Dạy học bài tập tón học phần quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 THPT theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh

   NGUYỄN THỊ THƯƠNG DẠY HỌC BÀI TẬP TOÁN HỌC PHẦN "QUAN HỆ VUÔNG GÓC" TRONG KHÔNG GIAN LỚP 11 THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Trang 1

  

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

DẠY HỌC BÀI TẬP TOÁN HỌC PHẦN

"QUAN HỆ VUÔNG GÓC" TRONG KHÔNG GIAN

LỚP 11 THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN VĂN HÀ

HÀ NỘI - 2015

Trang 2

SV: Nguyễn Thị Thương K37A – Sư phạm Toán

LỜI CẢM ƠN

Với lòng kính trọng và biết ơn, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy

giáo ThS Nguyễn Văn Hà – người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong

suốt quá trình thực hiện đề tài

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trường Đại học Sư

phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho tôi có cơ hội tập dượt với việc nghiên

cứu

Bản khóa luận này là bước đầu tiên để tôi làm quen với việc nghiên cứu

khoa học Trước sự bỡ ngỡ và gặp khó khăn khi mới làm quen với việc nghiên

cứu khoa học tôi đã nhận được sự giúp đỡ động viên của các thầy cô giáo và

các bạn sinh viên trong khoa Tôi luôn ghi nhớ công lao dạy dỗ chỉ bảo của

các thầy cô giáo trong suốt 4 năm học vừa qua Kính chúc quý thầy cô dồi

dào sức khỏe, tiếp tục đạt được nhiều thắng lợi trong nghiên cứu khoa học và

sự nghiệp trồng người

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình – nơi chắp cánh ước

mơ, luôn tạo điều kiện và khuyến khích tôi học tập đến đích cuối cùng

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thương

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân tôi qua quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó tôi được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy, cô

giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo ThS Nguyễn Văn Hà

Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này tôi có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin cam đoan khóa luận này là do tôi thực hiện, không có sự trùng lặp với đề tài của tác giả khác và những kiến thức trích dẫn trong khóa luận là trung thực

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thương

Trang 4

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt Viết đầy đủ

THPT Trung học phổ thông

PPDH Phương pháp dạy học GD&ĐT Giáo dục và đào tạo CNTT Công nghệ thông tin C.m.r Chứng minh rằng

Trang 5

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

NỘI DUNG 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Tổng quan về phương pháp dạy học (PPDH) 4

1.1.1 Khái niệm về PPDH 4

1.1.2 Một số đặc điểm của PPDH 4

1.1.3 Hệ thống phân loại PPDH 4

1.2 Định hướng đổi mới PPDH trong giáo dục THPT sau năm 2015 5

1.2.1 Một số hạn chế về PPDH trong dạy học hiện nay 5

1.2.2 Những vấn đề cơ bản về đổi mới PPDH ở phổ thông theo định hướng phát triển năng lực 5

1.2.2.1 Khái niệm năng lực 5

1.2.2.2 Đặc điểm của năng lực 6

1.2.2.3 Định hướng chuẩn đầu ra về năng lực của chương trình đổi mới PPDH môn Toán 9

1.2.2.4 Biện pháp sư phạm hình thành năng lực thông qua dạy học bài tập 10

1.3 Lí luận về dạy học giải bài tập toán 11

1.3.1 Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông 11 1.3.2 Vị trí và chức năng của bài tập toán 12

1.3.3 Dạy học phương pháp giải bài toán 13

Trang 6

1.4 Các bước của tiến trình dạy học theo định hướng phát triển năng lực

cho học sinh 15

1.5 Kết luận chương 1 17

CHƯƠNG 2 DẠY HỌC BÀI TẬP TOÁN HỌC PHẦN “QUAN HỆ VUÔNG GÓC” TRONG KHÔNG GIAN LỚP 11 THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH 18

2.1 Nội dung dạy học quan hệ vuông góc trong không gian – Hình học 11 THPT 18

2.2 Cơ sở lý thuyết 22

2.2.1 Các định nghĩa 22

2.2.2 Các định lý thường được sử dụng 24

2.3 Biên soạn bài tập theo yêu cầu của chủ đề 25

Chủ đề 1: " Hai đường thẳng vuông góc" 25

Chủ đề 2: " Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng" 34

Chủ đề 3: " Hai mặt phẳng vuông góc" 45

Chủ đề 4: " Khoảng cách" 55

2.4 Kết luận chương 2 69

KẾT LUẬN 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

Trang 7

SV: Nguyễn Thị Thương ~ 1 ~ K37A – SP Toán

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Công cuộc đổi mới của đất nước đã và đang đặt ra cho ngành Giáo dục

và Đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề đó là đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước Để thực hiện nhiệm vụ này, bên cạnh việc đổi mới mục tiêu, nội dung chương trình và sách giáo khoa ở mọi bậc học, chúng ta đã quan tâm nhiều đến việc đổi mới phương pháp dạy học Từ các vị lãnh đạo Đảng, Nhà nước, lãnh đạo các cấp của ngành Giáo dục và Đào tạo đến các nhà nghiên cứu, các nhà giáo đều khẳng định vai trò quan trọng và sự cần thiết của việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện

của nhà trường Điều này đã được thể chế hóa trong Luật Giáo dục: “Phương

pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”

Nghị quyết Đại hội lần thứ XI của Đảng cũng đã khẳng định “Thực hiện

đồng bộ các giải pháp phát triển và nâng cao chất lượng giáo dục, đào tạo Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, đạo đức, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội”

Để tạo ra những con người lao động mới có năng lực cần có một phương pháp dạy học mới để khơi dậy và phát triển năng lực của người học Chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực (định hướng phát triển năng

lực) nay còn gọi là dạy học định hướng kết quả đầu ra được bàn đến nhiều từ

những năm 90 của thế kỷ 20 và ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc tế Giáo dục định hướng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển

Trang 8

năng lực người học Do đó, một yêu cầu cấp thiết được đặt ra trong hoạt động giáo dục phổ thông là phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó đổi mới phương pháp dạy học Toán là một trong những vấn đề được quan tâm nhiều Thực tiễn còn cho thấy trong quá trình học Toán, rất nhiều học sinh còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về phát triển năng lực: Nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm

đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi, học sinh chưa có tính độc đáo khi tìm lời giải bài toán Từ đó dẫn đến một hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải toán, đặc biệt là các bài toán đòi hỏi phải có sáng tạo trong lời giải như các bài tập hình học không gian Giải bài tập hình học không gian là một vấn đề không đơn giản đối với nhiều học sinh, bài tập phần quan hệ vuông góc là một phần trong số đó Do vậy, việc rèn luyện và phát triển năng lực cho học sinh là một yêu cầu cấp bách

Nhận thức được tầm quan trọng của các vấn đề nêu trên nên tôi chọn đề

tài nghiên cứu của khóa luận này là “Dạy học bài tập toán học phần “Quan

hệ vuông góc” trong không gian lớp 11 THPT theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh”

Trang 9

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích trên, khóa luận có nhiệm vụ làm rõ một số vấn đề sau:

- Làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản về phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông

- Nghiên cứu lí luận về dạy học giải bài tập toán

- Hệ thống các bài tập vận dụng cơ bản và bài tập phát triển chương trình cơ bản trong dạy học các dạng bài tập toán học phần “Quan hệ vuông góc” trong không gian lớp 11 THPT theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, các sách giáo khoa, sách bài tập, các tạp chí, sách, báo, đặc san tham khảo có liên quan tới năng lực toán học, các phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện năng lực toán học cho học sinh phổ thông, các bài tập mang nhiều tính tìm tòi – khám phá

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

+ Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập

+ Tiếp thu và nghiên cứu ý kiến của giảng viên hướng dẫn

+ Bước đầu tìm hiểu tình hình dạy học và rút ra một số nhận xét về việc “Dạy

học bài tập toán học phần “Quan hệ vuông góc” trong không gian lớp 11 THPT theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh”

Trang 10

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tổng quan về phương pháp dạy học (PPDH)

1.1.1 Khái niệm về PPDH

- Phương pháp là con đường, là cách thức để đạt được những mục đích nhất

định

- PPDH là những cách thức hoạt động và ứng xử của GV gây nên những hoạt

động và giao lưu cần thiết của HS trong quá trình dạy học nhằm đạt được

các mục tiêu dạy học

1.1.2 Một số đặc điểm của PPDH

- PPDH có tính khái quát: con đường, cách thức để đạt những mục đích ở đây

được hiểu chính là một tập hợp các hoạt động, các thao tác cần thiết có tính chất chung nhất, khái quát nhất mà mọi người khác nhau cần phải hiểu và hoạt động như thế để đạt mục đích đề ra

- PPDH có chức năng phương tiện tư tưởng: Phương pháp là con đường, là

cách thức để đạt những mục đích nhất định – đó chính là phương tiện tư tưởng để đạt tới mục đích đã định

1.1.3 Hệ thống phân loại PPDH

Hệ thống phân loại các PPDH hiện nay không thống nhất, nó tùy thuộc vào việc người ta có thể xem xét PPDH dưới các phương tiện khác nhau

- Phân loại theo phương pháp truyền tin: PPDH thuyết trình; PPDH giảng

giải minh họa; PPDH gợi mở vấn đáp; PPDH thực hành luyện tập

- Phân loại theo các tình huống dạy học: PPDH định nghĩa khái niệm; PPDH

định lý, tính chất toán học; PPDH bài tập toán học

- Phân loại theo sự phát triển của tư duy: PPDH tích cực; PPDH thụ động

(không tích cực)

Trang 11

1.2 Định hướng đổi mới PPDH trong giáo dục THPT sau năm 2015 1.2.1 Một số hạn chế về PPDH trong dạy học hiện nay

- Truyền thụ kiến thức một chiều từ giáo viên, kết hợp hỏi đáp (câu hỏi

đóng), nặng lý thuyết chuyên môn, thiếu gợi mở và phát huy những trải nghiệm của học sinh liên kết với đời sống xã hội

- Hướng dẫn thực hành chưa tạo cơ hội hoặc có phần còn hạn chế tính sáng

tạo của học sinh

- Thực hiện đổi mới PPDH còn hình thức hoặc chưa triệt để, thiếu đồng bộ

trong các thành tố của quá trình dạy học (mục tiêu, nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức, thiết bị giáo dục, kiểm tra đánh giá)

1.2.2 Những vấn đề cơ bản về đổi mới PPDH ở phổ thông theo định hướng phát triển năng lực

1.2.2.1 Khái niệm năng lực

 Khái niệm "Năng lực" là một vấn đề rộng, với nhiều cách định nghĩa khác nhau:

“Năng lực là sự tích hợp các kỹ năng tác động một cách tự nhiên lên các

nội dung trong một loại tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do những tình huống này đặt ra” (Theo Xavier Roegiers: "Khoa sư phạm tích

hợp – hay làm thế nào để phát triển các năng lực nhà trường", NXBGD 1996) Hoặc như ý kiến của GS.TS Đinh Quang Báo lấy dấu hiệu từ các yếu tố

tạo thành khả năng hành động: “Năng lực là khả năng vận dụng những kiến

thức, kinh nghiệm, kỹ năng, thái độ và hứng thú để hành động một cách phù hợp và có hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống” (Hội thảo:

"Đổi mới chương trình và sách giáo khoa GD phổ thông – nghiệm quốc tế và vận dụng vào Việt Nam" do Bộ GD-ĐT tổ chức 10-12/12/2012 tại Hà Nội) Trong chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực, khái niệm năng lực được sử dụng như sau:

Trang 12

- Năng lực liên quan đến bình diện mục tiêu của dạy học: mục tiêu dạy học được mô tả thông qua các năng lực cần hình thành;

- Trong các môn học, những nội dung và hoạt động cơ bản được liên kết với nhau nhằm hình thành các năng lực;

- Năng lực là sự kết nối tri thức, hiểu biết, khả năng, mong muốn ;

- Mục tiêu hình thành năng lực định hướng cho việc lựa chọn, đánh giá mức

độ quan trọng và cấu trúc hóa các nội dung và hoạt động và hành động dạy học về mặt phương pháp;

- Năng lực mô tả việc giải quyết những đòi hỏi về nội dung trong các tình huống: ví dụ như đọc một văn bản cụ thể Nắm vững và vận dụng được các phép tính cơ bản ;

- Các năng lực chung cùng với các năng lực chuyên môn tạo thành nền tảng chung cho công việc giáo dục và dạy học;

- Mức độ đối với sự phát triển năng lực có thể được xác định trong các chuẩn: Đến một thời điểm nhất định nào đó, học sinh có thể/ phải đạt được những gì?

 Như vậy, có thể thấy dù cách phát biểu có sự khác nhau, nhưng các cách trên đều khẳng định: Khi đề cập đến năng lực là phải nói đến khả năng thực hiện, là phải biết làm (know-how), chứ không chỉ biết và hiểu (know-what)

1.2.2.2 Đặc điểm của năng lực

Năng lực có một số đặc điểm chung, cơ bản là:

- Đề cập tới xu thế đạt được một kết quả nào đó của một công việc cụ thể, do một người cụ thể thực hiện (năng lực học tập, năng lực tư duy, năng lực tự quản lý bản thân,…Như vậy không tồn tại năng lực chung chung

- Có sự tác động của một cá nhân cụ thể tới một đối tượng cụ thể (kiến thức, quan hệ xã hội,…) để có một sản phẩm nhất định, do đó có thể phân biệt người này với người khác

- Năng lực là một yếu tố cấu thành trong một hoạt động cụ thể Năng lực vừa

là mục tiêu, vừa là kết quả hoạt động, nó là điều kiện của hoạt động nhưng cũng phát triển trong chính hoạt động đó Quá trình dạy học, giáo dục nhằm

Trang 13

hình thành, rèn luyện, phát triển năng lực ở cá nhân tất yếu phải đưa cá nhân tham gia vào các hoạt động

Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách linh hoạt, có tổ chức hợp lí các kiến thức, kĩ năng với thái độ, giá trị, động cơ, nhằm đáp ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó đạt kết quả tốt đẹp trong một bối cảnh (tình huống) nhất định Biểu hiện của năng lực là biết sử dụng các nội dung và các kĩ thuật trong một tình huống có ý nghĩa, chứ không tiếp thu lượng tri thức rời rạc

Để hình thành và phát triển năng lực cần xác định các thành phần và cấu trúc của chúng Có nhiều loại năng lực khác nhau Việc mô tả cấu trúc và các thành phần năng lực cũng khác nhau Cấu trúc chung của năng lực hành động được mô tả là sự kết hợp của 4 năng lực thành phần: Năng lực chuyên môn, năng lực phương pháp, năng lực xã hội, năng lực cá thể

(i) Năng lực chuyên môn (Professional competency): Là khả năng thực

hiện các nhiệm vụ chuyên môn cũng như khả năng đánh giá kết quả chuyên môn một cách độc lập, có phương pháp và chính xác về mặt chuyên môn Nó được tiếp nhận qua việc học nội dung – chuyên môn và chủ yếu gắn với khả năng nhận thức và tâm lý vận động

(ii) Năng lực phương pháp (Methodical competency): Là khả năng đối

với những hành động có kế hoạch, định hướng mục đích trong việc giải quyết các nhiệm vụ và vấn đề Năng lực phương pháp bao gồm năng lực phương pháp chung và phương pháp chuyên môn Trung tâm của phương pháp nhận thức là những khả năng tiếp nhận, xử lý, đánh giá, truyền thụ và trình bày tri thức Nó được tiếp nhận qua việc học phương pháp luận – giải quyết vấn đề

(iii) Năng lực xã hội (Social competency): Là khả năng đạt được mục

đích trong những tình huống giao tiếp ứng xử xã hội cũng như trong những nhiệm vụ khác nhau trong sự phối hợp chặt chẽ với những thành viên khác

Nó được tiếp nhận qua việc học giao tiếp

Trang 14

(iv) Năng lực cá thể (Induvidual competency): Là khả năng xác định, đánh

giá được những cơ hội phát triển cũng như những giới hạn của cá nhân, phát triển năng khiếu, xây dựng và thực hiện kế hoạch phát triển cá nhân, những quan điểm, chuẩn giá trị đạo đức và động cơ chi phối các thái độ và hành vi ứng xử

Nó được tiếp nhận qua việc học cảm xúc – đạo đức và liên quan đến tư duy và hành động tự chịu trách nhiệm

Mô hình bốn thành phần năng lực trên phù hợp với bốn trụ cốt giáo dục theo UNESCO:

Từ cấu trúc của khái niệm năng lực cho thấy giáo dục định hướng phát triển năng lực không chỉ nhằm mục tiêu phát triển năng lực chuyên môn bao gồm tri thức, kỹ năng chuyên môn mà còn phát triển năng lực phương pháp, năng lực xã hội và năng lực cá thể Những năng lực này không tách rời nhau

mà có mối quan hệ chặt chẽ Năng lực hành động được hình thành trên cơ sở

có sự kết hợp các năng lực này

Mô hình cấu trúc năng lực trên có thể cụ thể hoá trong từng lĩnh vực chuyên môn, nghề nghiệp khác nhau Mặt khác, trong mỗi lĩnh vực nghề nghiệp người ta cũng mô tả các loại năng lực khác nhau Ví dụ năng lực của

GV bao gồm những nhóm cơ bản sau: Năng lực dạy học, năng lực giáo dục,

năng lực chẩn đoán và tư vấn, năng lực phát triển nghề nghiệp và phát triển trường học

Các trụ cột giáo dục của UNESO

Học để biết

Học để cùng chung sống Học để làm

Trang 15

1.2.2.3 Định hướng chuẩn đầu ra về năng lực của chương trình đổi mới PPDH môn Toán

Trong giáo dục theo định hướng năng lực HS, quan trọng là xác định rõ những năng lực cần có và có thể có phát triển trong dạy học mỗi môn học/cấp học; trong đó gồm "năng lực chung" và "năng lực riêng"

* Các năng lực chung: được phát triển từ các môn học khác nhau của chương

trình Giáo dục như:

(1) - Năng lực tự học; (2) - Năng lực tự giải quyết vấn đề; (3) - Năng lực sáng tạo; (4) - Năng lực tự quản lý;

(5) - Năng lực giao tiếp; (6) - Năng lực tự hợp tác;

(7) - Năng lực sử dụng CNTT và truyền thông;

(8) - Năng lực sử dụng ngôn ngữ; (9) - Năng lực tính toán

* Các năng lực riêng của môn Toán:

Theo Đinh Quang Báo (2013), có nhiều cách liệt kê năng lực do xuất phát từ những góc độ khác nhau Ở đây sẽ trình bày một số năng lực chủ yếu cần được hình thành và phát triển cho học sinh khi học toán trong mối quan

hệ chặt chẽ với những năng lực chung đã được nêu ở trên và phản ánh đặc thù của môn Toán

- Năng lực tư duy với các thao tác chủ yếu như: phân tích và tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa , bước đầu chú ý đến năng lực tư duy lôgic trong suy luận tiền chứng minh, lập luận; năng lực tìm tòi, dự đoán; tư duy phê phán, sáng tạo kể cả trực giác toán học, tưởng tượng không gian

- Năng lực giải quyết vấn đề Đây là một trong những năng lực mà môn Toán

có nhiều thuận lợi để phát triển cho người học qua việc tiếp nhận khái niệm, quy tắc toán học và đặc biệt là qua giải toán

- Năng lực mô hình hóa toán học tình huống thực tiễn giả định hoặc tình huống thực trong cuộc sống Đây là năng lực cần phải được quan tâm nhiều hơn nữa đối với các trường tiểu học

Trang 16

- Năng lực giao tiếp (qua nói hoặc viết) liên quan tới việc sử dụng ngôn ngữ toán học (chữ, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết lôgic ) kết hợp với ngôn ngữ thông thường Năng lực này được thể hiện qua việc hiểu các văn bản toán học, đặt câu hỏi, trả lời câu hỏi, lập luận khi giải toán

- Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học toán (bao gồm các phương tiện thông thường và bước đầu làm quen với sử dụng công nghệ thông tin)

- Năng lực học tập độc lập với phương pháp phù hợp, đồng thời hợp tác được với người khác một cách hiệu quả trong quá trình học tập toán

1.2.2.4 Biện pháp sư phạm hình thành năng lực thông qua dạy học bài tập

Thay đổi vai trò của GV và HS trong quá trình dạy học:

- GV: người tổ chức, hướng dẫn HS (cá nhân, cặp đôi, nhóm, cả lớp) học tập

thông qua hoạt động, nhằm rèn luyện và phát triển nhận thức, kỹ năng ứng dụng trong học tập và thực tế đời sống

+ Tạo môi trường hỗ trợ học tập (gắn với bối cảnh thực)

+ Cung cấp đầy đủ cơ hội để học sinh tìm tòi, khám phá, sáng tạo

+ Đa dạng các hình thức tổ chức dạy học phù hợp với đặc trưng môn học, bài học

+ Phối hợp linh hoạt các PPDH tích cực, thực hiện đổi mới đồng bộ các thành tố của quá trình dạy học trong giảng dạy trên lớp Ứng dụng hợp lý, có hiệu quả CNTT trong dạy học

+ Lựa chọn một số PPDH truyền thống có yếu tố phát huy tính tích cực học tập của HS (thực hành, vấn đáp có tính chất mở…)

+ Chú trọng hướng HS phát hiện và giải quyết vấn đề trong học tập bám sát thực tiễn

- HS: Là chủ thể trong quá trình học tập với ý thức chủ động, tích cực và sáng

tạo

+ Khuyến khích hoạt động giao tiếp, phản ánh tư tưởng và hành động

Trang 17

1.3 Lý luận về dạy học giải bài tập toán

1.3.1 Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông

G.POLYA cho rằng "Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều phải dạy cho họ đến một mức độ nào

đó để nắm vững môn học Vậy thế nào là muốn nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán"

a Mục đích: Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là:

Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu kiến thức của bản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động cũng như trong học tập hiện nay và sau này

Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác

b Vai trò: Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và công cụ

để học sinh học tốt các môn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Các-Mác nói "Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó

có thể sử dụng được phương pháp của toán học"

Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa…Rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo…

Trang 18

c Ý nghĩa: Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng

cố, hệ thống hóa kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học

Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con người học sinh về nhiều mặt

Việc giải một bài toán cụ thể không những nhằm một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như đã nêu ở trên

1.3.2 Vị trí và chức năng của bài tập toán

a Vị trí: "Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với

học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển

tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học

có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán"

b Các chức năng của bài tập toán

Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Các chức năng đó là:

- Chức năng dạy học

- Chức năng giáo dục

- Chức năng phát triển

- Chức năng kiểm tra

Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:

Trang 19

- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học

- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của học sinh

Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình

1.3.3 Dạy học phương pháp giải bài toán

Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất

cả các bài toán Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán Để tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán

Trang 20

Theo G.POLYA, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường tiến hành theo 4 bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng thú với việc giải bài toán đó Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng quát Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho:

- Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện

- Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần)

- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các điều kiện đó dưới dạng công thức toán học được không?

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Phải phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn Phải huy động những kiến thức đã học (định nghĩa, định lí, quy tắc…) có liên quan đến những điều kiện, những quan hệ trong đề toán rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả những dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm, dự đoán kết quả Xét vài khả năng có thể xảy ra, kể cả trường hợp đặc biệt Sau

đó, xét một bài toán tương tự hoặc khái quát hóa bài toán đã cho

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta dùng các phép suy luận hợp lôgic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh

đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán

Trong bước thực hiện chương trình giải của bài toán cần chú ý phân biệt

sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được – chính là điều chứng minh được

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải

- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải

Trang 21

- Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một loại bài toán nào đó

- Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán

- Nghiên cứu các bài toán có liên quan

1.4 Các bước của tiến trình dạy học theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh

Căn cứ vào các cơ sở trên, ta có thể làm rõ tiến trình dạy học theo định hướng phát triển năng lực theo 5 bước cụ thể sau đây:

Bước 1: Tình huống xuất phát và câu hỏi nêu vấn đề

Tình huống xuất phát hay tình huống nêu vấn đề là một tình huống do giáo viên chủ động đưa ra như là một cách dẫn nhập vào bài học Tình huống xuất phát phải ngắn gọn, gần gũi dễ hiểu đối với học sinh Tình huống xuất phát nhằm lồng ghép câu hỏi nêu vấn đề Tình huống xuất phát càng rõ ràng thì việc dẫn nhập cho câu hỏi nêu vấn đề càng dễ Tuy nhiên có những trường hợp không nhất thiết phải có tình huống xuất phát mới đề xuất được câu hỏi nêu vấn đề (tùy vào từng kiến thức và từng trường hợp cụ thể)

Câu hỏi nêu vấn đề là câu hỏi lớn của bài học (hay môđun kiến thức mà học sinh sẽ được học) Câu hỏi nêu vấn đề cần đảm bảo yêu cầu phù hợp với trình độ, gây mâu thuẫn nhận thức và kích thích tính tò mò, thích tìm tòi, nghiên cứu của học sinh nhằm chuẩn bị tâm thế cho học sinh trước khi khám phá, lĩnh hội kiến thức Giáo viên phải dùng câu hỏi mở, tuyệt đối không được dùng câu hỏi đóng (trả lời có hoặc không) đối với câu hỏi nêu vấn đề Câu hỏi nêu vấn đề càng đảm bảo các yêu cầu nêu ra ở trên thì ý đồ dạy học của giáo viên càng dễ thực hiện thành công

Bước 2: Giúp học sinh bộc lộ ý tưởng ban đầu

Hình thành ý tưởng ban đầu của học sinh là bước quan trọng của quá trình dạy học theo hướng phát triển năng lực Bước này khuyến khích học

Trang 22

sinh nêu những suy nghĩ, nhận thức ban đầu của mình trước khi được học kiến thức Để hình thành ý tưởng ban đầu, giáo viên có thể yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cũ đã học có liên quan đến kiến thức mới của bài học Khi yêu cầu học sinh trình bày ý tưởng ban đầu, giáo viên có thể yêu cầu nhiều hình thức biểu hiện của học sinh, có thể là bằng lời nói (thông qua phát biểu

cá nhân), bằng cách viết hay vẽ để biểu hiện suy nghĩ

Bước 3: Đề xuất phương án thực hành/ giải quyết vấn đề

Từ những khác biệt và phong phú về ý tưởng ban đầu của học sinh, giáo viên giúp học sinh đề xuất các câu hỏi từ những sự khác biệt đó Chú ý xoáy sâu vào những sự khác biệt liên quan đến kiến thức trọng tâm của bài học (hay môđun kiến thức)

Ở bước này giáo viên cần khéo léo chọn lựa một số ý tưởng ban đầu khác biệt trong lớp để giúp học sinh so sánh, từ đó giúp học sinh đặt câu hỏi liên quan đến nội dung bài học Đây là một bước khá khó khăn vì giáo viên cần phải chọn lựa các ý tưởng ban đầu tiêu biểu của học sinh một cách nhanh chóng theo mục đích dạy học, đồng thời linh hoạt điều khiển thảo luận của học sinh nhằm giúp học sinh đề xuất các câu hỏi từ những sự khác biệt đó theo ý đồ dạy học

Bước 4: Tiến hành thực hành tìm tòi – khám phá

Từ các phương án thực hành/ giải quyết vấn đề mà học sinh nêu ra, giáo viên khéo léo nhận xét và gợi ý để học sinh lựa chọn phương án tiến hành Ưu tiên thực hiện các phương án thực hành trực tiếp trên vật thật Một số trường hợp không thể tiến hành trên vật thật có thể sử dụng mô hình, hoặc cho học sinh quan sát tranh vẽ

Khi học sinh thực hành, giáo viên bao quát lớp, quan sát từng học sinh/ nhóm Nếu thấy học sinh hoặc nhóm nào làm sai theo yêu cầu thì giáo viên chỉ nhắc nhỏ riêng học sinh hoặc nhóm đó, không nên thông báo lớn tiếng chung cho cả lớp vì làm như vậy sẽ phân tán tư tưởng và ảnh hưởng đến công

Trang 23

việc của các học sinh/ nhóm khác

Bước 5: Kết luận, hợp thức hóa kiến thức

Sau khi thực hiện hoạt động thực hành tìm tòi – khám phá, các câu trả lời dần dần được giải quyết, kiến thức được hình thành, tuy nhiên vẫn chưa có hệ thống hoặc chưa chuẩn xác một cách khoa học Giáo viên có nhiệm vụ tóm tắt, kết luận và hệ thống lại để học sinh ghi vào vở coi như là kiến thức của bài học

Trước khi kết luận chung, giáo viên nên yêu cầu một vài ý kiến của học sinh cho kết luận sau khi thực hiện thí nghiệm (rút ra kiến thức của bài học) Nếu có điều kiện, giáo viên có thể in sẵn tờ rời tóm tắt kiến thức của bài học để phát cho học sinh dán vào vở thí nghiệm hoặc tập hợp thành một tập riêng để tránh mất thời gian ghi chép

• Đối với bài tập HHKG, từ một bài toán đã cho khai thác, đề xuất các bài toán mới liên quan để HS tiếp tục trải nghiệm, chú trọng hướng HS phát hiện và giải quyết vấn đề trong giải toán, tìm tòi – khám phá, lĩnh hội tri thức

Đó là cơ sở trình bày PPDH bài tập toán học phần “Quan hệ vuông góc” trong không gian lớp 11 THPT theo định hướng phát triển năng lực cho HS

Trang 24

CHƯƠNG 2

DẠY HỌC BÀI TẬP TOÁN HỌC PHẦN “QUAN HỆ VUÔNG GÓC” TRONG KHÔNG GIAN LỚP 11 THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH

2.1 Nội dung dạy học quan hệ vuông góc trong không gian – Hình học 11

THPT

Các mức độ về kiến thức, kĩ năng được thể hiện cụ thể trong “Chuẩn kiến thức, kĩ năng” của Chương trình giáo dục và phát triển

 Về kiến thức : Yêu cầu HS phải hiểu rõ và nắm vững các kiến thức cơ bản

trong chương trình, sách giáo khoa để từ đó có thể phát triển năng lực nhận thức ở cấp cao hơn

 Về kĩ năng : Yêu cầu HS phải biết vận dụng các kiến thức đã học để trả lời

câu hỏi, giải bài tập, làm thực hành; có kĩ năng tính toán, vẽ hình, dựng biểu đồ,

 Kiến thức, kĩ năng: phải dựa trên cơ sở phát triển năng lực, trí tuệ HS ở

các mức độ, từ đơn giản đến phức tạp, bao hàm các mức độ khác nhau của nhận thức

 Mức độ cần đạt được về kiến thức được xác định theo 4 cấp độ nhận thức

của GS Boleslaw Niemierko: nhận biết, thông hiểu, vận dụng ở cấp độ thấp, vận dụng ở cấp độ cao

Trang 25

nhận ra chúng khi được yêu cầu

Thông hiểu

Học sinh hiểu các khái niệm cơ bản và có thể vận dụng

chúng, khi chúng được thể hiện theo cách tương tự như cách giáo viên đã giảng hoặc như các ví dụ tiêu biểu về chúng trên lớp học

Vận dụng

(ở cấp độ thấp)

Học sinh có thể hiểu được khái niệm ở một cấp độ cao

hơn “thông hiểu”, tạo ra được sự liên kết logic giữa các

khái niệm cơ bản và có thể vận dụng chúng để tổ chức

lại các thông tin đã được trình bày giống với bài giảng

của giáo viên hoặc trong sách giáo khoa

Vận dụng

(ở cấp độ cao)

Học sinh có thể sử dụng các kiến thức về môn học - chủ

đề để giải quyết các vấn đề mới, không giống với những

điều đã được học, hoặc trình bày trong sách giáo khoa,

nhưng ở mức độ phù hợp nhiệm vụ, với kỹ năng và kiến thức được giảng dạy phù hợp với mức độ nhận thức này

Đây là những vấn đề, nhiệm vụ giống với các tình huống

mà Học sinh sẽ gặp phải ngoài xã hội

* Yêu cầu dạy học quan hệ vuông góc trong không gian

Theo quyết định số 16/2006/QĐ – BGDĐT ngày 05/05/2006 của bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo, khi dạy học nội dung Quan hệ vuông góc trong không gian cần phải đảm bảo các yêu cầu sau:

Trang 26

 Góc giữa hai đường thẳng

 Hai đường thẳng vuông góc

Về kiến thức: Biết được

- Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

- Khái niệm và điều kiện để hai đường thẳng vuông góc với nhau

Về kĩ năng:

- Xác định được vectơ chỉ phương của

đường thẳng;

- Xác định góc giữa hai đường thẳng

- Biết chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

- Định nghĩa và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Khái niệm về phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc

- Khái niệm mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng

Về kĩ năng:

- Biết cách chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, một đường

Trang 27

thẳng vuông góc với một đường thẳng

- Xác định được hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng, một tam giác

- Bước đầu vận dụng được định lí ba đường vuông góc

- Xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Biết xét mối liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

- Khái niệm góc giữa hai mặt phẳng

- Khái niệm và điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

- Tính chất hình lăng trụ đứng, hình lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

- Khái niệm hình chóp đều và hình chóp cụt đều

Về kĩ năng:

- Xác định được góc giữa hai mặt phẳng

- Biết chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

- Vận dụng được tính chất của hình lăng trụ đứng, hình hộp, hình chóp đều, hình chóp

Trang 28

cụt đều để giải một số bài tập

mặt phẳng song song, giữa

hai mặt phẳng song song

Về kiến thức, kĩ năng: Biết và xác định được

- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

- Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+) Định nghĩa 2: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu

nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó, kí hiệu

a     ( ) b ( ) : ab

Trang 29

+) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc

( )      ( ) (( ),( )) 90

+) Định nghĩa 4: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường

thẳng a' và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a

+) Định nghĩa 6: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần

lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến

đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ).

+) Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song

song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α)

+) Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách

từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

+) Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài

đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Trang 30

Trang 31

2.3 Biên soạn bài tập theo yêu cầu của chủ đề

CHỦ ĐỀ 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

 DẠNG 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng

Giả sử cần xác định góc của hai đường thẳng chéo nhau a và b ta thực hiện như sau:

 DẠNG 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, ta có các cách sau:

Trang 32

A – Bài tập vận dụng cơ bản

Bài 1 (Bài 1 – Hình học 11 Cơ bản, trang 97)

Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) AB và EG ; b) AF và EG ; c) AB và DH

Hướng dẫn:

a) Ta có EGAC nên

0(AB,EG)(AB,AC)BAC45

b) Dễ thấy FAC đều, EGAC nên

0(AF,EG)(AF,AC)FAC60

D

C

B

Trang 33

Hướng dẫn:

Gọi N là trung điểm của AC Ta có MN // AB

(AB,DM) (MN,DM) DMN

Vì DM = DN nên DMNcân tại D

Gọi H là trung điểm của MN

Trang 34

cos(SC, AB)

   Do đó (SC,AB) 120 0

Ta suy ra góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 1800 1200 60 0

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và có ASB BSC CSA  Chứng minh rằng: SABC, SBAC, SCAB

Trang 35

có N là trung điểm của CD

Do đó MNCD

Ta lại có RP // CD nên MNRP.

Tương tự MN RQ.

b) Tương tự như câu trên ta cũng có QPAD

Trong tam giác vuông QDP ta có:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'

a) Hãy tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây: AB' và BC', AC' và CD'

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C'D' Hãy tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây: MN và C'D', BD và AD', MN

và AP, A'P và DN

Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC' có chung cạnh AB

và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC', C'A Chứng minh rằng:

Trang 36

Bài 9 ( Bài 8 – Hình học 11 Cơ bản, trang 98)

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BACBAD600 Chứng minh rằng:

a) ABCD;

b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MNAB và

MNCD

B – Bài tập phát triển chương trình cơ bản

Bài 10 (Bài 10 – Hình học 11 Nâng cao, trang 96)

Trong không gian cho một hình tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu

Trang 37

D B'

Trang 38

Bài 12 (Bài 35 – Hình học 11 Nâng cao, trang 118 )

Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đường vuông góc chung của AB và CD là đường thẳng nối trung điểm của chúng Điều ngược lại có đúng không?

Hướng dẫn:

Gọi N, M lần lượt là trung điểm của AB, CD

Giáo viên đưa ra các câu hỏi theo sơ đồ phân tích đi lên như sau:

C.m.r ACD  BCDvà CAB  DAB

Ta thấy điều này dễ dàng suy ra được từ giả thiết

- Lời giải

+ Dễ thấy ACD  BCD(c.c.c) Suy ra AM = BM

Do đó ta có ΔMABcân tại M Vậy trung tuyến MN AB

+ Tương tự trung tuyến NM CD

Vậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD

-Bài toán ngược:

Cho tứ diện ABCD, gọi N, M lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng nếu MN là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD,

Định dạng
Số trang	77
Dung lượng	1,28 MB