ước lượng và kiểm định một giả thiết đã cho (xác suất thông kê)

ĐỀ TÀI THẢO LUẬNƯớc lượng điểm thi trung bình môn LTXS-TK của sinh viên trường ĐHTM với độ tin cậy 95%.. Kiểm định giả thuyết cho rằng trong mỗi lần thi tỷ lệ sinh viên ĐHTM thi trượt mô

ĐỀ TÀI THẢO LUẬN

Ước lượng điểm thi trung bình môn LTXS-TK của sinh viên trường ĐHTM với độ tin cậy 95%.

Kiểm định giả thuyết cho rằng trong mỗi lần thi tỷ lệ sinh viên ĐHTM thi trượt môn LTXS-TK là nhỏ hơn 30% với mức ý nghĩa 5%

PHẦN I: LÝ THUYẾT

1 Ước lượng kỳ vọng toán

Để ước lượng kỳ vọng toán E(X) = µ của ĐLNN X, từ đám đông ta lấy

ra mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2,….Xn) Từ mẫu này ta tìm được trung bình

mẫu và phương sai mẫu điều chỉnh 2 Ta sẽ ước lượng µ thông qua

1.1 ĐLNN X phân phối theo quy luật chuẩn với đã biết

Do X N(µ, nên

2

,

X N

n

σ µ

∼

:

khi đó: U X N ( ) 0,1

n

µ

σ − ∼

=

a, Khoảng tin cậy đối xứng

Với độ tin cậy γ = − 1 α cho trước, ta tìm được phân vị chuẩn , sao cho:

P( < )= 1- α =

Thay biểu thức: U X N ( ) 0,1

n

µ

σ −

= : vào công thức trên, ta có:

P( <

2

u n

α σ

) = 1- α =

⇔ P( – ε < µ < + ε) = 1- α = Trong đó:

●

2

u n

ε = là sai số ước lượng.

● = 1- α là độ tin cậy

Như vậy, là khoảng tin cậy của µ là: ( X − ε ; X + ε ) với

2

u n

ε =

Chú ý: Nếu chưa biết , nhưng kích thước mẫu lớn (n > 30), ta có thể thay bằng ước lượng không chệch tốt nhất của nó là s’

b, Khoảng tin cậy phải (dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của µ)

Ta vẫn dùng thống kê:

( ) 0,1

X

n

µ

σ − ∼

=

Với độ tin cậy γ = 1 – α cho trước ta tìm được uα sao cho:

P(U ≤ uα) = 1 – α = γ Thay U vào ta có:

P(µ ≥ X u − α σ n

) = 1 – α = γ

Ta có khoảng tin cậy phải của µ là: (X u

n

α σ

− ; +∞) với

2

u n

α σ

ε =

c, Khoảng tin cậy trái (dùng để ước lượng giá trị tối đa của µ)

Ta vẫn dùng thống kê:

( ) 0,1

X

n

µ

σ − ∼

=

Với độ tin cậy γ = 1 – α cho trước ta tìm được uα sao cho:

P(U ≥ –uα) = 1 – α = γ Thay U vào ta có:

Pµ X uα σ n

 ≤ +  = 1 – α = γ

Ta có khoảng tin cậy trái của µ là : ( ; X u

n

α σ

+ ) với

2

u n

α σ

ε =

1.2 Trường hợp chưa biết quy luật phân phối của ĐLNN X, n > 30

Do n ≥30 nên => ≅ N(µ, ), khi đó:

( ) 0,1

X

n

µ

σ −

Và hoàn toàn tương tự như trường hợp 1.1, ta sẽ có:

a, Khoảng tin cậy đối xứng của µ là: ( X − ε ; X + ε ) với

2

u n

α σ

ε =

b, Khoảng tin cậy phải của µ là: ( X u

n

α σ

− ; +∞) với

2

u n

α σ

ε =

c, Khoảng tin cậy trái của µ là: ( ; X u

n

α σ

+ ) với

2

u n

α σ

ε =

1.3 ĐLNN X phân phối theo quy luật chuẩn với chưa biết

Vì X có phân phối chuẩn nên:

1 '

n

X

S n

µ  

∼

−

=

a, Khoảng tin cậy đối xứng

Với độ tin cậy γ = 1 – α cho trước ta tìm được phân vị sao cho:

( ) 1

2

1

n

P T t α−  α γ

Thay biểu thức của T vào công thức trên, ta có:

' ( 1) 2

n

α

 − < = − =

⇔ P( – ε < µ < + ε) = 1- α = Trong đó:

2

tα n

ε = − là sai số của ước lượng

• = 1- α là độ tin cậy.

• ( – ε, + ε) là khoảng tin cậy của µ.

b, Khoảng tin cậy phải (dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của µ)

Ta vẫn dùng thống kê:

Với độ tin cậy γ = 1 – α

cho trước ta tìm được

phân vị sao cho:

P(T ≤ ) = 1- α = Thay biểu thức T vào công thức, ta có:

( 1)

X

S n

α

− ≤ =1− =α γ

⇔ P X t( 1)n S' 1

n

α

Ta có khoảng tin cậy phải của µ là:

( X − ε ; + ) với ( 1) '

2

t

n

α

ε = −

c, Khoảng tin cậy trái (dùng để ước lượng giá trị tối đa của µ)

1 '

n

X

S n

µ  

∼

−

=

Ta vẫn dùng thống kê:

1 '

n

X

S n

µ  

∼

−

=

Với độ tin cậy γ = 1 – α cho trước ta tìm được phân vị sao cho:

( 1)n 1

P T tα − ÷ α γ

 ≥ − = − =

Thay biểu thức vào công thức ta có:

( 1) 1 '

S n

α

⇔ Pµ X tα( 1)n− S n'  1 α γ

 ≤ + = − =

Ta có khoảng tin cậy trái của µ là: ( ; X +ε) với ε =tα( 1)n− S n'

2 Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ đám đông (kiểm định giả thuyết về tham số p của phân phối A(p)

– Xét một đám đông có tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A là p, trong đó p chưa biết Từ một cơ sở nào đó người ta tìm được p = p nhưng nghi ngờ về điều này Với mức ý nghĩa α ta cần kiểm định giả thuyết H : p = p.0

Gọi f là tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A trên mẫu ngẫu nhiên kích thước n khá lớn

Với n đủ lớn ta có: f N p , pq

n

 

≅   ÷ 

Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định:

n

q p

p f U

o o

o

.

−

=

Trong đó: q o =1− p o

Nếu H đúng thì U ≅ N(0,1)

 Xét bài toán:

o

p p

H

p p H

=

≠

: : 1 Với mức ý nghĩa α ta được phân vị chuẩn của sao cho:

P( ) = α

Vì α khá bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

} :

{

2

u u u

W α = tn tn > α

Trong đó:

0

0 0

tn

f p u

p q n

−

=

 Xét bài toán: { 1

: :

o

H p p

H p p =

>

Với mức ý nghĩa α ta được phân vị chuẩn của uα sao cho:

P(U > uα)= α

Vì α khá bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

} :

Trong đó:

0

0 0

tn

f p u

p q n

−

=

 Xét bài toán:

o

p p

H

p p H

=

<

: : 1

Với mức ý nghĩa α ta được phân vị chuẩn của uα sao cho:

P ( U < − uα) = α

Vì α khá bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

} :

Trong đó:

0

0 0

tn

f p u

p q n

−

=

Quy tắc kiểm định :

► Nếu u ∈ W : bác bỏ H0, chấp nhận H1

► Nếu u ∉ W : chưa có cơ sở bác bỏ H0

Phần II: BÀI TẬP

Bảng số liệu

Điểm thi môn LTXS-TK của sinh viên trường Đại học Thương Mại

1 Nguyễn Thị Thu Hường K44S3 08D190183 0

26 Trần Thị Hồng Ngọc K44E3 10D130261 2,5

30 Nguyễn Xuân Cẩm Vân K44E3 10D130214 2,5

31 Nguyễn Thị Ngọc Ánh K44E5 10D130049 2,5

32 Nguyễn Thị Thúy Quỳnh K44E1 10D130032 2,5

33 Đàm Thị Thùy Trang K44E3 10D130154 2,5

34 Lã Thi Kim Dung K44S2 08D190084 3

70 Trinh Ngọc Đăng Minh K44I3 08D140145 6

75 Nguyễn Thế Tiến K44S1 08D140177 6

82 Nguyễn Thị Ngọc Mai K45C4 09D120543 6,5

101 Đinh Thị Minh Châm K44E1 10D130006 7,5

120 Nguyễn Phú Thiện K44S1 08D140307 8

141 Nguyễn Thị Hồng Phương K44E2 08D190237 9

142 Ngô Thị Phương Thảo K44E2 09D160351 9

Ta có bảng số liệu thống kê như sau:

Điểm thi 0-2 2,1-4 4,1- 6 6,1- 8 8,1-10

Giải

● Ước lượng điểm thi trung bình môn LTXS-TK của sinh viên trường ĐHTM với độ tin cậy 95%

Gọi X là điểm thi môn LTXS-TK của sinh viên trường ĐH Thương mại

= E(X) là điểm thi trung bình môn LTSX-TK của sinh viên trường

ĐH Thương mại trong đám đông (trường ĐH Thương mại)

là điểm thi trung bình môn LTXS-TK của sinh viên trường ĐH Thương mại trên mẫu

Với n = 144 khá lớn → )

→ U = ≅ N(0,1)

Với α = 1 – = 1 – 0,95 = 0,05 tìm được = u0,025 = 1,96 thỏa mãn:

P( ) = 1 – α = 0,95

⇔ P( < ) = 1 – α = 0,95 với

2

u n

α σ

ε =

Khoảng tin cậy của là: ( , ) , với

2

u n

α σ

ε =

Qua kết quả điều tra ta có:

= 5,16667

= 2,57435

u

n

α σ

ε = = 1,96.2,57435

144 = 0,42048

Khoảng tin cậy của là: (4,74619; 5,58715)

Kết luận: Với độ tin cậy 95% điểm thi trung bình môn LTXS-TK của sinh viên trường ĐH thương mại nằm trong khoảng từ 4,74619 điểm đến 5,58715

● Kiểm định giả thuyết cho rằng trong mỗi lần thi thì tỉ lệ sinh viên ĐHTM thi trượt môn LTXS-TK là nhỏ hơn 30%, với mức ý nghĩa 5%

Sinh viên bị coi là thi trượt khi có điểm thi dưới 4 Theo bảng số liệu ta thấy rằng: Cứ 144 sinh viên thi thì có 45 sinh viên có điểm thi dưới 4 điểm

Gọi p là tỉ lệ sinh viên có điểm thi dưới 4 điểm trên đám đông

Gọi f là tỉ lệ sinh viên có điểm thi dưới 4 trên mẫu

Với mức ý nghĩa α = 0,05 ta kiểm định bài toán:

1

: 0,3 : 0,3

H p

H p

=

<

Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định:

o

o o

f p U

p q n

−

=

Trong đó: ( p0 = 0,3)

Vì n = 144 là khá lớn nên f có phân phối xấp xỉ chuẩn: f N p ( , ) pq

n

≅

Từ đó suy ra, nếu Ho đúng thì U ≅ N(0, 1)

Nên với α =0,05 ta tìm được phân vị uα =u0,05= 1,65 thỏa mãn:

P(U < −uα) = α = 0,05

Vì α khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

Wα = { u utn: tn < − uα} = {u u tn: tn< −1,65}

Trong đó:

o tn

u

p q n

−

=

Với f = 0,3125 , n=144, ( p0 = 0,3)

Ta có:

0,3125 0,3 0,3.(1 0,3) 144

tn

− 0,327326 ∈ Wα

Vậy ta bác bỏ H0 và chấp nhận H 1

Tức là, với mức ý nghĩa α = 0,5 giả thuyết cho rằng trong mỗi lần thi tỷ lệ sinh viên ĐHTM thi trượt môn LTXS-TK là nhỏ hơn 30% là có cơ sở