Chuyên đề LTĐH môn Toán (phần phương trình và bất phương trình)

VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀBẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ... HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA CĂN THỨCDẠNG 1: HỆ PT ĐỐI XỨNG Lưu ý: Khi đặt nhớ điều kiện của nó... VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TR

VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ

BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

C HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA CĂN THỨC

DẠNG 1: HỆ PT ĐỐI XỨNG

Lưu ý: Khi đặt nhớ điều kiện của nó VD:

*

DẠNG 2: HỆ PT ĐẲNG CẤP

DẠNG 3: HỆ PT KHÔNG CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

C BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

D PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

I PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ

II SƠ LƯỢC VỀ PP TAM THỨC BẬC 2

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x như vậy phương trình luôn0

đưa về được dạng tích x x A x 0   0 ta có thể giải phương trình A x  hoặc chứng  0minh A x  vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh  0

gía A x  vô nghiệm   0

Ví dụ 3:

3x  5x 1 x  2  3 x  x 1  x  3x4

Bài tập áp dụng:

Bài 1 Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : x212 5 3  x x25

Bài 2 Giải phương trình :3 x2 1 x x3 1

2.2 Đưa về “hệ tạm “

a) Phương pháp

Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C  , mà : A B C

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x Ta có thể giải như sau :

b) Ví dụ 4: Giải phương trình sau : 2x2  x 9 2x2 x  1 x 4

3 Phương trình biến đổi về tích

Bài 1 Giải phương trình : 3 x 1 3 x2 3 x3 x2x

Bài 2 Giải phương trình: x 3 2x x 1 2x x24x3

1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t f x  và chú ý điều

kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng hơn

ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” Nói chung

những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn t f x  thường là những phương trình dễ

Ví dụ 7: Giải phương trình: x x2 1 x x2 1 2

Bài tập áp dụng:

Bài 1 Giải phương trình: 2x2 6x 1 4x5

Bài 2 (THTT 3-2005) Giải phương trình sau :x2004 x 1 1 x2

Bài 3 Giải phương trình sau: x 5 x 1 6

Bài 4 Giải phương trình : x23 x4 x2 2x1

Bài 5 Giải phương trình sau : 2 1

x

Nhận xét: Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản,

đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải

2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2uvv2 0 (1) bằng cách

Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:4x2 2 2x 4 x41

Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai

at bt c  giải “ nghiệm đẹp”

Ví dụ 8: Giải phương trình :x3 3x22 x23  6x0

Bài tập áp dụng:

Bài 1 Giải phương trình : 2x22 5 x31

Bài 2 giải phương trình sau :2x25x 1 7 x3 1

Bài 2.Giải phương trình sau : x22x 2x 1 3x24x1

3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Bài 1 Giải phương trình: 2 2x4 4 2  x  9x216

Bài 2 Giải phương trình : x1 x2 2x 3 x21

Bài 3 Giải phương trình sau : 4 x 1 1 3 x2 1 x 1 x2

Bài 4 Giải phương trình: 2 2x4 4 2  x  9x216

4 Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ

mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệXuất phát từ đẳng thức a b c  3a3b3c33a b b c c a       , Ta có

5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

Đặt u x v,  x và tìm mối quan hệ giữa  x và  x từ đó tìm được hệ theo u,v

Bài 3 Giải phương trình sau: x 5 x 1 6

5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II

Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải pt bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt yf x  sao cho (2) luôn đúng,

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng :

xn p a x b n '  ' v đặt y n ax b để đưa về hệ , chú ý về dấu của  ???Việc chọn ;  thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :xn p a x b n '  ' làchọn được

đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng

ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau :

Ví dụ 14 Giải phương trình: 4x2 5 13x 3x 1 0

Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay  ; bằng cách viết lại phương trình

ta viết lại phương trình như sau: (2x 3)2  3x  1 x 4

khi đó đặt 3x 1 2y , nếu đặt 3 2y 3 3x thì chúng ta không thu được hệ như1mong muốn , ta thấy dấu của  cùng dấu với dấu trước căn

Nếu từ (2) tìm được hàm ngược y g x   thay vào (1) ta được phương trình

Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa

1 Dùng hằng đẳng thức :

 Từ những đánh giá bình phương : A2B2 , ta xây dựng phương trình dạng 0 A2B2 0

Từ phương trình  5x 1 2 x 2 9 5 x 22  x 1 0 ta khai triển ra có phương trình :

Ta có : 1x 1 x Dấu bằng khi và chỉ khi 2 x  và 0 1 1 2

Ví dụ 15 Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): 2 2 9

Bài tập áp dụng:

Bài 1 giải phương trình: x3` 3x2 8x40 8 4 4 x4 0

Bài 2 Giải phương trình : 13 x2 x4 9 x2x4 16

IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu

 Dựa vào kết quả : “ Nếu yf t  là hàm đơn điệu thì f x f t   x t ” ta có thể xâydựng được những phương trình vô tỉ

Xuất phát từ hàm đơn điệu : yf x 2x3x21 mọi x  ta xây dựng phương trình :0

Bài 1 Giải phương trình x3 4x2 5x 6 37x29x 4

V PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

  sao cho : xtant

 Nếu : x , y là hai số thực thỏa: x2y2 1, thì có một số t với 0 t 2 , sao chosin , cos

Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán :

 Nếu : x  thì đặt sin t x1  với ;

t   hoặc xcosy với y0;

 Nếu 0 x 1 thì đặt sin tx, với 0;

Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ?

Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện xf t  thì phải đảm bảo với mỗi x có duy nhất

một t , và điều kiện trên để đảm bào điều này (xem lại vòng tròn lượng giác )

2 Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ?

Từ công thức PT lượng giác đơn giản: cos3t sint, ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ

Nếu thay x bằng 1

x ta lại có phương trình :

2 2 2

4 3 x x x  1 (2)Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó:

4x  12x 9x 1 2x x (3)

Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ?

Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng những phương trình

vô tỉ theo kiểu lượng giác

Bài 3 Giải phương trình sau: 36x 1 2x

Bài 4 Giải phương trình 2 1 21

2

2

11

1

x x