Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị C tại hai điểm A, B phân biệt sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng có phương trình: x
Trang 1TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A, B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số 2 4
1
x y x
−
=
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho A
và B đối xứng nhau qua đường thẳng có phương trình: x + 2y +3= 0
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: sin 2 1 2 os
sin cos 2 tan
x
c x
2 Giải hệ phương trình: 2 2 2 22
x y x y
+ + − − =
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: 2 cos
0
(e x s inx).sin 2 x dx
π
+
∫
Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp trong hình trụ có bán kính đáy r;
góc giữa BC’ và trục của hình trụ bằng 300; đáy ABC là tam giác cân đỉnh B có · 0
120
ABC= Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BC, A’C và AB Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE
Câu V: (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = 3
4 Chứng minh rằng: 3 1 3 1 3 1 3
a b + b c + c a ≥
Câu VI: (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) và đường thẳng ∆ : x – y + 1 = 0 Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt ∆ ở 2 điểm A, B phân biệt sao cho ∆MAB vuông tại M và có diện tích bằng 2
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 2 1
x = y− = z−
− − và mặt phẳng (P) : ax + by + cz – 1 = 0 2 2
(a +b ≠0) Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua đường thẳng d và tạo với các trục Oy, Oz các góc bằng nhau
Câu VII: (1,0 điểm)
Xét số phức z thỏa mãn điều kiện : z− =3i 1, tìm giá trị nhỏ nhất của z
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:……… SBD:………
Trang 2TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ
NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
I-1
(1 điểm)
TXĐ: D = R\{-1}
Chiều biến thiên: ' 6 2 0 x D
( 1)
y x
= > ∀ ∈ +
Hs đồng biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 1) và ( 1;− +∞), hs không có cực trị
0,25
Giới hạn: xlim→±∞y=2, limx→−1− y= +∞, limx→−1+ y= −∞
=> Đồ thị hs có tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 2 0,25
BBT
x -∞ -1 +∞
y’ + +
y
+∞ 2
2 -∞
0,25
+ Đồ thị (C):
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm ( )2;0 , trục tung tại điểm (0;-4)
Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng
0,25
I-2
(1 điểm)
Đường thẳng d cần tìm vuông góc với ∆: x + 2y +3= 0 nên có phương trình y = 2x +m 0,25
D cắt (C) ở 2 điểm A, B phân biệt 2 4 2
1
x
x m x
−
+ có 2 nghiệm phân biệt 2
2x mx m 4 0
⇔ + + + = có 2 nghiệm phân biệt khác - 1⇔m2−8m−32 0 (1)>
0,25
Gọi I là trung điểm AB có 2 4
2
2
I
x
m
= + =
Do AB vuông góc với ∆ nên A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆: x + 2y +3= 0
4
⇔ ∈∆ ⇔ = −
0,25
Trang 3m = - 4 thỏa mãn (1) vậy đường thẳng d có phương trình y = 2x - 4 0,25
II-1
(1 điểm)
cos sin
cos sin 2 sin 2
+
x x
x x x
x
0 2 sin ) 4 sin(
cos
0 cos sin
cos 2 sin
2
=
⇔
= +
−
⇔
x x
x
x x
x x
x
0,25
2 0
cosx= ⇔ x=π +kπ k∈
+
=
+
=
⇔
+
−
−
=
+ +
=
⇔ +
n x
m x
n x
x
m x
x x
3
2 4
2 4 2
4 2
2 4
2 ) 4 sin(
2 sin
π π
π π
π
π π
π
π π
,
3
2
=
⇔x π t π t
0,25
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ
π
π
k
x= +
2
= t k t
II-2
(1 điểm)
Điều kiện: x+y≥0, x-y≥0
Đặt: u x y
v x y
= +
= −
ta có hệ:
0,25
0,25
2
3 (2) 2
u v uv
u v uv
uv
+ = +
⇔ + − + − =
Thế (1) vào (2) ta có:
2
uv+ uv+ − uv = ⇔uv+ uv+ = + uv ⇔uv=
0,25
Kết hợp (1) ta có: 0 4, 0
4
uv
u v
=
+ =
(vì u>v) Từ đó ta có: x =2; y =2.(Thỏa đ/k)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
0,25
III
( e x s inx).sin 2 x dx 2 e x.cos sin x x dx s inx.sin 2 x dx
2 cos 0 cos sin
x
π
=∫
Đặt t = cosx có I =
1 t t t 1
t e dt t e= − e dt =
0,25
Trang 42 2 2
0
sinx.sin 2 (cos os3 ) (sinx sin 3 )
2
cos 0
2 8 ( sinx).sin 2 2
3 3
x
π
IV
(1 điểm)
Từ giả thiết suy ra · 0
' 30
BC C =
BA = BC = r
0
CC =BC =r
0,25
3 0 ' EF EF EC '.
1 1 1 .AA '.1 sin120
r
Gọi H là trung điểm của AC ta có FH // AA’ suy ra FH⊥(ABC) và
2
r
HK =HB HE= = Gọi J là trung điểm KF, trong mp (FKH) đường trung trực của FK cắt FH tại I, I chính là
tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE
0,25
FK =FH +KH =r
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE
FJ FK FK r r
R FI
V
(1 điểm)
Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân cho 2 bộ ba số dương ta có
z y x
9 z
1 y
1 x
1 9 xyz
3 xyz 3 z
1 y
1 x
1 ) z y x
(
3
3
+ +
≥ + +
⇒
=
≥
+ + +
a 3 c c 3 b b a
9 a
3 c
1 c
3 b
1 b
a
1 P
+ + + + +
≥ +
+ +
+ +
=
0,25
áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân cho 3 bộ ba số dương ta có
3
3
3
a 3b 1 1 1
b 3c 1 1 1
c 3a 1 1 1
+ + +
0,25
Suy ra 3a 3b 3b 3c 3c 3a 1 4 a b c 6( )
3 + + + + + ≤ + + + 1 4.3 6 3
3 4
≤ + =
Trang 5Do đó P≥3; Dấu = xảy ra
3
a 3b b 3c c 3a 1
+ + =
+ = + = + =
VI.-1
(1 điểm)
Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình (x a− )2+ −(y b)2 =R2
∆MAB vuông tại M nên AB là đường kính suy ra ∆ qua I do đó:
a - b + 1 = 0 (1)
0,25
Hạ MH ⊥AB có ( , )
2 1 1
2 2
M
MH d ∆ − +
MAB
S∆ = MH AB⇔ = R ⇔ =R
0,25
Vì đường tròn qua M nên 2 2
(2−a) + −(1 b) =2 (2)
Ta có hệ 21 0 2 (1)
(2 ) (1 ) 2 (2)
a b
− + =
− + − =
0,25
Giải hệ được a = 1; b = 2 Vậy (C) có phương trình 2 2
(x−1) + −(y 2) =2 0,25
VI -2
(1 điểm)
Đường thẳng d qua M (0, 2, 1) có VTCP ur(1, 1, 1)− −
(P) có VTPT n a b cr( , , )
d ⊂ P ⇒n vr r= ⇔ − − = ⇔ = +a b c a b c
0,25
( ,( )) ( ,( )) os( , ) os( , )
0
b c
b c
= ≠
Nếu b = c = 1 thì a = 2 suy ra ( )P : 2x + y + z - 1 = 0 (loại vì M1 ∉( )P1 0,25 Nếu b = - c = - 1 thì a = 0 suy ra ( )P : y - z - 1 = 0 (thỏa mãn)2
VII
(1 điểm)
Đặt z = x + iy ta có z− = ⇔3i 1 x2+ −(y 3)2 =1 0,25
Từ x2+ −(y 3)2 =1 ta có (y−3)2 ≤ ⇔ ≤ ≤1 2 y 4 0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của z bằng 2 đạt khi z = 2i 0,25
