Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2016 Đề số 1

và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC.. Tìm tọa độ điểm B, biết diện tích của hình chữ nhật bằng 6, điểm B có tung độ dương và phương tr

ĐỀ SỐ 01

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số  



1

x y

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0, biết x0 là nghiệm dương của phương trình 4 ' 3y  0

Câu 2 (1,0 điểm)

a) Giải phương trình sin 2xcos 2x 2 sinx1

b) Cho số phức z thỏa mãn z z 3 z z  5 12i Tìm phần thực và phần ảo của số phức

  1

Câu 3 (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yx 4x2

Câu 4 (1,0 điểm) Giải bất phương trình 4x 1 x22x  2 1 x

Câu 5 (1,0 điểm) Tính tích phân ln 2    

0

1

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC a, cạnh bên SA2a Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng SBC và đáy bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm A 0;2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC Trên tia đối của BH lấy điểm E sao cho



BE AC Tìm tọa độ điểm B, biết diện tích của hình chữ nhật bằng 6, điểm B có tung độ dương

và phương trình đường thẳng DE x:  y 0

Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A1;1; 1 , B1;1;2,

 1;2; 2

C   và mặt phẳng  P :x2y2z 1 0 Tính khoảng cách từ trung điểm M của AB đến

 P và viết phương trình đường thẳng  đi qua C đồng thời vuông góc với AB, song song với  P

Câu 9 (0,5 điểm) Có 8 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có ba quầy Tính xác suất

để 3 người cùng đến quầy thứ nhất

Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện 1

2z   x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

P

… Hết……

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:………; Số báo danh:………

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 a)

● Tập xác định: D  \ 1 

● Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:



 2

3

1

x

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 và  1;

- Giới hạn và tiệm cận:

lim  lim 2

x y x y ; tiệm cận ngang: y 2





 

1

lim

x





 

1

lim

x

y ; tiệm cận đứng: x  1

- Bảng biến thiên

● Đồ thị  C cắt Ox tại 1; 0

2

 

 , cắt Oy tại 0; 1 và nhận giao điểm  I 1;2 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

x

y







1 2



b) Ta có





 2

3 '

1

y

x

nên 4 ' 3  0 ' 3

4

 

  2     2     

3

1 4

1

x x

x x

Vì x là nghiệm dương của phương trình 0 4 ' 3y 0 nên ta chọn x0 3

Với x03, suy ra 



0 0 0

x y

4

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm  3 37 3 23

Câu 2 a) Phương trình 2 sin cosx x  1 cos 2x2 sinx 0

2

2 sin cos 2 sin 2 sin 0

2 sin cos sin 1 0

● sinx   0 x k ,  k  

●







 



2

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x k ,  



2

x k , k  

b) Đặt z  a bi a b   Từ giả thiết, suy ra: , 

2

a

b b



● Với    



1

2

a

b , ta có z   1 2i suy ra

  1    1 1 2   1 2  3

Do đó số phức w có phần thực bằng 0 , phần ảo bằng 3

● Với   



1

2

a

b , ta có z  1 2i suy ra

  1   1 1 2  12   2

Do đó số phức w có phần thực bằng 2 , phần ảo bằng 1

Câu 3 Tập xác định:   

 2;2

Ta có f x xác định và liên tục trên đoạn    

 2;2 

2

4 2

;

            

     



x

Ta có f  2 0; f 2 2; f  2  2

Vậy giá trị nhỏ nhất của f x bằng 2 khi   x   2;

giá trị lớn nhất của f x bằng 2 khi  2  x

Câu 4 Điều kiện:



1

4

Với điều kiện trên ta có 1 x 0 nên bất phương trình tương đương với

2 2

Đặt   

2

b x x a b, 0, bất phương trình trở thành

  2 22 2   22 22 2  2   0

Với ab , ta có 4x  1 x22x 4x 1 x22x

x26x    1 0 x 3 10

Đối chiếu điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là

 3 10; 3 10

Nhận xét Để ý thấy đây chính là một bất đẳng thức ngược nên nghiệm của bất phương trình là dấu ‘’=’’ xảy

ra trong bất đẳng thức Bằng cách đặt ẩn phụ ta đưa về dạng A2 0 A0

Câu 5 Ta có ln 2 ln 2 

1

●  

ln 2

0

x

A xe dx Đặt

● ln 2 

0

1

x x

B e e dx Đặt t  e x  1 t2 e x 1, suy ra 2tdte dx x

Đổi cận: với x  0 thì  0t ; với x  ln 2 thì  1t

1

2

0 0

2

t

Vậy   2 ln 2 1 22 ln 21

K

E

M

D

C

B

A

S

Câu 6 Gọi H là trung điểm AC , suy ra SH AC

Mà SAC vuông góc với  ABC theo giao tuyến AC nên  SH ABC

Do đó SBC , ABCSM HM, SMH 

Ta có SA2a, suy ra SC SA2a;

2

a

sin 60

4

a

2

a

2

a

Diện tích tam giác ABC là:  1  2 15

ABC

a

3

S ABC ABC

a

Lấy điểm D sao cho ABCD là hình bành hành Khi đó

 ,   ,    ,  2  ,  

a

Gọi K là hình chiếu của H trên SE , suy ra HK SE

Ta có ADSHE nên ADHK

Do đó HK SAD nên d H SAD ,  HK

Trong tam giác vuông SHE , ta có

8

HK

Vậy  , 2  3 5

4

a

Câu 7 Kẻ EF AD F AD Gọi K EFBC

Xét hai tam giác vuông ABC và BKE , ta có

 

Suy ra tam giác EFD vuông cân tại F nên ADE  450

Gọi n a b; với a2b2  là vectơ pháp tuyến của 0

đường thẳng AD , n 1 1; 1  là vectơ pháp tuyến của

đường thẳng DE Ta có

2

2

AD DE n n  

2 2 2



 0

0

0

a ab

b

 



    

● a  , chọn 0 b  Phương trình đường thẳng 1 AD y   : 2 0

Tọa độ điểm D thỏa mãn hệ 0  2;2

D y

  

  

Đường thẳng AB qua A và vuông góc AD nên AB x  : 0

Vì BAB nên B 0;b với b  Ta có 0

ABCD

S AB AD b    hoặc b b   (loại) 1 Suy ra B 0; 5

● b  chọn 0 a  Bạn đọc làm tương tự và tìm được 1 B 3;2

Nhận xét Đề bài cho tọa độ điểm A và đường thẳng DE Như thế ta sẽ đi tìm mối liên hệ giữa chúng Từ giả thiết ABCD là hình chữ nhật và BE=AC ta chứng minh được AD hợp với DE một góc 45 0

Câu 8 Tọa độ trung điểm điểm của AB là 1

1;1;

2

M 



 

 

1

,

3

Ta có AB  0; 0; 3; Mặt phẳng  P có VTPT n  1; 2; 2 

Đường thẳng  đi qua C  1;2; 2 đồng thời vuông góc với AB , song song với   P nên có VTCP

, 6; 3; 0

uAB n

  

Vậy phương trình đường thẳng

1 6

2

z

   





     





Câu 9 Mỗi người khách có 3 cách chọn quầy nên có 3 khả năng xảy ra 8

Do đó số phần tử của không gian mẫu là  38

H

K

B

A

Gọi A là biến cố '' Có 3 người cùng đến quầy thứ nhất, 5 người còn lại đến quầy thứ hai hoặc ba '' , có hai

giai đoạn:

● Có C cách chọn 3 người khách vào quầy thứ nhất 83

● Còn lại 5 người khách xếp vào hai quầy Mỗi người khách có hai cách chọn (vào quầy thứ hai hoặc thứ ba) Suy ra có 2 cách xếp 5

Do đó số khả năng xảy ra biến cố A là  A C83 5.2

Vậy xác suất của biến cố A là   83 5

8

.2

0, 273 3

C

Câu 10

Trước hết ta chứng minh:  2



  * với , a b   và , x y  0 Thật vậy,     2  2 2



 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

2

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: '' a b

x  y

2



Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: x''  y  1

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức  2

4xy xy , ta được:

       

2 4



Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: x''  y  2

Do đó

2 2

1

P

z

  



 

Đặt x y

t

z



2z    , suy ra x y z 1;1

2

 

  

 

P



Xét hàm   2

1

t

f t

t





 ,

1

;1 2

 

  

  Ta có  

 2

1

1

f t

t





;1 2

 

   

  Suy ra f t nghịch biến trên   1;1

2

 

 

 

  nên    1 3

2

f t f  ,    1;1

2

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: '' t 1 x y 1

Suy ra 3

2

P  Từ  1 ,  2 và  3 , suy ra dấu '' xảy ra khi '' x y

 



  

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3

2; khi 2x 2yz