LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN Bài 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) , biết tiếp tuyến của hàm số cắt trục Ox , Oy tại A,B sao
cho tam giác OAB vuông cân
2 1
+
= +
x y x
HD : Đường thẳng cắt trục Ox,Oy lần lượt tại A,B sao cho tam giác OAB vuông cân => hệ số gốc bằng 1
hoặc bằng -1 , không đi qua gốc tọa độ
a).y’=3x2-2x
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm , khi đó :
i) y’(x0)=-1 3x0-2x0=-1 3x0-2x0+1 =0 vô nghiệm
ii) y’(x0)=1 3x0-2x0=1 3x0-2x0-1=0 x0=1,x0=-1/3
Với x0=1 thì y(1)=1 => y=x không thõa mãn
Với x0=-1/3 , y(-1/3)=23/27 => y=x+32/27
b) ( )2
1
'
2 1
= −
+
y
x
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm , khi đó :
i) y’(x0)=1 ( )2
0
1
1
2 1
+
x vô nghiệm
ii)y’(x0)=-1 ( )2
0
1
1
2 1
+
x x0=0,x0=-1 Với x0=0 thì y(0)=1 => y=-x+1 không thõa mãn
Với x0=-1 , y(-1)=0 => y=-x-1
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
a)(C) y=-x4-x2+6 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x-6y+1=0
b)(C) y 2x
x 1
=
+ , biết tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ tam giác có diện tích bẳng ½
HD:
a) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng (d) : x-6y+1 =0
y’(x0)= - 6 => -4x0 – 2x0 =-6 => 2x0 +x0-3=0 => x0=1 , 2x0 +2x0+3=0 (vô nghiêm)
Với x0=1=> y(1)=4 => Phương trình tiếp tuyến cần tìm y=-6(x-1)+4=-6x+10
b) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) với (C) , => (d) có phương trình : y=y’(x0
)(x-x0)+y(x0)
Ta có ( )2
2
y '
x 1
=
0 2
2x 2
d) : y x x
(d) cắt trục Ox tại A : xA=-x0, yA=0 , cắt trục Oy tai B: xB=0, ( )
2 0
0
2x y
x 1
= +
Trang 2Diện tích tam giác OAB có diện tích bằng ½ nên :
2
0
2 0
2x 1
2x x 1, 2x x 1 2
x 1 = <=> = + = − − +
x0=1 ,x0 =-1/2
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y 1x 1, y 8x 2
2 2
Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
a)(C) y = 4x3-6x2+1 , biết tiếp tuyến đi qua điểm (-1,-9) b)(C) y= x4-2x2-1 , biết tiếp tuyến đi qua (0,-1) HD: a) Gọi (d) là đường thẳng đi wua M(-1,-9) có hệ số góc k => (d) y=k(x+1)-9
(d) là tiếp tuyến của (C)
2
k(x 1) 9 4x 6x 1 (1)
k 12x 12x (2)
Thay (2) vào (1) ta được : (12x2-12x)(x+1)-9=4x3-6x2+1 4x3+3x2-6x-5=0 (x+1)2(4x-5)=0
x 1, k( 1) 24
5 5 15
x , k( )
= − − =
Các tiếp tuyến cần tìm là : y=24(x+1)-9=24x+ 15 , y=
b) Gọi (d) là đường thẳng đi wua M(0,-1) có hệ số góc k => (d) y=kx-1
(d) là tiếp tuyến của (C)
3
kx 1 x 2x 1 (1)
k 4x 12x (2)
− = − +
Thay (2) vào (1) ta được : (x2-12x)(x+1)-9=4x3-6x2+1 4x3+3x2-6x-5=0 (x+1)2(4x-5)=0
x 1, k( 1) 24
5 5 15
x , k( )
= − − =
Các tiếp tuyến cần tìm là :
y 24(x 1) 9 15
y (x 1) 9 4
Bài 4 Tìm điểm M thuộc (C) y x 2
x 1
+
= + sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến với đồ thọ tại điểm đó bằng 2
b) Trên (C): y= f x( )=x4−2x2 lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau
HD :
D=R\{-1} ,
/
2
y '
x 1 (x 1)
= ÷ =
Trang 3Gọi x0 là hoành độ M => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
0 2
x 2 1
+
+ + x+(x0+1) y - (x2 0+2)(x0+ −1) x0 =0
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến tt bằng 2
2 0
(x 1)(x 2) x
2
1 1 x
= + +
2 0
(x 1)(x 2) x
2
1 1 x
= + +
Đặt u=x0+1 , phương trình u2+2u 1− = 2(1 u )+ 2 u2+2u 1− =2 2(1 u )+ 2
(u-1)(u+1)(u2-4u+1)=0
u 1, u= = −1, u= − ±2 3
x0 =0, x0 = −2, x0 = − ±3 3
b) Ta có f x'( ) 4= x3−4x Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là k A = f a'( ) 4= a3−4 ,a k B = f b'( ) 4= b3−4b
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
y= f a x a− + f a = f a x f a+ − ;
y= f b x b− + f b = f b x f b+ −b
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:
Vì A và B phân biệt nên a b≠ , do đó (1) tương đương với phương trình:a2 +ab b+ − =2 1 0 (2)
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau
a b
Giải hệ này ta được nghiệm là (a;b) = (-1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là (− −1; 1) và (1; 1− )
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là
1
a
a b
+ + − =
≠ ±
≠
Bài tập tương tự
,
Ox Oy lần lượt tại A, B thoả mãn OB=9OA