DẠNG HỘI TỤ MOSCO CHO MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ, HOÁN ĐỔI ĐƯỢC

THEO HÀNG

2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị

Ký hiệu c(X) là họ tất cả các tập con đóng khác rỗng của không gianBanach X Trên c(X) ta xác định một cấu trúc tuyến tính với các phép toánđược định nghĩa như sau:

với U là một tập con mở trên X

ánh xạ X : Ω → c(X) được gọi là biến ngẫu nhiên đa trị, nếu X là

(F , E )-đo được, nghĩa là với mọi B ∈ E, chúng ta có X−1(B) ∈ F Từ đó,một hàm đa trị X : Ω → c(X) là đo được khi và chỉ khi với mọi tập con mở

U của X thì

X−1(U−) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∩ U 6= ∅} ∈ F

Phần tử ngẫu nhiên f : Ω → X được gọi là một lát cắt F-đo được (haynói gọn là lát cắt đo được) của X nếu f (ω) ∈ X(ω) với mọi ω ∈ Ω

Một họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên đa trị {X1, X2, , Xn} được gọi làđộc lập nếu

Khi đó SXp(F ) là một tập con đóng của Lp(Ω, X)

Một biến ngẫu nhiên đa trị X : Ω → c(X) được gọi là khả tích nếu tập

SX1 (F ) khác rỗng và nó được gọi là bị chặn khả tích nếu |X| ∈ L1(Ω, R),trong đó |X| : Ω → R là biến ngẫu nhiên được xác định như sau:

|X|(ω) = sup{k x k: x ∈ X(ω)} với mọi ω ∈ Ω

Kỳ vọng E[X] của biến ngẫu nhiên đa trị khả tích X được định nghĩanhư sau

E[X] := {Ef : f ∈ SX1 (F )}

với Ef là tích phân Bochner thông thường

Cho một σ-đại số con A của σ-đại số F và một biến ngẫu nhiên đa trị

A-đo được X : Ω → c(X) (nghĩa là X−1(U−) ∈ A với mọi tập con mở U

của X) Với SX1 (F ) và E[X] xác định trên (Ω, F , P), ta định nghĩa:

SX1 (A) = {f ∈ L1(Ω, A, P, X) : f (ω) ∈ X(ω) h.c.c.},

E[X, A] =

Z (A) Ω

XdP = {Ef : f ∈ SX1 (A)}

với (Cn(k))k≥1 là một dãy con của (Cn)n≥1 Các tập con t-liCn và t-lsCn

tương ứng gọi là giới hạn dưới và giới hạn trên của (Cn)n≥1, liên quan đếntôpô t

Chúng ta dễ dàng suy ra được rằng t-liCn ⊂ t-lsCn

Một dãy (Cn)n≥1 được gọi là hội tụ tới C∞, theo dạng Kuratowski, liênquan tới tôpô t, nếu hai đẳng thức sau đây được thỏa mãn

t-lsCn = t-liCn = C∞ (2.1)Trong trường hợp này, chúng ta sẽ viết C∞ = t-limnCn

Chúng ta ký hiệu s (tương ứng w) là tôpô mạnh (tôpô sinh bởi chuẩn)(tương ứng, tôpô yếu) của X Một tập con C∞ được gọi là giới hạn dạngMosco của dãy (Cn)n≥1 và được ký hiệu bởi M-limnCn nếu

2 C∞ là giới hạn dạng Mosco của dãy (Cn)n≥1 khi và chỉ khi

Chứng minh Thật vậy, ta sẽ chứng minh (2.2) tương đương với (2.4) Rõràng từ (2.2) suy ra (2.4) Từ (2.4) ta có w-lsCn ⊂ s-liCn, ta sẽ chứng minh

s-liCn ⊂ w-lsCn Lấy x bất kỳ thuộc s-liCn suy ra xn → xs khi n → ∞

với xn ∈ Cn Từ đó, xn → xw khi n → ∞ với xn ∈ Cn (hội tụ theo chuẩnthì suy ra hội tụ yếu) Theo cách đặt của w-lsCn ta suy ra x ∈ w-lsCn hay

s-liCn ⊂ w-lsCn Vậy w-lsCn = s-liCn Kết hợp với (2.4) ta suy ra được(2.2)

3 Nếu s-liCn 6= ∅ thì s-liCn là tập đóng

Chứng minh Giả sử {xk, k ≥ 1} là một dãy trong s-liCn và xk → x khi

k → ∞ Khi đó, với mỗi k = 1, 2, , do xk ∈ s-liCn nên tồn tại dãy

{x(k)n , n ≥ 1} với x(k)n ∈ Cn sao cho x(k)n → xk khi n → ∞

Để chứng minhs-liCn là tập đóng ta cần chứng minhx ∈ s-liCn.Nghĩa là,

ta cần chứng minh tồn tại một dãy {yn, n ≥ 1} với yn ∈ Cn sao cho yn → x

khi n → ∞ Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ chỉ ra tồn tại một dãy {yn, n ≥ 1} với

yn ∈ {x(k)n : k ≥ 1} sao cho yn → x khi n → ∞ Thật vậy, giả sử điều nàykhông đúng, nghĩa là, với mọi dãy {yn, n ≥ 1} với yn ∈ {x(k)n : k ≥ 1} đều

có yn 9 x. Khi đó, tồn tại ε > 0 và tồn tại dãy chỉ số {ni, i ≥ 1} sao cho

ni < ni+1 với mọi i và

kyni − xk ≥ ε ∀yni ∈ {x(k)ni : k ≥ 1} (2.5)

Từ giả thiết xk → x khi k → ∞ suy ra tồn tại k0 ∈ N sao cho với mọi

Điều này mâu thuẫn với (2.5) Từ đó, ta có điều phải chứng minh

4 Nếu tồn tại M-limnCn thì s-limnCn, w-limnCn tồn tại và

M-limnCn = s-limnCn = w-limnCn

Chứng minh Nếu tồn tại M-limnCn thì theo định nghĩa hội tụ Mosco, ta

có s-liCn = w-lsCn = M-limnCn

Từ đó, do s-liCn ⊂ s-lsCn ⊂ w-lsCn nên s-liCn = s-lsCn Điều này cónghĩa là, tồn tại s-limnCn và s-limnCn = M-limnCn

Tương tự, vì s-liCn ⊂ w-liCn ⊂ w-lsCn nên w-liCn = w-lsCn Điều này

có nghĩa là, tồn tại w-limnCn và w-limnCn = M-limnCn

Hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa nhưtrên bằng cách thay thế Cn bởi Xn(ω) và C∞ bởi X∞(ω), các phát biểu làđúng h.c.c

2.3 Tính hoán đổi được

2.3.1 Định nghĩa Một họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên đa trị{X1, X2, , Xn}

được gọi là hoán đổi được nếu

P{X1 ∈ B1, , Xn ∈ Bn} = P{Xπ(1) ∈ B1, , Xπ(n) ∈ Bn},

với mọi B1, , Bn ∈ E và với mọi phép hoán vị π của tập {1, 2, , n}