Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận.. Tìm tọa độ M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.. 1,0 điểm Cho hình chóp S.ABC có diện tích ba mặt bên SAB, SBC,
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC Năm học: 2010-2011
Môn: TOÁN- khối A,B
Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
2
2 3
x
x
y có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Gọi M là điểm bất kỳ trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại
A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm tọa độ M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất
Câu II (2,0 điểm)
2 4 ( cos 2 sin 2 cos sin
2 sin
x x x
x
2 Giải hệ phương trình:
x y x
xy y
x
7 3 8 2
6 4
2 2 2
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân:
e
x x
dx I
1 4 ln2
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có diện tích ba mặt bên SAB, SBC, SCA bằng nhau và
SA=SB=SC=a Mặt phẳng (SAB) vuông góc với (ABC) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
Câu V (1,0 điểm) Với a,b,c là các số dương và
2
3
b c
a , chứng minh rằng:
2
17 3 1 1
1
2
2 2
2 2 2
a
c c
b b a
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy hãy viết phương trình đường tròn (C) tâm I(1;2) cắt trục hoành
tại A, B, cắt đường thẳng y=3 tại C và D sao cho AB+CD=6
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x+z=0 và đường thẳng d có phương trình
t z
t y
t x
2 1
Tìm tọa độ điểm A thuộc d và tọa độ điểm B trên trục Ozsao cho AB//(P) và độ dài đoạn AB nhỏ nhất
Câu VII a (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biễn số phức 2z+3-i biết rằng 3zi2 z.z 9
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI b (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I(4;0), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình x+y-2=0 và x+2y-3=0 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
2.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x+2y-z-1=0 và (Q):x-y+z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng () đi qua M(-2;1;0), song song với đường thẳng d=(P)(Q) và tạo với trục
Oz góc 300
Câu VII b (1,0 điểm) Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn: 1
3
5 1
i z
i z
-Hết -SỞ GD VÀ ĐT HẢI PHÒNG
TRƯỜNG THPT KIẾN AN
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3
NĂM 2010-2011
Trang 2Môn: TOÁN-khối A-B
Phần
chung Đáp án
Điểm
Câu I
(2 điểm)
1.(1 điểm)
*Tập xác định: R\{-2}
*Sự biến thiên
-Chiều biến thiên: ' ( 42)2 0
x
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-;-2) và (-2;+)
-Cực trị: hàm số không có cực trị
0,25
-Giới hạn và tiệm cận:
x
x y=3 là tiệm cận ngang của đồ thị
x
xlim2 ; lim2 x=2 là tiệm cận đứng của đồ thị
0,25
0,25
*Đồ thị:
x=0y=1
y=0x=-3 2
f(x)=(3x+2)/(x+2) x=-2 y=3
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
x
y
0,25
2 (1 điểm)
2
2 3
;
a C a
a a M
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
2
2 3 ) ( ) 2 (
4
2
a
a a x a
0,25
Đường thẳng d1:x+2=0 và d2:y-3=0 là hai tiệm cận của đồ thị
d1=A(-2; )
2
2 3
a
a
Tam giác IAB vuông tại I AB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam 0,25
x y’
y
+
-
3 3
O
Trang 3giác IAB diện tích hình tròn S= 8
) 2 (
64 )
2 ( 4 4
2 2
a a
AB
Dấu bằng xảy ra khi và chi khi
4
0 )
2 (
16 )
2
a
a a
a
Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán M(0;1) và M(-4;5)
0,25
Câu II
(2 điểm)
1.(1 điểm)
Phương trình
2
) 2 cos(
1 2 sin 2 cos sin
2 sin
x
x x
x x
x x
x
sin 1 sin 2 cos sin
2 sin
0,25
0 1 sin 2
cos 2 sin
, 0
sin
0 ) 1 sin 2
cos 2 (sin sin
x x x
Z k k x x
x x x
x
0 1 2
sin 2 sin 2
0 1 ) 2 sin 1 (
2 sin 2 2 sin 0 1 2 cos 2 sin 2 2 sin (*)
3
2 2
x x
x x
x x
x x
0,25
2 sin x t t
Ta có phương trình: 2t2-t-1=0t=1 x 1 x k4 ,kZ
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=k,kZ
0,25
2.(1 điểm)
hệ pt tương đương với
x y x
xy y
x
14 6 16 4
6 4
2 2 2
Cộng từng vế của hai phương trình ta được
5x2+y2+4xy-6y-14x+10=0 (x-1)2+(2x+y-3)2=0
0,5
1 1 3 2 1
y x y x x
0.25 Kiểm tra thấy x=y=1 thỏa mãn hệ đã cho hệ có nghiệm duy nhất x=y=1 0,25
Câu III
(1 điểm)
(1 điểm)
Đặt lnx=t dt
x
dx
Đổi cận: x=1 t=0
x=e t=1
1
0 4 t2
dt I
0,25
Đặt t=2sinu (u[
2
; 2
]) ) dt=2cosudu Đổi cận: t=0 u=0
t=1 u=
6
0,25
(*)
Trang 4
6
0 2 1 sin2
cos 2
u
udu I
6
0
6
0 cos cos
du u
udu
6
6 0
u
Câu IV
(1 điểm)
(1 điểm)
Có (SAB)(ABC), (SAB)(ABC)=AB
hạ SHAB tại H SH(ABC) tại H
SAH=SBH=SCH HA=HB=HC tam giác ABC vuông tại C
0.25
SSAB=SSBC=SSAC
B
Sˆ 180
A
Sˆ C C
Sˆ B A
Sˆ sinC C
Sˆ sinB B
Sˆ sinA 0 A
SBC=SCACB=CA tam giác ABC cân tại C
0,25
Đặt BC=x AB x 2
cócosASˆB cosB SˆC áp dụng định lí hàm số cosin vào hai tam giác SAB
và SBC ta được
3
2a
x
0,25
Xét tam giác SAH:
3
2
AH SA
3 9
2
2
1 3
.
a BC BA SH
0,25
Câu V
(1 điểm) +) Với a,b,c,d là các số thực dương bất kỳ, ta có
) ( )
d b c
(thật vậy: bình phương hai vế ta được
0 ) (
) (
) )(
(
) )(
( (*)
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
bc ad cd
ab d
b c a
cd ab d
b c a
Từ đó suy ra Với a1,a2,a3,b1,b2,b3 là các số thực dương bất kỳ ta có
2 3 2 1 2 3 2 1 3 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2
dấu bằng xảy ra
3
3 2
2 1
1
b
a b
a b
a
0.25
Áp dụng bất dẳng thức trên ta có
2 2
) (
9 )
( 9 ) 1 1 1 ( ) (
abc
abc c
b a c b a
đặt t 3 (abc) 2 , 0 ( ) 3 41
2
t abc a b c
0,25
A
B H
C S
Trang 5Xét hàm số f(t) 9t9t trên (0;14 ])
2
9 9 ) ( '
t t
f’(t)=0t=1;t=-1
0,25
4
1
; 0 ),
4
1 ( ) (t f t f
2
17 3 4
153
P
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c= 21
0,25
Phần
riêng
Câu VI a
(2 điểm)
1 (1 điểm)
Gọi bán kính đường tròn (C) là R
1 2
, 4
AB
2 2
2
) 7 ( ) 4 )(
1 ( 7
R R
R
R2=5
Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x-1)2+(y-2)2=5 0,25
2.(1 điểm)
A(1+t;-2+t;-t)d, B(0;0;b)Oz
)
; 2
; 1
t b n
AB. (P) 0 2
AB2=6t2+6t+9
AB đạt giá trị nhỏ nhất khi
2
1
t
2
3
2
3
; 0
; 0 ( ), 2
1
; 2
5
; 2
1
Câu VII a
(1 điểm)
Gọi z=a+bi (với a,bR) có điểm biểu diễn là M(a;b)
và z’=2z+3-i=x+yi (với x,yR) có điểm biểu diễn là N(x;y)
2
1 );
3 ( 2
1
a
0.25
Vì 3zi2 z 9(3a)2+(3b+1)2a2+b2+9 0,25 Thay a và b theo x, y vào ta được
16
73 ) 4
7 ( ) 3
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z’ là hình tròn tâm )
4
7
; 3 (
I , bán kính 0,25
t f’(t) f(t)
0
-4 1
Trang 673
R
Câu VI b
(2 điểm)
1 (1 điểm)
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
1 0
3 2 0 2
y x y
x
y x
A(1;1)
d1: x+y-2=0; d2: x+2y-2=0
Gọi M là trung điểm của BC IMBC và IM//d1
Phương trình đường thẳng IM: x+y-4=0
0.25
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
) 1
; 5 ( 1 5 0 4 0 3 2
y x y
x
y x
Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với d1 nên có phương trình:x-y-6=0
0,25 Gọi B(5+t;-1+t)
2
2 1
) 4 1 ( ) 1 ( ) 1
t
t t
t
B(7;1) hoặc B(3;-3)
0,25
Với B(7;1), C(3;-3) : phương trình đường thẳng AB là: y=1
Phương trình đường thẳng AC là: 2x+y-3=0
Với B(3;-3), C(7;1): phương trình đường thẳng AC là: y=1
Phương trình đường thẳng AB là: 2x+y-3=0
0,25
2 (1 điểm)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: u d( 1 ; 2 ; 3 )
gọi n(a;b;c)(với a2+b2+c2≠0) là vectơ pháp tuyến của ()
d//() n.u d 0a-2b-3c=0a=2b+3c
0.25
Sin((),Oz)=sin300= cos(n,u d)
2
1
2 2
c b a c
3c2=a2+b2 3c2=(2b+3c)2+b2
0,25
5b2+12bc+6c2=0
c b
c b
5
6 6 5
6 6
0,25
5
6 2 3 5
6
chọn a 3 2 6 ;b 6 6 ;c 5
phương trình mặt phẳng () là: ( 3 2 6 )x ( 6 6 )y 5z 12 3 6 0
5
6 2 3 5
6
chọn a 3 2 6 ;b 6 6 ;c 5
phương trình mặt phẳng () là: ( 3 2 6 )x ( 6 6 )y 5c 12 3 6 0
0,25
Câu VII b
(1 điểm)
Giả sử z=x+yi, (x,yR)
giả thiết có x 1 (y 5 )i x 3 (y 1 )i 0.25
(x+1)2+(y-5)2=(x+3)2+(y+1)2 x+3y=4 0,25
Có 16=(x+3y)210(x2+y2)=10 2
z
5
8
2
z
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
4 3
3
y x
y x
5 6 5 2
y x
Vậy số phức cần tìm là z i
5
6 5
2
0,5
