Đề thi Olympic lớp 7 môn Toán trường Xuân Dương năm 2014 - 2015

Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309.. Gọi I là trung điểm của cạch AC.. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D sao cho IB = ID.. Gọi M là trung điểm của BC; N là trung điể

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH OAI

TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH OLIMPIC LỚP 7

NĂM HỌC 2014 – 2015

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đềʚ)

Bài 1: (6đ)

a) Tính: A = 1 + 33 44 55 100100

2  2  2   2

b) Tìm x biết: 3x - 2x = 21

100

1

3

1 2

1 1

Bài 2: (4đ)

a)Tính giá trị của đa thức sau:

A = x2+ x4+ x6+ x8+ …+ x100 tại x = -1

b)Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1: :

5 4 6 Biết rằng tổng các bình phương của

ba số đó bằng 24309 Tìm số A

Bài 3: (4đ)

a) Tìm số nguyên x sao cho: (x2-1)( x2-4)( x2-7)(x2-10) < 0

b) Tìm x, y để C = -18- 2x 6 3y đạt giá trị lớn nhất.9

Bài 4: (5đ )

Cho ABC có ˆA > 900 Gọi I là trung điểm của cạch AC Trên tia đối của tia IB lấy điểm D sao cho IB = ID Nối C với D

a Chứng minh AIB CID

b Gọi M là trung điểm của BC; N là trung điểm của AD Chứng minh rằng I là trung điểm của MN

c Chứng minh AIB BIC

d Tìm điều kiện của ABC để ACCD

Bài 5: (1 đ)

Tìm ,x y  biết: 25y2 8(x2009)2

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH OAI

TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG

ĐÁP ÁN CHẤM THI OLIMPIC TOÁN 7

Năm học: 2014 – 2015

Bài 1(6đ)

a) A = 2 - 199 100100 2 102100

2  2   2

b) Nếu x  1

2

 thì : 3x - 2x - 1 = 2 => x = 3 ( thoả mãn )

Nếu x < 1

2

 thì : 3x + 2x + 1 = 2 => x = 1/5 ( loại ) Vậy: x = 3

10

1

1

1 

10

1 2

1  ;

10

1 3

1  ; … ;

10

1

100 1 

10

1 100 100

1

3

1 2

1 1

1













(2đ ) (1đ)

(1đ)

(1đ) (1đ)

Bài 2(4đ)

a)A = x2+ x4+ x6+ x8 + …+ x100 tại x = - 1

A = (-1)2+ (-1)4+ (-1)6+…+ (-1)100 = 1 + 1 + 1 +…+ 1 = 50 (có 50 số hạng)

b)Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A

Theo đề bài ta có: a : b : c = 2 3 1: :

5 4 6 (1)

và a2+b2+c2= 24309 (2)

Từ (1) 

a  b  c = k  2 ; 3 ;

k

a k b k c

Do đó (2)  2 4 9 1

25 16 36

k = 180 và k = 180

+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30

Khi đó ta có số A = a + b + c = 237

+ Với k = 180, ta được: a =  72; b = 135; c = 30

Khi đó ta có só A = 72+(  135) + ( 30) =  237

( 2đ)

(0.5đ)

(0.25đ) (0.25đ )

(0.5đ)

( 0.5đ)

Bài 3(4đ)

a)Vì tích của 4 số : x2– 1 ; x2– 4; x2– 7; x2– 10 là số âm nên phải có 1 số

âm hoặc 3 số âm

Ta có : x2– 10< x2– 7< x2– 4< x2– 1

Xét 2 trường hợp:

(1đ)

+ Có1 số âm : x2– 10 < x2– 7  x2– 10 < 0 < x2– 7

 7< x2< 10  x2=9 ( do x  Z )  x =  3

+ Có 3 số âm, 1 số dương

x2– 4< 0< x2– 1  1 < x2< 4

do x Z nên không tồn tại x

Vậy x = 3

b)Ta có C = -18 - ( 2x  6 3y 9 ) -18

Vì 2x 6 0; 3y 90

Max C = -18  2 6 0

x y

 



  

 x = 3 vµ y = -3

(0,5đ)

(0.5đ) (0,5 đ) (1đ) (1đ)

Bài 4(5đ)

a AIB CID(c.g.c)

b AID CIB (c.g.c)

MIB NID

    (c.g.c)

M, I, N thẳng hàng và IM = IN

Do vậy: I là trung điểm của MN

c AIB có BAI 900 AIB900 BIC 900  AIB BIC

d Nếu AC vuông góc vớii DC thì AB vuông góc với AC do vậy tam giác

ABC vuông tại A

(1đ ) (0,5đ ) (0,5đ ) (1đ ) (1đ )

Bài 5: (1 đ)

25 y 8(x 2009)

Ta có 8(x-2009)2= 25- y2

8(x-2009)2+y2=25(*)

Vì y2 0 nên (x-2009)2 25

8

 , suy ra (x-2009)2= 0 hoặc (x-2009)2=1 Với (x -2009)2=1 thay vào (*) ta có y2= 17 (loại)

Với (x- 2009)2= 0 thay vào (*)

ta có y2=25 suy ra y = 5 (do y  )

Từ đó tìm được (x=2009; y=5)

(0.25đ) (0.25đ)

(0.25đ)

(0.25đ )

Người ra đề: Đặng thị Tám

Người soát đề: Quách Thị Hồng Ánh