Luận văn thạc sĩ toán phương pháp nhiễu của nửa nhóm và ứng dụng trong mô hình quần thể sinh học

41 3.1.1 Sự tương đương tiệm cận của nửa nhóm liên tục mạnh và họ toán tử tiến hoá liên tục mạnh.. 41 3.1.2 Sự tương đương tiệm cận của nửa nhóm liên tục mạnh và họ toán tử tiến hoá liên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - 2014

Mục lục

1 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh của nó 4

1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 4

1.1.1 Định nghĩa 4

1.1.2 Các tính chất sơ cấp 5

1.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh 7

1.2.1 Định nghĩa và tính chất của toán tử sinh 7

1.2.2 Nửa nhóm liên tục đều 11

1.3 Giải thức 14

1.3.1 Biểu diễn tích phân của giải thức 14

1.3.2 Các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm 17

2 Bài toán nhiễu của nửa nhóm liên tục mạnh 22 2.1 Bài toán Cauchy đặt chỉnh 22

2.2 Nhiễu bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh 25

2.3 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Volterra 31

2.4 Họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt 36

3 Dáng điệu tiệm cận của phương trình tiến hóa tuyến tính và ứng dụng 41 3.1 Sự tương đương tiệm cận của các họ toán tử tiến hóa 41

3.1.1 Sự tương đương tiệm cận của nửa nhóm liên tục mạnh và họ toán tử tiến hoá liên tục mạnh 41

3.1.2 Sự tương đương tiệm cận của nửa nhóm liên tục mạnh và họ toán tử tiến hoá liên tục mạnh đủ tốt 46

3.1.3 Sự tương đương tiệm cận của các họ toán tử tiến hoá 47

3.2 Một số ứng dụng trong mô hình quần thể sinh học 50

3.2.1 Về tính chất nghiệm của bài toán dân số phụ thuộc vào tuổi 50 3.2.2 Tính chất nghiệm của bài toán dân số có phụ thuộc vào tuổi và sự phân bố dân cư 52

Mở Đầu

Trong thời gian gần đây do yêu cầu đòi hỏi từ các mô hình ứng dụng, lýthuyết định tính của các phương trình vi phân trong không gian Banach đượcphát triển mạnh mẽ Các kết quả nhận được về tính ổn định của phương trình

vi phân trong không gian Banach có thể ứng dụng cho việc nghiên cứu tính chấtnghiệm của phương trình vi phân hàm, đồng thời sử dụng trong việc nghiên cứucủa các mô hình ứng dụng như: mô hình quần thể sinh học, mạng nơron thầnkinh, trong vật lý và cơ học Một trong những vấn đề đầu tiên được nhiều nhàtoán học quan tâm, nghiên cứu là lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, tính chấtnghiệm của các phương trình tiến hóa trừu tượng bị nhiễu và mối tương quangiữa họ các toán tử tiến hóa liên tục mạnh trong không gian Banach

Mục đích chính của luận văn là sử dụng phương pháp nhiễu của nửa nhómtrong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các phương trình tiến hoá trừutượng, để từ đó đưa ra ứng dụng vào mô hình dân số

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mụctài liệu tham khảo

Chương một trình bày định nghĩa, tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh

và một số định lý quan trọng về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh([1, 2, 5, 9, 10])

Chương hai trình bày về bài toán nhiễu của nửa nhóm, định nghĩa và tínhchất của họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt ([6, 7, 8, 12])

Chương ba trình bày sự tương đương tiệm cận và các định lý liên quan; Từ

đó đưa ra mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi ([3, 4, 11, 13])

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS ĐặngĐình Châu Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đãdành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việchoàn thành bản luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những

-điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường Tôi xin cảm

ơn phòng Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tụchọc tập và bảo vệ luận văn

Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những

sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thờigian qua

Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinhthần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếusót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Đinh Thị Hạnh

(b) F là bị chặn đều trênK và ánh xạ K ∋ t 7→ F (t)x ∈ X là liên tục ∀x ∈ D ⊂ X,

D trù mật trong X

(c) F là liên tục đối với tôpô hội tụ đều trên tập con compact của X, tức là ánh

xạ K × C ∋ (t, x) 7→ F (t)x ∈ X là liên tục đều đối với tập compact C trong X

Định lý 1.1 Cho một nửa nhóm (T (t)) t≥0 trên một không gian Banach X. Khi

đó các tính chất sau là tương đương:

(a) Nửa nhóm (T (t)) t≥0 là liên tục mạnh

(a) ⇒ (c.i) Giả sử ngược lại, tức là tồn tại một dãy (δ n ) n∈N ⊂R+ hội tụ đến 0

thỏa mãn ||T (δn)|| → ∞ khi n → ∞ Theo nguyên lý bị chặn đều, tồn tại x ∈ X

thỏa mãn (||T (δ n )x||) n∈N không bị chặn Điều này mâu thuẫn với T (.)x liên tụctại t = 0 (do (T (t)) t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh)

(c) ⇒ (b) Đặt K = {t n : n ∈ N} ∪ {0} với mọi dãy bất kì (t n ) n∈N ⊂ [0, ∞) hội tụđến 0. Khi đó K ⊂ [0, ∞) là compact, T (.)|Kx là liên tục ∀x ∈ D

Do đó, áp dụng bổ đề 1.1 (b) ta được T (.)|Kx liên tục ∀x ∈ X, tức là:

lim

n→∞ T (t n )x = x, ∀x ∈ X.

Vì (tn)n∈N được chọn tùy ý nên (b) được chứng minh

(b) ⇒ (a) Giả sử t 0 > 0 và x ∈ X Khi đó:

từ đó dẫn đến tính liên tục trái, trong đó ||T (t)|| bị chặn đều ∀t ∈ [0, t0].

Vậy (T (t)) t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh 

Định lý 1.2 Với mỗi nửa nhóm liên tục mạnh (T (t)) t≥0 tồn tại hằng số w ∈R

và M ≥ 1 sao cho:

||T (t)|| ≤ Mewt, ∀t ≥ 0. (1.1)Chứng minh Chọn M ≥ 1 thỏa mãn ||T (s)|| ≤ M, ∀0 ≤ s ≤ 1.

Với t ≥ 0 lấy t = s + n, ∀n ∈ N và 0 ≤ s < 1 Khi đó:

ω0 = ω 0 (T) = inf{w ∈R: tồn tại Mw ≥ 1 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ Mwewt, ∀t ≥ 0}.

goi là cận tăng trưởng của nửa nhóm

Xét trong trường hợp đặc biệt:

- Nếu w = 0, nửa nhóm (T (t)) t≥0 được gọi là nửa nhóm bị chặn

- Nếu w = 0 và M = 1, nửa nhóm (T (t)) t≥0 được gọi là là nửa nhóm co

- Nếu ||T (t)x|| = ||x||, ∀t ≥ 0 vàx ∈ X, nửa nhóm (T (t)) t≥0 được gọi là nửa nhómđẳng cự

Ví dụ 1.2 Theo đinh lý(1.2) ta luôn cóω < +∞nhưng có thểω0= −∞. Chẳnghạn: Trong không gian L1[0;1], ta xét nửa nhóm tịnh tiến trái xác định bởi:

1.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

1.2.1 Định nghĩa và tính chất của toán tử sinh

Để xây dựng khái niệm toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết

ta chứng minh bổ đề sau

Bổ đề 1.2 Cho một nửa nhóm (T (t)) t≥0 liên tục mạnh và một phần tử x ∈ X.

Đối với ánh xạ quỹ đạo ξx : t 7→ T (t)x, các tính chất sau là tương đương:

(a) ξx(.) là khả vi trên R+

(b) ξx(.) khả vi bên phải tại t = 0.

Chứng minh Chúng ta chỉ cần chỉ ra (b) ⇒ (a). Thật vậy:

khả vi bên trái trên R+

Vậy ξx(.) liên tục trên R+ và

˙

ξx(t) = T (t) ˙ ξx(0), ∀t ≥ 0.  (1.3)Định nghĩa 1.3 Toán tử sinh A : D(A) ⊆ X → X của một nửa nhóm liên tụcmạnh (T (t)) t≥0 trên một không gian Banach X là một toán tử

Ax = ˙ ξx(0) = lim

h→0 +

1

h (T (h)x − x), (1.4)xác định với mọi x trong miền xác định của nó

D(A) = {x ∈ X : ξx là khả vi trên R+ }. (1.5)Theo bổ đề 1.2, ta thấy miền xác định D(A) là tập tất cả các phần tử x ∈ X

mà ξx(.) là khả vi bên phải tại t = 0. Do đó:

D(A) = {x ∈ X : lim

h→0 +

1

h (T (h)x − x) tồn tại}. (1.6)Miền D(A)là một không gian vector và chúng ta ký hiệu toán tử sinh của nó là

(A, D(A)).

Chúng ta thường chỉ viết A và coi miền xác định của nó là cho bởi (1.6)

Định lý 1.3 Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t)) t≥0 , ta

có các tính chất sau:

(i) A : D(A) ⊆ X → X là toán tử tuyến tính

(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và

d

dtT(t)x = T (t)Ax = AT (t)x, ∀t ≥ 0. (1.7)(iii) ∀t ≥ 0 và x ∈ X, ta có:

h [(T (h)(αx + βy) − (αx + βy)] = αAx + βAy.

Vậy A : D(A) ⊆ X → X là toán tử tuyến tính

(ii) Lấy x ∈ D(A), từ (1.3) ta có:

Nhân cả hai vế với 1

t và lấy giới hạn khi t → 0+ ta được:

lim

t→0 +



T (t)x − x t



= lim

t→0 +

1 t

Do tính liên tục mạnh của (T (t)) t≥0 nên lim

t→0 +

1 t

t

R

0

T (s)xds = x, ∀x ∈ X.

Suy ra D(A) trù mật trong X.

Giả sử (S(t))t≥0 là nửa nhóm khác liên tục mạnh khác có cùng toán tử sinhvới nửa nhóm (T (t)) t≥0 Khi đó, ∀x ∈ D(A) và t > 0, xét ánh xạ:

Như vậy: T (t) = S(t), ∀t ≥ 0. Định lý được chứng minh

1.2.2 Nửa nhóm liên tục đều

Định nghĩa 1.4 ([8]) Nửa nhóm (T (t)) t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục đềutrong L(X) nếu ánh xạ R+ ∋ t → T (t) ∈ L(X) liên tục đối với tô pô chuẩn (tô

pô đều) trong L(X), tức là:

X

k=0

skAkk!

skAkk!

(t+s)A

= T (t + s).

Suy ra T (t) = etA là nửa nhóm trong không gian Banach X

Ta chứng minh nửa nhóm này liên tục đều Thật vậy, ta có:

Vậy (T (t)) t≥0 = (e tA ) t≥0 là nửa nhóm liên tục đều

Định lý 1.5 Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục đềukhi và chỉ khi nó là toán tử bị chặn (A ∈ L(X))

Chứng minh

Điều kiện đủ Giả sử A ∈ L(X), xét nửa nhóm T (t) = e tA (t ≥ 0). Ta có (T (t))t≥0

là nửa nhóm liên tục đều Ta chứng minh A là toán tử sinh của nửa nhóm

Z t 0

T (s)ds|| = ||1

t

Z t 0

(I − T (s))ds||

≤ 1t

Z t 0

T (s)ds = 1

h

Z t 0

T (s + h)ds −

Z t 0

T (s)ds −

Z t 0

T (s)ds

#

= 1h

"

Z t+h t

T (s)ds −

Z h 0

Ánh xạt → T (t)liên tục đối với tô pô chuẩn trên [0, t] nên liên tục đều trên đoạn

đó Suy ra với mọiǫ > 0,tồn tại δ > 0thỏa mãn|s − s′| < δ thì ||T (s) − T (s′)|| < ǫ.

Với 0 < h < δ, ta có:

||1h

Z h 0

T (s)ds − I|| ≤ 1

h

Z h 0

Z t+h t

T (s)ds − T (t)|| ≤ 1

h

Z t+h t

||T (s) − T (t)||ds < ǫ.

Suy ra lim

h→0 +

1 h

T (s)ds

−1

∈ L(X).

Vậy toán tử A bị chặn Định lý được chứng minh

Định lý 1.6 Giả sử (T (t)) t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gianBanach X với toán tử sinh (A, D(A)).Khi đó các khẳng định sau là tương đương:(a) Toán tử sinh A là bị chặn, tức là tồn tại M > 0 thỏa mãn:

||Ax|| ≤ M||x||, ∀x ∈ D(A).

(b) Miền D(A) là tất cả các phần tử của X.

(c) Miền D(A) đóng trong X.

(d) Nửa nhóm (T (t)) t≥0 liên tục đều

Trong mỗi trường hợp nửa nhóm được cho bởi

Chứng minh

(a) ⇔ (d) được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.5.

(b) ⇒ (a) A đóng nên A bị chặn

(a) ⇒ (c) A bị chặn nên A liên tục, ta chứng minh D(A) đóng Thật vậy: Nếu

{xn}n ⊂ D(A), xn → x khi n → ∞ thì do A bị chặn nên ta có:

||Axn− Axm|| ≤ M.||xn− xm|| → 0.

Vậy {Axn} là dãy cơ bản

Do đó tồn tạiy ∈ X sao choAxn → y.Mà A đóng,xn → x, Axn → y nênx ∈ D(A)

và Ax = y. Vậy D(A) đóng trong X Định lý được chứng minh

1.3 Giải thức

1.3.1 Biểu diễn tích phân của giải thức

Định nghĩa 1.5 Giả sử (A, D(A))là toán tử đóng trong không gian Banach X.Khi đó

• Phổ σ(A) = {λ ∈C| (λI − A) không là song ánh}.

• ρ(A) =C\σ(A) là tập các giá trị chính quy của A

• R(λ, A) = (λI − A)−1(λ ∈ ρ(A)) gọi là giải thức của A

Chú ý 1.2 Do A là toán tử đóng nên nếu (λI − A) là song ánh thì (λI − A)−1

đóng và do đó (λI − A)−1 liên tục

Định lý 1.7 Giả sử T (t) t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach

X có toán tử sinh (A, D(A)) và tồn tại hằng số w ∈R, M ≥ 1 thỏa mãn:

||T (t)|| ≤ Mewt, ∀t ≥ 0. (1.11)Khi đó ta có các tính chất sau:

(i) Nếu λ ∈C sao cho R(λ)x =R+∞

Lấy giới hạn khi h → 0+ suy ra vế phải tiến đến −x nên R(0)x ∈ D(A) và

T (s)Axds = R(0)Ax (theo Định lý 1.3(iv))

Vì theo Định lý 1.4, toán tử A đóng nên R(0)Ax = AR(0)x = −x.

Với Reλ > w vế phải hội tụ đến M

Reλ − w khit → +∞.Định lý được chứng minh

Hệ quả 1.1 Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

(T (t)) t≥0 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ Me wt , ∀t ≥ 0, Reλ > w và n ∈N. Khi đó:

∞

Z

0

sn−1e−λsT (s)xds, ∀x ∈ X. (1.15)Đặc biệt, ta có ước lượng:

||R(λ, A)n|| ≤ M

(Reλ − w) n , ∀n ∈N, Reλ > w. (1.16)Chứng minh Từ hệ thức Hilbert đối với giải thức:

Vậy công thức (1.14) và (1.15) đúng với n = 2.

Bằng quy nạp suy ra công thức (1.14) và (1.15) đúng ∀n ∈N.

Ví dụ 1.4 a) Các nửa nhóm đồng dạng: Giả sử V là phép đẳng cự từ khônggian Y lên không gian X và(S(t)) t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên Y cho bởi

S(t) = V−1T (t)V, trong đó (T (t)) t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên X

Khi đó toán tử sinh của nửa nhóm (S(t))t≥0 là B = V−1AV với miền xác định

D(B) = {y ∈ Y : V y ∈ D(A)}, trong đó (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm

(T (t)) t≥0

Ta có σ(A) = σ(B) và giải thức của B là: R(λ, B) = V−1R(λ, A)V với λ ∈ ρ(A).b) Các nửa nhóm điều chỉnh: Nửa nhóm điều chỉnh (eµtT (αt)) t≥0 , µ ∈ C, α > 0

có toán tử sinh là B = αA + µI với miền xác định D(B) = D(A)

Thật vậy, với mọi x ∈ D(A) ta có:



= αAx + µIx.

Suy ra D(B) = D(A) và B = αA + µI.

Hơn nữa, σ(B) = α.σ(A) + µ và

1.3.2 Các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm

Định lý 1.8 Định lý toán tử sinh (Hille -Yosida)

Cho (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X. Khi đócác tính chất sau là tương đương:

(a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh.

(b) (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi λ > 0 ta có λ ∈ ρ(A)

đồng thời

||λR(λ, A)|| ≤ 1. (1.18)(c) (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi λ ∈C mà Reλ > 0,

là các toán tử bị chặn, giao hoán với mỗi n ∈N

Xét nửa nhóm liên tục đều cho bởi:

n→∞ Tn(t)x tồn tại với mỗi x ∈ X.

(ii) (T (t)) t≥0 là nửa nhóm co liên tục mạnh trên X.

(iii) Nửa nhóm này có toán tử sinh (A, D(A)).

Ta chứng minh các tính chất này là đúng.Thật vậy:

(i) Mỗi (T n (t)) t≥0 là một nửa nhóm co Vì

suy ra ||T (t)|| ≤ 1, ∀t ≥ 0. Do đó (T (t)) t≥0 là nửa nhóm co.

Mặt khác, với mỗi x ∈ D(A), ánh xạ

Suy ra ξ là hàm khả vi với ˙ξ(0) = η(0), nghĩa là D(A) ⊂ D(B) và Ax = Bx với

x ∈ D(A).Chọnλ > 0,khi đó λ − Alà một song ánh từ D(A)vàoX (vìλ ∈ ρ(A)).Mặt khác, B là toán tử sinh của nửa nhóm co (T (t)) t≥0 nên λ ∈ ρ(B) (do Định

lý 1.7) Suy ra λ − B cũng là song ánh từ D(B) vào X

Như vậy: D(A) = D(B) và A = B 

Hệ quả 1.2 Giả sử w ∈R, (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một khônggian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương:

(a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh thỏa mãn

||T (t)|| ≤ ewt, ∀t ≥ 0. (1.23)(b) (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi λ > w ta có λ ∈ ρ(A)

đồng thời

||(λ − w)R(λ, A)|| ≤ 1. (1.24)(c) (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi λ ∈C mà Reλ > w,

ta có λ ∈ ρ(A) đồng thời

||R(λ, A)|| ≤ 1

Reλ − w. (1.25)Nửa nhóm thỏa mãn ( 1.23) được gọi là nửa nhóm tựa co

Định lý 1.9 Định lý toán tử sinh (Feller, Miyadera, Phillips)

Giả sử (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X và

w ∈R, M ≥ 1 là các hằng số Khi đó các tính chất sau là tương đương:

(a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm (T (t)) t≥0 liên tục mạnh thỏa mãn

||T (t)|| ≤ Mewt, t ≥ 0. (1.26)(b) (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi λ > w ta có λ ∈ ρ(A)

đồng thời

||[(λ − w)R(λ, A)]n|| ≤ M, ∀n ∈N. (1.27)(c) (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi λ ∈C mà Reλ > w

ta có λ ∈ ρ(A) đồng thời

||R(λ, A)n|| ≤ M

(Reλ − w) n , ∀n ∈ N. (1.28)Chứng minh

(a) ⇒ (c) đúng theo hệ quả 1.1

Do đó, toán tử sinh (A, D(A)) thỏa mãn điều kiện (1.18) đối với |||.||| tươngđương và do định lí 1.8,(A, D(A)) sinh ra nửa nhóm co liên tục mạnh (T (t)) t≥0

với chuẩn|||.||| Từ (vi) suy ra ||T (t)x|| ≤ |||T (t)x||| ≤ M||x||.

Như vậy: ||T (t)|| ≤ M. Định lý được chứng minh

Nhận xét 1.1 Qua các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

ta thấy:

- Đối với nửa nhóm liên tục mạnh có thể điều chỉnh để thành nửa nhóm bị chặn

- Đối với nửa nhóm bị chặn có thể tìm một chuẩn tương đương để đối với chuẩnnày nửa nhóm trở thành nửa nhóm co

2.1 Bài toán Cauchy đặt chỉnh

Xét bài toán Cauchy trừu tượng với giá trị ban đầu:

trong đó t là biến độc lập biểu diễn thời gian, u(.) là hàm nhận giá trị trongkhông gian Banach X, A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính, x ∈ X là giátrị ban đầu

Định nghĩa 2.1 Hàm u : R+ → X được gọi là nghiệm (cổ điển) của bài toánCauchy trừu tượng (ACP ) nếu u khả vi liên tục, u(t) ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 vàthỏa mãn (ACP )

Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t)) t≥0 thì từ Định lý

1.3(ii) suy ra nửa nhóm cho ta nghiệm của bài toán Cauchy tương ứng với A

Cụ thể ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 2.1 Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

(T (t)) t≥0 Khi đó, với mọi x ∈ D(A), hàm u : t 7→ u(t) = T (t)x là nghiệm (cổđiển) duy nhất của bài toán Cauchy trừu tượng

Định nghĩa 2.2 Hàm u : R+ → X được gọi là nghiệm đủ tốt của bài toánCauchy trừu tượng nếu Rt

0 u(s)ds ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và

u(t) = A

Z t 0

u(s)ds + x.

Mệnh đề 2.2 Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

(T (t)) t≥0 Khi đó, với mọi x ∈ X, ánh xạ quỹ đạo u : t 7→ T (t)x là nghiệm đủ tốtduy nhất của bài toán Cauchy trừu tượng

Chứng minh Theo Định lý 1.3 ta có Rt

0 T (t)xds ∈ D(A) với mọi x ∈ X và

T (t)x − x = AR0tT (s)xds với mọix ∈ X Suy rau(t) = T (t)xlà nghiệm đủ tốt của

(ACP ).

Ta chứng minh tính duy nhất nghiệm 0 ứng với giá trị ban đầu x = 0. Giả sử

u là nghiệm đủ tốt của bài toán Cauchy trừu tượng với x = 0, t > 0. Khi đó vớimỗi s ∈ (0, t), ta có:

d

ds (T (t − s)

Z s 0

u(r)dr) = T (t − s)u(s) − T (t − s)A

Z s 0

u(r)dr = 0.

Lấy tích phân từ 0 đến t ta được:

T (t − s)

Z s 0

u(r)dr|s=ts=0= 0.

Từ đó suy ra Rt

0 u(r)dr = 0. Lấy đạo hàm theo t ta được u(t) = 0 với mọi t > 0

Mà u(0) = 0 nên u(t) = 0 với mọi t ≥ 0 Mệnh đề được chứng minh

Định lý 2.1 Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử đóng Khi đó, các tính chấtsau là tương đương:

(i) A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

(ii) Với mọi x ∈ D(A) tồn tại duy nhất nghiệm u(., x) của (ACP) và ρ(A) 6= ∅.(iii) Với mọi x ∈ D(A) tồn tại duy nhất nghiệm u(., x) của (ACP), D(A) trù mậttrong X và với mọi dãy {x n }∞n=1 ⊂ D(A) : lim

n→∞ x n = 0, tồn tại nghiệm u(t, x n )

sao cho: lim

n→∞ u(t, xn) = 0 đều trên [0, t 0 ]

Chứng minh

(i) ⇒ (ii) (theo mệnh đề 2.1)

(ii) ⇒ (iii) Đầu tiên ta chỉ ra với mọi x ∈ X tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt

của (ACP ) Vì ρ(A) 6= ∅ nên tồn tại λ ∈ ρ(A) Đặt y = R(λ, A)x suy ra y ∈ D(A).Theo giả thiết, tồn tại nghiệm u(., y) với giá trị ban đầu u(0) = y Đặt

v(t) = (λ − A)u(t, y) ∈ D(A).

Suy ra v(t) là nghiệm đủ tốt của (ACP ) với giá trị ban đầu x = (λ − A)y

Giả sử u(.) là nghiệm đủ tốt của (ACP ) với giá trị ban đầu x = 0 Đặt

v(t) =

Z t 0

u(s)ds.

Suy ra

˙v(t) = u(t) = A

Z t 0

u(s)ds = Av(t)

và v(0) = 0 Suy ra v(t) = 0 với mọi t ≥ 0 do đó u(t) = 0 với mọi t ≥ 0

Vậy tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt u(., x) của(ACP )

Mặt khác u(t, x) là nghiệm đủ tốt của (ACP ) nên Rt

Z t 0

u(s, x)ds = u(0, x) = x.

Từ đó suy ra D(A) trù mật trong X

Để chứng minh sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu ta xét:

u(s, xn)ds →

Z t 0

y(s)ds khi n → ∞

và

A

Z t 0

u(s, xn)ds = u(t, xn) − xn → y(t) − x khi n → ∞.

Vì A đóng nên Rt

0 y(s)ds ∈ D(A) và y(t) − x = AR0ty(s)ds. Khi đó:

y(t) = A

Z t 0

y(s)ds + x, ∀t ∈ [0, t 0 ].

Suy ra y(.) là nghiệm đủ tốt của (ACP ) với điều kiện ban đầu x nếu với t > t 0 ,

ta đặt y(t) = u(t − t 0 , y(t 0 )) Khi đó y(t) = u(t, x), ∀t ∈ [0, t 0 ]. Vậy φ(x) = y hay φ

đóng Theo định lý đồ thị đóng suy ra φ liên tục Vậy nếu xn → 0 thì φ(xn) → 0

hay u(t, xn) → 0 trong C([0, t 0 ], X) Suy ra u(t, xn) → 0đều theo t trên [0, t 0 ]

(iii) ⇒ (i) Giả sử có (iii), khi đó tồn tại T (t) ∈L(X) xác định bởi:

T (t)x = u(t, x) với mọi x ∈ D(A), t ≥ 0.

Ta có thể giả sửsup0≤t≤1||T (t)|| < ∞.Vì nếu không, giả sử tồn tại{tn}n∈N ⊂ [0, t 0 ]

sao cho lim

n→∞ ||T (tn)|| = ∞ Ta có thể chọn xn ∈ D(A) sao cho lim

n→∞ xn = 0 và

||T (tn)x n || ≥ 1 Điều này mâu thuẫn với (iii) vì u(t n , xn) = T (t n )x n

Vậy ||T (t)|| bị chặn đều với mọi t ∈ [0, 1]

Ta có t 7→ T (t)x liên tục với mọi x ∈ D(A) mà D(A) trù mật trong X nên theo

bổ đề 1.1 ánh xạ: t → T (t)x liên tục với mọi x ∈ X

Với mọi x ∈ D(A), ta có:

T (t + s)x = u(t + s, x) và T (t)T (s)x = u(t, T (s)x) = u(t, u(s, x)).

Suy ra T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s ≥ 0. Vậy (T (t)) t≥0 là nửa nhóm liên tụcmạnh trên X

Cuối cùng ta chỉ ra A là toán tử sinh của (T (t)) t≥0 Thật vậy: Gọi (B, D(B)) làtoán tử sinh của (T (t)) t≥0 Hiển nhiên A ⊂ B. Hơn nữa, D(A) ổn định bởi T (t),

D(A) trù mật trongX nên D(A) là lõi (core) của B Từ đó suy ra D(A) = D(B)

theo chuẩn đồ thị ||.||B Mà A đóng nên A = B

Định lý được chứng minh

Định nghĩa 2.3 (Bài toán Cauchy đặt chỉnh )

Bài toán Cauchy trừu tượng

(

˙u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0, u(0) = x

với toán tử đóng A : D(A) ⊂ X → X được gọi là đặt chỉnh nếu với mọi x ∈ D(A)

tồn tại duy nhất nghiệm u(., x) của bài toán Cauchy trừu tượng (ACP), A cómiền xác định trù mật, đồng thời với mọi dãy {xn}∞n=0 ⊂ D(A) : lim

n→∞ xn = 0, tacó: lim

n→∞ u(t, x n ) = 0 đều trên [0, t 0 ]

2.2 Nhiễu bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh

Bài toán: Cho A : D(A) ⊆ X → X là toán tử sinh của nửa nhóm liên tụcmạnh (T (t)) t≥0 và xét toán tử thứ hai B : D(B) ⊆ X → X Tìm điều kiện để

A + B sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (S(t)) t≥0 nào đó

Khi đó, chúng ta nói rằng toán tử sinhA bị nhiễu bởi toán tửB hoặcB là nhiễucủa A Tổng A + B được định nghĩa như sau:

(A + B)x = Ax + Bx,

x ∈ D(A + B) = D(A) ∩ D(B).

Trong một số trường hợp D(A + B) có thể là {0}

Ví dụ 2.1 (i) Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh không bị chặn của nửa nhómliên tục mạnh Khi đó D(A) 6= X.

Nếu lấy B = -A thì D(A) = D(B) và A + B = 0 xác định trên không gian contrù mật D(A), suy ra A + B không là toán tử đóng Do đó A + B không là toán

tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh nào

Nếu lấy B = -2A thì A + B = -A với miền xác định D(A + B) = D(A) Khi đó,A+ B là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh nếu A là toán tử sinh củanửa nhóm liên tục mạnh

(ii) Giả sử A : D(A) ⊆ X → X là toán tử sinh không bị chặn của nửa nhóm liêntục mạnh (T (t)) t≥0 Lấy S ∈ L(X) là một phép đẳng cấu sao cho:

D(A) ∩ S(D(A)) = {0}.

Khi đó B = SAS−1 là toán tử sinh của nửa nhóm đồng dạngST (t)S−1 nhưng

A + B chỉ xác định trên D(A + B) = D(A) ∩ D(B) = D(A) ∩ S(D(A)) = {0}.Chẳng hạn, xét

Định lý 2.2 Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t)) t≥0

trên không gian Banach X và giả sử B ∈L(X).Khi đó A + B là toán tử sinh củanửa nhóm liên tục mạnh xác định bởi:

S(t)x 0 = T (t)x 0 +

Z t 0

T (t − s)BS(s)x 0 ds, x0∈ X. (2.1)Hơn nữa, nếu ||T (t)|| ≤ Meωt, ∀t ≥ 0 thì ||S(t)|| ≤ Me(ω+M ||B||)t, ∀t ≥ 0.

||T (t − s)||.||B||.||T (s)||ds

≤

Z t 0

||T (t − s)||.||B||M2||B||eωs.sds

≤

Z t 0