DẠY HỌC MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TRONG MÔN TOÁN THPT BẰNG CON ĐƯỜNG CÓ KHÂU SUY ĐOÁN

Trong quá trình nghiên cứu em thấy một trong những cách dạy học giúp học sinh phát triển tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn đề, khuyến khích học tập tri thức toá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THẢO

DẠY HỌC MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TRONG MÔN TOÁN THPT BẰNG CON ĐƯỜNG

CÓ KHÂU SUY ĐOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ để em có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình thực hiện khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc đối với cô giáo Dương Thị Hà đã định hướng, chọn đề tài và

tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này

Do thời gian và kiến thức có hạn, nên khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và còn có nhiều thiếu sót nhất định Em kính mong nhận được

sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên

cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo Dương Thị Hà

Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như ở mục tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng em và nó không trùng với bất kì tác giả nào khác

Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 3

1.1 Dạy học định lí 3

1.1.1 Thế nào là định lí? 3

1.1.2 Yêu cầu dạy học định lí 5

1.1.3 Các con đường dạy học định lí 5

1.2 Con đường có khâu suy đoán 6

1.2.1 Các định nghĩa, các cách hiểu về con đường này 6

1.2.2 Ưu điểm, nhược điểm và điều kiện sử dụng của con đường có khâu suy đoán 7

1.3 Các bước dạy học định lí bằng con đường có khâu suy đoán 8

1.3.1 Gợi động cơ và phát biểu vấn đề 8

1.3.2 Dự đoán và phát biểu định lí 9

1.3.3 Chứng minh định lí 10

1.3.4 Vận dụng định lí 19

1.3.5 Củng cố định lí 19

1.4 Các định lí trong chương trình toán THPT 24

1.4.1 Một số định lí được thừa nhận 24

1.4.2 Một số định lí được chứng minh 25

CHƯƠNG 2 DẠY HỌC MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TRONG MÔN TOÁN

THPT BẰNG CON ĐƯỜNG CÓ KHÂU SUY ĐOÁN 28

2.1 Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất 28

2.2 Định lí về dấu của tam thức bậc hai 31

2.3 Định lí sin 37

2.4 Định lí số hạng tổng quát của cấp số cộng 41

2.5 Định lí chỉnh hợp “ k  ( 1) (  1)

n A n n n k với 1 k n.” 42

2.6 Định lí “Phép quay là phép dời hình.” 47

2.7 Định lí điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc 50

2.8 Định lí ba đường vuông góc 52

2.9 Định lí Logarit 54

2.10 Định lí về phương trình mặt cầu 59

2.11 Định lí về khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng 62

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

STT VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ

Sự thành công của việc dạy học phụ thuộc rất nhiều vào phương pháp dạy học được giáo viên lựa chọn Cùng một nội dụng nhưng tùy vào phương pháp sử dụng thì kết quả sẽ khác nhau về mức độ lĩnh hội các tri thức, sự phát triển của trí tuệ cùng các khả năng tư duy, về giáo dục đạo đức và sự chuyển biến thái độ hành vi mà học sinh lĩnh hội

Trong quá trình nghiên cứu em thấy một trong những cách dạy học giúp học sinh phát triển tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn

đề, khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn là dạy học định lí bằng con đường có khâu suy đoán

Vì lí do trên em trọn đề tài nghiên cứu của khóa luận là “Dạy học một

số định lí trong môn toán THPT bằng con đường có khâu suy đoán.”

2 Mục đích nghiên cứu

Vận dụng lí luận về phương pháp dạy học định lí bằng con đường có khâu suy đoán để dạy học một số định lí, tính chất trong chương trình toán THPT nhằm phát huy tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh từ đó nâng cao hiệu quả giảng dạy môn toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận về dạy học định lí trong môn toán ở THPT

Hệ thống hóa các định lí trong chương trình môn toán ở THPT

Tổ chức dạy học một số định lí ở môn toán THPT bằng con đường có khâu suy đoán

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Một số định lí trong môn toán ở phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, những danh mục viết tắt, khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Dạy học một số định lí trong môn toán THPT bằng con đường có khâu suy đoán

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Dạy học định lí

1.1.1 Thế nào là định lí?

Trên phương tiện tri thức khoa học, định lí được hiểu là:

- “Một mệnh đề toán học mà chân lí của nó được khẳng định hay phủ định qua chứng minh.” (Từ điển toán học, NXB khoa học và kĩ thuật 1993)

- “Mệnh đề toán học đã được chứng minh.” (Le Petit larousse, NXB Larouss - Bordas 1999)

Khác với tri thức khoa học, trong dạy học toán ở trường phổ thông định

lí được hiểu là một mệnh đề đã được chứng minh là đúng

Nói chung trong chương trình toán ở trường phổ thông, các định lí thường được đưa vào một cách tường minh, nghĩa là xuất hiện rõ ràng dưới một cái nhãn “định lí”

VD2: Các công thức lượng giác như công thức cộng, công thức biến

đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng,

Định lí là một mệnh đề đã được chứng minh dựa trên các tiên đề và quá trình suy luận, là những cái có thể chứng minh dựa vào lí thuyết đã được công nhận (Tiên đề là những điều được công nhận đúng mà không cần chứng

Định lí gồm có hai phần :

+ Giả thiết là điều đã cho

+ Kết luận là điều suy ra

VD3: Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường

thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

Giả thiết: / / c,b/ / ca

Kết luận: / /a b

Định lí được đưa ra dưới hai dạng:

Dạng 1: Những định lí được hình thành thông qua các hoạt động đo đạc, gấp hình, thao tác trực quan và đi đến công nhận định lí mà không cần chứng minh

VD4: Định lí Pytago, định lí về tính chất ba đường trung tuyến của một

tam giác, định lí về đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp,

Dạng 2: Định lí được hình thành cho học sinh trên cơ sở học sinh hoạt động xác định định lí và chứng minh định lí hoàn chỉnh

VD5: Định lí ba đường vuông góc

“Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( ) P và đường

thẳng b nằm trong ( ) P Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là

b vuông góc với hình chiếu ' a của a trên ( ) P ”

Nhưng dù định lí được diễn ra dưới dạng nào thì người giáo viên cần linh hoạt, áp dụng với từng mức độ yêu cầu của chương trình để phù hợp với lứa tuổi học sinh, tránh sự chán nản trong hoạt động học của học sinh (Đặc biệt là những định lí buộc học sinh phải thừa nhận mà không được chứng minh.)

Tóm lại: Mỗi một mệnh đề toán học biểu thị tính chất của đối tượng toán học mà tính chân thực của nó đã được chứng minh là đúng gọi là định lí

1.1.2 Yêu cầu dạy học định lí

- Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng,

từ đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

- Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy được chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực toán học

- Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của chương trình phổ thông

- Thông qua học tập những định lí toán học, học sinh biết nhìn nhận nội dung môn toán dưới góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề đồng thời rèn luyện khả năng này

1.1.3 Các con đường dạy học định lí

Trong việc dạy học định lí Toán học người ta phân biệt hai con đường: con đường có khâu suy đoán và con đường có khâu suy diễn Hai con đường này được minh họa bằng sơ đồ:

Con đường có khâu suy đoán Con đường có khâu suy diễn

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Dự đoán và phát biểu định lí Suy diễn dẫn tới định lí

Chứng minh định lí Phát biểu định lí

Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra

Củng cố định lí

- Con đường có khâu suy đoán gồm năm hoạt động:

+ Gợi động cơ và phát biểu vấn đề: Xuất phát từ nhu cầu thực tế hoặc

- Con đường có khâu suy diễn gồm năm hoạt động:

+ Gợi động cơ và phát biểu vấn đề: Xuất phát từ nhu cầu thực tế hoặc

1.2 Con đường có khâu suy đoán

1.2.1 Các định nghĩa, các cách hiểu về con đường này

Theo phương pháp dạy học của Nguyễn Bá Kim

- Con đường có khâu suy đoán trong dạy học định lí: Xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học, từ đó giáo viên dẫn dắt học sinh dựa vào những phương thức mang tính suy đoán, quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề,… từ đó đi đến một định lí tường minh hay một sự hiểu biết về trực giác về định lí đó tùy theo yêu cầu của chương trình

Theo phương pháp dạy học của Lê Văn Tiến

- Con đường có khâu suy đoán trong dạy học định lí được dựa trên quan điểm cho rằng hoạt động thực nghiệm (quan sát, đo đạc, dự đoán …) và hoạt động nghiên cứu lí thuyết chỉ là thời điểm khác nhau của hoạt động toán học (trong nghiên cứu cũng như trong dạy học toán) Nghiên cứu thực nghiệm

và nghiên cứu lí thuyết có mối quan hệ biện chứng không thể tách rời Vì vậy, phát triển năng lực thực nghiệm cũng có vai trò quan trọng như phát triển năng lực tư duy, khả năng suy luận, trí tưởng tượng,…

Vì vậy mà trong chương trình toán THPT các khả năng thực nghiệm, suy luận, phân tích, tưởng tượng, đánh giá, phải được phát triển đồng thời Trình bày một vấn đề, dự đoán về kết quả, thực nghiệm trên các ví dụ, thiết lập một chứng minh, vận dụng các công cụ lí thuyết, trình bày lời giải, kiểm tra các kết quả đạt được đánh giá tính thích đáng của chúng so với vấn đề đặt

ra chỉ là những thời điểm khác nhau của cùng một hoạt động toán học

1.2.2 Ưu điểm, nhược điểm và điều kiện sử dụng của con đường có khâu suy đoán

 Nhược điểm

- Tốn nhiều thời gian

 Ưu điểm

- Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn

đề Khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn

- Học sinh có ý thức rõ ràng về sự phân biệt về mối liên hệ giữa suy đoán và chứng minh

- Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…

 Điều kiện sử dụng

- Con đường này được sử dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, phát hiện định lí mà học sinh có thể hiểu được và tự mình thực hiện được ở mức độ nhất định

1.3 Các bước dạy học định lí bằng con đường có khâu suy đoán

1.3.1 Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

- Học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học

GV: Như vậy khi biết A là góc vuông, và biết độ dài hai cạnh kề thì ta

có thể tính được cạnh còn lại Nếu, vẫn cho biết độ lớn góc A và độ dài hai cạnh kề của nó, nhưng góc A là một góc bất kì, liệu có tính được độ dài cạnh thứ ba hay không?

- Đưa ra một số tình huống có vấn đề bằng tương tự hóa, khái quát hóa, lật ngược vấn đề, mà cách giải quyết của nó chính là nội dung định lí

VD2: Trong mặt phẳng, đường thẳng có ba dạng phương trình khác

nhau như sau:

+ Phương trình tổng quát: AxBy C 0 với A2 B2 0

Tương tự, trong không gian phương trình đường phẳng cũng có ba dạng sau đây không?

0 0 0

VD1: Quan sát thực nghiệm định lí “ Phép quay là phép dời hình.”

GV: Quan sát chiếc tay lái vô lăng trên tay người lái xe thì ta thấy khi tay lái xe quay tay lái một góc nào đó thì hai điểm ,A B trên tay người lái

cũng quay theo Khi đó vị trí của hai điểm ,A B thay đổi nhưng khoảng cách

giữa hai điểm ,A B có thay đổi không?

HS: Vị trí hai điểm A B thay đổi nhưng khoảng cách giữa hai điểm ,không thay đổi

GV: Đây cũng chính là nội dung định lí “ Phép quay là phép dời hình.”

VD2: Dự đoán bằng tương tự hóa “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song

song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.”

Định lí “Nếu hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ

1.3.3 Chứng minh định lí

- Gợi động cơ chứng minh

Để phát huy tính tự giác, tích cực của học sinh trong học tập, cần làm cho học sinh thấy rõ sự cần thiết phải tiến hành chứng minh

VD1: Định lí “Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng

( )P , có duy nhất một mặt phặng ( ) Q vuông góc với mặp phẳng ( ) P ”

GV: Lấy điểm Oa , dựng đường thẳng b đi qua O và vuông góc với

( )P Để chứng minh có duy nhất một mặt phẳng ( )Q vuông góc với mặt phẳng ( )P thì trước tiên GV cần hướng dẫn HS chứng minh mặt phẳng ( , ) a b

chính là mặt phẳng ( )Q Rồi mới chứng minh có duy nhất một mặt phẳng

( )Q vuông góc với mặp phẳng ( )P

- Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh như phân tích, tổng hợp so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,

VD2: Chứng minh rằng: sin3x3sin cosx 2xsin3x

- Hướng dẫn cho HS những tri thức phương pháp trong chứng minh

+ Thứ nhất: Cần tập luyện cho học sinh những tri thức về các quy tắc kết luận logic thường dùng

Quy tắc đoạn luận: AB A;

Các quy tắc không được dạy một cách tường minh vì vậy chúng ta nên

sin cosa bcosa sinb

sin(ab )

= Tổng hợp

bước đó qua căn cứ suy luận để học sinh nhận biết và hiểu rõ đã dùng các kết luận quy tắc logic như thế nào? Mỗi lần sử dụng định nghĩa định lí là một lần

sử dụng quy tắc kết luận logic

VD3: Đinh lí “Nếu một đường thẳng d và mặt phẳng ( ) P cùng vuông

góc với một đường thẳng  thì đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) P

hoặc nằm trong mặt phẳng ( )P ”

Phép chứng minh thường được trình bày tóm tắt như sau: Nếu d và ( ) P

có một điểm chung D thì ta vẽ thêm một đường thẳng 'd nằm trong ( ) P và đi

qua D Theo định lí đã biết (Q) trùng ( )P Từ đó suy ra d nằm trong ( ) P

Ta phân tích phép chứng minh thành các bước:

Bước 1: Nếu d và (P) không có điểm chung thì theo định nghĩa đường thẳng song song với mặp phẳng, d //( ) P

Bước 2: Nếu d và ( ) P có một điểm chung D thì trong mặt phẳng ( )P có

ít nhất một đường thẳng 'd , không trùng với đường thẳng d , đi qua D Theo

định lí về xác định mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng (Q) đi qua d và ' d

Bước 3: Vì 'd thuộc mặt phẳng ( ) P và mặt phẳng ( )P vuông góc với

 nên theo định nghĩa mặt phẳng vuông góc với đường thẳng, 'd  

Bước 4: Đường thẳng  vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau d ,

'

d nằm trong mặt phẳng (Q) (theo định lí nếu một đường thẳng vuông góc

với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì sẽ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó và theo định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng),   (Q)

Bước 5: Hai mặt phẳng ( )P và (Q) đều đi qua D và đều vuông góc với  (theo định lí qua một điểm cho trước chỉ có một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước), ( )P trùng (Q) Từ đó suy ra d nằm trong ( ) P

VD4: Tính chất “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một

mặt phẳng thì song song với nhau”

Ta chứng minh a( )P , b( )P và a không trùng b Theo quy tắc

tam đoạn luận bắc cầu ta suy ra / /a b

+ Thứ hai: Cần giúp học sinh hình thành những tri thức về phương pháp suy luận, chứng minh như suy ngược (suy ngược tiến, suy ngược lùi), suy xuôi, quy nạp toán học, chứng minh bằng phản chứng và chứng minh loại dần,

Phép suy xuôi là đi từ những đều đã biết, đến mệnh đề cần chứng minh

Trong ba sơ đồ trên A là một định nghĩa, tiên đề hay một mệnh đề đúng nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh

Chú ý: Suy ngược tiến chỉ có tính chất

tìm đoán chứ không phải là một phép chứng

minh như suy xuôi, suy ngược lùi

VD5: Chứng minh rằng: “Nếu trong tứ

* Chứng minh bằng phương pháp suy ngược lùi

Muốn chứng minh ADBC ta chỉ cần tìm một điểm X sao cho

* Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

Cho mệnh đề chứa biến ( )P n với n , để chứng minh ( )P n đúng với

- Thật vậy ta có: 2k> 2k1 1

2k > 4k 2 2k2k2 > 2k3(đpcm)

Kết luận 2n

> 2n1 với n3

* Chứng minh bằng phản chứng

Để chứng minh mệnh đề A đúng (nghĩa là chứng minh A là sai) thì ta

giả sử ngược lại A sai (nghĩa là A đúng) và chỉ ra rằng việc A đúng sẽ dẫn tới mâu thuẫn Như vậy A phải sai, nghĩa là A đúng, ta làm theo các bước:

B1: Giả sử A sai (nghĩa là A đúng)

B2: (Suy diễn trực tiếp) Từ các tiên đề B và A ta đi tới mâu thuẫn

Bước 1: Giả sử ngược lại a b 2 ab sai, nghĩa là ta có a b 2 ab đúng

Bước 2: ,a b0, a b 2 ab (ab <)2 4ab (ab < 0 (vô lí) )2Bước 3: Giả sử a b 2 ab là sai, vậy ta có a b 2 ab (đpcm)

VD8: Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai

“Cho tam thức bậc hai 2

VD9: Chứng minh loại dần định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai 2

Vậy ( )a f  < 0 với x thỏa mãn x < 1  <x (đpcm) 2

Chú ý: Việc sử dụng phương pháp loại dần đòi hỏi phải xem xét thật đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra

+ Thứ ba: Làm cho học sinh thấy rõ ba bộ phận cấu thành (luận đề là một mệnh đề cần chứng minh; luận cứ là những tiên đề, định nghĩa, định lí đã biết; luận chứng là những phép suy luận được sử dụng trong chứng minh) và

ba yêu cầu đảm bảo chứng minh là đúng (luận đề không được đánh tráo; luận

cứ phải đúng; luận chứng phải hợp logic)

VD10: Phân tích chứng minh bất đẳng thức cosi



A C B C

+ Thứ tư: Cần hình thành ở học sinh những tri thức phương pháp về chiến lược giải toán chứng minh (có tính chất tìm đoán) theo con đường tập luyện những hoạt động ăn khớp với tri thức này

VD11: Rèn luyện khả năng chứng minh hình học

Chiến lược cần kết tinh lại ở học sinh như một bộ phận kinh nghiệm mà

họ thu được trong quá trình giải toán, sự kết tinh không nên để diễn ra một

cách tự phát mà cần có những biện pháp thực hiện có mục đích, có ý thức của giáo viên Cần tập luyện dần để học sinh nắm được các kiến thức trong quá trình dạy học chứng minh định lí thông qua các câu hỏi

GV có thể hỏi một cách có dụng ý những chỉ dẫn bằng các câu hỏi: Hãy vẽ một hình theo dự kiện của bài toán Những khả năng nào có thể xảy ra

Giả thiết nói gì? Giả thiết còn có thể biến đổi như thế nào?

Từ giả thiết suy ra được điều gì? Những định lí nào có thể giống hoặc gần giống với giả thiết?

Kết luận nói gì? Điều đó còn có thể phát biểu như thế nào?

Đã có bài toán nào tương tự hay chưa?

Có cần kẻ thêm đường phụ hay không?

- Phân bậc hoạt động chứng minh theo 3 mức độ dựa vào tính độc lập của hoạt động của học sinh

VD12: Phân bậc hoạt động một bài toán quỹ tích dựa vào tính độc lập

của hoạt động của học sinh

Bậc 1: Các điểm có tính chất  thuộc hình nào? (Học sinh giải có sự gợi ý của giáo viên.)

Bậc 2: Các điểm có tính chất  thuộc hình nào? (Học sinh giải độc lập.)

Nhận dạng và thể hiện định lí: Đây là hai hoạt động theo chiều trái ngược nhau có tác dụng củng cố định lí, tạo tiền đề cho việc vận dụng định lí

+ Nhận dạng: Xem xét xem một tình huống cho trước có ăn khớp với định lí đó hay không?

VD1: Nhận dạng định lí “Nếu một

mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông

góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng

đó vuông góc với nhau

Cho hình chóp S ABCD với đường

cao SH , kí hiệu SK là một đường cao

của tam giác SAB

a) Phải chăng mặt phẳng (SAH )

vuông góc với mặt phẳng (ABCD )

b) Phải chăng mặt phẳng (SAK)vuông góc với mặt phẳng (ABCD )+ Thể hiện: Tạo ra một tình huống phù hợp với nội dung định lí đã cho

phẳng ( )P chứa hai đường thẳng a và b

cắt nhau và cùng song song với mp ( )Q

thì (P) / /(Q) ”

Cho hình chóp S ABCD mà đáy

ABCD là một hình thang ( AB/ /CD )

Hãy dựng mặt phẳng chứa đường thẳng

AB và song song với với (SCD )

- Hoạt động ngôn ngữ: Có tác

dụng củng cố định lí, góp phần phát triển ngôn ngữ cho học sinh

+ Phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của mình và biết cách phát biểu, diễn đạt định lí dưới dạng ngôn ngữ khác nhau như: Dạng công thức, dạng mệnh

đề có liên từ “nếu- thì” nhằm phát triển năng lực diễn đạt, cũng như ngôn ngữ toán học cho học sinh

+ Phân tích định lí: Phân tích làm rõ đặc trưng quan trọng, nêu bật ý nghĩa quan trọng chứa đựng trong định lí một cách tường minh hay ẩn tàng, làm rõ giả thiết kết luận, trình bày định lí dưới dạng hình vẽ minh họa

VD3: Định lí cosin

Phát biểu bằng lời định lí cosin: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia, trừ hai lần tích của chúng và cosin của góc xen giữa hai cạnh đó

đề dự đoán mà ta mong muốn học sinh đi nghiên cứu sâu dự đoán

+ Khái quát hóa cho trường hợp 3 số không âm ta có bất đẳng thức được thừa nhận

3

, 0, 0, 03

- Khi dạy định lí cần cho học sinh lưu ý các điều kiện để áp dụng định

lí, tránh những sai lầm xảy ra

11

t cosa

cos a b cosa cosb a b

Công thức biến đổi tổng thành tích:

cosxcosy2cos

2

x y

2

x y cos 

Tính giới hạn của hàm số

0

2 1

2 3lim

x x vi phạm điều kiện M 0 trong định lí

1.4 Các định lí trong chương trình toán THPT

1.4.1 Một số định lí được thừa nhận

- Định lí tịnh tiến một đồ thị (SGK ĐSNC 10 - 42 )

- Định lí về giới hạn hữu hạn (SGK ĐSNC 11- 132)

- Định lí: “Các hàm số lượng giác ysinx,ycos ,x ytan ,x ycotx

liên tục trên tập xác định của chúng.” (SGK ĐSNC 11- 171)

- Tính chất: “Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.” (SGK HHNC 11 - 42)

- Tính chất “Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.” (SGK HHNC 11 - 42)

- Tính chất: “Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.” (SGK HHNC 11 - 43)

- Tính chất: “Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một và chỉ một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.” (SGK HHNC 11 - 43)

- Tính chất: “Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.” (SGK HHNC 11 - 44)

- Định lí tính đơn điệu và dấu của đạo hàm (SGK ĐSCB 12 - 6)

- Định lí điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: “Giả sử hàm số f đạt cực

trị tại điểm x Khi đó, nếu f0 có đạo hàm tại x0 thì f ' x0 0.” (SGK ĐSNC 12 - 11)

- Định lí sự tồn tại của nguyên hàm: “Mọi hàm số ( )f x liên tục trên K

đều có nguyên hàm trên K.” (SGK ĐSCB 12 - 95)

1.4.2 Một số định lí được chứng minh

1.4.2.1.Một số định lí trong chương trình toán THPT lớp 10

- Định lí về đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ (SGK ĐSNC 10 - 41)

- Định lí về một số phép biến đổi tương đương (SGK ĐSNC 10 - 68)

- Định lí đối với hai số không âm (SGK ĐSNC 10 - 106)

- Định lí biến đổi tương đương của các bất phương trình (SGK ĐSNC

10 - 115)

- Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất (SGK ĐSCB 10 - 89)

- Định lí về dấu của tam thức bậc hai (SGK ĐSNC 10 - 139)

- Định lí biểu thị một véc tơ qua hai véc tơ không cùng phương (SGK HHNC 10 - 22)

- Định lí tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng (SGK ĐSNC 11 - 112)

- Định lí số hạng tổng quát của cấp số nhân (SGK ĐSNC 11 - 118)

- Định lí một số dãy số có giới hạn bằng 0 (SGK ĐSNC 11 - 129)

- Định lí tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (SGK ĐSNC 11 - 133)

- Định lí đạo hàm của một số hàm thường gặp (SGK ĐSNC 11 - 190)

- Định lí đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số (SGK ĐSNC 11 - 199)

- Định lí phép tịnh tiến là phép dời hình (SGK HHNC 11 - 6)

- Định lí phép quay (SGK HHNC 11 - 15)

- Định lí hai hình bằng nhau (SGK HHNC 11 - 19)

- Định lí phép vị tự (SGK HHNC 11 - 25)

- Định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng (SGK HHNC 11 - 53)

- Điều kiện để ba véc tơ đồng thẳng (SGK HHNC 11 - 88)

1 Định lí dấu của nhị thưc bậc nhất

2 Định lí dấu của tam thức bậc hai

3 Định lí sin

11 Định lí về khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Ta dạy học các định lí trên bằng con đường có khâu suy đoán gồm các bước như sau:

+ Gợi động cơ và phát biểu vấn đề (nếu có)

+ Dự đoán và phát biểu định lí

+ Chứng minh định lí

+ Củng cố định lí

CHƯƠNG 2 DẠY HỌC MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TRONG MÔN TOÁN

THPT BẰNG CON ĐƯỜNG CÓ KHÂU SUY ĐOÁN

2.1 Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất

“Nhị thức ( )f x axb có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các

giá trị trong khoảng (b

a ;+), trái dấu với hệ số a khi x lấy giá trị trong

khoảng (-;b

a ).”

 Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Bài toán: Cho nhị thức ( ) 2f x  x4 Tính f( 4) , f( 3) , f( 2) , ( 1)

x 2 thì ( )f x trái dấu với hệ số x

GV: Đây chính là nội dung định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và

ta phát biểu nó một cách tổng quát ( )f x axb

 Dự đoán và phát biểu định lí

- HS phát biểu định lí: Nhị thức f x( )axb có giá trị cùng dấu với

hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng (b

a ;+), trái dấu với hệ số a khi

x lấy giá trị trong khoảng (-;b

a )

a trái dấu với hệ số a

- GV yêu cầu HS điền vào bảng xét dấu:

f x ax b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

- GV đưa ra quy tắc xét dấu: “Lớn cùng bé khác” nghĩa là lớn hơn

nghiệm thì cùng dấu với a , bé hơn nghiệm thì khác dấu với a

- GV nêu các minh họa bằng phương pháp khoảng

b a

- GV giải thích bằng đồ thị các kết quả của định lí trên

a0 a0

 Củng cố định lí

VD1: Xét dấu biểu thức ( )f x mx1 với m là một tham số đã cho

- GV: Đối với bài toán có chứa tham số m thì có mấy trường hợp xảy ra?

1( ) 0 ( ; )



x

y