Tiểu luận giải tích phức một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊNTIỂU LUẬN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN BANACH... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH PHỨC

ĐỀ TÀI

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN

BANACH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH PHỨC

ĐỀ TÀI

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN

BANACH

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG

ĐẮK LẮK, NĂM 2015

DANH SÁCH HỌC VIÊN THỰC HIỆN

1q Trương Văn Đại (Nhóm Trưởng)

MỤC LỤC

1.1 Một số định lí cơ bản trong giải tích hàm 2

1.1.1 Định lí Hanh-Banach 2

1.1.2 Nguyên lí ánh xạ mở 2

1.1.3 Định lí đồ thị đóng 2

1.1.4 Nguyên lí bị chặn đều 3

1.2 Một số kết quả cơ bản trong giải tích phức cổ điển 3

1.2.1 Nguyên lí Maximum 3

1.2.2 Công thức tích phân Cauchy 3

1.2.3 Định lí Liouville 3

1.3 Đa thức và chuỗi trong không gian Banach 4

1.3.1 Đa thức 4

1.3.2 Chuỗi lũy thừa 5

2 Ánh xạ chỉnh hình 6 2.1 Ánh xạ chỉnh hình 6

2.1.1 Định nghĩa 6

2.1.2 Nhận xét 6

2.1.3 Ví dụ 7

2.1.4 Ví dụ 7

2.1.5 Ví dụ 8

2.1.6 Mệnh đề 9

2.1.7 Mệnh đề 10

2.1.8 Mệnh đề 10

2.1.9 Định lí 10

2.2 Ánh xạ G- chỉnh hình 11

2.2.1 Định nghĩa: 11

2.2.2 Định lý : 11

2.3 Hàm chỉnh hình theo từng biến 13

2.3.1 Bổ đề: 13

2.3.2 Mệnh đề: 14

2.4 Chỉnh hình yếu 14

2.4.1 Định nghĩa: 14

2.4.2 Định lý: 14

2.4.3 Bổ đề: 14

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

N : Tập hợp các số tự nhiên N t1, 2, u

N0 : Tập hợp các số N0  NY t0u

E : Đối ngẫu đại số của E

E1 : Đối ngẫu topo của E

Eco1 : Không gian E1 với topo compact mở

Bpa, rq : Hình cầu mở tâm a bán kính r

Bpa, rq : Hình cầu đóng tâm a bán kính r

l1 : Không gian Banach các dãy số phức khả tổng tuyệt đối

c0 : Không gian Banach các dãy số phức hội tụ về không

c0 : Tập các dãy số thực dương hội tụ về không

intU : Phần trong của U

U : Bao đóng của U

XK : Không gian Banach sinh bởi K € X

PpE, Fq : Không gian các đa thức từ E vào F

HbpE, Fq : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập

bị chặn của E giá trị trong F

HpUq : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị vô hướng

HpU, Fq : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị trong F

Np N q : Tập các đa chỉ số

Mở đầu

Vào thế kỉ 16 G Cardano (1501-1576) đã nói đến các số "ảo" như là căncủa các số âm Đến giữa thế kỉ 18 các số phức rải rác xuất hiện trong các côngtrình toán học của I Newton, N Bernoulli, A Clairaut Song người được coi

là sáng lập môn hàm phức chính là L Euler (1707-1783) Ông đã nghiên cứucác hàm phức sơ cấp, đưa vào khái niệm khả vi năm (1755) và phép tính tíchphân năm (1777) Nhiều ứng dụng hàm phức vào giải tích thực, thủy động học

và phép vẽ bản đồ cũng do ông khởi xướng Lý thuyết hàm phức ra đời mang

ý nghĩa vô cùng to lớn Nhờ lý thuyết hàm phức C.F Gauss (1777-1855) đãchứng minh được định lí cơ bản của đại số (1799): một đa thức bậc n trongtrường số phức có đúng n nghiệm nếu kể số nghiệm bằng bội của nó Đầu thế

kỉ 19 lý thuyết hàm phức đã phát triển thành một trong số nghành quan trọngnhất của giải tích toán học Công lao to lớn thuộc về A.L Cauchy (1789-1857),người đã phát triển phép tính tích phân, K Weierstrass (1815-1897), người

đã phát triển lý thuyết chuỗi hàm và B Riemann (1826-1866), người đã xâydựng cơ sở hình học của lý thuyết hàm phức Ngày nay lý thuyết hàm phức làmột trong những lí thuyết đóng vai trò quan trọng nhất của toán học, có ứngdụng vô cùng to lớn trong các nghành vật lý và kĩ thuật rất khác nhau như:thủy động học, khí động học, các lý thuyết điện từ trường, mạch điện, nướcngầm, nổ định hướng,đàn hồi

Trong nội dung của tiểu luận này chúng tôi nhắc lại một số kết quả củagiải tích phức cổ điển sau đó trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tíchphức trong không gian Banach Tiểu luận chắc chắn không thể tránh khỏi cácsai sót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đọc vàquý thầy cô để tiểu luận được hoàn thiện hơn

1.1 Một số định lí cơ bản trong giải tích hàm

Cho E , F là hai không gian Banach và A là một toàn ánh tuyến tính từ

E vào F Khi đó A là ánh xạ mở, tức là với mỗi tâp U mở trong E ta có tập

ApUq mở trong F

1.1.3 Định lí đồ thị đóng

Cho E, F là hai không gian định chuẩn, nếu A là một ánh xạ tuyến tínhliên tục thì A là ánh xạ đóng Tức là tập px; Apxqq đóng trong không gian

topo tích E.F

1.1.4 Nguyên lí bị chặn đều

Giả sử E là một không gian Banach,F là không gian định chuẩn vàtAαu, α P

Γ là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Khi đó, nếu với mọi

x P E ta có sup

α P Γ}Aαx}   81.2 Một số kết quả cơ bản trong giải tích phức cổ điển

1.2.1 Nguyên lí Maximum

Giả sử fpzq chỉnh hình trên miền D và liên tục trên miền D Nếu fpzq

không là hằng số thì |fpzq| đạt cực đại trên biên của D

1.2.2 Công thức tích phân Cauchy

Định lí Giả sử fpzq chỉnh hình trong miền hữu hạn đơn liên D và z0 P D, là đường cong Jordan, trơn, kín bất kì bao quanh z0 và nằm trong D Khi

đó ta có công thức tích phân Cauchy

1.3 Đa thức và chuỗi trong không gian Banach

1.3.1 Đa thức

1.3.1.1 Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa: Giả sử E, F là các không gian Banach còn m P N Ánh xạ

A : Em Ñ F gọi là m- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến Nghĩa làvới mọi a pa1, a2, , amq P Em và mọi 1 ¤ j ¤ m, các ánh xạ

Ej Q xj Ñ Apa1, , aj
1, xj, aj 1, , amq

là tuyến tính

Kí hiệu: LapmE, Fq và LpmE, Fq lần lượt là các không gian vectơ các ánh

xạ m- tuyến tính và m- tuyến tính liên tục từ Em vào F tương ứng Với

AP LapmE, Fq, xác định

}A} sup}Apx1, , xmq} : xj P E,}xj} ¤ 1, 1¤ j ¤ m

và gọi là chuẩn (suy rộng) của A

Khi m  1, ta viết Lap1E, Fq  LapE, Fq và Lp1E, Fq  LpE, Fq Khi F  Kviết LapmE, Kq  LapmEq và LpmE, Kq  LpmEq Cuối cùng khi m  1, sẽviết như thông thường LapEq E#, LpEq  E

1.3.1.2 Đa thức

Định nghĩa: Ánh xạ P : E Ñ F gọi là đa thức m-thuần nhất (thuần nhấtbậc m)nếu tồn tại A PLapmE, Fq sao cho

Ppxq  Axm @x P E

Ta kí hiệu PapmE, Fq không gian vec tơ các đa thức m- thuần nhất từ Etới F và PpmE, Fq là không gian con gồm các đa thức m- thuần nhất liên tụccủa PapmE, Fq Đối với mỗi P P PapmE, Fq, đặt

}P}  sup}Ppxq} : x P E,}x} ¤ 1

và gọi là chuẩn ( suy rộng) của P

Khi F  K ta viết PapmE, Kq  PapmEq và PpmE, Kq PpmEq

1.3.2 Chuỗi lũy thừa

ở đây Pm PPapmE, Fq với mọi m PN0

Chú ý rằng chuỗi lũy thừa

apmE, Fq, Apm  Pm

Tất cả các không gian Banach trong chương này đều là các không gian Banachphức và được kí hiệu bởi E, F ,

2.1.1 Định nghĩa

Giả sử U là tập mở trong E Ánh xạ f : U Ñ F gọi là chỉnh hình hay giảitích nếu với mọi a P U tồn tại trong hình cầu Bpa, rq € U và một dãy các đathức Pm P PpmE, Fq sao cho

hội tụ đều với x P Bpa, rq

Kí hiệu HpU, Fq là không gian véc tơ các ánh xạ chỉnh hình từ U vào F Khi

F  C ta viết HpU, Cq HpUq

2.1.2 Nhận xét

dãy pPmq trong định nghĩa là được xác định duy nhất bởi f và a, ta kí hiệu

Pm  Pmfpaq với mọi m P N0 Chuỗi

2.1.3 Ví dụ

PpE, Fq €HpE, Fq

Chứng minh Chỉ cần chứng minh P P HpE, Fq với mọi P P PpmE, Fq Giả

sử A PLspmE, Fq sao cho P  pA Cho a, x P E Do Nhị Thức Newton ta có

Pmpxq là chuỗi lũy thừa từ E tới F có bán kính hội tụ bằng 8,

và mọi Pm là liên tục Nếu ta xác định

Chứng minh paq Trước tiên, ta coi U là lồi Giả sử aP V, x PU Đặt

pbq Trong trường hợp tổng quát Giả sử A kí hiệu tập hợp các điểm a PU saocho f đồng nhất bằng không trên một lân cận của a Rõ ràng A là mở DO

2.1.7 Mệnh đề

Giả sử U là tập mở liên thông trong E và giả sử f P HpUq Nếu f kháchằng số trên U thì fpVq là mở với mọi tập con mở V của U

Chứng minh CHỉ cần chứng minh fpVq là mở trong C với mọi tập lồi mở

V € U Giả sử V là tập con lồi mở của U và x P V Do nguyên lí đồng nhấthàm f khác hằng số trên V Vậy tồn tại y P V sao cho fpxq  fpyq Vì V làlồi, tập

A tλPC : x λpy
xq PVu

là lôi Hàm

gpλq  frx λpy
xqs

xác định và chỉnh hình trên A với gp0q  fpxq  fpyq  gp1q Nguyên lí ánh

xạ mở đối với hàm chỉnh hình một biến phức cho ta gpAq mở trong C Bởi vì

fpxq  gp0q PgpAq €fpVq,suy ra fpVq là mở trong C

2.1.8 Mệnh đề

Giả sử U là tập con mở, liên thông của E và giả sử f PHpUq Nếu tồn tại

a P U sao cho |fpxq| ¤ |fpaq| với mọi x P U thì f là hằng số trên U

Chứng minh Giả sử f là hằng số trên U Bởi nguyên lí ánh xạ mở tập fpUq

là mở trong C Vậy nó chứa đĩa ∆pfpaq, rq  tλP C :|fpaq
λ|   ru Nhưngđiều này không thể xảy ra vì |fpxq| ¤ |fpaq| với mọi x P U

Để kết thúc mục này, ta đưa ra Định lí Liouville

2.1.9 Định lí

Nếu ánh xạ f P HpE, Fq bị chặn trên E thì f là ánh xạ hằng

Giả sử Giả sử x P E và ψ P F1 Khi đó hàm gpλq  ψ fpλq là chỉnh hình

và bị chặn trên C Do định lí Liouvulle cổ điển nên g là hằng số, đặc biệt

ψfpxq  ψfp0q Định lí Hahn-Banach cho ta fpxq  fp0q Vậy f là hàmhằng

2.2 Ánh xạ G- chỉnh hình

Trong mục này ta sẽ chứng minh một ánh xạ là chỉnh hình nếu nó là liêntục và hạn chế của nó trên mọi đường thẳng phức là chỉnh hình Đó là đặctrung rất thuận lợi cho việc kiểm tra tính chỉnh hình của một ánh xạ nào đó

Ví dụ: Chứng minh Ppa λbq là đa thức theo λ với mọi a, b PE

Nhận xét: Bằng cách kiểm tra lại các chứng minh đối với ánh xạ chỉnhhình ta nhận thấy các kết quả tương ứng sau còn đúng với ánh xạ G
bchỉnhhình là nguyên lý đồng nhất, nguyên lý ánh xạ mở, nguyên lý Maximum vàđịnh lý Liouville,

Ở đây chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên một đa đĩa nào đó ∆np0, rq Nếu với

pcq ñ paq Giả sử Bpa, rq €U Nếu M là không gian con hữu hạn chiều của

E chứa a thì do giả thiết f|U X M là chỉnh hình thì ta có tồn tại chuỗi luỹ thừa

M là không gian con hữu hạn chiều chứa a và t Dễ thấy Pm P PpmE, Fq.Thật vậy, với M và N là 2 không gian con hữu hạn chiều của E chứa a Chọn

AMm P LpmM, Fq và = Anm P Ls

apmN, Fq sao cho PmM  {pAM

mqq  zpAN

mq Dotính chất đối xứng của AMm và ANm, ta có AMm  ANm trên pM X Nqm Vậy họ

AMm với M xác định như trên cho ta Am PLs

apmE, Fq sao cho Apm  Pm Nhưvậy Pm PPapmE, Fq và

Do f liên tục ta có thể tìm được hình cầu Bp a,s q € Bp a,r q và c ¡ 0 sao cho

}fpxq} ¤ c với x P Bp a,s q Cho t P E với }t} ¤ 1 Giả sử M là không gian conhữu hạn chiều của E chứa a và t Bởi công thức tính tính phân Cauchy, ta có

Từ đó suy ra,}Pm} ¤ cs
m Vậy Pmlà liên tục và chuỗi luỹ thừa

Giả sử U là mở trong Cn và giả sử f : u Ñ F là chỉnh hình tách Khi đó,

f liên tục khi và chỉ khi f bị chặn địa phương

Chứng minh: Giả sử f : U Ñ F là chỉnh hình tách và bị chặn địa phương.Cho a P U và chọn r¡ 0, c ¡ 0 để }fpζq} ¤ c, với mọi ζ P ∆npa, rq XU Khi

đó , với mọi ζ P ∆npa, rq ta có thể viết

chỉnh hình theo ζj khi các biến khác không đổi Hơn nữa, }gpζjq} ¤ 2c với

|ζj
aj| ¤ r Theo bổ đề Schwart áp dụng cho gj, ta nhận được:

Chứng minh: Chỉ cẩn chứng minh điều kiện đủ

Giả sử a P U Ta có khai triển chuỗi

¸

2.3.2 Mệnh đề:

Giả sử E1, , En và F là các không gian Banach, U là tập mở trong E1 

En Khi đó, ánh xạ f : U ÑF là chỉnh hình nếu và chỉ nếu nó chỉnh hìnhtách và liên tục

Chứng minh: Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ Giả sử f : U Ñ F làchỉnh hình tách và liên tục Giả sử a  pa1, , anq P U và b  pb1, , bnq P

về ánh xạ chỉnh hình giá trị vô hướng

2.4 Chỉnh hình yếu

2.4.1 Định nghĩa:

Giả sử U là tập mở trong E và f : U Ñ F Ánh xạ f gọi là chỉnh hình yếuhay giải tích yếu nếu φf : u ÑC là chỉnh hình với mọi φ P F1 Tương tự fgọi là G
chỉnh hình yếu nếu φf là G
chỉnh hình với mọi φP F1

2.4.2 Định lý:

Giả sử U là tập mở trong E và f : U Ñ F Khi đó,

(a) f là G
chỉnh hình nếu và chỉ nếu f là G
chỉnh hình yếu

(b) là chỉnh hình nếu và chỉ nếu f là chỉnh hình yếu

Trước khi chứng minh bổ đề này ta thiết lập bổ đề sau:

2.4.3 Bổ đề:

Giả sử U là tập mở trong C Khi đó, ánh xạ f : U Ñ F là chỉnh hình nếu

và chỉ nếu nó là chỉnh hình yếu

Chứng minh: Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ

Đầu tiên, ta chứng minh f là liên tục Cho λ0 P U và chon r ¡ 0 để

∆pλ0; 2rq XU Giả sử φP F1 và λ P ∆pλ0, rq, λ  λ0 Áp dụng công thức tíchphân Cauchy đối với hàm chỉnh hình 1 biến, ta có:

Thật vậy, nếu ∆pλ0, rq XU thì đầu tiên ta có,

Kết luận

Như vậy, chúng tôi đã trình bày được một số khái niệm cơ bản của giải tíchphức trong không gian Banach đồng thời cũng nhắc lại một số nội dung cơbản của giải tích phức một biến

Do giới hạn thời gian và lượng kiến thức còn giới hạn nên bài tiểu luận chắcchắn không thể tránh được sai sót Nhóm rất mong nhận được sự góp ý củaquý thầy cô và bạn đọc để có thể hoàn thiện hơn

Lời cuối cùng, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầyPGS.TS Thái Thuần Quang, người Thầy đã tận tình giảng dạy cho chúng emtrong thời gian vừa qua

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] J Mujica (1986), Complex analysis in Banach spaces, North-HollandMath Studies, 120