Lời cảm ơnTrước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầv cô giáo trong khoa Toán, các tliầv cô trong tổ hình học đã tận tì
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
Nguyễn Thị An
HOÀN THIỆN HỆ THỐNG BÀI TẬP
HÌNH HỌC XẠ ẢNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Toán học
PHẠM THANH TÂM
Hà Nội - 2015
Trang 2Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầv cô giáo trong khoa Toán, các tliầv cô trong tổ hình học đã tận tình giảng dạy, dìu dắt và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại khoa
Dặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc Iiliất tới thầy giáo Pỉiạm Thanh Tâm, người đã
tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp những V kiến quý báu giúp tôi thực hiện khoá luận nàv
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cỏ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hục tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp
Do bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân còn hạn chế nên klioá luận không tránh khỏi Iiliững thiếu sót Tôi rất mong nhận được Iiliững đóng góp,
bổ sung quý báu từ các thầy cô và các bạn để tôi có thể hoàn thành khoá luận này
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015 S i n h v i ê n
Nguyễn Thị An
Trang 3Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan khoá luận này là kết quả của quá trình hục tập và nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ của các thầy cỗ, các bạn sinh viên khoa Toán trường DHSP
Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Phạm Thanh Tâm Trong quá trình làm
klioá luận tôi có tham khảo Iiliững tài liệu có liên quan đã được liệ thống trong mục tài
liệu tham khảo Khoá luận "Hoàn thiện hệ thống bài tập hình học xạ ảnh" không có sự trùng lặp
với các khoá luận khác
Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015 S i n h v i ê n
Nguvễn Thị An
Mục lục
Trang 4Lời mở đàu iv
1 Không gian xạ
1
1.1 Không gian xạ ảnh 3
1.2 Các mô hình của không gian xạ ảnh 5
1.3 Mục tiêu xạ ảnh và Toạ độ xạ ảnh 7
1.4 Phương trình pliẳng trong không gian xạ ảĩili 1Ü 1.5 Tỷ số kép của hàng điểm và chìim bốn siêu phang 14
1.6 Nguyên tắc đối ngẫu 19
1.7 Mô hình xạ ảnh của không gian afin 20
1.8 Một số bài tập đề nghị 25
2 Ánh xạ xạ ảnh và biến đồi xạ ảnh 27 2.1 Ánh xạ xạ ảnh 28
2.2 Các phép thấu xạ trong pn 31
2.3 Các định lý cơ bản của phép biến đói xạ ảnh 36
2.4 Một số bài tập đề nghị 3G 3 Siêu mặt bậc hai trong pn 38 3.1 Siêu mặt bậc liai xạ ảnh 40
3.2 Điổm liên hựp Phẳng tiếp xúc Siêu diện lớp hai 42
3.3 Ánh xạ xạ ảnh giữa đường và chùm trong p2 46
3.4 Định lý Pascal và định lý Briangsong 49
3.5 Biến đổi xạ ảnh đối hợp của đường thẳng Định lý Đưdac thứ hai 55
3 G Mô hình xạ ảnh của không gian ơclit 57
3.7 Một số bài tập đề Iigliị 61
Lời mở đầu
1 Lý do chọn đề tài
Toán học có vai trò quan trọng đời sống tliực tiễn cũng Iiliư trong nghiên cứu khoa học Toán học là cơ sở, là nền tảng để nghiên cứu các môn khoa học khác Trong
đó, hình học là một bộ phận tương đối khó của toán học
Trang 5Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu sắc hơn nữa
về hình học xạ ảnh thông qua các bài tập, tôi đã chọn đề tài "Hoàn thiện hệ thống bài tập hình học xạ ảnh" làm klioá luận tốt nghiệp
2 Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về hình học xạ ảnh trong chương trình đại học, cao đẳng sư phạm Hoàn thiện hộ thống lời giải các bài tập hình học xạ ảnh theo nội dung chương trình được liọc
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các bài tập hình học xạ ảnh theo nội dung chương trình hình học xạ ảnh
Các tài liệu tham khảo liên quan đốn hình hục xạ ảnh
4 Nhiệm vụ nghiên cứu
Phân loại các dạng bài tập theo nội đung và hoàn thiện hệ thống bài tập đó
5 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Phương pháp tổng kốt kinh nghiệm
Trang 6Chương 1
Không gian xạ ảnh
Trong chương này chúng t.a cần chú ý tới một số khái niệm cd bản sau:
1.1 Không gian xạ ảnh
Cho một tập hợp p, một K-không gian vectơ n+1 chiều v n+l , và một song ánh
p : [l/n+1] —* p Khi đó, bộ ba (P,p,vn+1) được gọi là khônggian xạ ảnli
trường K, liên kết với K-không gian vectơ vn+l
bởi song ánh p
1.2 m-phẳng
Cho không gian xạ ảnh {P n , p, vn+1) Gọi w là không gian vectơ con m+1 chiều của v n+l
(m>0) Khi đó tập hợp p([w]) được gụi là cái phẳng m chiều (hoặc m-phẳng) của p n
1.3 Phương trình tổng quát của m-phẳng
Một m-phẳng a (m > 1) có thể xem là giao của n-m siêu pliẳng độc lập Do đó phương
trình của m-phẳng Q có dạng
[ ^rO^O “1“ • • • “1“ u rn x n0
với rank(ưij) = n - m.
1.4 Mục tiêu xạ ảnh
Trong pu = (P, p , v n+l ) một bộ 11+2 điểm (Si), , E) sẽ được gọi là một mục tiêu xạ ảnh nếu mọi n+1 điểm trong bộ đó đều độclập Các điểm s0, , S n gọi là các đỉnh, điểm E gọi là điểm đơn vị
Bộ n + 2 điểm (S0, S n ; E) là một mục tiêu khi và chỉ khi có thể tìm được
các vectơ ~e\), ~e n , ~e lần lượt đại diện clio các điểm (So, S n \ E sao clio ~e = ~ề ữ + +
~ề n Bộ vect.d {~ề0, , ~ền) là một cd sở của vn+1, ta gọi
cơ sở nàv
là cơ sở đại diệncho mục tiêu (S0, , S n \ E )
1.5 Tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng
Trong K - không gian xạ ảnh pn liên kết với v n+ì cho bốn điểm thẳng liàng A, B,
c, D trong đó ba điêm A, B, c đôi một không trùng nhau Ta gọi a , b , C , cl là các vectơ lần
lượt đại diện cho các điểm A, B, c, D thì các veetơ đó thuộc một không
„ ^ ^ ,
Trang 7C H Ư Ơ N G 1 K H Ô N G G I A N X Ạ
Ả N H
2
gian vectơ 2 chiên, trong đó a và b độc lập tuyên tính Ta suy ra các sô Ả,-1, I] và Ả;2, l2
sao cho:
c = ỈCị ữ l\ b d = A '2 o ỉ 2 b
Khi đó, nếu tỉ số — : — có nghĩa tức là /27^0, thì nó được gọi là t.ỉ số kép của 4 l2 lị
điểm thẳng hàng A, B, c, D và ký hiệu là [A, B, c, D]
, k 2 '
Nêu Ỉ2 = 0 thì phân sô —- không có nghĩa, khi đó ta xcm tỷ sô kép cua 4 đi cm A,
h
B, c, D là oc
1.6 Chùm siêu phang
Trong không gian xạ ảnh p?l, tập hợp các siêu phẳng cùng đi qua một (n-2)-phẳng được gọi là chùm sicui phẳng với giá là (n-2)-phẳng đó
Clio bốn siêu pliẳng u, V, w, z tliuộc một chùm, trong đó Ư, V, w đôi một phân biệt Nếu d là đường thẳng cắt bốn siêu phẳng đó lần lượt tại các điểm A, B, c, D (không cắt giá của chùm) thì tỉ số kép của bốn điổm đó không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d
Tỉ số kép nói trên được gọi là tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng, ký hiệu
[U, V, w, z\.
1.7 Đối ngẫu
Trong pn hai cặp khái niệm sau gọi là đối Iigẫu nguyên tliuỷ;
( m-phẳng ; (n-m-l)-phẵng) (k-phẳng thuộc vào m-phẳng; (m-k-l)-phẳng chứa (n-m-l)-phẵng)
(Tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng; tỷ số kép của bốn siêu phẳng thuộc một chùm) Giả sử y là một mệnh đề nói về những cái phẳng của pn và quan hộ liên thuộc giữa
chúng Nếu thay trong 7 mỗi từ m-phẳng bằng từ (n-m-l)-phẳng, từ ’thuộc vào’ bằng từ
’cliứa’, từ ’chứa’ bằng từ ’thuộc vào’, CÒI1 các từ khác để nguvên till y trở tliànli T k gọi là
mệnh đề đối ngẫu của
Nếu y là định nghĩa của một khái niệm N thì 'ĩ >k là định nghĩa của một khái niệm N* nào
đó Khái niệm N* được gụi là khái niệm đối ngẫu của N
Nguyên tắc đối ngẫu: Nếu 7 là một định lý thì y k là một định lý
BÀI TẬP
B à i t ậ p 1 1 1 Chứng minh rằng trong không gian xạ ảnh p 2
1 Qua hai điêm phân biệt có một và chỉ một đường tỉiẳng.
2 Hai đường thẳng phân biệt có duy nhất một điểm chunq.
Trang 8C H Ư Ơ N G 1 K H Ô N G G I A N X Ạ
Ả N H
3
Giải
1 Giả sử A, B là hai điôm phân biệt của p , đại diện bởi hai vectơ a , b thì a , b
độc lập t.\iyên tính Do đó có duy nliât một không gian vectơ 2-chiêu < b >
° 2
chứa a , b Suy ra có duy nhât một đường thăng của p chứa A, B.
2 Giả sử a, (3 là hai đường thẳng phân biệt của p2
Nếu tt n 8 = 0, thì
dim a + dim p = dim(ci + 3) - 1 hay 1 + 1 = 2 - 1, vô lý!
Vậv a n /3 Ỷ 0 dim tt + dim = dim (tt + Ị3) + dim(a n 8).
Suy ra dim(ci n p) = 0, tức là a n p tại một điểm.
B à i t ậ p 1 1 2 Chứng minh rằng trung không gian xạ ảnh p 3
a Cố những cặp đường t,hẳng không có điểm chung (ta gọi chúng là chéo nhau).
b Một đường tìiẳng và một mặt phang luôn có điếm chung.
Giải a) Giả sử tt, 0là hai đường thẳng phân biệt của P Ầ Ta có:
N ế u a n / ? = 0 t h ì : dima + dim/3 = dim < a
+ Ị5 > — 1
= > đima + dimị3 = 2 dim < a + > = 3
Khi đó O: và Ị3 không cùng thuộc một mặt phẳng hay là hai đường thẳng chéo nhau
Vậy trong p3 có những cặp thường thẳng không có điểm chung
b) Cho đường thẳng a và mặt pliẳng a trong p3
+ ) Nếu « n a = 0 thì
dirna + dirria = dim, < a + u > — 1 2 + 1 = 3 - 1 , v ô l ý
Vậy ữ n fl ^ 0,
khi đó
dir na + dừ nu = dim, < a + u > +dim(a n u).
N ế n f t ' n a = o t h ì dima + dima = dim < a + o > +dim.(a n a).
=>2 + 1 = 3 + 0, hiôn đííng
N ế n n G O : t h ì dima + dima = dim < a + a > +dim,(a n o).
Vậy trong p3 một đường thẳng và mặt pliẳng luôn có điểm cliung
B à i t ậ p 1 1 3 Chứng minh các mệnh đề sau đây trung không gian p n :
a Giao (theo nghĩa tẠp hợp) của hai phang nếu không rỗng là phang nào đố.
b p-phẳng và (n-p)-phẳng luồn có điêm chung.
Trang 9C H Ư Ơ N G 1 K H Ô N G G I A N X Ạ
Ả N H
4
c Giao của một siêu phẳng và một m-phẳng không nằm trên siêu phang đó là một (m -1 )-phẳng.
Giải
a Giả sử trong P” có m-phẳng a và p-phẳng p (m, p < n).
Nếu a n Ỷ 0 thì;
dim a + dimp = dim < a + ị3 > +dim(a n P).
Suy ra 111 + p = n + diĩii(a n ổ)
hay dim (ft' n jỡ) = m + p - n Vậv o.' n p là (m + n - p)-phẳng nào đó.
b Giả sử trong pn có p-pliẳng a và (n-p)-pliẳng Ị3.
+ ) Nến a n = 0, thì
dim < a + p >= dim.a + dim./3 +1 = p + (n-p) +1 = n + 1, vô lý!
+ ) Nếu <« + / ? > = p n thì từ O: n /? 7^ 0 t.a có:
dim a + dimp = dim < a + p > +dim(a n P)
liav p + (n-p) = n + dim (tt' + p).
Vậv dim,(a + Ị3) = 0, t.ức là ft' n p là một điểm.
c Giả sử trong pn có siêu pliẳng tt và in-pliẳng /3, B không Iiằin trong tt Suy ra, o: n d Ỷ 0- Khi đó,
dim (a n ,ớ) = dim a + dim ,ớ - dim <a + Ị3> = (n-1) + m- n = m- l
Vậy tt' n là ĩiiột (m-l)-pliẳng
B à i t ậ p 1 1 4 Trong p n cho hệ điêm độc lập S ’ ( ) , Si, , Sk- Chứng minh rằng, phẳng <S(), Si , , S p > và phẳnq <S P + Í , S p + 2 , , Sỵ> không có điểm chung.
Giải
Giả sử So, s 1, , Sk đại diện bởi các vectơ a 0, a 1, , u Nếu {Sị), s 1, , Sk} độc lập thì {~o\), ~a I, ,~a k } độc lập tuyến tínli nên mọi họ COI1 của {ốo, s 1, ,
5\-} đều độc lập và a =< S(), , Sp > là một p-phẳng còn ,8 =< S p+Í , S Ị)+2, ., Sỵ > là một
(k-p-l)-phẳng
Vì < ~a ( ) , • • • , ~(ỉp > n < lĩ p+ì , , ~ằ k > = Ố nên a n /? = 0.
B à i t ậ p 1 1 5 Tronq p 2 cho bốn điểm A, B, c, D tronq đó khônq có ba điểm nào thẳng hàng Trên các đường thẳng AD, DC, CD, DA lần lượt lấy các điêm
M, N, p, Q sao chơ chúng đều không trùng với 4 điểm đã, cho Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng MN, AC, PQ đồng quy thì ba đường thẳng MQ, BD, NP cũnq đồng quy và nquợc lại.
Trang 10C H Ư Ơ N G 1 K H Ô N G G I A N X Ạ
Ả N H
5
Giải
Xét hai bộ ba điểm (M, A, Q) và (N, c, P) Áp dụng định lý Desargues thứ nhất suy ra MN, AC, PQ đồng quy tại I khi và chỉ khi B, Q, J thẳng hàng với J = QM n
PN Vậy MQ, BD, NP đồng quy tại J Bài toán được chứng minh
B à i t ậ p 1 2 1 Gọi s n là siêu cầu tỉiực trong không gian Euclide E n + 1 , { í » ' 1 }
là tập hợp các điểm, x u y ê n tâm của s n
a) Chứng tỏ rằng, { < s , n } có thể xem là một mô hình của không gian xạ ảnh n chiều liên
_ - >
kết với E n + Ì
b) Trong mô hình trên, các m-phẳnq của { 5 " 1 } là những tập hợp nào?
Giải
->
a) Gọi En+1 là không gian vectơ liên kết của E?l+1, s n là siêu cầu thực tâm I, thì
{5’”'} là tập hợp các điểm xuvôn tâm của s n làm thành không gian xạ ảnh n
——>• ->• - >•
kết với E n+Ỉ bởi ánli xạ f : [En+1] —> {5"1} clio bởi với mỗi < ũ >c E'í+1 không gian con
một chiều Gọi {A,A'} là giao của đường thẳng qua tâm I có phương ũ với s n Dặt /(< lì >) = {A,A'} Khi dó f là một song ánh từ [E1'^1] đến {ố1'1}
b) m-phẳng trong {«S1”} là tập hợp các cặp điểm xuyên tâm thuộc một pliẳng
B à i t ậ p 1 2 2 Gọi s n ~ l là siêu cầu thực trong không gian Euclide n chiều E n ,
ỊS n ~ l J là tập hựp tất cả những điêm nằm trong và trên s n ~ l
a) Hãy làm cho ỊS n ~ l J trở thành không gian xạ ảnỉi n chiều.
b) Trong không gian xụ ảnh đó, các m-phẳny là những tập nào?
Giải a) Xét ánh xạ:
p : [Ẽ?] —> [S n ~ 1 ]
Trang 11C H Ư Ơ N G 1 K H Ô N G G I A N X Ạ
Ả N H
6
sao cho mỗi không gian vectơ con một cliiều của E tliànli đường kính là giao của đường
thẳng qua tâm với s n ~ l
Khi đó ta có bộ ba (En, p, [<S"i-1]) là không gian xạ ảnh n chiều
b) Trong không gian xạ ảnh này m-phẳng là tập hợp các đường kính của 5"l_1
thuộc vào phẳng m+1 chiều trong E?ỉ
B à i t ậ p 1 2 3 Chứnq minh rằnq các tập hợp sau đây lập thành những mô hình của không gian xạ ảnh p n trong không gian afin A n + 1
a) Tộ,p hợp [A n + 7 (tập các phương một chiều của A , l + 1 ).
b) Tập hợp D các đường thẳng của A ' í + 1 đi qua một điểm 0 E A n + 1
c) Tập ìiựp H các siêu phang aỷín của A 7 1 + 1 đi qua một điểm 0 €
A 7 l + 1
Giải a) Dặt p = [v4Ti+1], p : [^LTi+1] —> p là một ánh xạ đồng nhất, ta có p là song ánh nên có
mô hình ([j4n+1], p , A n+l ) của P'\
b) Có song ánh q : [A71+1 —> B cho ứng mỗi phần t.ử <~ử >G[Ấn+1] với đường thẳng (1) E B mà (1) đi qua o và có phương V Suy ra B là mô hình của pn
c) Trong A7l+1 lấy ĩiiột mục tiên afin (0, e1, , e,l+1) thì mỗi siêu pliẳng đi qua 0 có
phương trình dạng UịXị + + u n x n = 0, trong đó («1, , u n ) 7^ ( 0 , 0 ) Dặt ~ẳ =
(ui, ,u n ) thì có song ánli q : [y4n+1] —> H theo quv tắc <ũ> clio tương ứng với siêu phẳng ft' có phương trình U\X\ + + u n x n = 0 Vậv H là một mô hình của pn'
B à i t ậ p 1 2 4 Trong A n chứng minh rằng t,ập hợp Q = A n u [A n \ lập thành một
mô hình của p ? ỉ Pỉiần tử của A n gọi là điểm (xạ ảnỉi) thông thitờng Phần tử của [A ] gọi là điểm (xạ ảnh) vô tận Tập các điểm vồ tận là một siêu phang p n - 1 , gụi
là siêu phẳng vô tận).
Giải Giả sử An là không gian afin n-ehiều trên trường K Có thổ lập ánh xạ q : [A'n+1] —y Q
như sau:
Lấv một mục tiêu afin (0, ẽ|, , ẽf t ) nào đó của A n Nốu V =(v0, , v n ) E K n+1 ,
V Ỷ Ổ 'ỉ;o Ỷ 0 thì đặt q<?7> là điểm M( — , , — ) e A n
Vo v 0
N é u V = ( f ( ) , ,v„) khác 0 ciia K n+l có V(Ị = 0, thì đặt q < y > = <v> E [A n ] K h i đó q là
song ánh Suy ra Q là mô liình của pn
B à i t ậ p 1 2 5 Trong E 3 cho mặt cầu đơn vị s (tức là mặt cầu có phương trình theo toạ độ trực chuẩn X 2 + ỊJ 2 + z 2 = 1) Xét bán cầu bắc của s (tức là tập hợp các điểm x á c đ ị n h b ởi X 2 + y 2 + z 2 = 1 , z > 0 ) v à đ ư ờ n g x íc h đ ạ o củ a s ( t ứ c l à đ ư ờ n g
t rò n X 2 + ỊJ 2 + z 2 = 1, z = 0) Gọi G là tập hợp CÁC điểm thuộc bán cầu bắc nhưng không thuộc đường xích đao và các cặp điểm đối tâm của đườnq xích đạo.