b Chứng minh: Nếu n∈Z thì A là phân số tối giản.. Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G.. Một đờng thẳng d qua G, cắt cạnh AB, AC lần lợt tại M và N.. b Xác định vị trí của đờng
Trang 1Phòng GD&ĐT Hạ Hoà
Năm học 2010-2011 Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1(4,0 điểm) Cho A = 3 n + 2n - 13 2 2
n + 2n + 2n + 1 a) Rút gọn A
b) Chứng minh: Nếu n∈Z thì A là phân số tối giản.
Câu 2(4,0 điểm).
a) Giải PT: x+1 x+2 x+3 x+4+ = +
58 57 56 55 . b) Chứng minh A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phơng với mọi
x, y ∈Z.
Câu 3(6,0 điểm).
a) Cho a, b > 0, CMR: 1 1+ 4
a b ≥ a + b b) Cho hai số dơng a; b có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Q = a + b
1+ 2a 1+ 2b
Câu 4(6,0 điểm).
Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G Một đờng thẳng d qua
G, cắt cạnh AB, AC lần lợt tại M và N
a) Chứng minh AB +AC = 3
AM AN . b) Xác định vị trí của đờng thẳng d để tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất
HếT
-Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2Hớng dẫn chấm thi môn toán
Câu1
(4đ)
a
Phân tích mẫu thức thành (n+1)(n 2 +n+1) 1 Rút gọn A = n + n - 122
b Gọi ớc chung của tử và mẫu là d, suy ra d = ±1 hoặc d = ±2 0,5
Mà n 2 + n +1 = n(n+1) + 1 là số nguyên lẻ không chia hết cho±2
Câu2
(4đ)
a Biến đổi đợc PT: ( 59) 1 + 2 1 1 0
58 57 56 55
Lập luận chỉ ra 1 2 1 1
58 57 56 55
b
Biến đổi A = (x 2 + 5xy +4y 2 ) (x 2 + 5xy +6y 2 )+y 4
đợc A = t 2
Vì x, y ∈Z nên t ∈Z do đó A là số chính phơng 1
Câu3
(6đ)
a CM đợc 1 1 4
+
b
Q
= − +ữ − +ữ
1 2a 1 2b 1 2a 1 2b
1
1 2a+ 1 2b ≥ 1 2a 1 2b = 2 2(a b) =
1 2a 1 2b 1 2a 1 2b
Có 2 1 1
2
Q≤ ⇔ ≤Q Dấu bằng xảy ra 1 2 1 2 1
a b
a b
Vậy max
Q = ⇔ = =a b
1
Trang 3(6đ)
d N M
G
D
A
E
F
a
Kẻ BE, CF // d (E, F thuộc đờng thẳng AD) 0,5 Chỉ ra AB + AC AE AF
+
Suy ra AB + AC 3
b
Chứng minh đợc: ABC
AMN
Chứng minh đợc BĐT và áp dụng để có
2
ABC AMN
1
9
Dấu bằng xảy ra AB AC
Kết luận
1