Lý thuyết định tính của phương trình parabolic cấp hai

Mở đầuPhương trình truyền nhiệt ∆u − ∂u∂t = 0 là các phương trình đạo hàmriêng parabolic cấp hai cổ điển, là khởi nguồn của lý thuyết đạo hàm riêng hiệnđại.. Đã từ lâu, nhiều kết quả địn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI - 2014

Lời cám ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới PGS.TS

Hà Tiến Ngoạn, người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trìnhhoàn thành luận văn tốt nghiệp Qua đây tôi cũng xin chân thành cám ơn sựgiúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán giải tích trường Đại học Khoahọc tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, những người đã giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế vềthời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tácgiả kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luậnvăn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, năm 2014

Mục lục

Mở đầu

Phương trình truyền nhiệt ∆u − ∂u∂t = 0 là các phương trình đạo hàmriêng parabolic cấp hai cổ điển, là khởi nguồn của lý thuyết đạo hàm riêng hiệnđại Đã từ lâu, nhiều kết quả định tính của các phương trình này đã được biếtđến như: nguyên lý cực đại, bất đẳng thức Harnack, các định lý Liouville vàFragmen-Lindelof đối với nghiệm cổ điển

Ngày nay, các kết quả đối với phương trình truyền nhiệt cổ điển trên đãđược mở rộng cho các phương trình parabolic cấp hai tuyến tính tổng quát vàđược xét ở hai dạng khác nhau: dạng không bảo toàn và dạng bảo toàn.Dựa chủ yếu vào chương II của tài liệu [3], luận văn đã trình bày tổngquan lý thuyết định tính của các phương trình parabolic cấp hai dạng tổngquát ở cả hai dạng không bảo toàn và bảo toàn

Luận văn gồm hai chương Chương I nghiên cứu phương trình dạng khôngbảo toàn Phương trình loại này có các loại nghiệm mạnh, nghiệm trên vànghiệm dưới Các nguyên lý cực đại đối với các loại nghiệm này đã được phátbiểu Bất đẳng thức Harnack và Định lý Fragmen-Lindelof đã được mở rộngđối với loại phương trình tổng quát này

Do phương trình truyền nhiệt có thể viết cả dưới dạng bảo toàn nên trongchương II của luận văn sẽ trình bày một số tính chất nghiệm suy rộng củaphương trình parabolic dạng bảo toàn mà có thể xem là tương tự như tính chấtcủa các nghiệm phương trình truyền nhiệt cổ điển Các vấn đề của chương I lạiđược xét trong chương II, song với sự thay đổi nhất định cho phù hợp với lớpphương parabolic trình dạng bảo toàn

Do tái hiện [3] ở dạng bách khoa toàn thư, nên chủ yếu nó dành cho việcphát biểu và hệ thống các kết quả cơ bản của lý thuyết mà thiếu các chứngminh chi tiết Luận văn đã tìm cách bổ sung các chứng minh chi tiết của một

số định lý

Chương 1

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI DẠNG KHÔNG BẢO TOÀN

Lu − ∂u

là hàm u ∈ C2,1(G) thỏa mãn (1.2) và được gọi là nghiệm mạnh Trong đó

C2,1(G) là tập hợp các hàm khả vi cấp hai theo biến x và khả vi cấp một theobiến t trong tập G.

Ta gọi hàm u ∈ C2,1(G) sao cho

Cho G là một miền trong Rn+1 Ta gọi tập γ(G) ⊂ ∂G là biên trên của tập

G nếu mỗi điểm (x0, t0) ∈ γ(G) tồn tại ε > 0 sao cho:

Zt0 −ε,t 0

x 0 ,r ⊂ G; Zt0 +ε,t 0

x 0 ,ε ∩ G = ∅.

Tập Γ(G) = ∂G \ γ(G) được gọi là biên parabolic của tập G

Xét trong trường hợp G = Ω × [0, T ], trong đó Ω là miền bị chặn trong Rn

1.1.2 Bài toán biên ban đầu thứ nhất

u(x, t) = ϕ(x, t), (x, t) ∈ ST. (1.5)1.1.3 Bài toán Cauchy

1.2.1 Nguyên lý cực đại cho nghiệm dưới và nghiệm trênĐịnh lý 1.1 ChoG là miền bị chặn và cho toán tử dạng (1.1) xác định trong

G với c(x, t) ≤ 0, cho u(x, t) là nghiệm dưới (nghiệm trên) Giả sử

u = sup

Γ(G)

u.

Ta luôn có

sup

¯ G

Xét hàm số:

h (x) = v (x, t1)

Vì (x1, t1) là điểm cực đại nên

h(x1) = v(x1, t1) ≥ h(x).

Do x ∈ Ω là điểm trong nên

∂h(x 1 )

∂xj = 0.

Do L là toán tử elliptic đều nên ma trận [ajk(x, t)] là xác định dương

Do(x 1 , t 1 )là điểm cực đại nên ma trận [u x j x k (x 1 , t 1 )] xác định không dương Do

Lv −∂v∂t = Lu − ∂u∂t − L [ε(t − t0)] + ε

= (Lu − ∂u∂t) − c(x, t)(t − t0) + ε

Từ (*) và (**) ta thấy mâu thuẫn nên điều giả sử là sai Ta có điều phảichứng minh.

Ta có nguyên lý cực đại tổng quát hơn đối với các nghiệm trên và nghiệmdưới sau đây

Định lý 1.2 ChoG là miền bị chặn và cho toán tử dạng (1.1) xác định trong

G với c(x, t) ≤ 0; cho u(x, t) là nghiệm dưới (nghiệm trên) Giả sử

1.2.2 Tính duy nhất nghiệm của bài toán (1.3)-(1.5)

Định lý 1.3 Giả sử c(x, t) ≤ 0. Khi đó nghiệm của bài toán (1.3)-(1.5), nếutồn tại, thì duy nhất

Chứng minh Giả sử trong (1.3), (1.4), (1.5) ta có

Từ nguyên lý cực đại yếu có thể chứng minh nguyên lý cực đại mạnh sauđây

Định lý 1.4 Cho toán tử (1.1) vớic(x, t) ≤ 0được xác định trên miềnG ⊂Rn.Giả sử u(x, t) là nghiệm dưới (nghiệm trên) trong G ∪ γ(G), đạt cực đại dương(cực tiểu âm) tại điểm (x0, t0) ∈ G ∪ γ(G). Khi đó u ≡ const trên tập G0 phụthuộc điểm (x 0 , t 0 ).

1.4.1 Định nghĩa hàm thế vị dưới và trên

Cho toán tử (1.1) được xác định trong miềnG ⊂Rn+1.Xét trong Rn+1 \ {0}hàm:

0, với t ≤ 0, không kể x = 0; t = 0,trong đó s = const > 0, β = const > 0.

|c(x, t)| ≤ K2(|x|2+ 1), (1.9)với K1, K2 là hằng số dương và chúng ta có:

β > α2 (β < α1),

s < M22β (s >

∂2E

∂xj∂xk =

xixk4t s+2 β 2 e−

|x|2 4βt (j 6= k)

t s e−

|x|2 4βt (− 12βt)

|x|2 4βt

+ s

t s+1 e−

|x|2 4βt − |x|

2

4βt s+2 e−

|x|2 4βt

Khi đó Es,β(x, t) là nghiệm trên.

Định lý 1.6 Giả sử các hệ số của toán tử L thỏa mãn:

β ≥ α2 (β ≤ α1),

s ≤ M22β (s ≥

X

i=1

aii 12βt s+1 e−

|x|2 4βt

+ s

t s+1 e−

|x|2 4βt − |x|

2

4βt s+2 e−

|x|2 4βt

= 1

t s e−

|x|2 4βt ( |x|24βt 2 − |x|

2

4βt 2 ) = 0Khi đó

Lε − εt≤ 0.

Vậy Es,β là nghiệm trên mọi nơi trừ ra gốc tọa độ

Sử dụng hàmEs,β ta có thể xây dựng hàm thế vị mà việc lựa chọn thông

số dưới hay trên là thích hợp

ChoE là tập Borel với độ đo µ, µ(E) < ∞.Trong phần bù củaE ta xét hàm:

Us,β(x, t) =

Z

E

Es,β(x − ξ, t − τ )dµ(ξ, τ ).

Từ Định lý 1.4, nếu (1.9) và (1.10) được thỏa mãn và nếu E chứa lớp t0< t <

t0+ η thì Us,β là nghiệm dưới (nghiệm trên) ở phía ngoài của E

Mặt khác, nếu điều kiện (1.11), (1.12) thỏa mãn thì từ Định lý 1.5 Us,β lànghiệm dưới (trên) trong Rn+1\E.

Bài toán Cauchy cho phương trình:

là việc tìm nghiệm của phương trình (1.13) trong khoảng t0 < t ≤ T < ∞, màliên tục đến siêu phẳng t = t0 và thỏa mãn điều kiện:

u (x, t0) = f (x) ,

f (x) là hàm liên tục.

Người ta đã chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy nếutoán tử L là elliptic đều và nghiệm được giả thiết là bị chặn, t0 ≤ t ≤ T.

1.5.1 Tính duy nhất của nghiệm trong lớp Tikhonov

Ta nói một hàm v(x, t) được xác định trong lớp t0 ≤ t ≤ T thuộc vào lớpTikhonov nếu tồn tại C1> 0, C2 > 0 sao cho:

|v(x, t)| ≤ C 1 eC2 |x|2, x ∈Rn.Định lý 1.7 Cho u(x) là nghiệm dưới (nghiệm trên) với phương trình (1.13),

hệ số của nó thỏa mãn điều kiện (1.8), (1.9) trong khoảng t0 < t < T Chou(x, t) là hàm liên tục đến siêu phẳng t = t0 và không dương (không âm) đối với

t = t0 Nếu u(x, t) thuộc lớp Tikhonov, thì

u(x, t) ≤ 0 (u(x, t) ≥ 0)với t0 < t < T

Chứng minh Để xác định ta xét u là nghiệm dưới, đặt:

β = 2α2 và s = M2

8α 2,trong đó α2, M2 được định nghĩa trong bất đẳng thức (1.10)

Cho η là hằng số từ Định lý 1.4 tương ứng với β, s, ta đặt:

với dSξ là một phần tử diện tích của mặt cầu |ξ| = R, (n − 1)-chiều.

Dưới đây ta sẽ lựa chọn số không đổi M > 0 phụ thuộc vào R Từ Định lý 1.4dẫn đến vR là nghiệm trên đối với t0< t < t0+ ε Ta xét hình trụZt0 ,t 0 +ε

a , ta thấy rằng trên bề mặt chung quanh

Zt0 ,t 0 +ε

0,R ; vR ≥ C1eC2 R2.

Từ Nguyên lý cực đại ta kết luận rằng: u ≤ vR bên trong mặt trụ này.Cho (x0, t0) là điểm tùy ý trong t0< t ≤ t0+ ε, và cho R > 1 là số tùy ý saocho R > 2 |x0| thì:

ở đây ωn là bề mặt xung quanh của hình cầu n-chiều

Cho R → ∞ ta thấy u(x0, t0) ≤ 0. Như vậy u(x, t) ≤ 0 với t0< t ≤ t0+ ε. Lấy

t0 là t0+ ε ta thấy rằng u(t, x)t ≤ 0 đối với t0 < t ≤ t0+ 2ε.

Sau một số hữu hạn bước như vậy ta được u(x, t) ≤ 0 với t0≤ t ≤ T

Từ định lý trên ta có kết quả sau:

Định lý 1.8 Nếu các hệ số của toán tử L thỏa mãn điều kiện (1.8), (1.9)thì bài toán Cauchy có duy nhất nghiệm trong lớp Tikhonov.

Chứng minh Từ kết quả của định lý trên ta có: u(x, t) là nghiệm dưới nênsuy ra

là nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy trong lớp Tikhonov

1.5.2 Tính duy nhất nghiệm trong lớp Tacklind

Tacklind đã tìm thấy một lớp rộng các nghiệm duy nhất của bài toánCauchy Ông đã chỉ ra rằng nghiệm duy nhất nằm trong lớp các hàm sao cho

|u(x, t)| ≤ eC|x|h(|x|),

ở đó h(t) > 0 là các hàm đơn điệu không tăng sao cho:

∞

Zdt h(t) = ∞.

Ta gọi lớp các hàm này là lớp Tacklind

t → ∞

Dưới đây sẽ phát biểu tính chất dừng của nghiệm phương trình parabolickhi thời gian t tiến tới ∞.

Định lý 1.9 Giả sử các hệ số của toán tử L ở (1.13) thỏa mãn điều kiện(1.8), (1.9) Giả sử u(x, t) thuộc lớp nghiệm Tikhonov của bài toán Cauchyu|t=t

0 = f (x), t 0 < t < ∞ và f (x) → 0 khi |x| → ∞ Khi đó u(x, t) → 0 khi t → 0đều theo x

Chứng minh Cho ε > 0 tùy ý Ta cố định R sao cho f (x) < ε2 với |x| > R Taxét một hàm tùy ý:

v = M εs,β(x, t − t0+ 1) +ε2

= (t−tM

0 +1)se−

|x|2 4β(t−t0+1) +ε2,

ở đó: s = M2

2α 2 ; β = α 2

(M2, α2 là các đại lượng không đổi trong (1.8))

Từ Định lý 1.5 thì hàm v là hàm trên Ta chọn số không đổi M đủ lớn để

|x| ≤ R bất đẳng thức

v(x, t0) > f (x)

cố định, thì

v(x, t0) > f (x)mọi nơi trong Rn và do đó u < v với t > 0

u(x, t) < εvới t > t 1 , x ∈Rn

Tương tự ta thu được rằng:

Ta có định lý sau đây về độ tăng của nghiệm.

Định lý 1.10 Cho D là tập mở trong Rn+1 chứa trong Z1 và có phần giaokhác rỗng với Z 2 E ⊂ Z 2 \ D sao cho meas(E) > 0

u(x, t) ≤ 0 ; sup u

D∩Z 2

> 0.

meas(Z3) meas(E).

Từ Đinh lý 1.9 suy ra định lý dưới đây về bất đẳng thức Harnack

Ta có định lý sau đây về độ giảm của nghiệm theo biến thời gian

Định lý 1.12 ChoG ⊂Rn+1 là miền bị chặn trong dải 0 < t < T, có các điểmbiên trên cả hai biên của dải Cho u(x, t) là nghiệm của phương trình (1.13),liên tục trong G và bằng 0 trên phần biên của G mà nằm bên trong dải Cho

m < M exp(−CT

n−2 2

σ n2

),trong đó C > 0 là hằng số phụ thuộc vào M 1 và α 1

Định lý sau nói về độ giảm của nghiệm trong sự phụ thuộc vào thiếtdiện của G.

Định lý 1.13 Cho ϕ(t), 0 < t < ∞ là một hàm khả vi liên tục sao cho

|ϕ0| < k, k là hằng số Cho G ⊂ Rn+1 là một miền nằm trong nửa không gian

t > 0 và sao cho thiết diện G τ của G bởi siêu phẳng t = τ, là bị chặn Hơn nữa

1.9 Định lý kiểu Liouville

Trong phần này ta sẽ giả thiết rằng phương trình (1.13) có

b i ≡ 0; i = 1, , n; c(x, t) ≡ 0.

Từ Định lý 1.4 ta có hai định lý kiểu Liouville dưới đây:

Định lý 1.14 Cho (x0, t0) ∈Rn+1 là điểm tùy ý, cho Z1 và Z2 trong mục 1.7.Cho một nghiệm u(x, t) của phương trình (1.13) được xác định trong Zi Khiđó:

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN

của nghiệm suy rộng

Trong phần này ta xét trường hợpaik ∈ C∞ vàu(x, t)là nghiệm của phươngtrình (2.1) Định lý dưới đây được chứng minh bởi Moser [1964]

Định lý 2.1 Cho một nghiệm dương u(x, t) của phương trình (2.1) đượcxác định trong Z1 Khi đó:

Hai kết quả sau đây thu được từ bất đẳng thức trên:

1 Tồn tại một hằng số ξ phụ thuộc vào λ sao cho nghiệm u của phương trình(2.1) xác định trong Z1 ta có:

Giả sửγ(G)là biên trên củaG, được định nghĩa trong mục 1.1 Cho một nghiệm

u của phương trình (10) xác định trong G ∪ γ(G) Khi đó: tồn tại α, 0 < α < 1sao cho

kukCα (G ρ ) ≤ ckukC0 (G) ,

ở đó α phụ thuộc vào λ và c, cũng như phụ thuộc vào ρ và

a) G(x, t) −→ 0 khi t → 0; x 6= 0

b) G(x, t) = 0 với t < 0

c)G(x, t)tạo nên lớp các hàm hội tụ tớiδ-hàmδ(x)theo biếnx ∈Rn khit → 0+

Định lý 2.2 Cho phương trình (2.1) xác định khắp mọi nơi trong Rn+1+ Khi đó hàm Green tồn tại và có đánh giá:

Định lý 2.3 (Nguyên lý cực đại yếu)

ChoG ⊂Rn+1 là miền bị chặn và cho Γlà biên parabolic của nó Nếu u(x, t)

là nghiệm suy rộng của phương trình (2.1) trong G, thì:

Nghiên cứu đầu tiên của nghiệm ổn định của phương trình nhiệt đựơc thựchiện bởi Tikhonov [1950] Tikhonov đã xét phương trình:

∂u

∂t =

∂2u

∂x 2 ,với 0 < x < ∞, t > 0, với điều kiện biên:

Ông đã chứng minh định lý dưới đây:

Định lý 2.4 Để nghiệm của bài toán giá trị biên ở trên có giới hạn khi

t → ∞ với mỗi hàm f (t), điều kiện cần và đủ là tất cả các nghiệm của phươngtrình:

lim

t→∞ u(x, t) = lim

t→∞ f (t).

2.6 Tính duy nhất nghiệm của bài toán biên ban

đầu thứ hai trong miền không bị chặn

2.6.1 Phát triển bài toán biên ban đầu thứ hai

Cho Ω ⊂Rn là miền không bị chặn, G = Ω × [0, T ], và cho ∂Ω là khả vi liêntục từng khúc, ∂Ω × [0, T ] = Γ Xét trong G phương trình:

2.6.2 Lớp duy nhất nghiệm của bài toán (2.6)-(2.8)

Giả sử F (r)là hàm nhận giá trị dương và là hàm tăng Xét lớp nghiệm saucủa bài toán:

Trong phần này ta nghiên cứu sự phụ thuộc duy nhất lớp của bài toán(2.6), (2.8) vào dạng hình học của miền Ta xét lớp nghiệmu ∈ C2,1của phươngtrình (2.6).

Cho miền tùy ý G ⊂ Rn không bị chặn Ta ký hiệu bởi Gk tập con của Gđược chứa giữa các mặt cầu |x| = rk0 và |x| = rk00

Định lý 2.5 Cho F (r); r > 0 là một hàm dương, đơn điệu tăng, và cho miền

G thỏa mãn điều kiện:

meas(Gk)F2(rk00) (rk00− rk0 )2 → 0khi k → ∞ Cho u(x, t) là một nghiệm của bài toán (2.6), (2.8) trong G =

∂ν

∂v

ds ≤ c meas (Gk).osc V

(r00k− r0k)2. (2.10)

Ta kí hiệuDk là một phần của Gmà chứa trong hình cầu |x| < r00k và không

bị tách ra khỏi mặt cầu |x| = r00k bởi bề mặt P

k Nhân phương trình (2.6) với

u và lấy tích phân qua Dk× [0; t0], có sử dụng công thức Green và (2.7), (2.8)

∂v

ds ≤ c.meas(Gk).F2(rk0 (rk00 − rk0 )2.Lấy tích phân với cận từ t từ 0 tới T và với T đủ nhỏ, ta thấy rằng:

1 2

khi k → 0, nghĩa là u ≡ 0

2.6.3 Một số ví dụ

Bây giờ ta xét một dạng đặc biệt của miền G Cho

f (r) ∈ C1(0; +∞); f (r) > 0và

f (r) & 0; f0(r) & 0khi r 7−→ ∞. ta sử dụng ký hiệu:

G = {r ∈ Rn : x1> 0, |xi| < f (x1), i = 2, , n}.

Cho h(r), 0 < r < ∞ là hàm đơn điệu giảm , dương và cho F (r), r > 0 là đơnđiệu tăng và sao cho

F (r) = o(h(r) n2−1 (f (r − h(r))) n2−1 )

khi r → ∞.

Với G và F như vậy thì ta có định lý:

Định lý 2.6 Cho u(x, t) là nghiệm của bài toán (2.6)-(2.8) trong Ω sao cho

u(x, t) < F (|x|).

Khi đó

u ≡ 0.

Rõ ràng định lý này là một trường hợp đặc biệt của trường hợp trước

đó Đặc biệt, với một miền G xác định bởi

F (r) = o(r2n ) exp(n − 1

2 r

k ),với miền G xác định bởi

f (r) = exp(− exp), F (r) = o(exp(−r) exp(− exp r)).

Kết luận

Luận văn trình bày lớp phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát

ở cả hai dạng: không bảo toàn và bảo toàn Nhiều tính chất nghiệm của phươngtrình parabolic cấp hai dạng không bảo toàn và dạng bảo toàn đã được kháiquát Đó là nguyên lý cực đại, bất đẳng thức Harnack, các định lý Liouville vàFragmen- Lindelof

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thừa Hợp, (2004), Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, NXBĐại học Quốc gia Hà Nội

[2] Trần Đức Vân, (2005), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốcgia Hà Nội

[3] Kondrat’ev V.A., Landis E.M., (1995), Partial Differential Equations III,Springer-Verlag

Luận văn trình bày lớp phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng qt

ở hai dạng: khơng bảo tồn bảo tồn Nhiều tính chất nghiệm phươngtrình parabolic cấp hai dạng khơng bảo... khảo

[1] Nguyễn Thừa Hợp, (2004), Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, NXBĐại học Quốc gia Hà Nội

[2] Trần Đức Vân, (2005), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốcgia Hà... data-page="36">

khi r → ∞.

Với G F ta có định lý:

Định lý 2.6 Cho u(x, t) nghiệm toán (2.6)-(2.8) Ω cho

u(x,