hướng dần học sinh giải phương trình vô tỉ

Phương pháp nghiên cứu: 1.Phương Pháp khảo sát, phỏng vấn: Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã tiến hành khảo sát, phỏng vấn đối với giáo viên và học sinh.. 2.Phương pháp th

Trang 1

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài góp phần vào công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước là nhiệm vụ mà Đảng và nhà nước giao cho ngành giáo dục Trường THCS Văn Lang đã được UBND thành phố Việt Trì - Phòng GD&ĐT Việt Trì giao nhiệm vụ là nơi đổi mới phương pháp giảng dạy, phát hiện bồi dưỡng học sinh giỏi cho thành phố Trong những năm qua nhà trường luôn quan tâm đến công tác phát hiện bồi dưỡng học sinh giỏi là một giáo viên được giao công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 9 năm học 2010

- 2011 tôi thấy dạng toán hay gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào chuyên

hùng vương là dạng toán '' Giải phương trình vô tỷ'' Khi mới gặp dạng toán

này học sinh thường lúng túng là do chưa nắm vững các phương pháp để giải chúng, nguyên nhân trong chương trình học những dạng phương trình đưa ra chỉ là những kiến thức cơ bản mà thể loại phương trình vô tỷ lại vô cùng phong phú

đa dạng chính vì vậy mà tôi mạnh dạn viết đề tài này giúp học sinh nắm vững các phương pháp giải phương trình vô tỷ là tài liệu để đồng nghiệp tham khảo nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng

Toàn bộ chương I đại số 9 không có tiết học về phương trình vô tỷ mà chỉ có dạng bài giải phương trình vô tỷ do vậy học sinh ít được va chạm nên khi gặp phải sẽ gặp rất nhiều khó khăn từ những nguyên nhân trên nên tôi viết đề tài này nhằm phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của mình là tài liệu để đồng nghiệp và học sinh tham khảo nghiên cứu

II Mục đích nghiên cứu:

Giúp giáo viên và học sinh thấy được tầm quan trọng của việc phải tìm ra cách nhận dạng từng loại phương trình vô tỷ và cách giải từng dạng phương trình vô tỷ đó Từ đó nắm được cách học cách dạy chuyên đề này khi bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như việc giảng dạy trên lớp

III Nhiệm vụ nghiên cứu:

1 Nhiệm vụ chung:

Nghiên cứu tình hình học tập của học sinh về phần phương trình vô tỷ, các kiến thức mà học sinh nắm được về phần này từ đó xây dựng nội dung chuyên đề để bồi dưỡng

Trang 2

2 Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, tổng hợp xây dựng phương pháp giải cho từng dạng cách nhận dạng từng dạng phương trình

IV Đối tượng nghiên cứu:

Khách thể nghiên cứu: Học sinh THCS Văn Lang

Đối tượng nghiên cứu: Các dạng toán về phương trình vô tỷ

V Phương pháp nghiên cứu:

1.Phương Pháp khảo sát, phỏng vấn:

Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã tiến hành khảo sát, phỏng vấn đối với giáo viên và học sinh Mục đích của việc khảo sát và phỏng vấn để nắm tình hình dạy và học: Giải phương trình vô tỷ từ đó thấy được những khó khăn, những vướng mắc của học sinh từ đó mà nghiên cứu đề tài

2.Phương pháp thực nghiệm

Để xác định mức độ phù hợp về nội dung kiến thức của đề tài, tôi đã tiến hành kiểm tra thực nghiệm đối với học sinh Thông qua đó nhằm đánh giá nội dung và mức độ kiến thức có đảm bảo sự hợp lý, phù hợp đối với học sinh hay không? Ngoài ra, tôi còn trao đổi với một số đồng nghiệp dạy toán về nội dung

đề tài từ đó phân tích để điều chỉnh nội dung cho phù hợp

3.Phương pháp sưu tầm tài liệu

Căn cứ đề cương của Đề tài đã xây dựng, tôi đã tiến hành việc nghiên cứu, sưu tầm các tài liệu có liên quan để phát hiện, thu thập, lựa chọn và phân loại về nội dung và sắp xếp theo từng chủ đề, từng chương trong Đề tài Trên cơ sở đó giúp giáo viên và học sinh có thêm kiến thức về “Phương pháp giải phương trình vô tỷ”

Các nội dung về lý thuyết được giới thiệu trong Đề tài đều có cơ sở khoa học: các nội dung được trích dẫn từ các cuốn sách toán, các tài liệu có liên quan đã được công bố công khai và được giới chuyên môn thừa nhận (hoặc được các tác giả chứng minh đảm bảo tính khoa học bộ môn) Các ví dụ minh hoạ và bài tập được sưu tầm từ sách giáo khoa, từ các tài liệu tham khảo được sắp xếp theo từng dạng

PHẦN II NỘI DUNG

A THỰC TRẠNG

Qua việc giảng dạy trên lớp và bồi dưỡng học sinh giỏi, qua phỏng vấn trao đổi với các em học sinh và đồng nghiệp tôi thấy ở các em còn băn khoăn

Trang 3

nhiều về phương pháp giải phương trình vô tỷ Qua thực tế kiểm tra đội tuyển toán 9 năm học 2009 - 2010 tôi thu được kết quả như sau:

Đề kiểm tra đội tuyển toán 9:

Câu 1: Giải phương trình sau

2

Phần lớn các em giải được phương trình 2,3 một vài em còn kết luận x = 1 là nghiệm phương trình 1) các em không giải được phương trình 4) Nguyên nhân là do các em chưa biết đầy đủ phương pháp giải phương trình vô tỷ, chưa nắm được những sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỷ từ thực trạng đó thôi thúc tôi nghiên cứu và viết sáng kiến và đề tài này

B.CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1.PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA: Cần khắc sâu cho học sinh

phép nâng lên lũy thừa mũ chẵn cả hai vế của phương trình chỉ là phép biến đổi tương đương khi hai vế đều không âm

Dạng 1 ( ) ( ) ( ) 02

g x

f x g x

≥





Bài 1: Giải phương

1

3 0

3

x x

x

x x

x

+ = −

≥







 =



Vậy phương trình có nghiệm là x= 3

*Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình sau

Dạng 2

( ) 0

:

( ) 0

f x g x k x h x

f x

g x

ĐK

k x

h x

≥







Trang 4

Phương pháp giải bình phương hai vế

Bài 2: Giải phương trình

2

6 144 24

6

x

− ≥





( Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 6

Cần lưu ý đặc biệt việc đặt điều kiện để các căn thức thức xác định trong bài toán giải phương loại này vì nếu không có thể kết luận sai nghiệm của phương trình, khi giải phương trình loại này có thể biến đổi không tương đương nhưng khi tim x song cần nhắc nhở yêu cầu học sinh thử lại

*Bài tập cùng dạng:

Giải các phương trình sau

2.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:

2.1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình một ẩn

Dạng 1: Đưa về phương trình bậc 2: ( Chú ý lượng ẩn trong và ngoài dấu

căn và ngoài căn bằng nhau đây chính là mấu chốt giúp học sinh nhận được dạng phương này)

5 x2+5x+28=x2+5x+4

Đặt x2 + 5x+ 28 =t t( ≥ ⇒ 0) x2 + 5x+ = − 4 t2 24

Trang 5

Ta được

2 2

2 2 2

8

8 3

4 9

t t

t t t

t t

Khi t x x

x x

x x x x

= −

=



⇔  = − ⇔ =

=



⇔  = −

Vậy phương trình có nghiệm x = 4; x = -9

Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc cao

Bài 1 Giải phương trình:

13x − 19x − + 21 (6x + 28) x − = 1 0

Đặt x2 − = 1 t t( ≥ 0) ta được

13(t2 +1)2 -19(t2 +1) -21 +[ 6(t2+1) +28] t =0

↔ 13t4 +6t3 +7t2 +34t - 27 = 0

↔ (t2 +t -1)(13t2 -7t +27) = 0 ( Bằng phương pháp hệ số bất định)

2

0 2

5 1 1

2

t

x

=



⇔



−

⇔ = ±

Vậy phương trình có nghiệm 5 5

2

x= ± −

Trang 6

*Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình

3 2

x x x x x

x x x x

Dạng3: Phương trình dạng

a f x +b g x =c Trong đó f(x).g(x) = k

Cách giải: f x( ) t t( 0) g x( ) 1

t

= ≥ ⇒ = ta được: at b k c

t

+ = Đây là phương trình bậc hai mà ta biết cách giải

2

x

x+ + x =

+ Vì

x x

x + =x

+ nên đặt :

t t thi

+

Ta được

2

1 2

2 1 0

1

t t

t

x

+ =

⇔ − + =

⇔ =

Vậy phương trình có nghiệm x =1

x x

−

Dạng 4 f x( ) + g x( ) =c f x g x( ) ( ) Đối phương trình loại này ta đặt như sau Đặt: f x( ) + g x( ) =t t( ≥ 0)

Bài 1 Giải phương trình

3 + +x 6 − −x (3 +x)(6 −x) 3 = ĐK: − ≤ ≤ 3 x 6

Trang 7

Đặt:

2 2

9

2

t

x x

−

Ta được :

2 2

9 3 2

2 15 0 3

5

3

6

t t

t t t

t Vi t t

x

−

⇔ + − =

=



= −



#

( Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm x = -3; x = 6

*Bài tập cùng dạng: Giải phương trình sau

2 2 2

Dạng 5: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình hai ẩn

Bài 1 Giải phương trình:

x xĐK x

x+ =a x − + = ⇒x b a +b =x +

Trang 8

Ta được:

2 2

2

a b ab

a ab ab b

a a b b a b

a b a b

x

=



⇔

=



Vậy phương trình có nghiệm

2

x x

=



=



x x

2.2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình:

Bài 1 Giải phương trình sau:

3 x+ 34 − 3 x− = 3 1

Đặt:

3

34 3

x b





− =

 Ta được

2

4 1

3 1

3

4

a b a b a ab b a b ab

a

a b

b

a b

b

 =

= +

= −





Trang 9

3

2

x x

Cần lưu ý học sinh khi đặt ẩn phụ bằng căn bậc chẵn phải đặt điều kiện của ẩn phụ

3.PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH:

Có rất nhiều phương trình vô tỷ thoạt nhìn rất khó giải nhưng nếu quan sát kỹ đưa về phương trình tích thì thật là đơn giản

Bài 1: Giải phương trình:

2

2 0

x vi x

x

Vậy Phương trình có nghiệm duy nhất x =2

2

2 2

x x

4.PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

Trang 10

2 2

x

nghiêm x x

− 〈 ⇔ 〈 − 〈 ⇔ 〈 〈

⇔ − = ⇔ =

x TM

⇔ − ≥ ⇔ ≥

⇔ =

Vậy Phương trình có nghiệm 5 ≤ ≤x 10

5 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC:

5.1 Dạng 1: Đưa về tổng bình phương:

Bài 1: Giải phương trình:

1

2

x− + y+ + z− = x y z+ +

Trang 11

2 2 2

1

2

2 1

2003 1

2004 1

y

z





x

Vậy phương trình có nghiệm

3 2002 2005

x y z

=



 = −



 =



2

x x x

5.2 Sử dụng bất đẳng thức cosi, bunnhia:

Bài 1: Giải phương trình:

x x x x

ĐK x

≥ −

Áp dụng bất đẳng thức cosi

Dấu ''='' Xảy ra

2 2

1

1 0

2

x x

x x x x

=



⇔

=



Vậy phương trình có nghiệm 1 5

2

x= ±

Trang 12

ĐK x

≥

Áp dụng bất đẳng thức bun nhi a

2

Dâu'' = '' Xảy ra

2 2

2

x x

x x x

⇔ = ±

Vậy phương trình có nghiệm x x= ± 11 96 Học sinh thường chưa có thói quen sử dụng điều kiện để đánh giá biểu thức không âm và dùng BĐT cô si điều này khi giảng dạy ta phải nhấn mạnh để học sinh nắm được

*Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình

3

2 2

x x x x

5.3 Phương pháp loại trừ ,chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất:

Bài 1: Giải phương trình sau:

VT

Dấu '' = '' Xảy ra 3

2

x x

=





Vậy phương trình vô nghiệm

Trang 13

6 PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP:

2

2 1

x



Vậy phương trình có nghiệm 1

4

x x

= −



 = −



* Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình sau

2

Bằng cách chia từng phương pháp giải cách nhận dạng từng loại phương trình như thế học sinh sẽ rễ hệ thống hơn, nắm vững cách giải hơn, tuy nhiên sự chia dạng đó chỉ mang tính tương đối vì có rất nhiều phương trình vô tỷ có thể giải bằng nhiều cách vì vậy khi giảng dạy bồi dưỡng học sinh ta có thể khuyến khích các em hãy giải phương trình bằng nhiều cách có thể nhằm phát huy tính sáng tạo của các em

C.KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:

Sau khi thực hiện bồi dưỡng học sinh giỏi các em đã nắm được thêm nhiều kiến thức, các em đã nắm vững các phương pháp giải và nhận dạng được từng loại phương trình vận dụng sáng tạo khi giải mỗi phương trình vô ty

̉,nhận biết được những sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỷ Làm thay đổi phương pháp học tập, giúp các em say mê tìm hiểu có phương pháp tự học ,tự tìm hiểu tốt hơn

D BÀI HỌC KINH NGHIỆM:

Qua việc thực hiện chuyên đề các bài toán về phương trình vô tỷ tự bản thân tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:

I Đối với giáo viên:

Trang 14

1 Thường xuyên đọc sách, tự học ,tự nghiên cứu, nâng cao trình độ biến kiến thức nhân loại thành kiến thức của mình bằng cách viết chuyên đề nêu thành từng dạng bài, phương pháp giải cho từ dạng đó, phân tích những sai lầm mà học sinh thường mắc phải từ đó tìm cách dạy khắc phục những sai lầm đó

2 Bồi dưỡng cho học tính say mê học tập, khả năng tự đọc, tự nghiên cứu để nâng cao kiến thức cho mình

3 Nên giới thiệu kiến thức bổ xung, những dạng toán hay thông qua việc giảng dạy trên lớp

II Đối với học sinh:

1 Thường xuyên tự học, tự tìm hiểu để tìm tòi phương pháp giải cho từng loại toán

2 Sắp xếp theo trình tự nhất định tìm những điểm cần lưu ý khi giải mà dẫn tới sai lầm

PHẦN III KẾT LUẬN

Sáng kiến kinh nghiệm '' Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ'' đã được tiến hành giảng dạy cho học sinh đội tuyển toán

9 trường THCS Văn Lang năm học 2010 - 2011 bước đầu đã thu được những kết quả đáng khích lệ sau khi học xong chuyên đề phần lớn các em đã nắm vững và hình thành được hệ thống các phương pháp giải các phương trình vô tỷ, qua thực tế thi HSG cấp thành phố năm học 2010-2011 vừa qua đề thi môn toán có một bài về phương trình vô tỷ các em trong đội tuyển trường THCS Văn Lang đều làm tốt bài này với cách làm sáng tạo khác nhau như đưa về tổng bình phương, sử dụng BĐT Cosi kết quả thật khả quan Có 3 giải nhất Tuy nhiên đó mới chỉ là những nghiên cứu bước đầu của cá nhân tôi rất mong được đồng nghiệp và hội đồng xét duyệt đóng góp thêm ý kiến để đề tài của tôi đạt kết quả cao hơn trong những khóa bồi dưỡng tiếp theo được như vậy tôi xin chân thành cảm ơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Nâng cao và phát triển toán 9 tập 1 ( Vũ Hữu Bình, nhà xuất bản GD)

2.Toán nâng các chuyên đề đại số 9 ( Vũ Dương Thụy, nhà xuất bản GD) 3.Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9(Bùi Văn Tuyên, Nhà xuất bản GD)

4.Ôn luyện toán căn thức theo chủ đề ( Nguyễn Đức Tấn, Nhà xuất bản GD)

Trang 15

5.Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Đại số ( Nguyễn Vũ Thanh, Nhà xuất bản GD)

6 Đề thi học sinh giỏi tỉnh và chuyên hùng vương một số năm

7.Báo toán tuổi thơ 2

8.Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực( Nguyễn Đức Tấn - Phan Ngọc Thảo, Nhà xuất bản GD)

MỤC LỤC

2 2-12 Phần II: Phần nội dung

3 12 Phần III: Phần kết luận

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	269 KB