Tỡm chữ số tận cựng của cỏc số sau: 2.. a Chứng minh gúc xOn bằng gúc yOm.. b Gọi Ot là tia phõn giỏc của gúc xOy.Chứng minh Ot cũng là tia phõn giỏc của gúc mOn.
Trang 1phòng GD & ĐT Thanh oai
trường thcs xuân dương
Đề thi olympic lớp 6 Năm học 2014 - 2015 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề )
Cõu 1( 6 điểm):
4
1 3
1 x
2
2 Tỡm cỏc chữ số x và y để số 1 y x8 2 chia hết cho 36
3 Tỡm một số tự nhiờn nhỏ nhất biết rằng khi chia số đú cho 3 dư 2, cho 4 dư 3, cho 5 dư 4 và cho 10 dư 9.
Cõu 2: (4 điểm)
1 Tỡm chữ số tận cựng của cỏc số sau:
2 Chứng minh rằng:
16
3 3
100 3
99
3
4 3
3 3
2 3
1
100 99 4
3
Cõu 3 (2điểm): Với q, p là số nguyờn tố lớn hơn 5 chứng minh rằng: p4– q4 240
Cõu 4 (6 điểm): Cho gúc tự xOy Bờn trong gúc xOy, vẽ tia Om sao cho gúc xOm
bằng 900và vẽ tia On sao cho gúc yOn bằng 900.
a) Chứng minh gúc xOn bằng gúc yOm.
b) Gọi Ot là tia phõn giỏc của gúc xOy.Chứng minh Ot cũng là tia phõn giỏc của gúc mOn.
Cõu 5 (2 điểm): Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y sao cho (2x + 1)(y – 5) = 12
Trang 2phßng GD & §T Thanh oai
tr êng thcs xu©n d ¬ng
HƯíng dÉn chÊm thi olympic
N¨m häc 2014 - 2015 M«n thi : To¸n - Líp 6
Câu 1( 6 điểm):
1- Từ giả thiết ta có:
4
1 3
1 x
2
2
1 3
1
x hoặc
2
1 3
1
x (0,5 đ)
- Từ đó tìm ra kết quả x =
6
5
;
6
1
2 Để số 1 y x8 2 36 ( 0 x, y 9 , x, y N )
4
2
9 ) 2 8
1
(
y
y x
(0,5đ)
1;3;5;7;9 4
(x+y+2) 9 => x+y = 7 hoặc x+y = 16 => x = 6;4;2;0;9;7 (0,5đ)
Vậy ta có các số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892 (0,5đ)
3 Gọi số tự nhiên cần tìm là a (a > 0, a N) (0,5đ)
Theo bài ra ta có:
a chia cho 3 dư 2 a – 2 chia hết cho 3 (0,25đ)
a chia cho 4 dư 3 a – 3 chia hết cho 4 (0,25đ)
a chia cho 5 dư 4 a – 4 chia hết cho 5 (0,25đ)
a chia cho 10 dư 9 a – 9 chia hết cho 10 (0,25đ)
Câu 2 (4 điểm):
1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: (2 điểm)
Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số :
a) 571999ta xét 71999
Ta có: 71999= (74)499.73= 2041499 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 (1đ)
Vậy số 571999có chữ số tận cùng là : 3
b) 931999ta xét 31999
Ta có: 31999= (34)499 33= 81499.27
3
100 3
99
3
4 3
3 3
2 3
1
3
100 3
99
3
4 3
3 3
3 3
3
100 3
1 3
1
3
1 3
1 3
1
4A< 1- 2 3 98 99
3
1 3
1
3
1 3
1 3
Trang 3Đặt B= 1- 2 3 98 99
3
1 3
1
3
1 3
1 3
1
3
1 3
1
3
1 3
1
4B = B+3B= 3- 99
3
1
< 3 B <
4
3
(2)
Từ (1)và (2) 4A < B <
4
3 A <
16
3
(0,5đ)
Câu 3: (2điểm) Ta có: p4– q4 = (p4– 1 ) – (q4 – 1) ; 240 = 8 2.3.5
Chứng minh p4– 1 240
+ Mặt khác: p4–1 = (p –1) (p + 1) (p2+1) (0,25đ)
> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p – 1) (p+1) 8 (0,25đ)
+ Do p là số lẻ nên p2 là số lẻ -> p2+1 2 (0,25đ)
- p > 5 nên p có dạng:
+ p = 3k +1 > p – 1 = 3k + 1 – 1 = 3k 3 > p4 – 1 3
+ p = 3k + 2 > p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3 3 > p4– 1 3 (0,25đ)
- Mặt khác, p có thể là dạng:
+ P = 5k +1 > p – 1 = 5k + 1 – 1 = 5k 5 > p4– 1 5
+ p = 5 k+ 2 > p2+ 1 = (5k +2)2 +1 = 25k2 + 20k +5 5 > p4– 1 5 (0,25 đ) + p = 5k +3 > p2 +1 = 25k2 + 30k +10 > p4–1 5
+ p = 5k +4 > p + 1 = 5k +5 5 > p4– 1 5 (0,25đ)
Vậy p4– 1 8 2 3 5 hay p4– 1 240
Vậy: (p4 – 1) – (q4 –1) = p4– q4 240
a) Lập luận được: xÔm + mÔy = xÔy hay:900+mÔy = xÔy (1 đ)
yÔn + nÔx = xÔy hay:900+ nÔx = xÔy (1 đ)
Câu 5 (2 điểm)
x
y
m t
n O