Phương pháp giải và sáng tạo một số đề toán về bất phương trình

Sáng tạo một số bài toán sử dụng phương pháp đưa bất phương trình về bất phương trình hàm .... Phần này đưa ra một số phương pháp giải và sáng tác ra các đề toán mới về bất phương trình.

HÀ NỘI - 2015

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới các thầy giáo, cô

giáo trong tổ Đại số, đặc biệt là thầy giáo - thạc sĩ Phạm Lương Bằng

đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu

đề tài này Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong suốt quá trình làm đề tài nhưng vẫn không thể tránh khỏi những thiếu xót, em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được đầy đủ hơn và hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Trần Thị Quý

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này là do sự nỗ lực của bản thân, cùng

sự giúp đỡ và chỉ bảo tận tình của thầy Phạm Lương Bằng

Bản khóa luận này không trùng kết quả của các tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Trần Thị Quý

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

Chương 1 LÝ THUYẾT CƠ SỞ 2

1.1 Khái niệm bất phương trình 2

1.2 Tập xác định của bất phương trình 2

1.3 Tập nghiệm của bất phương trình 2

1.4 Bất phương trình tương đương 2

1.5 Phép biến đổi tương đương 2

1.6 Phân loại bất phương trình 2

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH 4

2.1 Phương pháp đưa bất phương trình về bất phương trình hàm 4

2.2 Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản khi giải bất phương trình 7

2.3 Phương pháp hàm liên tục 14

2.4 Phương pháp sử dụng định lý Lagrange 17

2.5 Phương pháp phân khoảng tập xác định 18

2.6 Sử dụng phương pháp hình học 21

2.7 Phương pháp biến đổi tương đương 22

2.8 Phương pháp chiều biến thiên hàm số 30

2.9 Phương pháp đồ thị 33

2.10 Phương pháp điều kiện cần và đủ 36

2.11 Phương pháp tham biến 38

2.12 Phương pháp hàm lồi 39

Chương 3 SÁNG TẠO MỘT SỐ ĐỀ TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG

TRÌNH 44

3.1 Sáng tạo một số bài toán sử dụng phương pháp đưa bất phương trình về bất phương trình hàm 44

3.2 Sáng tạo một số bài toán sử dụng phương pháp hình học 46

3.3 Sáng tạo bài toán sử dụng định lý Lagrange 48

3.4 Sáng tạo bài toán sử dụng phương pháp hàm liên tục 49

3.5 Sáng tạo các bài toán nhờ ứng dụng của hàm lồi 52

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết bất phương trình có rất nhiều dạng và phương pháp giải khác nhau và rất thường gặp trong các kỳ thi giỏi toán cũng như các kỳ thi tuyển sinh Đại học Người giáo viên ngoài nắm được các dạng bất phương trình và cách giải chúng để hướng dẫn học sinh cần phải biết cách xây dựng nên các đề toán để làm tài liệu cho việc giảng dạy Phần này đưa ra một số phương pháp giải và sáng tác ra các đề toán mới về bất phương trình Qua các phương pháp sáng tác này ta cũng rút

ra được các phương pháp giải tự nhiên cho các dạng bất phương trình tương ứng

Là một giáo viên phổ thông tương lai, em mong muốn đào sâu các phương pháp giải bất phương trình và sáng tác ra một số đề toán mới về bất phương trình

Chính vì những lí do trên cùng với sự góp ý, động viên và tận tình giúp đỡ của các thầy cô, đặc biệt là thầy Phạm Lương Bằng cùng với sự say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện khóa luận

với đề tài: “Phương pháp giải và sáng tạo ra các đề toán mới về bất

phương trình”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp giải và sáng tác ra các đề toán về bất phương trình

Từ đó giúp học sinh nhận dạng và lựa chọn phương pháp giải phù hợp

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài tập về bất phương trình

4 Phương pháp nghiên cứu

Chương 1 LÝ THUYẾT CƠ SỞ

1.1 Khái niệm bất phương trình

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt Df và Dg Đặt D = Df  Dg Bất phương trình là kí hiệu của hàm mệnh đề:

“f(x) > g(x)” hoặc “f(x) < g(x)” xác định trên tập xác định chung D

1.2 Tập xác định của bất phương trình

Giao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x): D = Df  Dg

là tập xác định của bất phương trình

1.3 Tập nghiệm của bất phương trình

Tập nghiệm của bất phương trình: N  D = Df  Dg

Giải một bất phương trình là tìm N = { c  D: f(c) > g(c) là mệnh đề đúng}

1.4 Bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình ( cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng

có cùng tập nghiệm

Nếu f1(x) < g1(x) tương đương với f2(x) < g2(x) thì ta viết:

f1(x) < g1(x) f2(x) < g2(x)

1.5 Phép biến đổi tương đương

Các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của bất phương trình Ta gọi chúng là các phép biến đổi tương đương Phép biến đổi tương đương biến một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó

1.6 Phân loại bất phương trình

Các bất phương trình một ẩn đều có thể chuyển về dạng tương đương f(x) > 0 hoặc f(x)  0 Khi đó phân loại của bất phương trình được

1 Các bất phương trình đại số bậc k là các bất phương trình trong đó f(x) là đa thức bậc k

2 Các bất phương trình vô tỷ là các bất phương trình có chứa phép khai căn

3 Các bất phương trình mũ là các bất phương trình có chứa hàm mũ

4 Các bất phương trình logarit là các bất phương trình có chứa hàm logarit (chứa biến trong dấu logarit )

Chương 2

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

2.1 Phương pháp đưa bất phương trình về bất phương trình hàm

sự biến thiên và kĩ năng đoán nghiệm là cực kì quan trọng Một số trường hợp đặc biệt thường gặp:

- Với x  x0  f(x)  f(x0) = k, bất phương trình vô nghiệm

- Với x > x0  f(x) > f(x0) = k, bất phương trình nghiệm đúng Vậy nghiệm của bất phương trình là x > x0

Hướng 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển bất phương trình về dạng: f(u) < f(v) (2)

Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử đồng biến)

x2-2x+3 + x-1 > 3-x + x2-6x+11

 (x-1)2+2 + x-1 > 3-x + (3-x)2+2 (2) Xét hàm số y = f(t) = t+2 + t , t [1;3] Ta có:

Khi đó (2) được biến đổi như sau:

f(x-1) > f(3-x)  x-1>3-x  x>2 Vậy nghiệm của bất phương trình là 2<x3

f'(t) = 3t+1ln3 +2t > 0,t  1

Do đó hàm số này đồng biến trên [1;+)

Khi đó (2) được biến đổi như sau:

f( 2(x-1))  f(x-1)  2(x-1)  x-1

 2(x-1)  (x-1)2 (do x1)

 x2-4x+3  0  x3 Vậy nghiệm của bất phương trình là x3

log3 x2-x-12 - log3(7-x) - x  x2-x-12 - 7

 log x2-x-12 - x2-x-12  log (7-x) - (7-x) (2)

Xét hàm số f(t) = log3t - t, t (0; +) Ta có f'(t) = 1

tln3 - 1 < 0, t (0; +)

Do đó hàm số này nghịch biến trên khoảng (0;+)

Khi đó (2) được biến đổi như sau:

13Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (-;-3)  (4; 61

2x0Vậy bất phương trình có nghiệm là [ -1;0] [1; 3]

- Dùng ẩn phụ chuyển bất phương trình chứa căn thức thành một hệ bất phương trình với 2 ẩn phụ

- Dùng ẩn phụ chuyển bất phương trình chứa căn thức thành một hệ bất phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x

Chẳng hạn:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình

x + 2x

x2-4 > 3 5

Lời giải:

Điều kiện: x2

-4 > 0  

x<-2 x>2  | |x > 2 Trường hợp 1: Với x < -2

Ta thấy VT < 0; VP > 0 Bất phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải bất phương trình

5 x + 5

2 x < 2x +

12x + 4

Đặt t = x + 1

2 x 2 x 1

2 x = 2  t 2

t2 = ( x + 1

2 x )

2 = x + 1

4x +1  x + 1

4x = t

2-1 Khi đó bất phương trình có dạng:

 x + 1

2 x > 2 Đặt u = x , u > 0 Khi đó:





u= x

v=x-2 ; u 0







u+v0 (u-v)20 u=v0







x-20 x=x-2

2.2.3 Một số phép đặt ẩn phụ khác

- Dùng ẩn phụ chuyển bất phương trình mũ hoặc bất phương trình logarit về bất phương trình đại số quen biết đặc biệt là các bất phương trình bậc hai Chẳng hạn:

Kết hợp với điều kiện của t, ta đƣợc:

 3

t2

- 18.3

-t2 + 3> 0

 3

t2

- 18 13

 3

t2 > 3  t2>1  t<-1 t>1

 log3x<-1 log3x>1 





x<13x>3Vậy nghiệm của bất phương trình là: (0; 1

t<-1 t>1  

log3x<-1 log3x>1







x<13x>3

3)  (3;+)

Do x > 0  3 x-1 > -1  1+ 3 x-1 > 0 (luôn đúng)

Khi đó (2)  x > 1+ 3 x-1  x > (1+ 3 x-1 )2

 x > 1+2 3 x-1 + 3 (x-1)2

 x-1-23 x-1 - 3 (x-1)2 > 0 (3) Đặt t= 3

x-1 , t > -1 (do x>0)

Khi đó (3)  t3 - 2t - t2>0  t3 - t2 - 2t > 0  t(t+1)(t-2) > 0

 

-1<t<0 t>2 



-1<3 x-1<0 3

x-1>2

 

-1<x-1<0 x-1>8  

0<x<1 x>9

Vậy bất phương trình có nghiệm là (0;1) (9;+)

2.3 Phương pháp hàm liên tục

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

3x+6 + x-1  x2 - 1

Lời giải:

Điều kiện: x 1 Trước hết ta giải phương trình:

+ x-2x-1+1 = (x-2)(x+2)

(x+6)2+23 x+6+4

x-1+1=x+2(2) Với x  1, ta có: x+2  3, trong khi

13

(x+6)2+23 x+6+4

+ 1

349+23 7+4

+ 1 < 2

Vậy (2) vô nghiệm, do đó (1)  x = 2

Bất phương trình đã cho được viết lại: 3

x+6 + x-1 - (x2-1)  0 (3) Xét hàm số f(x) = 3

x+6 + x-1 - (x2-1) là hàm liên tục trên nửa khoảng [1; +) Theo kết quả giải phương trình (1) thì f chỉ đổi dấu đúng một lần tại điểm x = 2 Ta có:

Do điều kiện và (2) nên ta giải (3) với điều kiện 0  x13 Ta có:

Đặt x+1 = 1 - t, điều kiện t  1 Kết hợp với (*), ta được:

Với t = 1 ta có x = -1, với t = -2 ta có x = 8, với t = -3 ta có x = 15

Thử lại thấy x = -1, x = 8, x = 15 thỏa mãn (*) Do đó (*) có ba nghiệm

x = -1, x = 8, x = 15

Vì f(x) = x+1 + 3 7-x - 2 là hàm số liên tục trên nửa khoảng [-1; +)

nên f chỉ đổi dấu khi đi qua các điểm x = -1, x = 8, x = 15 Ta có

f(7) = 8 – 2 > 0, f(9) = 10 + 3 -2 -2< 0, f(34) = 35 + 3 -27 - 2 > 0

Do đó tập nghiệm của bất phương trình (-1;8)  (15; +)

2.4 Phương pháp sử dụng định lý Lagrange

Đây là một phương pháp đặc biệt, mới xuất hiện trong thời gian gần

đây Cơ sở c ủa phương pháp này là định lý sau:

Định lý Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có

đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một số c  (a; b) sao cho:

f(b) - f(a) = f'(c)(b-a) Sau đây ta sẽ trình bày một vài dạng bất phương trình được giải bằng

cách vận dụng định lý trên

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

3

x2-4 + (x2-4) 3x-2 1

Lời giải:

Xét hàm số f(x)= 3x xác định và liên tục trên R, có f(0) = 1 và f'(x) = 3x ln3, x  R Theo định lý Lagrange, có c nằm giữa 0 và x2-4

sao cho: f(x2-4) - f(0) = f'(c)(x2-4-0)

Bất phương trình đã cho viết lại:

2x - 22x+1 = f(x) - f(2x+1)= f'(c) [x - (2x+1)] = - (x+1)2c ln2

Bởi vậy bất phương trình tương đương:

- (x+1) 2c ln2  (x+1) 3x (x+1)(3x + 2c ln2)  0  x  -1

Vậy bất phương trình có nghiệm là x  -1

2.5 Phương pháp phân khoảng tập xác định

 

x=3 x=4

- Với x = 3 bất phương trình trở thành bất đẳng thức:

3 log33

-13







x>1 7x2-9x>0 

x( 8x-2x2-6+1 ) 0 (1)

125 1

5 (loại) Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1

Ví dụ 4: Giải bất phương trình:

3

x2-4 + (x2-4) 3x-2  1 (1)

Lời giải:

Điều kiện: D = R

- Với | |x > 2 thì x2 - 4> 0 và x - 2 > 0 Do đó 3

x2-4 > 30 = 1 (vì hàm đồng

biến)

Và (x2-4) 3x-2 < 0 nên VT(1) < 1 =VP(1) Bất phương trình không có nghiệm trong khoảng trên

- Với x = 2 thay vào (1) thỏa mãn

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

- Cho điểm M ngoài đường thẳng  cho trước, khi đó độ dài đường

vuông góc kẻ từ M xuống  ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ M xuống

đường thẳng ấy

Sử dụng tính chất “ đường gấp khúc nối hai điểm dài hơn đường

thẳng nối hai điểm ấy”:

Ví dụ 1: Cho a1, a2, , an >0; b1, b2, , bn >0

CMR:

Lời giải: Trên trục hoành đặt liên tiếp các đoạn OB1= b1, B1B2= b2, ,

Bn-1Bn= bn Đường thẳng song song với trục tung kẻ từ Ai và đường thẳng song song với trục hoành kẻ từ Bi cắt nhau tại Ci (i= 1, ,n)

2.7 Phương pháp biến đổi tương đương

* Đối với bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

 |f(x) > | |g(x) | f(x)2 > g(x)2  [ f(x) - g(x) ] [ f(x) + g(x) ] > 0

 |f(x) > g(x) |  f(x)>g(x)

f(x)<-g(x)

 

x<0 x>1 Vậy nghiệm của bất phương trình là (-;0)(1;+)

* Đối với bất phương trình chứa căn





g(x)0 f(x)[g(x)]2k





2x-50 (2x-5)2<-x2+4x-3

2x<14

5  1x<14

5

Vậy nghiệm của bất phương trình là [1;14

Ta thấy VT<0 và VP>0 với x<1, bất phương trình vô nghiệm

Vậy x = 1 là nghiệm của bất phương trình

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x = 1 hoặc x 4

Chú ý: xy = x y với x,y  0

xy = -x -y với x,y < 0

VD3: Giải bất phương trình:

2x2x+1-1 > 2x+2

2x+1 +1 > 2x+2  2x+1 > 2x+1

 2x+1 > (2x+1)2 (do 2x+10)

 4x2+2x < 0

* Đối với bất phương trình mũ

Để chuyển ẩn số khỏi số mũ lũy thừa, người ta có thể logarit theo cùng một cơ số cả hai vế của bất phương trình Chúng ta lưu ý các trường hợp cơ bản sau cho các bất phương trình mũ





0<a<1 f(x)>g(x)

hoặc





a>0 (a-1)[f(x)-g(x)]<0





0<a<1 f(x)<g(x)





0<a<1 f(x)>logabVới b0Bất phương trình (3) vô nghiệm



0<a<1 f(x)<logabTrường hợp 2: b < 0

 Bất phương trình (4) vô nghiệm

2)1-x

Vậy nghiệm của bất phương trình là x2

Chú ý: Với một số bất phương trình cần thiết rút gọn trước khi logarit

hóa

VD 2 : Giải bất phương trình

9x + 9x+1 + 9x+2 < 4x + 4x+1 + 4x+2

91

 x < log9

4

2191

Vậy nghiệm của bất phương trình là x< log9

4

21

91

Chú ý: Ví dụ trên chúng ta lấy logarit cơ số 9

4 >1 nên dấu của bất phương trình không đổi chiều

Kết hợp với (1) ta được:





x<-4 -2<x<- 3 3<x2

* Đối với bất phương trình logarit

- Đề chuyển ẩn số khỏi logarit, người ta có thể mũ hóa theo cùng một cơ số cả hai vế của bất phương trình





0<a<1 f(x)>g(x)>0





0<a<1 0<f(x)<g(x)





0<a<1 f(x)>ab





0<a<1 0<f(x)<ab

VD 1: Giải bất phương trình: 3(log3 x)2

+ xlog3x  6 (1)

Lời giải:

Điều kiện: x>0

Ta sử dụng phép biến đổi: 3(log3 x)2

= (3log3x)log3x = xlog3x

Khi đó (1) có dạng: xlog3 x

+ xlog3x  6  xlog3x  3 Lấy logarit cơ số 3 hai vế, ta được:

log3(xlog3x )  log33  (log3x).log3x  1

 (log3x)2  1

 -1 log3x  1  1

3  x  3 Vậy nghiệm của bất phương trình là: [ 1; 3]



0<x<1

5x2-8x+3>0 4x2-8x+3<0

2<x<

35

Vậy bất phương trình có nghiệm là (1

2.8 Phương pháp chiều biến thiên hàm số

Dựa vào định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên tập xác định

D = [a; b]  R thì tồn tại M = max f(x); m = min f(x) Trong đó:

Lời giải:

Bất phương trình (*) tương đương: log2

3x + (log23x)+1  2 + 1 Đặt t = (log2

3x)+1, t 1 Khi đó: x [1; 3 3]  1 t 2 (*) trở thành: t2

Suy ra f(t)  2 có nghiệm thuộc đoạn [1;2]  max f(x)  2

[1; 2]

Vậy để bất phương trình có nghiệm thuộc đoạn [1; 3 3] thì  2

2.9 Phương pháp đồ thị

Với các bất phương trình vô tỷ chứa tham số sử dụng phương pháp

đồ thị thường được thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương, biến đổi bất

phương trình về một hệ ( gọi là hệ (I) các bất phương trình đại số )

Bước 2: Xét hệ trục tọa độ Oxy

 Biểu diễn những điểm M(x; m) thỏa mãn các bất phương trình trong (I) Giả sử là các tập X1, X2,…, Xn





x2+y2=1(2) x-y-m0(3)