LỊCH sử TOÁN học GIẢI TÍCH HÌNH học GIẢI TÍCH đại số xác XUẤT THỐNG kê HÌNH HOC sơ cấp

Tổng hợp Lịch sử Toán các phân môn Toán học bao gồm Lịch sử hình thành, tiểu sử và giai thoại các nhà Toán học, một số trò chơi về Toán học.... LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH LỊCH SỬ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỊCH SỬ HÌNH HỌC SƠ CẤP LỊCH SỬ ĐẠI SỐ LỊCH SỬ XÁC SUẤT THỐNG KÊ

KHOA SƯ PHẠM



BÁO CÁO TỔNG HỢP LỊCH SỬ CÁC PHÂN MÔN

Toán học có vai trò rất quan trọng, học toán giúp người học phát triển trí tuệ và năng lực đồng thời rèn luyện kỹ năng tư duy trừ tượng, hợp logic, có phương pháp học tập suy luận khoa học; nhưng Toán học cũng là một môn học được xem là mang tính trừu tượng cao và khá “khô khan” Cho nên nhiệm vụ của người dạy học là làm thế nào để bài giảng của mình thêm sinh động, thu hút sự chú ý cũng như tạo cho người học nhu cầu khám phá các tri thức Để góp phần thực hiện nhiệm vụ đó, người dạy học Toán có thể đề cập đến lịch sử hình thành và phát triển của Toán học có liên quan đến nội dung bài học trong quá trình giảng dạy

Tuy nhiên, thực trạng cho thấy trong việc dạy học Toán vấn đề này ít được quan tâm đến vấn đề này bởi nhiều lý do như : hạn chế về thời gian đứng lớp, lượng kiến thức phải truyền đạt quá nhiều, …dẫn đến việc người dạy và học có ít cơ hội tìm hiểu và nghiên cứu lịch sử Toán, mặc dù điều này rất quan trọng đối với người học và dạy môn Toán

Như vậy việc tìm hiểu kiến thức Lịch sử toán nói chung và chương trình Toán THPT nói riêng là rất cần thiết Hơn nữa việc truyền thu lại những kiến thức lịch sử Toán

Bài tiểu luận “Lịch sử các phân môn Toán học” có sự hướng dẫn và hỗ trợ nhiệt tình

của Thầy Nguyễn Phú Lộc và sự giúp đỡ của lớp Lý luận và phương pháp dạy học

Toán khóa 22 trường Đại học Cần Thơ

MỤC LỤC

LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH -2

PHẦN I -2

SƠ LƯỢC VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH -2

PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN -2

PHẦN 2 -6

CÁC NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU -6

2.1 ISAAC NEWTON - 6

2.1.1 TIỂU SỬ - 6

2.1.2 THÀNH TỰU TRONG VẬT LÝ VÀ THIÊN VĂN HỌC - 8

2.1.3 THÀNH TỰU TRONG TOÁN HỌC - 9

2.2 GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ - 12

2.2.1 TIỂU SỬ - 12

2.2.2 MỘT SỐ CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU - 15

2.3 ARCHIMEDES - 23

2.3.1 TIỂU SỬ - 23

2.3.2 CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU - 23

2.4 AUGUSTIN LOUIS CAUCHY - 24

2.4.1 TIỂU SỬ - 24

2.4.2 THÀNH TỰU - 27

2.5 GALILEO (1564-1642) - 28

2.6 KEPLER (1571-1630) - 28

2.7 WALLIS (1616-1703) - 29

2.8 ISAAC BARROW (1630-1677) - 29

2.9 HUYGENS (1629-1695) - 29

2.10 TAYLOR (1685-1731) - 30

2.11 MACLAURIN (1698-1746) - 30

2.12 EULER (1707-1783) - 30

2.13 CLAIRAUT (1713 - 1765) - 31

2.14 LAGRANCE (1736 – 1813) - 31

2.15 DÒNG HỌ BERNOULLI - 31

PHẦN 3 - 33

MỘT SỐ GIAI THOẠI - 33

3.1 ISAAC NEWTON - 33

3.2 LEIBNIZ - 38

3.3 ARCHIMEDES - 39

PHẦN 4 - 41

MỘT SỐ ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN - 41

TRONG DẠY HỌC TOÁN THPT - 41

4.1 ỨNG DỤNG LỊCH SỬ PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN TRONG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC 41 4.2 ỨNG DỤNG LỊCH SỬ VI-TÍCH PHÂN TRONG DẠY HỌC CHƯƠNG 3 GIẢI TÍCH LỚP 12 - 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO - 55

PHẦN V - 56

TRÒ CHƠI - 56

LỊCH SỬ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - 57

I LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN - 57

II MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU - 60

1 APOLLONIUS (262 TCN - 180 TCN) - 60

1.1 Tiểu sử - 60

1.2 Đóng góp cho hình học liên quan đến hình học giải tích - 60

2 NICOLAS ORESME (1323 – 11.7.1382) - 62

2.1 Tiểu sử - 62

2.2 Các công trình tiêu biểu của Oresme - 62

3 RENÉ DESCARTES (1596 – 1650) - 63

3.1 Tiểu sử - 63

3.2 Các công trình tiêu biểu của Descartes - 64

3.3 Giai thoại về Descartes - 65

4 PIERRE DE FERMAT (1601 – 1665) - 66

4.1 Tiểu sử - 66

4.2 Các công trình tiêu biểu của Fermat - 66

4.3 Một số giai thoại về Fermat - 68

III MỘT SỐ SỰ KIỆN LIÊN QUAN HÌNH GIẢI TÍCH - 70

IV ỨNG DỤNG LỊCH SỬ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - 70

VÀO DẠY HỌC PHỔ THÔNG - 70

I TỔ CHỨC DẠY HỌC BÀI MỚI - 71

II ỨNG DỤNG HÌNH GIẢI TÍCH VÀO GIẢI CÁC BÀI TẬP TOÁN - 76

1 Ứng dụng của phương pháp toạ độ Oxy vào việc giải một số bài toán hình học phẳng - 76

2 Ứng dụng của phương pháp toạ độ vào việc giải một lớp các bài toán hình học không gian 91

3 Ứng dụng véctơ để giải phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức -103

4 Ứng dụng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số -110

IV MỘT SỐ MẪU CHUYỆN VUI -112

V CÂU ĐỐ VUI – CÓ ĐÁP ÁN -114

LỊCH SỬ HÌNH HỌC SƠ CẤP - 116

I LỊCH SỬ TỔNG QUAN - 116

1 GIAI ĐOẠN PHÁT SINH -117

2 GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC SƠ CẤP -120

II CÁC NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU - 124

THALES (624 - 548 TCN) -124

PYTHAGORAS (khoảng 570 - 495 TCN) -125

EUDOXUS (khoảng 408 - 355 TCN) -128

PLATON (427 - 347 TCN) -128

EUCLID (khoảng năm 300 TCN) -129

ARCHIMEDES (287 - 212 TCN) -133

APOLLONIUS (262 - 180 TCN) -141

HERON (10 - 75 SCN) -143

MENELAUS (70 - 130 SCN) -144

III ỨNG DỤNG - 147

Ứng dụng 1: Tổ chức một buổi sinh hoạt ngoại khóa -147

Ứng dụng 2 Một số bài toán ứng dụng vào thực tiễn -149

Tài liệu tham khảo - 151

LỊCH SỬ TOÁN ĐẠI SỐ - 152

Chương I - 152

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN - 152

I.1 KHÁI NIỆM SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ -152

Chương II - 155

CÁC HỆ THỐNG SỐ - 155

1 CÁCH ĐẾM NGUYÊN THỦY -155

2 HỆ THỐNG NHÓM ĐƠN -155

3 HỆ THỐNG NHÓM NHÂN -156

4 HỆ THỐNG CHỮ SỐ MÃ HÓA -156

5 HỆ THỐNG CHỮ SỐ VỊ TRÍ -156

6 HỆ THỐNG CHỮ SỐ INDU- Ả RẬP (ẤN ĐỘ - Ả RẬP) -157

Chương III - 158

CÁC GIAI ĐOẠN PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ - 158

1 GIAI ĐOẠN PHÁT SINH -158

1.1 Toán học Babylon -158

1.2 Toán học Ai Cập -160

2 GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC SƠ CẤP ( TK VI-TCN – XVI-SCN) -162

2.1 Đại số thời cổ Hy Lạp -162

Platon (427 hoặc 428 – 347 TCN) -163

Eudoxus (Khoảng 408 – 355 TCN) -164

Euclid (khoảng năm 300 TCN) -164

Aristotle (384 – 322 TCN) -164

Archimedes (287- 212 TCN) -164

Diophantus (210 – 290) -165

MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC KHÁC -167

2.2 Đại số ở Trung Quốc cổ -167

2.3 Đại số ở Ấn Độ cổ -168

2.4 Đại số ở Ả Rập -168

2.5 Đại số châu Âu (từ 500 đến 1600) -169

3 GIAI ĐOẠN CAO CẤP CỔ ĐIỂN (thế kỷ XVII – XVIII) -176

3.1 Sơ lược sự phát triển của Toán học giai đoạn này -176

3.2 Sự phát triển của Đại số trong giai đoạn này -177

3.3 Một số nhà Toán học tiêu biểu -178

3.3.1 Thomas HARRIOT (1560 – 02.07.1621) -178

3.3.2 Albert GIRARD (1595 – 1632) -178

3.3.3 Rene DESCARTES (31.03.1596 – 11.02.1650) -179

3.3.4 Pierre de FERMAT (17.08.1601 – 12.01.1665) -179

3.3.5 Gottfried Wihelm LEIBNITZ (01.07.1646 – 14.11.1716) -181

3.3.6 Isaac NEWTON (25.12.1642 – 31.03.1727) -183

3.3.7 Roger COTES (10.07.1682 – 05.06.1716) -185

3.3.8 Pierre BOUGUER (16.02.1698 – 15.08.1758) -186

3.3.9 Gabriel CRAMER (31.07.1704 – 04.01.1752) -186

3.3.10 Leonhard EULER (15.04.1707 – 18.09.1783) -187

3.3.11 Joseph Louis LAGRANGE (25.01.1736 – 10.04.1813) -191

3.3.12 Eienne BEZOUT (31.03.1730 – 27.09.1783) -192

3.3.13 Bernhard BOLZANO (05.10.1781 – 18.12.1848) -192

3.3.14 Một số nhà toán học tiêu biểu khác -193

4 GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI -194

4.1 Đặc điểm của đại số -194

4.2 Các nhà toán học tiêu biểu -196

4.2.1 Carl Friedrich GAUSS (1777 - 1855) -196

4.2.2 Niel Herik ABEL (1802 – 1829) -203

4.2.3 William Rowan HAMILTON (04.08.1805 – 02.09.1865) -205

4.2.4 Evariste GALOIS (26.10.1811 – 31.05.1832) -207

4.2.5 Peter Gustav Lejeune DIRICHLET (13.02.1805 – 05.05.1859) -210

4.2.6 George BOOLE (2.11.1815 - 08.12.1864) -210

4.2.7 Jean Gaston DARBOUX (13.08.1842 – 23.02.1917) -211

4.2.8 Georg CANTOR (03/03/1845 – 06/01/1918) -212

4.2.9 Jules Henri POINCARE (29.04.1854 – 17.06.1912) -214

4.2.10 David HILBERT (23.01.1862 – 14.02.1943) -216

4.2.11 Henri Paul CARTAN (08.07.1904 – 2008) -218

4.2.12 Peter Jephson Cameron (23.1.1947 - ) -219

Chương IV - 220

ỨNG DỤNG VÀO DẠY HỌC Ở PHỔ THÔNG - 220

TÀI LIỆU THAM KHẢO -223

LỊCH SỬ XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN - 224

PHẦN 1 - 224

LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN BỘ MÔN - 224

XÁC SUẤT THỐNG KÊ - 224

1.1 Giai đoạn đầu (từ thời trung đại (Moyen-age) đến nửa đầu TK XVII): -224

1.2 Giai đoạn thứ hai (từ nửa sau thế kỷ XVII đến cuối thế kỷ XVII): -226

Vấn đề tính xác suất của các biến cố đồng khả năng và không đồng khả năng -226

1.3 Giai đoạn thứ ba (từ đầu thế kỷ XVIII đến cuối thế kỷ XIX): -230

Sự nảy sinh các tiếp cận “thống kê” của xác suất và định nghĩa xác suất của Laplace -230

1.4 Giai đoạn thứ tư (thế kỷ XX): -234

Giai đoạn toán học hiện đại và vấn đề tiên đề hóa lý thuyết xác suất -234

PHẦN II - 237

MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU - 237

2.1 BLAISE PASCAL (1623 - 1662) -237

2.2 HUYGENS (1629 – 1695) -246

2.3 ABRAHAM DE MOIVRE (1667 - 1754) -249

2.4 GAUSS (1777 - 1855) -253

2.5 BERNSTEIN (1880 - 1968) -255

2.6 KOLMOGOROV (1903 – 1987) -256

2.7 POISSON (1781 – 1840) -259

2.8 JACOB BERNOULLI (1655 - 1705) -262

Công trình quan trọng -263

2.9 CARDANO (1501 – 1576) -265

2.10 PIERRE SIMON LAPLACE (1749 - 1827) -267

PHẦN III - 270

MỘT SỐ SỰ KIỆN CỦA LỊCH SỬ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT - 270

I Những vấn đề về XSTK xuất hiện trong Thế kỷ thứ 17 -270

II.Những vấn đề về XSTK xuất hiện trong Thế kỷ thứ 19 -277

PHẦN 4 - 281

ỨNG DỤNG CỦA XÁC SUẤT THỐNG KÊ - 281

A CÁC CÂU CHUYỆN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT -281

B MỘT SỐ VẤN ĐỀ RỦI MAY LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT -283

C MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA XÁC SUẤT – THỐNG KÊ TRONG ĐỜI SỐNG HÀNG NGÀY -288

LỊCH SỬ SỐ PHỨC - 292

LỜI MỞ ĐẦU - 292

1 TỔNG QUAN VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN SỐ PHỨC - 292

1.1 Giai đoạn 1: Giai đoạn “Cách viết trung gian” -292

1.2 Giai đoạn 2: Kí hiệu hình thức các đại lượng ảo -295

1.3 Giai đoạn 3: Biểu diễn hình học các đại lượng ảo -296

1.4 Giai đoạn 4: Đại số các số phức -298

2 MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU - 301

2.1 CARDANO (1501 – 1576) -301

2.2 Abraham De Moivre (1667 - 1754) -303

2.3 Leonhard Euler (1707-1783) -306

2.4 Jean le Rond d'Alembert (1717 – 1783) -310

2.5.Gauss (1777 – 1855) -313

2.6 Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857) -315

3 MỘT SỐ SỰ KIỆN TOÁN HỌC - 320

4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG DẠY HỌC PHỔ THÔNG - 322

4.1 Ứng dụng số phức trong lượng giác: -322

4.2 Ứng dụng số phức trong tổ hợp -324

4.3 Ứng dụng số phức trong giải hệ phương trình đại số -326

4 Ứng dụng số phức trong hình học phẳng -327

5 TRÒ CHƠI – ĐỐ VUI - 330

TÀI LIỆU THAM KHẢO -331

 Giai đoạn 1: Thời kì “ Ra đời của toán học” với tư cách là một ngành khoa học

độc lập Nó bắt đầu từ mãi đâu trong chiều sâu của lịch sử và kéo dài đến khoảng thế kỉ 6-5 trước CN

 Giai đoạn 2: Thời kì của “ Toán học sơ cấp” toán học các đại lượng không đổi,

kéo dài đến khoảng cuối thế kỉ 17, khi mà ngành toán học mới, toán học “ cao cấp” cũng đã phát triển khá sâu

 Giai đoạn 3: Thời kì của “ Toán học biến thiên” với sự ra đời và phát triển của

giải tích toán học, sự nghiên cứu các quá trình vận động và phát triển của chúng

 Giai đoạn 4: Thời kì của “Toán học hiện đại” với nét đặc trưng là nghiên cứu có

ý thức và có hệ thống các loại hình khả dĩ của các quan hệ định lượng và của các hình thể không gian Hình học không chỉ nghiên cứu không gian ba chiều có thực, mà cả các hình thể không gian tương tự Giải tích toán học xét các đại lượng “ biến thiên phụ thuộc” không chỉ một biến bằng hằng số, mà cả một đường (hàm) nào đó; điều này đã đưa tới các khái niệm “ phiếm hàm” và “ toán tử” Và “ Đại số học” chuyển thành lí thuyết các phép tính đại số với các phần tử có bản chất bất kì, miễn là các phép tính ấy có thể thực hiện với chúng Thời kì này của toán học bắt đầu từ nửa đầu thế kỉ 19

Thành tựu nổi bật nhất của thế kỷ XVII là sự phát minh ra các phép tính vi – tích

phân vào cuối thế kỷ này của Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz

Tuy nhiên các ý tưởng giúp hình thành môn vi tích phân phát triển qua một thời gian

dài Các nhà toán học Hi Lạp là những người đã đi những bước tiên phong Leucippus, Democritus và Antiphon đã có những đóng góp vào phương pháp “vét kiệt” của người Hi Lạp, và sau này được Euxodus, sống khoảng 370 trước CN, nâng lên thành lí luận khoa

học Sở dĩ gọi là phương pháp “vét kiệt” vì ta xem diện tích của một hình được tính bằng

vô số hình, càng lúc càng lấp đầy hình đó

Phương pháp “vét kiệt” được xem là tiền thân của phép tính vi phân và tích phân Và

phương pháp này đã được Archimedes (287-212 B.C) sử dụng rất thành thạo, nhờ nó mà

ông đã tìm được diện tích và thể tích của nhiều hình khác nhau

Mãi đến thế kỷ XVII do nhu cầu giải quyết các bài toán lớn của thời đại; đó là

Bài toán 1: Tìm tiếp tuyến của một đường cong

Bài toán 2: Tìm độ dài của một đường cong

Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng , ví dụ tìm khoảng cách gần nhất và xa nhất giữa một hành tinh và mặt trời, hoặc khoảng cách tối đa mà một đạn đạo có thể bay tới theo góc bắn đi của nó

Bài toán 4: Tìm vận tốc và gia tốc của một vật thể theo thời gian biết phương trình giờ của vật thể ấy

Có nhiều nhà toán học đã kế thừa và cải tiến dần phương pháp “vét kiệt” và dần tiếp cận tới phép tính vi tích phân như : Kepler, Galileo, Wallis, Fermat, Cavalieri, Huygens, …

Ví dụ như :

 Kepler đã tính xấp xỉ được diện tích của các vật thể tròn xoay

tốc biểu diễn quãng đường đi được

cầu phương và nhiều kết quả hữu ích khác

tương đương với phương pháp hiện đại của chúng ta là tìm đạo hàm của một hàm số rồi cho đạo hàm bằng không

Fermat, Roberval, Torircelli và Cavalieri đã đạt được một cách độc lập về việc cho diện tích phần dưới đường cong ‘‘luỹ thừa bậc n’’ Tuy nhiên họ chưa biết dùng nguyên hàm để tính những diện tích như vậy,

Tất cả những cố gắng của họ đã đạt đến đỉnh cao khi Newton và Leibniz hoàn thiện

phép tính vi tích phân Hai ông đã tạo ra một hệ thống tập hợp kí hiệu tổng quát và một hệ

thống các quy tắc giải tích hình thức cho phép tính vi tích phân Về sau, Cauchy và những người tiếp sau trong thế kỷ XIX đã phát triển các khái niệm cơ bản của giải tích trên cơ sở

Phép tính vi phân và phép tính tích phân là một ngành toán học bao gồm hai tư

tưởng chính là phép tính vi phân và phép tính tích phân với các khái niệm cơ sở là: khái niệm hàm số, giới hạn, dãy số,chuỗi số và liên tục Phép tính vi phân là lí thuyết về tốc độ của sự thay đổi và bao gồm phép lấy vi phân; liên hệ đến các hàm số, vận tốc, gia tốc, hệ số góc của một đường cong tại một điểm cho trước , cực đại và cực tiểu của các hàm

Tư tưởng tích phân liên quan đến việc phân chia một đại lượng liên tục thành vô hạn các đại lượng vô cùng bé, nghiên cứu chuyển động là một trong những nguyên nhân chính cho sự ra đời của phép tính vi phân và tích phân Tuy nhiên, để đạt được sự chặt chẽ như ngày nay, các nhà nghiên cứu phép tính vi phân và tích phân đã đối mặt các vấn đề về mối quan hệ giữa liên tục và rời rạc, giữa hữu hạn và vô hạn, giữa chuyển động và đứng yên Tuy phép tính vi – tích phân đã có nền móng từ phương pháp “vét kiệt” của Eudoxus ( thế kỷ IV TCN) nhưng đến thế kỷ XVII mới được hoàn thiện bởi Newton và Leibniz Nguyên nhân - theo Frederick - một nhà lịch sử giải tích ở Bowling Green University- có thể là:

Một là, những công trình sớm hơn gần như là một tập hợp các công cụ thông minh áp

dụng vào đa thức, có tính tổng quát và có thể áp dụng cho nhiều loại toán khác nhau

Hai là, sự phát triển của thuật toán và ký hiệu Newton và Leibniz đã phát triển những

giải thuật tổng quát, nhờ vậy mà các phương pháp trước đó có thể áp dụng

Ba là, sự thấu hiểu phép tính vi phân và phép tính tích phân là hai quá trình ngược nhau

và khai thác dữ kiện này là vấn đề chính yếu đối với môn phép tính vi – tích phân

Bốn là, Newton và Leibniz ý thức được việc sáng tạo ra một ngành toán học mới hết

sức quan trọng

Ý nghĩa lớn của phép tính vi - tích phân là phép tính vi - tích phân một công cụ toán học hiệu lực nhất được phát hiện trong thế kỷ XVII Nhờ đó mà người ta có thể tấn công vào nhiều bài toán mà trước đó mọi người đã bó tay Việc nghiên cứu áp dụng cong cụ này

đã thu hút nhiều nhà toán học thời bấy giờ, kết quả là có rất nhiều bài báo, công trình khoa học liên quan đến công cụ này Trong thế kỷ XVIII, người ta dành nhiều cho việc tìm tòi các phương pháp mới và có hiệu lực của phép tính vi – tích phân, trong thế kỷ này đa phần toán học là mục tiêu trong các lĩnh vực cơ học và thiên văn học

PHẦN 2

CÁC NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU

2.1 ISAAC NEWTON

Isaac Newton là một trong những thiên tài

lớn nhất thế giới, Newton là nhà toán học và

thiên văn học, ông cũng là nhà vật lý và cơ

học, hóa học, về lý thuyết lẫn thực nghiệm

Chế ra kính thiên văn, phát minh Toán vi phân

và nhất là khám phá lực hấp dẫn

2.1.1 TIỂU SỬ

Isaac Newton sinh ra trong một gia đình ở Woolsthorpe, gần Grantham ở Lincolnshire

ngày 4 tháng 1 năm 1643 Là con của Isaac Newton và Hannah Ayscough, trại chủ Ông

chưa từng thấy mặt cha ông là một nông dân cũng tên là Isaac Newton vì ông ta mất trước khi Newton sinh ra không

Khi Newton lên năm, Isaac học tiểu học trường làng, trước tiên tại Skillington, sau đó tại Stoke Mẹ Newton thấy con mình có năng khiếu về cơ học hơn là trông coi gia súc, nên

bà cho con tiếp tục đi học để học lên đại học

Năm 17 tuổi (1661), Newton đậu vào trường Đại học Cambridge, nơi này ông đã gắn

bó trong suốt 40 năm Đầu tiên là sinh viên, sau đó là giáo sư Mục tiêu ban đầu của Newton tại Đại học Cambrige là tấm bằng luật sư với chương trình nặng về triết học của Aristotle Nhưng ông nhanh chóng bị cuốn hút bởi toán học của Descartes, thiên văn học

của Galileo và cả quang học của Kepler Ông đã viết trong thời gian này: “Plato là bạn của tôi, Aristotle là bạn của tôi, nhưng sự thật mới là người bạn thân thiết nhất của tôi” Tuy

nhiên, đa phần kiến thức toán học cao cấp nhất thời bấy giờ Newton tiếp cận được là nhờ

đọc thêm sách, đặc biệt là từ sau năm 1663, gồm các cuốn Element của Euclid, Clavis

Mathematica của William Oughtred, La Géométrie của Descartes, Geometri a Renato Des Castes của Frans van Schooten, Algebra của Willis và các công trình của Francois Viète

Sự gặp gỡ với giáo sư Isaac Barrow (1630-1677) đã quyết định nghề nghiệp khoa học của ông sau này Giáo sư Barrow ngạc nhiên về trí thông minh của Newton đến nỗi ông đã

từ chức để nhường chỗ cho Newton và Newton đã trở thành một nhà toán học, vật lý học thiên tài

Năm 1665, Newton nhận bằng Bachelor of Arts, tương đương với

bằng cử nhân hiện nay Trong 2 năm nhà trường phải đóng cửa do

bệnh dịch, Newton có một loạt các phát triển quan trọng, trong đó với

phương pháp tính vi phân và tích phân hoàn toàn mới đã thống nhất

và đơn giản hóa nhiều phương pháp tính khác nhau thời bấy giờ để

giải quyết những bài toán có vẻ không liên quan trực tiếp đến nhau

như tìm diện tích, tìm tiếp tuyến, độ dài đường cong… Cũng trong

lúc đó, Gottfried Leibniz (1646-1716), nhà bác học Đức cũng tìm ra cách tính này Do đó

sinh ra một cuộc bút chiến giành quyền tác giả ưu tiên, một cuộc bút chiến dữ dội và lâu dài vì Newton xây dựng khái niệm về toán vi phân trước Leibniz rất lâu, nhưng Leibniz lại

in đề tài này ra trước

Mùa hè năm 1666 tại Woolsthorpe, Isaac Newton sửa soạn trình bày một thí nghiệm sẽ

là nguồn gốc của tất cả những lý thuyết hiện đại về ánh sáng và màu sắc

Năm 1670, ông được nhận làm giảng viên của trường Đại học Cambridge sau khi hoàn thành thạc sĩ và bắt đầu nghiên cứu và giảng về quang học

Năm 1672 Newton được bầu vào Hội Khoa học Hoàng gia Anh và bắt đầu vấp phải sự phản bác từ Huygens và Hooke về lý thuyết hạt ánh sáng và tranh cãi về lý thuyết màu sắc ánh sáng dẫn đến tinh thần suy sụp

Năm 1684, Newton xuất bản quyển Philosoph iae Naturalis Principia Mathematica

(Các Nguyên lý Toán học của Triết lý về Tự nhiên) Quyển sách đã mang lại cho Newton tiếng tăm vượt ra ngoài nước Anh, đến châu Âu Trong đó ông chứng minh sự rơi, sức hút vạn vật và sự chuyển động các vì sao Đó là sức hấp dẫn vạn vật

Giáo sư Isaac Barrow (1630-1677)

“ Quyển đầu tiên của bộ sách Nguyên tắc toán học,

đề cập đến sự chuyển động các vật thể trong không gian Phần thứ hai của quyển này đề cập đến sự chuyển động trong môi trường trở lực, thí dụ như chuyển động dưới nước Trong phần cuối Newton đề cập đến sự chuyển động phức tạp của thể lỏng và những bài toán

về sự chuyển động này đều được giải đáp Ngoài ra Newton có tính các tốc độ của âm thanh và diễn tả bằng toán học sự chuyển động của làn sóng Quyển một này

là nền tảng của khoa học vật lý toán học, khoa thủy tĩnh học và thủy động học ngày nay ” (đoạn này trích trong “Lược sử thời gian” của Hawking)

Năm 1693, sau nhiều năm làm thí nghiệm hoá học thất bại và sức khoẻ suy sụp nghiêm trọng, Newton từ bỏ khoa học, rời Cambridge để về nhận chức trong chính quyền tại Luân Đôn

Năm1703 Newton được bầu làm chủ tịch Hội Khoa học Hoàng gia Anh và giữ chức

vụ đó trong suốt phần còn lại của cuộc đời ông Ông được Nữ hoàng phong bá tước năm 1705

Ông mất ngày 20 tháng 3 năm 1727 tại Luân Đôn

2.1.2 THÀNH TỰU TRONG VẬT LÝ VÀ THIÊN VĂN HỌC

Phát minh ra đồng hồ mặt trời

Khái quát những kết quả nghiên cứu của Côpecnic, Kêple, Galiê và của riêng mình,

Newton đã tìm ra ”Định luật vạn vật hấp dẫn” linh hồn của học thuyết Newton về vũ trụ

Lực hấp dẫn là lực hút giữa mọi vật chất, có độ lớn tỷ lệ thuận với khối lượng của chúng

và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách của hai vật

• Một trong những công trình nền tảng quan trọng nhất cho vật lý của mọi thời đại

của Newton là cuốn Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý Toán

học của Triết lý về Tự nhiên), hoàn thành năm 1688, viết bằng tiếng Latin, gồm 3 tập

Việc phát minh ra “Định luật vạn vật hấp dẫn” và ba định luật mang tên ông, Newton được xem như là người sáng lập nên vật lý “Cơ học cổ điển”

Trong quang học, ông khám phá ra sự tán sắc ánh sáng, giải thích việc ánh sáng trắng qua lăng kính trở thành nhiều màu Năm 1704, Newtơn cho xuất bản cuốn

“Opticks”(Quang học) của mình

 Vào năm 1668, Newton chế tạo được mô hình một kiểu kính viễn vọng mới: kính viễn vọng phản xạ có nhiều ưu điểm hơn so với kính viễn vọng khúc xạ của Galilê, vì

khắc phục được hiện tượng sắc sai trong quan sát thiên văn và kích thước thì nhỏ gọn

đường cong, theo“phương pháp vi phân” (fluxion method) và “phương pháp ngược lại của vi phân”, lần lượt tương ứng với giải tích đạo hàm và tích phân sau này của

trong cuốn Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý Toán học

của Triết lý về Tự nhiên) xuất bản năm 1687 )

Phương pháp tính vi-tích phân của I.Newton được ông gọi là “Phương pháp dao động” với công trình mang tên: “Phương pháp dao động và những chuổi vô hạn với việc áp dụng môn hình học các đường cong” Công trình này được hoàn thành năm

1671 nhưng đang tiếc là gần một thế kỷ sau mới được công bố ( năm 1736 ) Đó cũng là nguyên nhân gây ra cuộc tranh luận kéo dài không đáng có giữa Newton và Leibniz, ai

là mới người phát minh ra trước phép tính vi - tích phân

Kỳ thực, Vi tích phân của Leibniz với vi tích phân của Newton có sự khác nhau rõ rệt Newton dùng hình thức hình học để biểu đạt thành quả của mình, còn lý luận của Leibniz thì chuyên về hình thức đại số Chẳng hạn, năm 1704 trong bài viết “ Bàn về tìm tích phân đường cong” Newton mô tả định lý cơ bản của tích phân như sau: giả thiết diện tích ABC và ABDE là do trục tung BC và BD chuyển động trên đường chuẩn

AB với tốc đọ đều tạo thành Vậy tỷ số của “lưu số” của hai diện tích này giống như tỷ

số của hai đại lượng BC và BD

Song, cùng một nội dung như vậy, trong bài viết của Leibniz lại được diễn đạt thành biểu thức:

( ) ( )

x a

d

f t dt f x dx

b) NHỊ THỨC NEWTON

Trong toán học, định lý khai triển nhị thức là một định lý toán học về việc khai triển hàm mũ của tổng Cụ thể, kết quả của định lý này là việc khai triển một nhị thức bậc n thành một đa thức có n+1 số hạng:

Định lý này đã được độc độc lập chứng minh bởi hai người đó là:

Nhà toán học, vật lý Isaac Newton tìm ra trong năm 1665

Nhà toán học James Gregory tìm ra trong năm 1670

Newton cũng đã phát hiện ra định lý nhị thức đúng cho các tích của phân số, nhưng ông đã

để cho John Wallis công bố

Ví dụ:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3ª2b + 3ab2 + b3

Trong trường hợp tổng quát trên trường số phức,

định lý trên được phát biểu thành:



c) MỘT SỐ THÀNH TỰU TOÁN HỌC KHÁC

Công trình toán học:

Các đường bậc ba (1704): Phân loại và nghiên cứu tính chất các đường cong bậc ba

bằng hình học giải tích

Về phép cấu phương các đường cong (1704)

Công trình Arithmetica universalis ( 1707 ) đạt được nhiều kết quả quan trọng trong

lý thuyết các phương như:

Nghiệm ảo của một đa thức thực phải có từng cặp một

Quy tắc tìm cận trên của các nghiệm của một đa thức

Công thức biểu thị ổng các luỹ thừa thứ n của các nghiệm của một đa thức theo hệ số của đa thức ấy

 Newton là người giải được bài toán giải tích biến phân đầu tiên trên thế giới

2.2 GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ

Gottfried Wilhelm Leibniz được sinh ra vào ngày 1

tháng 7 năm 1646 ở Leipzig cha là Friedrich Leibniz và mẹ

là Catherina Schmuck

Khi Leibniz lên sáu tuổi, cha của ông, một Giáo sư Triết

học Đạo đức tại Đại học Leipzig, qua đời, để lại một thư

viện cá nhân mà Leibniz được tự do đi vào đọc từ năm lên

bảy tuổi

Ông vào học đại học trường của cha ông vào năm 14 tuổi, và hoàn thành bằng đại học năm 20 tuổi, chuyên về luật và nắm vững các khóa học đại học trong các môn cổ điển, logic, triết học Tuy nhiên, giáo dục của ông về toán không thỏa mãn tiêu chuẩn của Pháp

và của Anh

Vào năm 1666 (20 tuổi), ông xuất bản cuốn sách đầu tiên của ông, cũng là luận án

habilitation của ông về triết học, De Arte Combinatoria (Về nghệ thuật tổ hợp) Khi

Leipzig từ chối không bảo đảm một vị trí giảng dạy về luật sau khi ông tốt nghiệp, Leibniz

đã trình luận án mà ông dự tính nộp cho Leipzig sang đại học khác, Đại học Altdorf, và có được bằng tiến sỹ luật trong vòng 5 tháng Sau đó ông từ chối một vị trí giảng dạy tại Altdorf, và trải quãng đời còn lại phục vụ cho hai gia đình quý tộc lớn ở Đức

là Christiaan Huygens, lúc đó khá nổi ở Paris Ngay sau khi đến Paris, Leibniz đã thức tỉnh; kiến thức của ông về toán và vật lý rất rời rạc Với Huygens như là người hướng dẫn, ông bắt đầu một chương trình tự học mà không lâu sau đã đem lại kết quả là ông bắt đầu có những đóng góp lớn cho cả hai ngành đó, bao gồm cả việc đưa ra vi phân và tích phân theo

ý của ông

Sau khi trình bày cho Hiệp hội Hoàng gia (Royal Society) một loại máy tính mà ông

thiết kế và xây dựng từ năm 1670, loại máy đầu tiên có thể tính được 4 phép toán cơ bản, Hiệp hội đã phong ông làm thành viên nước ngoài

Cái chết đột ngột của hai nhà bảo trợ Leibniz trong cùng một mùa đông đồng nghĩa với việc Leibniz phải đi tìm một cơ sở mới cho sự nghiệp của ông Vào năm 1673, Công tước phong cho ông chức Cố vấn mà Leibniz miễn cưỡng chấp nhận 2 năm sau đó, chỉ sau khi mọi việc rõ ràng là không có việc làm ở Paris, nơi ông có những cảm hứng về khoa học, hay là với triều đình Hapsburg sắp tới

b) Hoàng tộc Hannover 1676–1716:

Leibniz trì hoãn chuyến đi đến Hannover cho tới cuối năm 1676, sau khi làm một chuyến đi ngắn tới London, nơi mà có lẽ ông đã được xem một số công trình chưa xuất bản của Newton về vi tích phân Sự kiện này dường như đã ủng hộ những lời cáo buộc, xảy ra nhiều thập kỉ sau đó, rằng ông đã ăn cắp vi tích phân từ Newton

Gia tộc Brunswick đã có những ưu đãi đáng kể với những công sức mà Leibniz dành cho những theo đuổi về khoa học mà không liên quan gì đến việc triều đình, những việc chẳng hạn như hoàn thiện vi tích phân, viết về những loại toán khác, logic, vật lý, và triết học, và trao đổi thư từ với rất nhiều người

Ông bắt đầu nghiên cứu về vi tích phân trong năm 1674; những chứng cứ sớm nhất là những bài toán ông sử dụng nó còn lại trong những cuốn sổ tay của ông năm 1675 Cho tới năm 1677 ông đã có một hệ thống hoàn thiện trong tay, nhưng không xuất bản nó cho tới năm 1684 Những bài báo về toán quan trọng nhất của ông được xuất bản trong giai đoạn

1682 và 1692, thường là trong tạp chí ông và Otto Mencke sáng lập năm 1682, tạp chí Acta Eruditorum Tạp chí này đã đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao uy tín khoa học và

toán học của ông, và hệ quả là nâng cao uy tín của ông trong ngoại giao, lịch sử, thần học

và triết học

Năm 1711, John Keill, viết trong tạp chí của Hội Hoàng gia (Royal Society) và với sự

ủng hộ của Newton, đã cáo buộc Leibniz ăn cắp vi tích phân từ Newton Do đó đã bắt đầu cuộc tranh cãi ai khám phá vi tích phân đầu tiên đã làm tối đi quãng đời còn lại của Leibniz Một cuộc điều tra chính thức bởi Hội Hoàng gia (trong đó Newton là một người tham dự nhưng không công khai), đã diễn ra để đáp lại yêu cầu của Leibniz là Keill phải rút lại lời cáo buộc đó Các nhà viết sử toán học từ 1900 trở đi đã thừa nhận Leibniz vô tội, chỉ ra những khác biệt quan trọng giữa hai phiên bản vi tích phân của Leibniz và Newton Leibniz qua đời ở Hannover năm 1716, vào lúc đó, ông bị thất sủng cho đến nỗi mà cả George I cũng như các quan trong triều nào đến dự đám tang của ông, chỉ có người thư kí riêng của ông dự tang Mặc dù Leibniz là thành viên cả đời của Hiệp hội Hoàng gia Anh và của Viện hàn lâm khoa học Berlin, cả hai tổ chức đó đều không đứng ra tổ chức tang lễ cho ông Mộ của ông không được đánh dấu trong hơn 50 năm

Leibniz không bao giờ lập gia đình Đôi lúc ông phàn nàn về tiền nong, nhưng khoản tiền không nhỏ mà ông để lại cho người thừa kế duy nhất của ông, con trai kế của em gái ông, chứng tỏ là hoàng tộc Brunswick đã trả lương ông khá hậu Trong những cố gắng về ngoại giao, đôi khi ông đứng trên vùng ranh của những người không theo nguyên tắc nào

cả, hành vi khá phổ biến của những nhà ngoại giao thời đó Trong một vài lần, Leibniz sửa lại ngày tháng và thay đổi những ghi chép cá nhân, những hành động không thể được tha thứ hay bảo vệ và đã đặt ông vào tư thế bất lợi trong cuộc tranh cãi về vi tích phân Mặt khác, ông khá nồng hậu và cư xử tốt, với nhiều bạn bè và nhiều người kính nể trên toàn châu Âu

a) PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN

Leibniz đã phát minh phép vi tích phân từ năm 1673 đến 1676

Vào ngày 29 tháng 10 năm 1675, lần đầu tiên ông dùng dấu tích phân hiện đại, coi

như chữ S dài lấy từ chữ cái đầu tiên trong từ chữ Latin summa (tổng) để chỉ ra tổng

của những cái không phân chia được của Cavalieri

Vài tuần sau, ông viết các vi phân và đạo hàm như ta viết ngày nay, và ông cũng viết các tích phân là ydy,xdx Tham luận đầu tiên của ông về phép toán vi phân mãi đến năm 1681 mới được công bố

Nhiều quy tắc sơ cấp về lấy vi phân thường được trình bày trong các giáo trình đại học là của Leibniz

Quy tắc tìm đạo hàm bậc n của tích 2 hàm số vẫn được coi là quy tắc Leibniz



  

n o

k k n

Giữa Newton và Leibniz đã có bút chiến về quyền phát minh ra Phép tính vi – tích phân Ý kiến chung là mỗi người khám phá ra phép tính này một cách độc lập Trong

khi những khám phá của Newton được thực hiện trước thì những kết quả của Leibniz được công bố trước Chính vì vậy mà câu hỏi ai là người phát minh ra phép tính vi tích phân đã được tranh cãi trong suốt 1 khoảng thời gian dài

Năm 20 tuổi, Leibniz đã xuất bản một công trình toán học đầu tiên là: “Lược khảo

về sự phân tích tổ hợp”

Trước khi đến Paris, Leibniz đã bỏ ra nhiều công sức nghiên cứu vấn đề tổ hợp và

đã thấy trong đó cơ sở toán học của logic hiện đại

Ở Paris, những cuộc gặp gỡ trao đổi khoa học giữa Leibniz và Huygens đã đưa ông tới các vấn đề vi phân của toán học

Huygens đã nêu cho Leibniz một loạt các bài toán nối liền những vấn đề này với tổ hợp Khi giải một trong các bài toán của Huygen vê việc tìm tổng các số hạng dạng:

1

2 2 ) 1 (

k

Leibniz cũng đã tìm thấy tổng của một số chuỗi và các hiệu hữu hạn cấp cao Ông đã nghiên cứu rất kỹ lưỡng các tác phẩm của Descartes , Cavalieri, Valit, Pascal, Huygen và các nhà toán học khác

Leibniz cũng đã viết thư gửi với Hooke, Boyle và Pell về những kết quả của dãy số nhưng Pell viết thư trả lời rằng những điều đó đã được tìm thấy trong một quyển sách của Mouton Trong những ngày sau, Leibniz đã tra cứu sách của Mouton và khẳng định được Pell đã nói đúng

Leibniz đã gặp lại Huygen và tiếp tục nghiên cứu toán học, ông đã áp dụng tam giác Pascal vào việc giải bài toán dựng tiếp tuyến với đường cong Dần dần ông nghĩ dến khả năng cộng các hiệu (dx và dy) là cạnh của tam giác đặc trưng Những bài toán về cầu phương cũng dẫn tới tổng các hiệu nhỏ đó

Leibniz đã nêu các giả thiết rằng việc giải các bài toán ngược với bài toán tiếp tuyến

có thể dẫn tới phép cầu phương (sau này là phép tích phân)

Phép tính của Leibniz đã hình thành với những nét tổng quát từ những yều tố sau:

Những bài toán lấy tổng của chuỗi và sự đưa vào các sai phân hữu hạn

Việc giải các bài toán tiếp tuyến, tam giác đặc trưng của Pascal và việc chuyển đàn các

hệ thức giữa những phần tử hữu hạn thành tùy ý và rồi thành những phần tử vô cùng bé Những bài toán ngược với bài toán tiếp tuyến việc lấy tổng các sai phân vô cùng bé, sự phát minh ra các tính chất tương hỗ của các bài toán vi phân và tích phân

Mùa thu 1676 Leibniz đã phát minh ra mối quan hệ d(xn)=n.xn-1.dx

Trong khoảng thời gian này , Newton và Leibniz đã thư từ cho nhau xoay quanh vấn

đề ai là người tìm ra phép vi tích phân Tuy nhiên sự trao đổi thư từ này đã chấm dứt vì Newton đã đình chỉ trả lời thư bạn

Cũng như Newton, Leibniz đã không nghĩ đến việc xuất bản phép tính ngay mà ông mong mỏi thời gian tích lũy kinh nghiệm và nghiên cứa sẽ hoàn thiện được vấn đề hơn

Vi phân đối số d(x) là đại lượng hoàn toàn tùy ý

Vi phân hàm số d(y) được xác định: dy=

1 ) 1 (

3

1 2

1 1

áp dụng nó vào việc đo độ cong của các đường cong

Năm 1692, Leibniz đặt nền móng cho lý thuyết về hình bao, điều này được phát triển xa hơn vào năm 1694, ông giới thiệu về giới hạn tọa độ, trục tọa độ

Lý thuyết định thức cũng được xem là bắt nguồn từ Leibniz năm 1693, khi ông xem xét các dạng liên hệ với những phương trình tuyến tính tương thích Mặc dù việc xem xét như vậy đã được thực hiện ở Nhật trước đó 10 năm bởi ông Saki Kowa Và sau này

lý thuyết đó được nhà toán học Cramer phát triển thành “Qui tắc Cramer”

Cũng trong năm 1693, Leibniz đã mở rộng phép tính mới cho những hàm số siêu việt bằng cách khai triển chúng thành chuỗi nhờ phương pháp hệ số bất định

Năm 1695, Leibniz đã xuất bản qui tắc vi phân của hàm lũy thừa tổng quát và công thức vi phân của tích

m

d(m-2)(x)d2(y) + … Cùng lúc ông còn mở rộng khái niệm vi phân cho các số mũ âm vá số mũ là phân

số

Năm 1702, Leibniz đã tìm thấy cách lấy vi phân của phân số hữu tỉ, khái quát địnhlý nhị thức thành địnhlý đa thức

Năm 1714, Leibniz viết “ Lịch sử và nguồn gốc của phép tính vi phân”

Phép tính vi tích phân là công trình toán học lớn nhất của Leibniz, chính bằng các phương pháp của phép tính này Leibniz đã giải quyết hàng loạt vấn đề mà các bác học cùng thời không làm nổi

b) MÁY TÍNH CỦA LEIBNITZ

Leibnitz vẫn là nhà tiên phong vĩ

đại nhất của việc tính toán cơ học và

của một số nguyên lý cơ bản của tin

học

Máy tính nhân của ông, thực hiện

năm 1671, đã đưa ra một ý tưởng mới: việc quay đồng thời những bánh răng khác nhau tương ứng với các hàng lẻ của những số máy đang tính

Ông là người phát minh ra bánh răng với những răng có chiều dài không đều nhau (mỗi răng tương ứng với một số : 0, 1, 2 , 9), nó được sử dụng trong máy tính số học của Thomas de Colmar chẳng hạn và nguyên lý của nó còn được sử dụng lại cho tới tận giữa thế kỷ XX trong máy CURTA Loại máy này là đời cuối cùng và xa nhất của Thomas

Theo bước đi của Passcal, Leibnitz đã đánh dấu một trong những giai đoạn quan trọng nhất trong lịch sử của các máy tính Ngoài cộng, trừ, nhân, chia, máy có thể thực hiện phép khai căn, phép bình phương, nâng lên lũy thừa và khai căn bậc ba

Leibniz đã không ngừng hoàn thiện sáng chế của mình suốt 40 năm, ông còn mơ một ngày nào đó sẽ chế tạo ra được một máy tính thao tác các biểu tượng toán học và máy này sẽ có thể dùng để chứng minh hay phản chứng minh một mệnh đề toán học

c) TỔNG CÁC HIỆU CỦA CÁC SỐ HẠNG LIÊN TIẾP TRONG DÃY SỐ

d) TAM GIÁC ĐIỀU HÒA

Chúng ta đã quen biết với tam giác Pascal và những tính chất độc đáo của nó Sau đây là một loại tam giác đặc biệt mà ít người biết tới là: tam giác điều hòa Leibniz Một số tính chất của nó “tương tự” theo nghĩa ngược lại với các tính chất của tam giác Pascal

Tam giác Pascal có đối tượng là số nguyên, còn tam giác điều hòa Leibniz có đối tượng là số nghịch đảo

Sau đây ta trình bày 2 tam giác để so sánh cách thành lập chúng và rút ra vài kết luận lí thú

Trong tam giác điều hòa Leibniz

a A

1

)sgn(

)det(





f) CÔNG TRÌNH VẬT LÝ HỌC

Leibniz đã có ý tưởng sử dụng năng lượng gió và nước để điều khiển máy bơm

Năm 1671, Leibniz công bố giả thuyết Vật lý về thiên văn học

Từ năm 1678-1679, ông đã xúc tiến một bộ sưu tập trọn vẹn những công trình chuyên môn: đường ống dẫn nước phức tạp từ nguồn vào những ngọn núi Harz Ông cũng đã thiết

kế nhiều loại cối xay gió, máy bơm, bánh răng,… khác nhau Tuy nhiên, Leibniz cũng đã đạt được những kết quả khoa học quan trọng, trở thành một trong những người đầu tiên học môn địa chất thông qua sự quan sát mà ông biên soạn cho đề án Harz

Năm 1685, ông viết luận văn để tìm áp xuất sử dụng bởi năng lượng (w) giữa hai mặt phẳng nghiêng đã bổ sung độ nghiêng, ở đó hệ số góc lớn nhất của đường thẳng là

Hay Rwcos ; Rwsin

Năm 1689, Leibniz viết bài về sự chuyển động của hành tinh “làm cân bằng sự chuyển động” nhưng chứa đựng sai lầm

Những tư tưởng của Leibniz, tuy không nổi tiếng như Newton nhưng lại mở đường cho các phát triển trong thế kỷ 18,19 Ở đây ta chỉ nhắc đến những tư tưởng của Leibniz về 4 nguyên tố trọng đại: vật thể, lực tác dụng, không gian và thời gian của nền vật lý cơ giới Leibniz đã cảm thấy không gian chỉ là thuộc tính của vật thể

Leibniz nghĩ đến “một đại lượng mô tả sự vận động mà ông gọi là “Visvira” (sức sống)

vật thể Ông cho rằng “sức sống” của vật thể đó phải được bảo toàn Khoảng 40 năm sau người ta phát hiện định luật bảo toàn năng lượng, điều mà Leibniz đã tiên đoán trước đó khoảng 150 năm Định luật bảo toàn năng lượng là một quy luật hết sức vạn năng, đóng vai

trò cốt tủy trong nền vật lý hiện đại E.Mach-nhà triết gia và toán học người Áo, lấy lại quan niệm của Leibniz cho rằng không gian là tính chất của vật, quan niệm này mở đường cho Einstein phát hiện thuyết tương đối trong nền vật lý hiện đại

g) TRIẾT HỌC

Leibniz là một triết gia duy tâm, khách quan có nhiều yếu tố biện chứng Tư tưởng của Leibniz tiêu biểu cho tư tưởng của giai cấp tư sản Đức ở đầu thế kỉ XVIII, phản ánh mâu thuẫn giữa yêu cầu phát triển của giai cấp tư sản và địa vị còn non yếu của nó, nên mang tính chất duy tâm và thỏa hiệp

Leibniz là người mở đường cho phái triết học duy tâm cổ điển và phái triết học duy tâm biện chứng ở Đức Nhưng Leibniz có một mục đích lâu dài là thống nhất cả hai thành đạo

Cơ Đốc Với sự ủng hộ của Boineburg, Leibniz đã dự thảo một chuyên khảo trên các lĩnh vực tôn giáo, nhằm hòa giải và thống nhất các giáo hội Leibniz còn có một mục đích khác nữa là đối chiếu tất cả những hiểu biết về con người

Thuộc một gia đình dòng dõi, Leibniz được xem là một nhà triết học cuối cùng của trường phái “vạn năng”, tức là của những nhà thông thái nghiên cứu tất cả các vấn đệ lớn của loài người, từ triết học, thần học, toán học, khoa học tự nhiên đến đạo đức và thẩm mỹ học Ngoài ra, ông còn khao khát một sự nghiệp văn chương, phần lớn ông tự hào với nghệ thuật thơ của bản thân, và ông có thể tự hào kể lại tất cả thơ của Virgil “Aeneid” bằng cả trái tim

Vào đầu thế kỷ 17, Phật giáo hầu như chưa có mặt tại Đức, những tài liệu viết về đạo Phật thường mang tính định kiến và rất mập mờ Mãi cho đến nửa cuối thế kỷ 18 thì Leibniz đã viết về Phật giáo với sự hiểu biết sâu xa và trong sáng

Các tác phẩm nổi tiếng: “Specimen-Dynamicum” được viết lúc ông 40 tuổi,

“Philosophia-Perenis” (triết lí truyền thống)

2.3 ARCHIMEDES

Acsimet sinh năm 284 và mất năm 212 trước Công nguyên Ông sống ở thành phố Syracuse, trên đảo Sicile, con một một nhà thiên văn và toán học nổi tiếng Phidias Người cha đích thân dạy dỗ và hướng ông đi vào con đường khoa học tự nhiên

Acsimet được cha cho đi du học ở thành phố Alexandrie, Ai Cập, trở thành học sinh của nhà toán học nổi tiếng Ơclit; rồi sang Tây Ban Nha và cuối cùng về định cư vĩnh viễn tại thành phố quê nhà xứ Sicile Ðược hoàng gia tài trợ về tài chính, ông cống hiến

cả cuộc đời mình cho nghiên cứu khoa học và đạt được những thành tựu đồ sộ

A Các công trình của Acsimet:

1 Công thức tính diện tích, thể tích của hình lăng trụ, hình cầu

2 Số thập phân của số Pi (nằm giữa 223/7 và 22/7)

3 Phương pháp tính gần đúng chu vi vòng tròn từ những hình lục giác đều nội tiếp trong vòng tròn

4 Những tính chất của tiêu cự của Parabole

5 Phát minh đòn bẩy, bánh xe răng cưa…

6 Chế tạo vũ khí mới đánh quân La Mã

7 Chế ra vòng xoắn ốc không ngừng …

8 Tính diện tích parabole bằng cách chia ra thành tam giác vô tận

9 Nguyên lý thủy tĩnh, sức đẩy Acsimet, trọng tâm Barycentre

10 Những khối Acsimet (Solides Acsimet)

11 Những dạng đầu tiên của tích phân

B Tác phẩm Acsimet đã viết:

Sự cân bằng các vật nổi

Sự cân bằng của các mặt phẳng dựa trên lý thuyết cơ học

Phép cầu phương của hình Parabole

Hình cầu và khối cầu cho Toán Tác phẩm này xác định diện tích hình cầu theo bán kính, diện tích bề mặt của hình nón từ diện tích mặt đáy của nó

Ông còn viết những sách khác như:

Hình xoắn ốc (đó là hình xoắn ốc Acsimet, vì có nhiều loại xoắn ốc)

Hình nón và hình cầu (thể tích tạo thành do sự xoay tròn của mặt phẳng quanh một trục (surface de révolution), những parabole quay quanh đường thẳng hay hyperbole

Tính chu vi đường tròn (Ông đã cho cách tính gần đúng của con số Pi mà Euclide đã khám phá ra

Sách chuyên luận về phương pháp

2.4 AUGUSTIN LOUIS CAUCHY

“Những con người sẽ mất, nhưng những công trình của họ vẫn ở lại”.

Cauchy sinh ngày 21 tháng 8 năm 1789 Nhà Toán học

đầy óc sáng tạo này có rất nhiều công trình toán học, chỉ thua

Euler mà thôi Những nhà toán học hiện đại tiếp thu được từ

Cauchy hai điều nổi bật trên con đường nghiên cứu toán ở thế

Cuộc đời và tính tình Cauchy giống như của chàng “Đông Ki-sốt” đáng thương, không biết nên khóc hay nên cười Ông là anh cả của 6 em trong một gia đình Thiên Chúa Giáo Thời niên thiếu ông trải qua cuộc cách mạng ở Pháp

Ngày 1 tháng 1 năm 1800, bố Cauchy có liên hệ bí mật với Paris nên được phong làm thư kí nghị việc, có phòng làm việc ở lâu đài Lucxambua Ông đã dành một góc phòng để Cauchy có điều kiện nghiên cứu, học tập

Nhà toán học Lagrange lúc đó là giáo sư trường Đại học Bách khoa thường xuyên đến liên hệ công việc với bố Cauchy và đã có dịp tiếp xúc với Cauchy Ông rất ngạc nhiên về năng khiếu toán học đặc biệt của Cauchy Một hôm trước mặt Laplaxơ và một số nhân vật khác, Lagrange đã chỉ vào cậu bé Cauchy đang ngồi làm việc ở một góc phòng của bố và nói “ Các bạn có thấy cậu thiếu niên này không? Cậu ta sẽ vượt chúng ta khi chúng ta đang còn là những nhà toán học”

Lagrange đã khuyên bố Cauchy như sau: “Bác đừng để Cauchy sờ đến một cuốn cách toán cao cấp nào trước khi em ấy 17 tuổi”, hoặc “Bác nên dạy văn cho Cauchy để có cơ sở vững chắc, vì em ấy sẽ trở thành nhà toán học lớn và phải biết viết thành văn những thành tựu toán học của mình”

Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trường trung tâm của Păngtêông thời vua Napoleon Cauchy đứng đầu lớp và đạt nhiều giải nhất về các môn học tiếng La Tinh, Hi Lạp và thơ

Vào quân đội Cauchy vẫn tiếp tục phát minh toán học

Khi Cauchy từ Paris tới Secbua để nhận việc lần đầu, ông đã ra đi “nhẹ về hành lý và đầy hy vọng” để làm một kỹ sư quân đội Hành lý nhẹ vì ông chỉ đem theo 4 cuốn sách:

“Cơ học thiên thể” của Laplaxơ, “Về các hàm số giải tích” của Lagrange, một cuốn sách về Chúa Jesus và một cuốn của Viếcgil

Cauchy sống ở Secbua khoảng 3 năm Ngoài công việc bận rộn của người kỹ sư trong quân đội, ông đã tranh thủ thời gian để nghiên cứu bằng cách “xem lại toàn bộ các ngành toán học, bắt đầu bằng số học kết thúc bằng thiên văn nhằm làm sáng tỏ những chỗ còn chưa rõ hoặc đơn giản hóa các chứng minh để tìm thêm những mệnh đề mới”

Lúc đó ông 24 tuổi Công trình toán học của ông bấy giờ là lý thuyết khối đa diện và hàm đối xứng đã làm cho các nhà toán học lớn của nước Pháp chú ý

Vào những năm 1840, Cauchy đã đưa ra “Lí thuyết về các phép chế”, sau này ông phát triển thành “Lí thuyết các nhóm hữu hạn”

Bước vào tuổi 27, năm 1816, Cauchy đứng ở hàng đầu của các nhà toán học còn sống khi đó

Năm 1814 Cauchy đã viết công trình về tích phân xác định và không ai vượt được ông

về lí thuyết hàm số một biến phức mà Gauss đã đưa ra định lí cơ bản năm 1811 trước Cauchy 3 năm Công trình Cauchy chi tiết hơn nhiều, chỉ được công bố năm 1827 Sự chậm trễ này là do khối lượng nội dung của công trình (dày khoảng 180 trang)

Năm sau (1815) Cauchy lại gây một chấn động trong giới Toán học bằng cách chứng minh một trong những định lí lớn của Fermat để lại: mọi số nguyên dương là tổng của ba

“tam giác” của bốn “tứ giác”, của năm “ngũ giác” của sáu “lục giác”…v… Số 0 trong mỗi trường hợp được coi là một số trong đó Một “tam giác” là một trong những số 0,1,3,6,10,15,21,… có được bằng cách dựng những tam giác đều bằng các điểm (Hình 1)

Những “hình vuông” 0,4,9,16 cũng được xây dựng tương tự vậy (H 2)

“ Không phải dễ gì mà chứng minh được! Euler, Lagrange, Lơ giăngđrơ đã không làm được; còn Gauss mới chứng minh được đối với “tam giác”

Trong 19 năm cuối đời mình, Cauchy đã có trên 500 công trình trên tất cả lĩnh vực của toán học kể cả cơ học, vật lí học, thiên văn học

Cauchy qua đời đột ngột vào ngày 23 tháng 5 năm 1857 lúc 68 tuổi Một vài giờ trước khi mất, Cauchy nói với tổng giám mục Paris: “Những con người sẽ mất, nhưng những công trình của họ vẫn ở lại”

2.4.2 THÀNH TỰU

CÁC ĐÓNG GÓP CỦA CAUCHY VỀ LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1) Điều kiện biên Cauchy trong lý thuyết phương trình vi phân thường và phương trình

vi phân đạo hàm riêng

2) Phương trình Cauchy-Euler là một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất thông thường với hệ số biến

3) Định lý Cauchy–Kowalevski trong lý thuyết phương trình vi phân từng phần

4) Định lý Cauchy-Peano trong lý thuyết phương trình vi phân

5) Bài toán Cauchy trong lý thuyết phương trình vi phân

CÁC ĐÓNG GÓP CỦA CAUCHY VỀ LÝ THUYẾT CHUỖI

1) Dấu hiệu hội tụ Cauchy

2) Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy cho chuỗi số:

3)Tiêu chuẩn hội tụ Maclaurin-Cauchy

ĐÓNG GÓP CỦA CAUCHY VỀ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

1) Định lý Cauchy – Hadamard trong giải tích phức

2) Phương trình vi phân Cauchy–Riemann trong giải tích phức, còn gọi là định lý Cauchy–Riemann

3) Định lý Cauchy trong lý thuyết nhóm

lý thuyết tập hợp ở thế kỷ XIX của Cantor

2.6 KEPLER (1571-1630)

Johennes Kepler là một nhà thiên văn học, toán học và vật lý

học tài năng người Đức

Ông là một trong những người đi tiên phong trong phép tính

vi – tích phân Để tính được diện tích trong định luật II, ông phải

dựa vào một dạng thô sơ của phép tính tích phân Ngoài ra ông

còn đóng góp nhiều trong hình học không gian và hình học giải tích

2.7 WALLIS (1616-1703)

John Wallis là nhà toán học người Anh

Những công trình của ông tập trung nhiều vào giải tích toán và lý thuyết số Công trình chính của ông được công bố năm 1655 về “Số học của các vô cùng bé” đã đóng góp vai trò quan trọng cho sự phát triển phép tính tích phân

2.8 ISAAC BARROW (1630-1677)

Ông là nhà toán học, triết học và thần học người

Anh

Công trình quan trọng nhất của ông là “Lectiones

opticae et geometricae” ra đười năm 1669, từ công trình

này cho ta tìm thấy cách tiếp cận rất gần gũi với quá trình vi phân hiện nay

Ông là người đầu tiên thấy được đầy đủ nét khái quát là: phép vi phân và phép tích phân là hai phép toán ngược nhau

2.9 HUYGENS (1629-1695)

Christiaan Huygens là một thiên tài vĩ đại người Hà Lan Công trình của ông tập trung vào vật lý học, toán học và thiên văn học Trong lĩnh vực toán học, Huygens đã hoàn thành nhiều công trình xuất

Trong các tác phẩm của ông, ông đã khá quen thuộc với những phương pháp đầy hiệu lực của hình học giải tích và phép tính vi – tích phân

Với số lượng công trình đồ sộ, Huygens được xem là một trong những nhà khoa học

vĩ đại của thế kỷ XVII

2.10 TAYLOR (1685-1731)

Brook Taylor là nhà toán học người Anh

Những công trình nghiên cứu của ông là về giải tích toán học,

cơ học và môn đạn đạo Ông đã đưa ra công thức tổng quát về khai

triển hàm thành chuỗi lũy thừa (chuỗi Taylor) Ông đã tìm ra công

thức vi phân hàm số, đưa ra dạng mới nghiệm riêng của các

phương trình vi phân

2.11 MACLAURIN (1698-1746)

Colin Maclaurin là nhà toán học người Scotland, một trong những nhà toán học tài ba nhất của thế kỷ XVIII Những nghiên cứu của ông tập trung vào giải tích và hình học

Trong công trình “Lý thuyết phương trình vi phân” năm

1742, ông đã chứng minh hàng loạt các nguyên lý và định lý

cơ bản trong giải tích, giải một số bài toán hình học, cơ học và thiên văn học

Ông tìm ra dấu hiệu hội tụ của dãy số và công thức lấy tổng của dãy Ngoài ra ông còn phát triển ý tưởng của Newton về việc phân tích các đường cong phức tạp thành các đường cong đơn giản, trong đó ông đã sử dụng phương pháp tọa độ của Descates

2.12 EULER (1707-1783)

Leonhard Euler, người Thụy Sĩ, ông là nhà toán

học, cơ học, vật lý học, thiên văn học và là nhà bác

học vĩ đại của thế kỷ XVIII Các tác phẩm về phép

tính vi – tích phân có rất nhiều nội dung vẫn giữ nguyên giá trị cho đến nay

Trong lĩnh vực toán học và khoa học ông có rất nhiều công trình mang tên ông như: Euler trong tam giác, phương pháp Euler để giải các phương trình bậc 4, hàm Euler và định lý Euler trong lý thuyết số…

Ông đưa ra khái niệm vi phân toàn phần của hàm nhiều biến độc lập và khái niệm biến đổi aphin

Năm 1740, ông đưa ra khái niệm tổng quát và nghiệm riêng của một phương trình vi phân bậc nhất

2.14 LAGRANCE (1736 – 1813)

Joseph Louis Lagrance là nhà toán học, cơ học và thiên

văn học người Ý

Những công trình của ông có sức ảnh hưởng rất sâu xa

trong việc nghiên cứu toán học về sau, bởi vì ông là một nhà

toán học hàng đầu đã sớm nhận ra tình trạng hoàn toàn không

thỏa đáng của cơ sở giải tích toán học, và do đó ông tìm mọi

cách để làm cho phép vi – tích phân được chặt chẽ

2.15 DÒNG HỌ BERNOULLI

Dòng họ nổi bậc nhất trong toán học và khoa học

Gồm 9 nhà toán học trong đó có 5 viện sĩ

Họ có đóng góp rất lớn cho toán học đặc biệt trong lĩnh vực phép tính vi tích phân như: đề xuất tên gọi tích phân, xuất bản quyển “Giáo trình phép tính tích phân”, khám phá lý thuyết hàm mũ, tích phân các phân thức hữu tỷ, …

úc nhỏ Newton là đứa trẻ ít nói nhưng ông rất thích thủ công nghệ, thường xuyên tự thiết

kế và làm ra các đồ chơi tinh xảo Mọi người đều rất thích chúng, đặc biệt là diều của ông làm, nó vừa đẹp vừa bay nhanh và bay cao Vào một chiều nọ ông buộc một chiếc đèn lồng xinh xắn vào chiếc diều của mình và thả lên trời, trông giống như một ngôi sao trên trời Mọi người trong thôn đều chạy ra xem cho rằng xuất hiện sao chổi Khi biết đó là diều của Newton thả thì mọi người đều tấm tắc khen

Những thứ Newton làm ra đều rất lạ và cũng rất đẹp Ông tự tay làm chiếc chong chóng đặt ở đầu nhà, khi ông đi xem chiếc chong chóng lắp ở thôn bên, về nhà ông mô phỏng làm một chiếc như vậy Để cho nó quay cả được khi không có gió, ông đặt trong lồng của cánh quạt một con chuột, khi con chuột động đậy là chong chóng quay liên tục

Tranh Newton's Discovery of the Refraction of Light do PALAGI Pelagio vẽ

( Khám phá của Newton về khúc xạ ánh sáng)