Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH với H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC, đường thẳng EH cắt AC ở D.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.. - Bài hình, nếu khô
Trang 1UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD&ĐT KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Năm học 2010-2011
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (2,5 điểm)
a) Tính giá trị A= 1000 −{( − 5 ) 3 ( − 2 ) 3 − 11 [7 2 − 5 2 3 + 8 ( 11 2 − 121 )] }
5
4 5
2 1 10
19 : 2 10
9
− −
− − x+ c) Tìm x thỏa mãn x−1010 + x−1111=1
Bài 2 (3 điểm)
a) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng: Tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12
b) Cho a, b, c là các số thực khác 0 Tìm các số thực x, y, z khác 0 thoả mãn:
2 2 2
2 2 2
c b a
z y x az cx
zx cy
bz
yz bx
ay
xy
+ +
+ +
= +
= +
= +
Bài 3 (2,5 điểm)
a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – 5 = x2 + 2y
b) Tìm số có bốn chữ số abcd thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) ab ad , là hai số nguyên tố;
ii) db + c = b2+ d
Bài 4 (2 điểm)
Cho tam giác ABC có Bˆ< 900 và Bˆ =2Cˆ Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho
BE = BH (với H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC), đường thẳng EH cắt AC ở D
a) Chứng minh rằng: DA = DC
b) Chứng minh rằng: AE = HC
……….HẾT………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh SBD:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD&ĐT
HDC THI GIAO LƯU HSG Năm học 2010-2011 Môn: Toán 7
(HDC gồm 03 trang)
Bài 1 (2,5 điểm)
a)
(1đ)
Ta có A = 1000 - {(-125).(-8) – 11.[49 – 40 + 8 (121 – 121)]}
= 1000 - [1000 – 11 (9 + 8.0)]
= 1000 – (1000 – 11 9) = 99
0,25 0,25 0,25 0,25
b)
(0,75đ)
Ta có
0 ; 4
2 ; 2 2
2 10
1 10
21 2
10
1 10
5 5
1 2 10
21
5
1 10
5 : 2 10
21
5
4 1 10
4 10
10 10
19 : 2 10
9 10 30
1 5
4 5
2 1 10
19 : 2 10
9 3
−
=
⇔
−
= +
⇔
=
−
= +
⇔
=
= +
−
⇔
=
− +
⇔
−
=
− −
− − +
⇔
= +
− −
− − +
x x x x x x x
Vậy x = 0; -4
0,25
0,25
0,25
c)
(0,75đ)
- Nếu x > 11 hoặc x < 10 thì x -10 > 1 hoặc x – 11 < -1 Suy ra
1 11 ; 1
10 > − >
- Nếu 10 < x < 11 thì 0 < x – 10 < 1, 0 < 11 – x <1 Suy ra
1 11 ; 1
10 < − <
x x
x x
x x
x−1010 < −10 = −10 ; −1111 =11− 11 <11− =11−
Suy ra x−1010+ x−1111 <x−10+11−x=1 (loại)
- Nếu x = 10 hoặc x = 11 thỏa mãn
Vậy x = 10; 11
0,25
0,25
0,25
Bài 2 (3 điểm)
a)
(1,5đ)
Gọi hai số phải tìm là x và y (x > 0, y > 0 và x ≠ y)
Theo đề bài ta có: 35.(x + y) = 210.(x - y) = 12x.y
Chia các tích trên cho BCNN của 35, 210, 12 là 420 ta được:
420
12 420
) ( 210 420
) (
35 x+y = x−y = xy
hay
35 2
12
xy y x y
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
0,25
0,25
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3( ) ( ) ( ) ( )
( )2 5 7 2 12
2 12 2
12 2
12
y x y x y x
y x y x y x y x y x y x
=
=
−
=
+
⇔
−
−
− +
= +
− + +
=
−
= +
Từ (1) và (2) ta có: 35xy = 7x = 5y =7xy y = 5xy x
Vì x > 0; y > 0 nên 7y = 35 ⇒ y = 5; 5x = 35 ⇒ x = 7
Vậy hai số phải tìm là 7 và 5
0,25
0,25 0,25 0,25
b)
(1,5đ)
Do x, y, z khác 0 nên
azy cxy
yzx cyx
bzx
xyz bxz
ayz
zxy az
cx
zx cy
bz
yz bx
ay
xy
+
= +
= +
⇒ +
= +
= + Suy ra ayz+bxz=bzx+cyx=cxy+azy⇒az =cx ,bx=ay
c
z b
y a
x b
y a
x c
z a
x
=
=
=
⇒
=
=
=
⇒
=
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
c b a
t c t b t a bat abt
bt at c
b a
z y x bx ay
xy
+ +
+ +
= +
⇒ + +
+ +
= + Suy ra
2
1 2
2 ⇒ =
=t t
t
(do t ≠ 0)
Vậy
2
, 2 y , 2
c z b a
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 3 (2,5 điểm)
a)
(1đ)
Theo đề ta có 3xy – 2y = x2 + 5 ⇒ y(3x – 2) = x2 + 5 (1)
Do x, y nguyên nên suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x – 2
⇒ 9.(x2 + 5) chia hết cho 3x – 2
⇒ 9.x2 + 45 chia hết cho 3x – 2 ⇒ 9.x2 - 6x + 6x – 4 + 49 chia hết cho 3x – 2
⇒ 3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x – 2
⇒ 49 chia hết cho 3x – 2 ⇒ 3x – 2 ∈ {−49 ;−7 ;−1 ;1 ;7 ;49}
⇒ 3x ∈ {−47 ;−5 ;1 ;3 ;9 ;51} ⇒ x ∈ {1 ;3 ;17}
Thay x lần lượt vào (1) ta được y ∈ {6 ;2 ;6}
Vậy các cặp số (x, y) là (1;6), (3;2), (17;6)
0,25
0,25
0,25 0,25
b)
(1,5đ)
Do ab; ad là các số nguyên tố nên b và d lẻ khác 5 (1)
Mặt khác từ điều kiện ii) ta có 9d + c = b(b-1) (2)
Có 9d + c ≥ 9 nên từ (2) suy ra b >3 mà b lẻ ⇒ b = 7; 9
+ b = 7 ⇒ 9d + c = 42 ⇒ 3 < d ≤ 4 trái với (1)
+ b = 9 ⇒ 9d + c = 72 ⇒ 6 < d ≤ 8 mà d lẻ ⇒ d = 7
Thay vào điều kiện (2) được c = 9
Do a 9 a; 7 là các số nguyên tố nên a chỉ có thể nhận các giá trị tương ứng
1; 2; 5; 7; 8 hoặc 1; 3; 4; 6; 9 Suy ra a = 1 và abcd =1997, thử lại thấy
đúng
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
Trang 4Bài 4 (2 điểm)
a)
(1đ)
a) Ta có∆BEH cân tại B ⇒∠BEH = ∠BHE
Ta có ∠ABC = 2 ∠BHE = 2 ∠DHC mà ∠ABC = 2 ∠ACB ⇒∠DHC =
∠DCH (1)
Suy ra ∆DCH cân tại D nên DH = DC
Xét ∆ACH: ∠CAH + ∠DCH = 900, ∠CHD + ∠DHA = 900 (2)
Từ (1), (2) suy ra ∠DAH = ∠DHA, do đó ∆DAH cân tại D, suy ra DA =
DC
0,25
0.25 0,25 0,25
b)
(1đ)
b) Lấy B’ đối xứng với B qua H, suy ra ∆ABB’ cân tại A (AH là trung
trực của BB’)
⇒ AB = AB’, B’H = BH, ∠AB’H = ∠ABC
Ta có ∠AB’H = ∠ABC = 2 ∠C = ∠C + ∠CAB’ ⇒∠C = ∠CAB’, do đó
∆B’AC cân tại B’ nên B’A = B’C
Vì AB < AC nên AB’ = AB < AC nghĩa là B’ ở giữa H và C nên HC =
HB’+B’C = HB + AB’ = BE + AB = AE
0,25 0,25 0,25 0,25
Chú ý:
- Trên đây chỉ là một cách giải, HS nếu giải theo cách khác mà đảm bảo tính khoa học và chính xác thì vẫn cho điểm tối đa.
- Bài hình, nếu không có hình vẽ hoặc hình vẽ quá sai lệch thì không cho điểm.
- Các điểm thành phần chấm đến 0,25đ Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu
và không làm tròn.