Ứng dụng đường tròn lượng giác để giải các bài tập dao động điều hòa cơ học

LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Ứng dụng đường tròn lượng giác để giải các bàitập dao động điều hòa cơ học” đã hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và với sự giúp đỡ tận tì

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ -

PHẠM THỊ CHINH

ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CƠ HỌC

Chuyên ngành: Vật lí đại cương

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

Th.S: Hoàng Văn Quyết

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Ứng dụng đường tròn lượng giác để giải các bàitập dao động điều hòa cơ học” đã hoàn thành với sự nỗ lực của

bản thân và với sự giúp đỡ tận tình chu đáo của thầy giáo Thạc sĩ Hoàng

Văn Quyết cùng các thầy cô trong tổ Vật lý đại cương trường Đại Học Sư

Phạm Hà Nội 2

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó, đồng thời em xin chân thành cảm ơn thư viện trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành đề tài này

Trong quá trình nghiên cứu, bản thân là một sinh viên bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót

Vì vậy em rất mong nhận được sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này hoàn thiện hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Chinh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan nội dung tôi trình bày trong khóa luận này là kết quả của quá trình nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của các thầy

giáo, cô giáo, đặc biệt là thầy giáoThạc sĩ Hoàng Văn Quyết Những nội

dung này không trùng với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Chinh

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

PHẦN NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

1.1 Động học của dao động điều hòa 3

1.1.1 Một số khái niệm mở đầu 3

1.1.2 Khái niệm về dao động điều hòa 4

1.1.3 Các phương pháp biểu diễn dao động tuần hoàn 7

1.2 Động lực học dao động điều hòa 9

1.2.1 Nguyên nhân gây ra dao động điều hòa 9

1.2.2 Năng lượng trong dao động điều hòa 15

1.3 Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa 16

1.3.1 Chuyển động tròn đều 16

1.3.2 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều 16

Chương 2 HỆ THỐNG BÀI TẬP 18

2.1 Viết phương trình dao động điều hòa 18

2.1.1 Phương pháp giải 18

2.1.2 Ví dụ minh họa 19

2.1.3 Bài tập áp dụng 22

2.2 Bài toán tìm thời gian, thời điểm trong dao động điều hòa 24

2.2.1 Tìm thời gian ngắn nhất, dài nhất để vật đi hết quãng đường S 24

2.2.2 Tìm thời gian để vật đi từ vị trí có tọa độ x1 đến x2 28

2.2.3 Xác định thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x xác định lần thứ n (/x/ < A) 34

2.3 Bài tập tính quãng đường chuyển động của vật dao động điều hòa 39

2.3.1 Xác định quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất trong khoảng thời gian t 39

2.3.2 Xác định quãng đường mà vật đi được từ thời điểm t1 đến t2 44

2.4 Bài toán tính vận tốc trung bình, tốc độ trung bình 47

2.4.1 Phương pháp giải 47

2.4.2 Ví dụ minh họa 47

2.4.3 Bài tập tương tự 50

2.5 Xác định số lần vật đi qua vị trí x trong thời gian t 51

2.5.1 Phương pháp giải 51

2.5.2 Ví dụ minh họa 52

2.5.3 Bài tập tương tự 53

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Dao động cơ học là một trong các chương quan trọng của chương trình vật lý lớp 12 Nó đóng góp một lượng bài tập lớn trong hệ thống kiến thức trong kì thi quốc gia

Hiện nay trong xu thế đổi mới của ngành giáo dục về phương pháp giảng dạy cũng như phương pháp đánh giá kết quả bằng phương tiện trắc nghiệm khách quan Trắc nghiệm khách quan đang trở thành phương pháp chủ đạo trong kiểm tra đánh giá chất lượng dạy và học trong nhà trường THPT Điểm đáng lưu ý là nội dung kiến thức tương đối rộng, đòi hỏi học sinh phải học kĩ,nắm vững toàn bộ kiến thức của chương trình, tránh học tủ, học lệch và để đạt được kết quả tốt trong việc kiểm tra, thi tuyển học sinh không những nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi học sinh phải có những phản ứng nhanh đối với các dạng toán, đặc biệt là các dạng toán mang tính chất khảo sát mà các em thường gặp

Khi dùng phương pháp đại số để giải các bài tập dao động điều hòa cơ

học có rất nhiều ưu điểm.Song một số dạng toán nếu sử dụng “liên hệ giữa

chuyển động tròn đều với dao động điều hòa” cho ta kết quả nhanh hơn, lời

giải dễ hiểu hơn, đồng thời lôi cuốn được nhiều học sinh tham gia vào quá trình giải bài tập cũng như giúp một số học sinh không yêu thích hoặc không giỏi vật lý cảm thấy đơn giản hơn trong việc giải bài tập trắc nghiệm vật lý

Chính vì lí do trên mà tôi chọn và nghiên cứu đề tài “Ứng dụng đường tròn lượng giác để giải các bài tập dao động điều hòa cơ học” để làm khóa

luận xét tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

- Dùng đường tròn lượng giác để giải một số bài tập về dao động điều hòa trong chương trình vật lý lớp 12

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu lý thuyết chương phần “dao động điều hòa”

- Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa

để đưa ra phương pháp giải các bài tập về dao động điều hòa cơ học

4 Đối tượng nghiên cứu

- Lí thuyết chương dao động điều hòa, lý thuyết của chuyển động tròn đều

- Các dạng bài ứng dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đêù và dao động điều hòa cơ học

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc và tra cứu các tài liệu có liên quan

- Giải các bài tập về dao động điều hòa cơ học

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này tôi trình bày hệ thống phần lý thuyết của đề tài “ứng

dụng đườngtròn lượng giác để giải các bài tập dao động điều hòa cơ học”

như sau:

1.1 Động học của dao động điều hòa

1.1.1 Một số khái niệm mở đầu

Trong thiên nhiên, trong đời sống, trong khoa học và kĩ thuật, có nhiều hiệntượng diễn ra lặp đi lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian nhất định Thí dụ: Sau mỗi ngày Mặt Trời lại mọc vào buổi sáng, sau mỗi năm vào mùa xuân hoa đào lại nở, Đó là những hiện tượng tuần hoàn

 Hiện tượng tuần hoàn là những hiện tượng diễn ra lặp đi lặp lại như

cũ sau những khoảng thời gian xác định

 Quá trình tuần hoàn là những quá trình liên tục trong đó sự biến thiên của một số đại lượng nào đó đặc trưng cho quá trình biến đổi như vận tốc, gia tốc, áp suất, nhiệt độ, khoảng cách được lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian xác định

 Dao động: Trong một số quá trình tuần hoàn, những đại lượng biến thiên đặc trưng cho quá trình chỉ thay đổi giá trị xung quanh một giá trị trung bình xác định được gọi là một dao động tuần hoàn Mỗi lần các đại lượng biến thiên của quá trình lặp lại những giá trị như cũ ta nói rằng nó đã thực hiện được một dao động

 Chu kì dao động: Chu kì dao động được kí hiệu bằng chữ T là khoảng thời gian xác định, không đổi để quá trình biến đổi thực hiện một dao động

Nếu f(t) là một đại lượng biến đổi tuần hoàn theo thời gian với chu kì T thì ta luôn có hệ thức:

f(t+T) = f(t) Chúng ta gặp những dao động tuần hoàn không những trong các quá trình cơ học mà cả trong quá trình điện học, nhiệt học, quang học, quá trình diễn ra trong nguyên tử hạt nhân, Tùy theo bản chất của quá trình lặp lại, người ta phân biệt các loại dao động: Dao động cơ, dao động điện từ, dao động điện cơ, Trong chương này, chúng ta nghiên cứu các dao động cơ Lý thuyết về dao động cơ học có một ý nghĩa cơ bản, nó sẽ được áp dụng và mở rộng trong các lĩnh vực khác của vật lý học

Tùy từng trường hợp mà quá trình dao động có thể đóng vai trò tích cực và cũng có thể đóng vai trò tiêu cực

1.1.2 Khái niệm về dao động điều hòa

Trong tất cả các dao động thường gặp, đơn giản nhất và quan trọng nhất là dao động điều hòa vì các lí do sau đây: Trước hết, các dao động trong

tự nhiên và trong kĩ thuật thường có các dao động rất gần với dao động điều hòa; thứ hai, một dao động bất kì được biểu diễn như là tổng hợp của các dao động điều hòa

Chúng ta xét thí dụ sau: Một chất điểm M

chuyển động trên đường tròn bán kính R với vận

tốc góc không đổi bằng  Trên đường tròn,

chọn điểm O làm gốc tọa độ và chiều quay

dương là chiều ngược kim đồng hồ Tại thời

điểm ban đầu t = 0, điểm M ở vị trí Mo được xác

định bởi góc  Tại thời điểm t bất kì vị trí của điểm M được xác định bằng góc(t ) Ta chiếu chuyển động cuả điểm M xuống đường kính đi qua O

Chọn gốc tọa độ trên đường kính đó, là tâm O của đường tròn Tại thời điểm t bất kì vết chiếu của M là P Đặt OP = x, ta có:



T T cũng chính là khoảng thời gian để M quay được một vòng trên đường tròn và P trở lại vị trí cũ trên bán kính OP1

 Tọa độ, vận tốc, gia tốc đều được biểu diễn bằng các phương trình

dạng sin hoặc coisin Dao động tuần hoàn như vậy gọi là dao động điều hòa

 Một dao động tuần hoàn mà các đại lượng biến đổi đều được biểu

diễn bởi các phương trình dạng sin hoặc cosin được gọi là các dao động điều hòa

- Tọa độ x của P được gọi là li độ của dao động

- Lượng (t ) cho phép xác định li độ, vận tốc, gia tốc của P tại mỗi thời điểm t bất kì được gọi là pha của dao động điều hòa

- Lượng  cho phép xác định li độ, vận tốc, gia tốc tại thời điểm ban

đầu t = 0 (trạng thái ban đầu của chuyển động) được gọi là pha ban đầu của dao động điều hòa

- R là giả trị cực đại của li độ ứng với sin( t     ) 1 hoặc

cos( t   ) 1 được gọi là biên độ của dao động điều hòa Như vậy li độ biến thiên trong khoảng:

– R  x  R

- Trong dao động điều hòa, li độ, vận tốc, gia tốc đều biến thiên với một chu kì chung 

 2

 Hec là tần số bằng một dao động trong thời gian một giây

1 Hz = 1 s-1Đại lượng  2  2.

T được gọi là tần số vòng hay tần số góc của dao động điều hòa

Nếu dao động điều hòa được biểu diễn bởi phương trình:

2

'  

   Hai cách biểu diễn đó là hoàn toàn tương đương nhau

1.1.3 Các phương pháp biểu diễn dao động tuần hoàn

Để biểu diễn dao động tuần hoàn, tùy từng trường hợp cụ thể mà chúng

ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp sau: Phương pháp lượng giác, phương pháp số phức, phương pháp hình học

1.1.3 Các phương pháp biểu diễn dao động tuần hoàn

Để biểu diễn dao động tuần hoàn, tùy từng trường hợp cụ thể mà chúng

ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp sau: Phương pháp lượng giác, phương pháp số phức, phương pháp hình học

1.1.3.1 Phương pháp lượng giác

Phương pháp lượng giác là phương pháp biểu diễn dao động tuần hoàn bởi các phương trình lượng giác dạng sin hoặc cosin mà trên đây chúng ta sử dụng:

1.1.3.2 Phương pháp hình học

Phương pháp hình học hay còn gọi

là phương pháp giản đồ vectơ quay hay

phương pháp Frexnen, áp dụng tính chất

đã được nghiên cứu ở thí dụ vừa xét: Khi

một chất điểm M chuyển động đều trên

một đường tròn thì chuyển động của vết

chiếu P của nó trên một đường kính là một dao động điều hòa

Trên trục x ta có thể chọn điểm O bất kì làm gốc Từ O đặt một vectơ

A

tạo với Ox một góc  bằng pha ban đầu, có độ dài tỉ lệ với biên độ A A

được gọi là vectơ biên độ Cho vectơ biên độ quay quanh O theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) với vận tốc góc bằng w Vết chiếu của điểm đầu mút vectơ biên độ A

trên trục Ox sẽ dao động xung quanh điểm O với biên độ bằng độ dài của vectơ biên độ, với tần số vòng bằng vận tốc quay của vectơ biên độ, với pha ban đầu bằng góc tạo bởi vectơ biên độ với trục Ox tại thời điểm ban đầu theo phương trình:

cos( )

x  A   t 

Như vậy, một dao động điều hòa có thể được biểu diễn bằng một vectơ

có độ dài bằng biên độ dao động, tại thời điểm ban đầu hướng của vectơ hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu của dao động Chính vì lí do như vậy

mà pha ban đầu còn được gọi là góc pha, và w còn được gọi là tần số vòng

Phương pháp hình học giúp cho việc giải một loạt vấn đề, đặc biệt là phép cộng một vài dao động cùng phương (cũng chính là phép cộng một vài hàm điều hòa) được dễ dàng đi rất nhiều và trở thành rõ ràng hơn

1.1.3.3 Phương pháp số phức

Ta biết một số phức a có thể được biểu diễn dưới dạng

a = Aei = A (cos+ isin) = Acos+ A isin

Trong đó: A cos là phần thực của số phức a

Aisin là phần ảo của số phức a

Một dao động điều hòa x Acos( t )có thể được biểu diễn bởi phần thực của số phức a = Aei(t )

hoặc số phức liên hợp với a là

1.2 Động lực học dao động điều hòa

1.2.1 Nguyên nhân gây ra dao động điều hòa

Ta hãy xét xem khi một vật dao động điều hòa, nó chịu tác dụng của những lực nhƣ thế nào, thông qua các ví dụ sau:

1.2.1.1 Thí dụ 1

Một hòn bi khối lƣợng m có thể chuyển động không ma sát trên một mặt phẳng nằm ngang Nó đƣợc gắn vào một đầu của lò xo có khối lƣợng không đáng kể, đầu kia của lò xo đƣợc gắn cố định Khi kéo lò xo lại rồi buông ra, hòn bi sẽ thực hiện một dao động Ta xét dao động đó

Khi hòn bi ở vị trí cân bằng, hòn bi đứng tại O Trọng lực tác dụng lên

nó cân bằng với phản lực của mặt phẳng và tổng hợp lực tác dụng lên nó bằng không

Chọn O làm gốc tọa độ Khi ta kéo lò

xò ravà đƣa nó tới vị trí có tọa độ x Tổng hợp

Hoặc: x Acos(o t)

Trong đó: t là thời gian, A,o, là hằng số

Nghiệm của phương trình (1) biểu diễn một dao động điều hòa Vậy chuyển động của hòn bi dưới tác dụng của lực đàn hồi là một dao động điều hòa với tần số vòng:

m

k

o 

Chu kì của dao động:



Biên độ A và pha ban đầu là  Giá trị của A và  được xác định dựa

vào điều kiện ban đầu của bài toán



tác dụng lên vật

Gọi llà độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân

bằng

Chọn vị trí cân bằng của vật làm gốc tọa độ O,

Trục Ox hướng từ trên xuống dưới, tại vị trí

- Fo + P = 0

 PF0  k l

Kéo vật nặng xuống phía dưới một đoạn rồi buông ra, vật sẽ chuyển động dưới tác dụng của lực đàn hồi F

và trọng lực P

Xét chuyển động của vật tại vị trí có li độ x Khi đó độ dãn của lò xo là

Chu kì của con lắc lò xo chỉ phụ thuộc khối lượng m của vật nặng và hệ

số cứng k của lò xo mà không phụ thuộc vào trọng lực P

tác dụng lên vật nặng

Do vậy chu kì dao động cuả con lắc lò xo sẽ không thay đổi nếu ta dịch chuyển con lắc đến một nơi bất kì trên Trái Đất, hoặc đặt nó trên con tàu vũ trụ ở cách xa trọng trường của Trái Đất

1.2.1.3 Thí dụ 3: Con lắc toán học

* Định nghĩa: Con lắc toán học là một hệ gồm một vật nặng có kích thước không đáng kể, treo ở đầu một sợi dây không dãn có khối lượng không đáng kể

Ở vị trí cân bằng, sức căng T

của dây cân bằng với trọng lực P

tác dụng lênvật Tổng hợp các lực tác dụng lên vật bằng không

Xét chuyển động của con lắc

Chọn hệ tọa độ có gốc O trùng với vị trí

cân bằngcủa con lắc, đường tọa độ s trùng với

quỹ đạo chuyển động, có chiều dương là chiều

P T ma

Chiếu lên phương tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động ta được:

- F = m.at = m.s’’ Trong đó: FPsin mgsin

Hay:

sˮ + s l

g

= 0 Phương trình này có dạng như phương trình (2) Vậy ta có thể kết luận chuyểnđộng của con lắc ứng với góc lệch  nhỏ là một dao động điều hòa có

 Khi góc  nhỏ thì các kêt quả trên (4), (5) chính xác tới 0,2% Ta có

thể nói rằng chu kì của con lắc toán học không phụ thuộc khối lượng và biên

* Định nghĩa: Con lắc vật lý là một vật nặng bất kì có thể dao động tự

do xung quanh một trục nằm ngang

Gọi d

là bán kính vecto từ trục quay O1 tới khối tâm G của con lắc Tại vị trí cân

bằng O1 và G nằm trên cùng một đường thẳng

đứng Khi kéo con lắc khỏi vị trí cân bằng

một góc lệch  nhỏ rồi buông ra, con lắc sẽ

dao động xung quanh trục nằm ngang O1

Xét chuyển động của con lắc tại vị trí

bất kì ứng với góc lệch , momen lực tác

dụng lên con lắc đối với trục quay O là:

g m d P d

+ I: Momen quán tính của con lắc đối với trục quay đi qua O

Khi góc lệch  nhỏ thì có thể lấy sin   

Nghiệm phương trình trên có dạng:

) cos(

L

Do vậy, L được gọi là chiều dài rút gọn của con lắc vật lý và có thể viết:

g

L

T  2 

* KẾT LUẬN:

Qua các thí dụ trên ta thấy rằng dao động được gây ra bởi những lực tỉ

lệ với độ dời của vật khỏi vị trí cân bằng và luôn hướng về vị trí cân bằng của vật Những lực đó gọi là những lực hồi phục

Trong thí dụ 1 và thí dụ 2, lực hồi phục là lực đàn hồi (Fx = - kx), hoặc hợp lực của lực đàn hồi và lực khác ( Px + Fx = - kx)

M  mgd  là những lực có tính chất giống như lực đàn hồi của lò xo (có

độ lớn tỉ lệ với độ dời và hướng về vị trí cân bằng) nhưng do các nguyên nhân khác gây ra, chúng được gọi là lực chuẩn đàn hồi

Vậy, để một vật tham gia chuyển động là một dao động điều hòa thì vật phải chụi tác dụng của một lực hồi phục Lực hồi phục có thể là lực đàn hồi hoặc là lực chuẩn đàn hồi

1.2.2 Năng lượng trong dao động điều hòa

Vật nặng trong con lắc lò xo chuyển động dưới tác dụng của lực đàn hồi là lực thế, vì vậy cơ năng của vật được bảo toàn (có giá trị không đổi theo thời gian)

Ta hãy xét biến đổi của những thành phần của cơ năng, tức là của động

năng K và thế năng U của vật theo thời gian

1

kA kx

kxdx Fdx

x x







Mà k mw2

Khi đó cơ năng E của vật nặng có giá trị không đổi:

2 2 2 2 1

sin ( ) os ( ) 2

E  K U mw A   t c  t 

2

1 2

1

kA A

Như vậy: Động năng K và thế năng U luôn luôn biến đổi nhưng tổng của chúng thì không đổi Có sự chuyển hóa qua lại giữa động năng và thế năng trong quá trình dao động điều hòa

1.3 Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa

1.3.1 Chuyển động tròn đều

Chuyển động tròn là chuyển động có quỹ đạo là một đường tròn

VD: Chuyển động của các điểm trên ghế đu quay

Chuyển động tròn đều là chuyển động có quỹ đạo tròn và có tốc độ trung bình trên mọi cung tròn là như nhau

Vận tốc góc: Là góc quay của bán kính trong 1 đơn vị thời gian

trong những khoảng thời gian t

Chu kì của chuyển động tròn đều là thời gian cần thiết để vật đi được một vòng

1.3.2 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và

chuyển động tròn đều

Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x

của vecto quay O M

biểu diễn dao động điều hòa chính là li độ x của dao động

Nói cách khác: Khi vecto O M

quay đều với tốc độ góc w quanh điểm

O thì hình chiếu P của điểm M dao động điềuhòa trên trục x’Ox thuộc mặt phẳng quỹ đạo M với li độ bằng tọa độ hình chiếu của điểm M, biên độ bằng

độ dài OM, tần số góc đúng bằng tần số góc và pha ban đầu =xOM0 ở

thời điểm t = 0

Nhận xét:

Mỗi chu kì vật đi được quãng đường 4A; mỗi nửa chu kì T/2, vật đi được quãng đường 2A; còn trong T/4, vật đi từ vị trí cân bằng ra vị trí biên hoặc đi từ biên ra vị trí cân bằng, vật đi được quãng đường S = 4A

Mỗi một chu kì, vật qua vị trí bất kì 2 lần( riêng với biên thì một lần) Thời gian vật dao động điều hòa từ vị trí (x1, v1) đến vị trí (x2, v2) bằng thời gian O M

quay đều được góc  tt 

Nếu biết góc quay của O M

trong thời gian t tính từ thời điểm t = 0, ta

có thể tìm được thời điểm vật qua vị trí có li độ x với vận tốc v, từ đó có thể tính được số lần vật qua vị trí x trong thời gian to hoặc tính được quãng đường vật dao động điều hòa đi được trong khoảng thời gian t

Chương 2

HỆ THỐNG BÀI TẬP

Trong chương này, tôi xin trình bày hệ thống bài tập của đề tài “ Ứng dụng của đường tròn lượng giác để giải bài tập dao động điều hòa cơ học” như sau:

2.1 Viết phương trình dao động điều hòa

2.1.1 Phương pháp giải

Bước 1: Chọn trục tọa độ Ox, có phương là phương dao động, gốc O là

vị trí cân bằng (VTCB) của vật, chiều (+) trùng với Ox

+ Xác định gốc thời gian t = 0, nếu đề bài không cho thì thường chọn gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động Nếu không xác định được thời điểm vật bắt đầu dao động thì chọn thời điểm ban đầu là lúc vật đi qua VTCB theo chiều (+)

Bước 2: Viết phương trình dao động: x= Acos(t ) (1) Bước 3: Dựa vào các điều kiện của bài toán đã cho và các công thức liên quan để tìm ra các giá trị cụ thể của A,, rồi thay vào (1)

+ Xác định = g

T m

k  2  2 

2 2 2

x A

2 2 2

max max / /

x a

+ Xác định :

Cách 1: Từ điều kiện ban đầut = 0, vẽ vòng tròn, tìm ra 

Cách 2: Giải hệ phương trình lượng giác

Cuối cùng thay các giá trị của A, ,  vào phương trình (1)

2.1.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Một vật dao động điều hoà dọc theo trục ox quanh vị trí cân

bằng 0 Có chu kì T = /5 (s) Đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn x = +

3 cm rồi chuyền cho vật vận tốc v = + 10 cm/s Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt đầu chuyển động, gốc tọa độ của trục tọa độ là vị trí cân bằng Viết phương trình dao động của vật



v

x  A = 2 (cm)

* Cách 1:

- Ban đầu t = 0 ta cócos   3 / 2      / 6rad

Có hai vị trí trên đường tròn là M1 và M2 mà ở đó đều có vị trí x 3

cm Vì vật dao động đi theo chiều dương, nên ta chọn vị trí M2 tức     / 6

- Vậy phương trình dao động của vật là: x = 2cos(10t - π/6) (cm)

* Chú ý: Nếu cho v = -10 cm/s thì vị trí ban đầu là M1 tức là    / 6

- Phương trình dao động của vật là: x = 2cos(10t + π/6) (cm)

-A

M2

M1

Ví dụ 2 Một vật dao động điều hòa với tần số 60 Hz, A = 5cm Chọn

gốc thời gian lúc vật có li độ x = + 2,5cm và đang giảm Viết phương trình dao động của vật trong trường hợp này

3 sin 0

-A

M2

M1

Ví dụ 3 Vật dao động điều hòa theo phương trình x = Acos(t ) Biết tại thời điểm ban đầu vật cách vị trí cân bằng 2 cm về phía âm của trục dao động, đang có động năng bằng thế năng và đang tiến về vị trí cân bằng với tốc độ 5 2  cm/s Hãy viết phương trình dao động của vật

) 2 5

2 2

2

s rad x

2   

t (cm)

Như vậy: Bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và

dao động điều hòa ta thấy bài toán được giải quyết dễ dàng hơn

2.1.3 Bài tập áp dụng

Bài 1 Một con lắc đơn có chiều dài l = 16 cm Kéo con lắc lệch khỏi vị

trí cân bằng một góc 90 rồi thả nhẹ Bỏ qua mọi ma sát, lấy g = 10 m/s2, 2

=

10 Chọn gốc thời gian lúc thả vật, chiều dương cùng chiều với chiều chuyển động ban đầu của vật Viết phương trình li độ góc

A  = 0,157cos(2,5t +) rad B  = 0,157cos(2,5t) rad

C  = 0,157cos(2,5t) rad D  = 0,157cos(2,5t +) rad

Bài 2 Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2s Lấy

Bài 3 Một con lắc lò xo gồm quả nặng khối lượng 1kg và một lò xo có

độ cứng 1600N/m Khi quả nặng ở vị trí cân bằng, người ta truyền cho nó vận tốc ban đầu bằng 2 m/s theo chiều dương của trục tọa độ Phương trình dao động của quả nặng là:

t x

t

Bài 4 Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật m = 100g, lò xo có

độ cứng k = 100N/m Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng x = + 2cm và truyền vận tốc v = + 62, 8 3 cm/s theo phương lò xo Chọn t = 0 lúc vật bắt đầu chuyển động thì phương trình dao động của con lắc là (cho 2

Bài 5 Một vật dao động điều hoà, khoảng thời gian giữa hai lần liên

tiếp vật qua vị trí cân bằng là 0,5s; quãng đường vật đi được trong 2s là 32cm Gốc thời gian được chọn lúc vật qua li độ theo chiều dương Phương trình dao động của vật là:

Bài 6 Một con lắc đơn có chiều dài l = 16 cm Kéo con lắc lệch khỏi vị

trí cân bằng một góc 90 rồi thả nhẹ Bỏ qua mọi ma sát, lấy g = 10 m/s2, 2

=

10 Chọn gốc thời gian lúc thả vật, chiều dương cùng chiều với chiều chuyển

động ban đầu của vật Viết phương trình li độ góc

A  = 0,157cos(2,5t +) rad B  = 0,157cos(2,5t) rad

C  = 0,157cos(2,5t) rad D  = 0,157cos(2,5t +) rad

2.2 Bài toán tìm thời gian, thời điểm trong dao động điều hòa

2.2.1 Tìm thời gian ngắn nhất, dài nhất để vật đi hết quãng đường S 2.2.1.1 Phương pháp giải

Ta sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa

 Nếu 0 < S < 2A

Trong dao động điều hòa vật càng gần VTCB thì vận tốc càng lớn Do

đó với cùng quãng đường S thì:

+ Nếu vật chuyển động xung quanh

vị trí cân bằng thì thời gian chuyển động để

Để vật đi hết quãng đường S với thời

gian dài nhất thì phải gắn với quãng đường

mà vật có vận tốc nhỏ nhất, đó là khi vật

chuyển động xung quanh vị trí biên do vận

tốc giảm dần khi tiến ra biên

Ta có: S = 2A(1- os

2

c 

) Ta tính được 

Do đó ta tính được tmax =  (s)

 Nếu S > 2A thì ta tách S = n.2A + S’

Vì trong nửa chu kì vật chuyển động được là 2A Khi đó thời gian tương ứng là: t = n

2

T

+ t’Rồi ta tính tiếp t’min và t’max như trên

So sánh trong cùng quảng đường S = 3 3cm như nhau, tìm thời gian dài nhất

và ngắn nhất để vật chuyển động cùng quãng đường như trên?

2

sin 2 sin



A

S A

3 / 2 min   

2

1 max    







Ví dụ 2 Một vật dao động điều hòa theo phương trình x 5 cos( 3 t  / 6 )cm

So sánh trong cùng quãng đường S = 25 cm như nhau, tìm thời gian dài nhất

và ngắn nhất để vật chuyển động cùng quãng đường trên?