Tính ổn định nghiệm của bài toán quan hệ biến phân

Chương này trình bày một số tính chất tôpô của tập nghiệm như tính lồi, tính bị chặn, tính đóng và tính ổn định nghiệm của bài toán quan hệ biến phân có tham số.. Luận văn này cố gắng tr

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-TRẦN THỊ CHIÊN

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA

BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2014

Mục lục

1.1 Kiến thức tôpô và giải tích hàm 5

1.1.1 Không gian metric 5

1.1.2 Không gian véctơ tôpô 6

1.2 Ánh xạ đa trị 10

1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị 10

1.2.2 Một số định lí về sự tương giao và về điểm bất động của ánh xạ đa trị 14

1.2.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 14

2 Bài toán quan hệ biến phân 24 2.1 Phát biểu bài toán và một số ví dụ 24

2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân 28

2.2.1 Định lí cơ bản 28

2.2.2 Tiêu chuẩn dựa trên sự tương giao 30

2.2.3 Tiêu chuẩn dựa trên điểm bất động 35

3 Tính chất tôpô của tập nghiệm của bài toán quan hệ biến phân 39 3.1 Tính lồi của tập nghiệm 40

3.2 Tính bị chặn của tập nghiệm 42

3.3 Tính đóng của tập nghiệm 43

3.4 Tính ổn định của tập nghiệm 45

3.5 Các trường hợp đặc biệt 52

3.5.1 Bài toán bao hàm thức biến phân 53

3.5.2 Bài toán tựa cân bằng 55

KẾT LUẬN 58

Tài liệu tham khảo 59

Mở đầu

Lý thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng kinh tế, lý thuyết giátrị của Edgeworth từ năm 1881 và Pareto từ năm 1886 Cho tới những nămcuối thế kỉ XX lý thuyết tối ưu trở thành một ngành toán học quan trọng trongnhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học, kĩ thuật và kinh tế cũng nhưtrong thực tế

Trong xu thế phát triển chung của lý thuyết tối ưu và áp dụng lý thuyết cânbằng vào giải quyết các lĩnh vực cơ bản khác nhau của cuộc sống, một lớp bàitoán mới, bài toán "Quan hệ biến phân" được đề xuất lần đầu tiên vào năm

2008 bởi GS Đinh Thế Lục nhằm nghiên cứu một bài toán tổng quát hơn theonghĩa một số lớp bài toán quen thuộc có thể được suy từ bài toán này như bàitoán tối ưu tuyến tính, bài toán tối ưu phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toántựa cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân, bài toán bao hàm thức tựa biếnphân, bài toán bất đẳng thức biến phân,

Bài toán quan hệ biến phân được phát biểu như sau: Tìm ¯ a ∈ A sao cho(1) ¯ là điểm bất động của ánh xạ S1, tức làa ∈ S ¯ 1(¯ a);

(2) Quan hệ R(¯ a, b, y) đúng với mọi b ∈ S 2 (¯ và y ∈ T (¯ a, b),

Luận văn có mục đích trình bày bài toán quan hệ biến phân và tính ổn địnhcủa tập nghiệm của bài toán quan hệ biến phân Luận văn được chia thành bachương

Chương 1 Kiến thức cơ sở Chương này giới thiệu cơ sở lý thuyết cho haichương sau, nhắc lại một số kiến thức về giải tích hàm, trình bày một số kháiniệm, tính chất và tính liên tục của ánh xạ đa trị

Chương 2 Bài toán quan hệ biến phân Mục đích chính của chương này

là trình bày về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân dựa trên tínhchất tương giao KKM và các định lí về điểm bất động

Chương 3 Tính chất tôpô của tập nghiệm Chương này trình bày một

số tính chất tôpô của tập nghiệm như tính lồi, tính bị chặn, tính đóng và tính

ổn định nghiệm của bài toán quan hệ biến phân có tham số

Luận văn này cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minhđược cụ thể và chi tiết hơn) về sự tồn tại nghiệm và các tính chất của tập nghiệmcủa bài toán quan hệ biến phân được đề cập trong các bài báo [4, 5]

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS

Tạ Duy Phượng Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đápcác thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến thầy

Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã thamgia giảng dạy khóa cao học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công laodạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quantâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ củamình

Hà Nội, tháng 12 năm 2014Tác giả luận văn

Trần Thị Chiên

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức về giải tích hàm như cáckhái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô, và kháiniệm ánh xạ đa trị, tính liên tục của ánh xạ đa trị, cần thiết cho việc trìnhbày các nội dung ở chương sau

1.1 Kiến thức tôpô và giải tích hàm

1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X 6= ∅, ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tậphợp các số thực R được gọi là một metric trên X nếu các tiên đề sau đây đượcthỏa mãn:

1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất);

2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng);

3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác)

Tập X với metric d trang bị trên X được gọi là không gian metric, kí hiệu là

(X, d) hay thường được viết làX. Số d(x, y)gọi là khoảng cách giữa hai phần tử

x và y Các phần tử của X gọi là các điểm

Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric

Định nghĩa 1.1.2 Cho X là hai không gian metric, một điểm x ∈ X và A làmột tập con của X Khoảng cách từ điểm x đến tập A được xác định bởi

d(x, A) = inf

a∈A d(x, a).

Định nghĩa 1.1.3 (Khoảng cách Hausdorff) Cho X và Y là hai không gianmetric, một điểm x ∈ X và A, B lần lượt là các tập con trong X, Y Khoảng

cách Hausdorff từ tập A đến tập B được xác định bởi

d (x n , x m ) ≤ d (x n , x) + d (x, x m ) → 0 (n, m → ∞).Nhưng ngược lại một dãy cơ bản trong một không gian bất kỳ không nhấtthiết hội tụ Chẳng hạn nếu xét khoảng (0, 1) là một không gian metric với

d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ (0, 1) thì dãy n1

n

o, mặc dù là dãy cơ bản, nhưngkhông hội tụ trong không gian ấy

Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric X trong đó mọi dãy cơ bản đều hội tụ(tới một phần tử của X ) được gọi là một không gian đủ

Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ P : X → X được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu

∃k > 0 : d (P (x), P (y)) ≤ kd(x, y).

• k = 1: f được gọi là ánh xạ không giãn

• 0 < k < 1: f được gọi là ánh xạ co

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co P từ khônggian metric đủ (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động x ¯ duy nhất, nghĩa làtồn tại duy nhất x ∈ X ¯ thỏa mãn hệ thức P ¯ x = ¯ x

1.1.2 Không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 1.1.7 (Không gian tôpô) Cho tập X 6= ∅ Một họ τ các tập concủa X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:

(i) ∅, X ∈ τ;

(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ;

(iii) Hợp của một số tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ

Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.8 Cho hai tôpô τ1 và τ2. Ta nói τ1 yếu hơn τ2 (hay τ2 mạnhhơn τ1) nếu τ1 ⊂ τ2, nghĩa là mọi tập mở trong tôpô τ1 đều là tập mở trong τ2.

Định nghĩa 1.1.9 Cho (X, τ ) là không gian tôpô

• Tập G được gọi là tập mở trong X nếuG ∈ τ.

• Tập F được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ.

Định nghĩa 1.1.10 Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A là tập con của X Tập

U được gọi là một lân cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa A Khi

A = {x} thì U là một lân cận của điểm x

Định nghĩa 1.1.11 Một họ V = 

V : V là lân cận của điểmx ∈ X được gọi

là cơ sở lân cận của điểm x nếu với mọi lân cận U của điểm x, tồn tại lân cận

V ∈ V sao cho x ∈ V ⊂ U.

Định nghĩa 1.1.12 Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một tập con bất kì của

X Đối với mỗi phần tử bất kì x ∈ X ta gọi:

(i) x là điểm trong của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong A.(ii) x là điểm ngoài của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong

X\A

(iii) x là điểm biên của A nếu x đồng thời không là điểm trong và không làđiểm ngoài củaA. Hay nói cách khác xlà điểm biên của A nếu mọi lân cậncủa x đều giao khác rỗng với A và X\A

Định nghĩa 1.1.13 Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô (X, τ ). Tagọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở nằm trong A, và nó là tập

mở lớn nhất Kí hiệu là Ao hoặc intA.

Định nghĩa 1.1.14 Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô (X, τ ) Tagọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng nằm trong A, và nó là tậpđóng nhỏ nhất Kí hiệu là A¯ hoặc clA.

Định nghĩa 1.1.15 ChoX, Y là hai không gian tô pô Một ánh xạ f từX vào

Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận V của f (x0) đều tồn tạimột lân cận U củax0 sao cho f (U ) ⊆ V.

Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X

Định nghĩa 1.1.16 Không gian tô pô (X, τ ) được gọi là không gian Hausdorff(hay T2 − không gian) nếu mọi cặp điểm x khác y trong X đều tồn tại một lâncận U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅.

Định nghĩa 1.1.17 Giả sử F là một trường R hoặc C. Các phần tử của F

được gọi là số (đại lượng vô hướng) Một không gian véctơ V định nghĩa trêntrường F là một tập hợp V không rỗng mà trên đó hai phép cộng véctơ và phépnhân với một số hướng được định nghĩa sao cho các tính chất cơ bản sau đâyđược thỏa mãn:

1 Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:

Với mọi u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w;

2 Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán:

Với mọi v, w ∈ V : v + w = w + v;

3 Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa:

Với mọi v ∈ V, có một phần tử 0 ∈ V, gọi là véctơ không: v + 0 = v;

4 Phép cộng véctơ có phần tử đối:

Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V: v + w = 0;

5 Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ:

Định nghĩa 1.1.19 Cho X là không gian véctơ, x1, x2, , xk ∈ X và các số

Định nghĩa 1.1.20 Giả sử S ⊂ X. Bao lồi của S, kí hiệu là convS là tập hợpcác tổ hợp lồi của các điểm trong S.

Định nghĩa 1.1.21 Cho X là không gian véctơ

1 Một tập C ⊆ X được gọi là nón nếu với mọi λ ≥ 0, mọi x ∈ C thì λx ∈ C.

2 Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là tập lồi Như vậy, một tập C

là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:

(i) λC ∈ C với mọi λ ≥ 0,

(ii) C + C ⊆ C.

Định nghĩa 1.1.22 Ta nói một tôpô τ trên không gian véctơ X tương hợp vớicấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tôpô đó, tức lànếu:

1 x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y; cụ thể với mọi lân cận V củađiểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y sao chonếu x0∈ Ux, y0 ∈ Uy thì x0+ y0∈ V.

2 αx là một hàm liên tục của hai biến α, x; cụ thể với mọi lân cận V của αx

đều có một số ε > 0 và một lân cậnU của x sao cho |α − α0| < ε, x0 ∈ U thì

α0x0 ∈ V.

Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi

là một không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính)

Định nghĩa 1.1.23 Một không gian véctơ tôpôX được gọi là không gian véctơtôpô lồi địa phương nếu trongX có một cơ sở lân cận (của gốc) chỉ gồm các tậplồi

Định nghĩa 1.1.24 Cho X là không gian tôpô lồi địa phương và tập C ⊆ X.

Ta nói véctơ d là một phương lùi xa của C nếu x + λd ∈ C với mọi x ∈ C, λ > 0.

Tập tất cả các phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa củaC và được kí hiệu

là o+(C). Vậy, o+(C) = {λ ∈ X : x + λd ∈ C} với mọi x ∈ C, λ > 0.

Định nghĩa 1.1.25 Cho tập I khác rỗng được gọi là định hướng nếu trên nóxác định một quan hệ ” ≥ ” thỏa mãn các tính chất sau:

(i)) Với mọi m, n, p ∈ I sao cho: m ≥ n, n ≥ p thì m ≥ p;

(ii) Nếu m ∈ I thì m ≥ m;

(iii) Với mọi m, n ∈ I thì tồn tại p ∈ I sao cho: p ≥ m, p ≥ n.

Khi đó ta nói tập I được định hướng bởi quan hệ ” ≥ ” và kí hiệu là (I, ≥) hoặcviết tắt là I.

Định nghĩa 1.1.26 Cho I là tập định hướng bởi quan hệ ” ≥ ”. Khi đó ánh

xạ x xác định trên I và nhận giá trị trong tập X được gọi là lưới (hay dãy suyrộng) trong X. Ta viết xi= x(i)và kí hiệu lưới là (xn)n∈I.

Nếu miền giá trị của lưới là không gian tôpôX thì(xn)n∈I được gọi là lưới trongkhông gian tôpô

Định nghĩa 1.1.27 Cho I là một tập định hướng bởi quan hệ ” ≥ ” và X làmột không gian tôpô Khi đó lưới (x n )n∈I được gọi là hội tụ trong không giantôpô đến điểm x đối với tôpô τ nếu với mọi lân cận U của x tồn tại n 0 ∈ I saocho với mọi n ∈ I mà n ≥ n0 thì xn ∈ U. Kí hiệu là lim

n→∞ xn = x hay xn → x.

1.2 Ánh xạ đa trị

1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.2.1 Cho X, Y là hai tập hợp bất kì và tập các tập con của Y

(được kí hiệu là 2Y) Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y nếu với mỗi x ∈ X,

F (x) là một tập hợp con của Y Kí hiệu: F : X ⇒Y, hay F : X → 2Y.

Nhận xét 1.2.1 Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của

Y, thì ta nóiF là ánh xạ đơn trị từX vàoY Khi đó, thay cho kí hiệu F : X ⇒ Y

bằng kí hiệu quen thuộc F : X → Y

Định nghĩa 1.2.3 Cho X và Y là các không gian tôpô và F : X ⇒ Y là ánh

xạ đa trị

1 F được gọi là ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng) nếu gphF là tậpđóng trong không gian tôpô tích X × Y.

2 F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng nếuF (x) là tập đóng với mọix ∈ domF.

3 F được gọi là ánh xạ mở (hoặc ánh xạ có đồ thị mở ) nếu gphF là tập mởtrong không gian tôpô tích X × Y.

4 F được gọi là ánh xạ có giá trị mở nếu F (x) là tập mở với mọi x ∈ domF.

Nhận xét 1.2.2 Nếu ánh xạ đa trị F có gphF đóng thì F (x) là đóng với mọi

x ∈ domF.

Thật vậy, lấy một lưới (x n , y n ) ∈ gphF sao cho (x n , y n ) hội tụ tới (¯ x, ¯ y). Do

(xn, yn) ∈ gphF nênyn ∈ F (xn).Mặt khác, gphF là đóng nên y ∈ F (¯ ¯ x), tức là vớimọi lướixn → ¯ x,vớiyn ∈ F (xn)thì y ∈ F (¯ ¯ x).VậyF (¯ x)là đóng với mọix ∈ domF.

Lấy lưới (x n , y n ) ∈ gphF bất kì, (x n , y n ) → (¯ x, ¯ y). Vì (x n , y n ) ∈ gphF nên y n ∈

F (x n ) hay y n ∈ [−1, 1] với mọi n. Do đoạn [−1, 1] là compact và y n → ¯ y nên

¯

y ∈ [−1, 1]

Trường hợp 1: Nếu x n → ¯ x = 0 thì F (¯ x) = [−1, 1] Do đó y ∈ F (¯ ¯ x) hay

(¯ x, ¯ y) ∈ gphF.

Trường hợp 2: Nếu xn → ¯ x 6= 0 thì tồn tại N > 0 sao cho xn 6= 0 với mọi n ≥ N.

Do yn ∈ F (xn) và F (xn) = 0 với mọi n ≥ N nên yn = 0 với mọi n ≥ N. Suy ra

Định nghĩa 1.2.4 Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô Ta nói ánh xạ đatrị F là:

1 Ánh xạ đa trị lồi nếu gphF là tập lồi trong không gian tích X × Y.

2 Ánh xạ có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi với mọi x ∈ X.

Nhận xét 1.2.3 Giả sử X, Y là các tập lồi của không gian tuyến tính

• Ánh xạ đa trịF : X ⇒Y là lồi nếu và chỉ nếu với mọix1, x2∈ X vàt ∈ [0, 1]

thì

tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊆ F (tx1+ (1 − t)x2) (1.3)Thật vậy, giả sử F là ánh xạ đa trị lồi, tức là gphF là lồi Lấy hai phần tử

x1, x2 bất kì sao cho y1 ∈ F (x1), y2 ∈ F (x2), khi ấy (x1, y1), (x2, y2) ∈ gphF.

Với t ∈ [0, 1] , do gphF lồi nên

(x, y) = (tx 1 + (1 − t)x 2 , ty 1 + (1 − t)y 2 ) ∈ gphF.

Suy ra,ty1+ (1 − t)y2∈ F (tx1+ (1 − t)x2)đúng với mọi y1 ∈ F (x1), y2 ∈ F (x2).

Vì thế,

tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊆ F (tx1+ (1 − t)x2).

Điều ngược lại tương tự

• Ánh xạ đa trịF : X ⇒Y là được gọi là lõm nếu và chỉ nếu với mọix 1 , x 2 ∈ X

Lấy w ∈ tF (x1) + (1 − t)F (x2). Khi đó tồn tại s1, s2 ∈R+ sao cho

1.2.2 Một số định lí về sự tương giao và về điểm bất động của ánh xạ đa

trị

Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô Hausdorff, A một tập con khác rỗngtrong X và F là một ánh xạ đa trị từ X vào Y

Định nghĩa 1.2.5 (Ánh xạ KKM) Ánh xạ đa trị F : A ⇒ A được gọi là ánh

xạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn{a1, , an} củaA và mỗi phần tửa thuộcvào bao lồi của {a1, , an} có thể tìm được một chỉ số i sao cho a ∈ F (ai).Trước hết ta nhắc lại Định lí về sự tương giao hữu hạn của các tập compact.Định lý 1.2.1 Giả sử {Ci : i ∈ I} là một họ các tập compact, khác rỗng Nếu

Tiếp tục ta nhắc lại Định lí KKM-Fan cho ánh xạ đa trị

Định lý 1.2.2 Cho A là tập compact, lồi, khác rỗng và ánh xạ F : A ⇒ A làánh xạ KKM với F (a) khác rỗng, đóng

Khi đó T

a∈A

F (a) 6= ∅.

Cuối cùng là Định lí điểm bất động Fan-Browder

Định lý 1.2.3 Cho A là một tập compact, lồi, khác rỗng và nếu ánh xạ đa trị

F : A⇒A với A = S

a∈A

intF−1(a) thì tồn tại a ∈ A mà a ∈ convF (a)

1.2.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Cho Λ, X là các không gian tôpô và ánh xạ đa trị F : Λ⇒ X.

Định nghĩa 1.2.6 Ánh xạ F là:

(i) Nửa liên tục trên tại λ0 ∈ domF (kí hiệu usc) nếu với mọi tập mở V ⊂ X

thỏa mãn F (λ0) ⊂ V, tồn tại tập mở U của λ0 sao cho F (λ) ⊂ V với mọi

λ ∈ U ∩ domF ;

(ii) Nửa liên tục dưới tại λ0 ∈ domF (kí hiệu lsc) nếu với mọi tập mở V ⊂ X

thỏa mãn F (λ0) ∩ V 6= ∅, tồn tại tập mởU củaλ0 sao cho F (λ) ∩ V 6= ∅ vớimọi λ ∈ U ∩ domF ;

(iii) Liên tục tại λ0 ∈ domF nếu nó vừa nửa liên tục trên và nửa liên tục dướitại λ0.

Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc domF, thì F được gọi là liên tục ở trên Λ.

của F (0). Khi ấy với mọi lân cận

U = (−δ 1 , δ 2 )của 0 thì tồn tại x ∈ U, x 6= 0 sao cho F (x) = [−1, 1] 6⊂ V. Do đó ánh

xạ F không là ánh xạ nửa liên tục trên tại x = 0.

Mặt khác, với mọi lân cận V sao cho F (0) ∩ V 6= 0. Vì F (0) = {0} nên 0 ∈ V, do

đó ta có thể coi V = (−1, 2) Chọn U = (−δ, δ) bất kì, khi ấy ta có

Ánh xạ F là ánh xạ nửa liên tục trên tại x = 0 nhưng không là ánh xạ nửaliên tục dưới tại x = 0.

Thật vậy, với mọi lân cận V củaF (0) sao cho F (0) ⊂ V. VìF (0) = [0, 1] nên ta

có thể coi V = (−,  + 1) Chọn U = (−δ, δ), khi ấy ta có 0 = F (x) ⊂ V với mọi

x ∈ U, x 6= 0. Vậy ánh xạ F là ánh xạ nửa liên tục trên tại x = 0.

Mặt khác, lấy một lân cận mở V =

1

2,

3 2

sao cho F (0) ∩ V 6= ∅. Khi ấy với mọilân cận U = (−δ1, δ2) của 0 thì tồn tại x ∈ U, x 6= 0 sao cho {0} = F (x) ∩ V = ∅.

Do đó ánh xạ F không là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x = 0.

Định nghĩa 1.2.7 (Xem [6], trang 13) Giới hạn dưới, giới hạn trên, giới hạndưới mở và giới hạn trên mở của F tại λ0 lần lượt được kí hiệu lim infλ→λ0F (λ), lim supλ→λ0F (λ), lim infoλ→λ0F (λ) và lim supoλ→λ0F (λ) trong đó

lim infλ→λ0F (λ) := {x ∈ X : với mọi lưới λν hội tụ tới λ0, tồn tạixν ∈ F (λν)

sao choxν hội tụ tớix};

lim supλ→λ0F (λ) := {x ∈ X : tồn tại lướiλν hội tụ tớiλ0và xν hội tụ tớix

sao choxν ∈ F (λν)với mọiν};

lim infoλ→λ0F (λ) := {x ∈ X : tồn tại các lân cận mởU củaλ0và V củax

sao choV ⊆ F (λ), với mọi λ ∈ U, λ 6= λ0};

lim supoλ→λ0F (λ) := {x ∈ X : tồn tại lân cận mởV củaxvà một lướiλν

hội tụ tớiλ0sao choV ⊆ F (λν), với mọiν, λν 6= λ0}.

Bổ đề 1.2.1 Các quan hệ sau là đúng:

(1) lim infoλ→λ0F (λ) ⊆ lim infλ→λ0F (λ) ⊆ lim supλ→λ0F (λ);

(2) lim infoλ→λ0F (λ) ⊆ lim supoλ→λ0F (λ) ⊆ lim supλ→λ0F (λ);

(3) lim infoλ→λ0Fc(λ) =lim supλ→λ0F (λ)c;

(4) lim infλ→λ0Fc(λ) =limsupoλ→λ0F (λ)c;

trong đó Fc = X\F.

Chứng minh Các quan hệ của (1) và (2) suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Ta chứng minh khẳng định (3) Giả sử x ∈ lim infoλ→λ0Fc(λ) Lấy U và V làhai lân cận mở của λ0 và x thì theo định nghĩa giới hạn trên mở V ⊆ Fc(λ), vớimọi λ ∈ U, λ 6= λ0, nên V ∩ F (λ) = ∅, với mọiλ ∈ U Suy ra x / ∈ lim supλ→λ0F (λ),nên x ∈lim supλ→λ0F (λ)c. Vì vậy

lim infoλ→λ0Fc(λ) ⊆lim supλ→λ0F (λ)c. (1.6)Giả sử x / ∈ lim infoλ→λ0Fc(λ). Khi đó với mọi lân cậnU củaλ0 và V củax thì tồntạiλU,V ∈ U sao choV *Fc(λU,V), nên có xU,V nào đó sao choxU,V ∈ V ∩F (λU,V).

Chọn U và V từ một cơ sở lân cận của λ 0 và x để các lưới λU,V và xU,V lần lượthội tụ về λ 0 và x Khi đó, x ∈ lim supλ→λ0F (λ), nên x / ∈ lim supλ→λ0F (λ)c. Vìvậy



lim supλ→λ0F (λ)c ⊆ lim infoλ→λ0Fc(λ). (1.7)

Từ (1.6) và (1.7)

lim infoλ→λ0Fc(λ) =lim supλ→λ0F (λ)c.

Cuối cùng chứng minh khẳng định (4) Giả sử x ∈ lim infλ→λ0Fc(λ). Khi đóvới mỗi lưới λν hội tụ tới λ0, có một xν ∈ F (λ / ν) nào đó sao cho xν hội tụ tới x

Điều này có nghĩa là với mỗi lân cận V của x thì có V * F (λν) với mọi λν đủgần tới λ0 Suy ra x / ∈ lim supoλ→λ0F (λ), nên x ∈limsupoλ→λ0F (λ)c. Vì vậy

liminfλ→λ0Fc(λ) ⊆limsupoλ→λ0F (λ)c. (1.8)Giả sử x / ∈ lim infλ→λ0Fc(λ). Khi đó có một lưới λν hội tụ tới λ0 và một lân cận

V của x sao cho V ∩ Fc(λν) = ∅, nên V ⊆ F (λν) với mọi ν Suy ra

1 outer-liên tục tại λ0 ∈ Λ nếu lim supλ→λ0F (λ) ⊆ F (λ0);

2 inner-liên tục (hay nửa liên tục dưới ) tại λ0 ∈ Λ nếulim infλ→λ0F (λ) ⊇ F (λ0);

3 inner-mở (hoặc mở ) tại λ0 ∈ Λ nếu lim infoλ→λ0F (λ) ⊇ F (λ0);

4 outer-mở tại λ0∈ Λ nếu lim supoλ→λ0F (λ) ⊆ F (λ0).

Nhận xét 1.2.4 Nếu F đóng thì F là outer-liên tục tại mọi λ0 ∈ Λ.

Thật vậy, lấy lưới bất kì (λν, xν) ∈ gphF, (λν, xν) → (λ0, x0). Theo định nghĩagiới hạn trên ta có x0 ∈ lim supλ→λ0F (λ). Vì F đóng nên gphF đóng tức là

(λ0, x0) ∈ gphF. Suy ra x0 ∈ F (λ0). Do đó lim supλ→λ0F (λ) ⊆ F (λ0), hay F làouter-liên tục

Mệnh đề 1.2.1 Các khẳng định sau là đúng:

(1) F là outer-mở tại λ0 nếu và chỉ nếu Fc là inner-liên tục tại λ0;

(2) F là outer-liên tục tại λ 0 nếu và chỉ nếu Fc là inner-mở tại λ 0;

(3) F là outer-liên tục và có giá trị đóng (tương ứng, inner-mở và có giá trịmở) trên Λ nếu và chỉ nếu đồ thị của F là đóng (tướng ứng, mở);

(4) Nếu F là outer-liên tục tại λ 0 thì F outer-mở tại λ 0;

(5) F là inner-mở tại λ0 thì F inner-liên tục tại λ0

Chứng minh Trước hết chứng minh khẳng định (1) Giả sử F là outer-mở tại

λ0, thì theo định nghĩa ta có lim supoλ→λ0F (λ) ⊆ F (λ0). Suy ra

Fc là inner-mở Điều ngược lại tương tự

Chứng minh khẳng định (3) Giả sử gphF là đóng Khi đó F có giá trị đóng(xem Nhận xét (1.2.2), Mục 1.2) Hơn nữa,F đóng thìF là outer-liên tục (Nhậnxét (1.2.4))

Ngược lại, giả sử F là outer-liên tục và có giá trị đóng Lấy một lưới bất kì

{(λν, xν)} ∈ gphF sao cho(λν, xν) → λ0, x0
.Khi đó ta có thể tìm được một lướicon kí hiệu như kí hiệu lưới, sao cho với mọi ν hoặc là λν ≡ λ0 hoặc là λν 6= λ0.

Trong trường hợp 1: λν ≡ λ0 thì xν ∈ F (λ0), với mọi ν Vì xν → x0 và F có giátrị đóng nên x0∈ F (λ0)

Trong trường hợp 2: λν 6= λ0 thì x0 ∈ lim supλ→λ0F (λν). Do F là outer-liên tụcnên lim supλ→λ0F (λν) ⊆ F (λ0). Vì vậy λ0, x0
∈ gphF tức là gphF đóng

Trong trường hợp ánh xạ F có gá trị là tập mở thì Fc có giá trị là tập đóng

Áp dụng cho Fc ta suy ra khẳng định (3) cho F.

Chứng minh khẳng định (4) Giả sử F là outer-liên tục tại λ 0 Theo địnhnghĩalim supλ→λ0F (λ) ⊆ F (λ 0 ).Theo (2) của Bổ đề (1.2.1)thìlim supoλ→λ0F (λ) ⊆ lim supλ→λ0F (λ), nên limsupoλ→λ0F (λ) ⊆ F (λ 0 ). Vậy theo định nghĩa F là outer-mở

Cuối cùng ta chứng minh khẳng định (5) Giả sử F là inner-mở tại λ0.

Theo định nghĩa lim infoλ→λ0F (λ) ⊇ F (λ0). Theo (1) của Bổ đề (1.2.1) thì

lim infoλ→λ0F (λ) ⊆ lim infλ→λ0F (λ), nên lim infλ→λ0F (λ) ⊇ F (λ0). Vậy theo địnhnghĩa F là inner-liên tục

xạ đa trị F : R ⇒ R, với F (λ) = (0, 1) với mọi λ ∈ R thì F là outer-mở và F

không là outer-liên tục

Trong phần tiếp theo của mục này ta giả sử F và G là hai ánh xạ đa trị trên

Λ và lấy giá trị trên X và F ∩ G có giá trị khác rỗng

Bổ đề 1.2.2 Các tính chất chứa và chứa trong sau đây là đúng:

lim #λ→λ0(F (λ) ∪ G(λ)) ⊇ lim #λ→λ0F (λ) ∪ lim #λ→λ0G(λ),

lim #λ→λ0(F (λ) ∩ G(λ)) ⊆ lim #λ→λ0F (λ) ∩ lim #λ→λ0G(λ),

trong đó kí hiệu # có thể là sup, supo, inf, info. Đặc biệt tính chất chứa của giớihạn trên và tính chất chứa trong của giới hạn dưới mở là đẳng thức, tức là

limsupλ→λ0(F (λ) ∪ G(λ)) = limsupλ→λ0F (λ) ∪ limsupλ→λ0G(λ), (1.10)

lim infoλ→λ0(F (λ) ∩ G(λ)) = lim infoλ→λ0F (λ) ∩ lim infoλ→λ0G(λ). (1.11)Hơn nữa, tính chất chứa và chứa trong sau đây cũng đúng:

lim supoλ→λ0F (λ) ∪ limsupλ→λ0G(λ) ⊇ lim supoλ→λ0(F (λ) ∪ G(λ)) , (1.12)

liminfλ→λ0F (λ) ∩ lim infoλ→λ0G(λ) ⊆ liminfλ→λ0(F (λ) ∩ G(λ)) (1.13)Chứng minh Tính chất chứa và chứa trong của giới hạn dưới và giới hạn trên

là chuẩn (xem Mệnh đề 1.2.1, [3])

Chứng minh tính chất chứa của giới hạn trên mở

lim supoλ→λ0(F (λ) ∩ G(λ)) ⊆ lim supoλ→λ0F (λ) ∩ lim supoλ→λ0G(λ).

Thật vậy, giả sửx ∈ lim supoλ→λ0(F (λ) ∩ G(λ)) Theo định nghĩa tồn tại lân cận

V của x và một lưới λ ν hội tụ tới λ 0 sao cho V ⊆ F (λ) ∩ G(λ) với mọi ν. Suy

ra, V ⊆ F (λ) và V ⊆ G(λ), nên x ∈ lim supoλ→λ0F (λ) và x ∈ lim supoλ→λ0G(λ). Vìvậy, x ∈ lim supoλ→λ0F (λ) ∩ lim supoλ→λ0G(λ). Ta có điều phải chứng minh Cáctrường hợp còn lại chứng minh tương tự

Chứng minh công thức (1.11) Lấy x ∈ lim infoλ→λ0(F (λ) ∩ G(λ)), nên theođịnh nghĩa tồn tại một lân cận mởU củaλ0 và V củax sao choV ⊆ F (λ) ∩ G(λ).Suy ra V ⊆ F (λ) và V ⊆ G(λ), nên x ∈ lim infoλ→λ0F (λ) và x ∈ lim infoλ→λ0G(λ)

Vì vậy, x ∈ lim infoλ→λ0F (λ) ∩ lim infoλ→λ0G(λ). Vì vậy

lim infoλ→λ0(F (λ) ∩ G(λ)) ⊆ lim infoλ→λ0F (λ) ∩ lim infoλ→λ0G(λ). (1.14)

Lấy x ∈ lim infoλ→λ0F (λ) ∩ lim infoλ→λ0G(λ). Khi đó tồn tại hai lân cận mở V1 và

V2 của x và hai lân cận mở U1 và U2 của λ0 sao cho V1 ⊆ F (λ) với mọi λ ∈ U1

và V2 ⊆ G(λ) với mọi λ ∈ U2 Xét tập V = V1 ∩ V2 và U = U1 ∩ U2 Suy ra

V ⊆ F (λ) ∩ G(λ) với mọi λ ∈ U Do đó x ∈ lim infoλ→λ0(F (λ) ∩ G(λ)) Vì vậy

lim infoλ→λ0F (λ) ∩ lim infoλ→λ0G(λ) ⊆ lim infoλ→λ0(F (λ) ∩ G(λ)) (1.15)

Từ (1.14) và (1.15) suy ra

lim infoλ→λ0(F (λ) ∩ G(λ)) = lim infoλ→λ0F (λ) ∩ lim infoλ→λ0G(λ).

Chứng minh công thức (1.12) Lấy x ∈ lim supoλ→λ0(F (λ) ∪ G(λ)) Theo địnhnghĩa tồn tại lân cận V của x và một lưới λν hội tụ tới λ0 sao cho

V ⊆ F (λν) ∪ G(λν)với mọiν. (1.16)Nếux ∈ lim

λ→λ 0

sup G (λ)thì ta thực hiện xong Nếu không, tức làx ∈ [limsupλ→λ0G(λ)]c.

Theo (3) của Bổ đề (1.2.1) ta có x ∈ lim infoλ→λ0Gc(λ), tức là tồn tại lân cận W

củaxvà lân cận U củaλ0 sao cho W ⊆ Gc(λ) với mọi λ ∈ U, λ 6= λ0 Kết hợp với(1.16) ta có với mọiν vàλν 6= λ0 thìV ∩W ⊆ F (λν) Vì vậy,x ∈ lim supoλ→λ0F (λ).

Vậy x ∈ lim supoλ→λ0F (λ) ∪ limsupλ→λ0G(λ) Điều phải chứng minh

Cuối cùng ta chứng minh công thức (1.13), ta lấy phần bù cho công thức(1.12)

lim supoλ→λ0F (λ)c∩lim supλ→λ0G(λ)c⊆lim supoλ→λ0(F (λ) ∪ G(λ))c.

Giả sử x ∈ liminfλ→λ0F (λ) ∩ lim infoλ→λ0G(λ). Suy ra x ∈ liminfλ→λ0F (λ) và

x ∈ lim infoλ→λ0G(λ).Theo (3) và (4) của Bổ đề (1.2.1) ta cóx ∈lim supoλ→λ0Fc(λ)c

và x ∈ [limsupλ→λ0Gc(λ)]c. Do đó x ∈ lim supoλ→λ0Fc(λ)c∩ [limsupλ→λ0Gc(λ)]c.

Khi ấy x ∈ lim supoλ→λ0(Fc(λ) ∪ Gc(λ))c. Theo (4) của Bổ đề (1.2.1) ta có

x ∈ liminfλ→λ0[Fc(λ) ∪ Gc(λ)]c. Vì vậy x ∈ liminfλ→λ0(F (λ) ∩ G(λ)) Vậy

liminfλ→λ0F (λ) ∩ lim infoλ→λ0G(λ) ⊆ liminfλ→λ0(F (λ) ∩ G(λ))

Mệnh đề 1.2.2 Các khẳng định sau là đúng:

1. Nếu F và G là các outer-liên tục (tướng ứng, inner-mở, inner-liên tục) tại λ0

thì F ∪ G là outer-liên tục (tướng ứng, inner-mở, inner-liên tục) tại λ0.

2. Nếu F là outer-liên tục và G là outer-mở tại λ0 thì F ∪ G là outer-mở tại λ0.

Chứng minh Trước hết ta sẽ chứng minh khẳng định (1) Giả sử F và G là cácouter-liên tục, theo định nghĩa ta cólim supλ→λ0F (λ) ⊆ F (λ0)vàlim supλ→λ0G(λ) ⊆ G(λ0). Suy ra

lim supλ→λ0F (λ) ∪ lim supλ→λ0G(λ) ⊆ F (λ0) ∪ G(λ0).

lim supoλ→λ0(F (λ) ∪ G(λ)) ⊆ limsupλ→λ0F (λ) ∪ lim supoλ→λ0G(λ) ⊆ F (λ0) ∪ G(λ0).

Vậy F ∪ G là outer-mở tại λ0.

(4) Nếu F và G là outer-liên tục (tương ứng, inner-mở, outer-mở) tại λ0 thì

F ∩ G là outer-liên tục (tương ứng, inner-mở, outer-mở) tại λ0.

(5) Nếu F là inner-mở và G là inner-liên tục tại λ0 thì F ∩ G là inner-liên tụctại λ0.

Chứng minh Trước hết ta sẽ chứng minh khẳng định (1) Giả sửF là outer-liêntục tại λ0 và

Vậy F ∩ G là outer-liên tục Tính outer-mở chứng minh tương tự

Chứng minh khẳng định (2) Giả sử F là inner-mở tại λ 0 và

Vậy F ∩ G là inner-mở tại λ 0

Chứng minh khẳng định (3) Giả sử F là inner-liên tục tại λ 0 và

lim infoλ→λ0G(λ) ⊇ G (λ0) ∩ F (λ0)

Theo định nghĩa inner-liên tục liminfλ→λ0F (λ) ⊇ F (λ0). Theo Bổ đề (1.2.2) ta có

liminfλ→λ0F (λ) ∩ G(λ) ⊇ liminfλ→λ0F (λ) ∩ liminfoλ→λ0G(λ)

⊇ F (λ0) ∩ liminfoλ→λ0G(λ)

⊇ F (λ0) ∩ [G(λ0) ∩ F (λ0)]

= F (λ0) ∩ G(λ0).

Vậy F ∩ G là inner-liên tục tại λ0. Tính inner-mở chứng minh tương tự.

Chứng minh khẳng định (4) Giả sử F và Glà outer-liên tục, theo định nghĩa

ta có limsupλ→λ0F (λ) ⊆ F (λ0) và limsupλ→λ0G(λ) ⊆ G(λ0). Theo Bổ đề (1.2.2) tacó

limsupλ→λ0F (λ) ∩ G(λ) ⊆ limsupλ→λ0F (λ) ∩ limsupλ→λ0G(λ)

inner-liminfλ→λ0F (λ) ∩ G(λ) ⊇ liminfλ→λ0F (λ) ∩ lim infoλ→λ0G(λ)

⊇ F (λ0) ∩ G(λ0).

Vậy F ∩ G là inner-liên tục tại λ0.

Nhận xét 1.2.6 Nếu F và G là ánh xạ inner-liên tục thì không nhất thiếtsuy ra F ∩ G là inner-liên tục, còn nếu F và G là outer-mở thì không nhất thiết

F ∪ Glà outer-mở Chẳng hạn, xét hai ánh xạ đa trịF và Gtrên R xác định bởi

Khi ấy, F và G là ánh xạ outer-mở vì với mọi λ0 ta có

lim supoλ→λ0F (λ) = ∅ ⊆ F (λ0) và lim supoλ→λ0G(λ) = ∅ ⊆ G(λ0).

Nhưng F ∪ G không phải là ánh xạ outer-mở tại 0 vì lim supoλ→λ0F (λ) ∪ G(λ) =

R *{0} = F (0) ∪ G(0).

Chương 2

Bài toán quan hệ biến phân

2.1 Phát biểu bài toán và một số ví dụ

Trong phần này chúng ta giả thiết A, B, Y là các tập khác rỗng, S1 : A ⇒A,

S2: A⇒ B, T : A × B ⇒Y là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và R(a, b, y)

là quan hệ giữa các phần tử a ∈ A, b ∈ B, y ∈ Y.

Định nghĩa 2.1.1 Bài toán tìm ¯ a ∈ A sao cho

(1) ¯ là điểm bất động của ánh xạ S1, tức làa ∈ S ¯ 1(¯ a);

(2) Quan hệ R(¯ a, b, y) đúng với mọi b ∈ S 2 (¯ và y ∈ T (¯ a, b);

được gọi là bài toán quan hệ biến phân, kí hiệu là (VR)

Các ánh xạ đa trị S1, S2, T được gọi là ánh xạ ràng buộc và quan hệ R là mộtquan hệ biến phân Điểm ¯ thỏa mãn điều kiện 1 và 2 được gọi là nghiệm củabài toán (VR) Tập các nghiệm của bài toán (VR) kí hiệu là Sol(VR)

Sau đây là một số mô hình bài toán đã biết có thể được suy ra từ bài toánquan hệ biến phân

Ví dụ 2.1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát được phát biểu như sau

Tìm x ∈ X0 sao cho f (x) → min,trong đó f :Rn →R,

f (x) = cTx = c1x1+ c2x2+ + cnxn,

ở đây x = (x 1 , , x n ), cT = (c 1 , , c n )

Tập ràng buộc X 0 = {x ∈Rn : Ax ≤ b, Cx = d}, với

Quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau

R(a, b, y) đúng nếu f (a) ≤ f (y) với mọi y ∈ T (a, b).

Như vậy, bài toán quy hoạch tuyến tính là bài toán (VR)

Ví dụ 2.1.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến

Cho X ⊆Rn, f, g, h là các hàm thực xác định trên X và tập

D =x ∈ X : g(x) ≤ 0và h(x) = 0 .

Bài toán quy hoạch phi tuyến được phát biểu như sau

Tìm x ∈ X ¯ sao cho f (¯ x) ≤ f (x) với mọi x ∈ D.

Đặt A = B = Y = X, S1(a) = X, S2(a) =x ∈Rn : g(x) ≤ 0vàh(x) = 0 ,

T (a, b) = {b} và quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau

R(a, b, y) đúng nếu f (a) ≤ f (y) đúng với mọi y ∈ T (a, b).

Như vậy, bài toán quy hoạch phi tuyến là (VR)

Ví dụ 2.1.3 Bài toán tối ưu chứa tham số (Optimization Problem)

Cho X, Ω, và Λ là các tập khác rỗng, f là một hàm thực xác định trên X, hai

họ hàm thực g(x, ω), ω ∈ Ω và h(x, λ), λ ∈ Λ và tập

D = {x ∈ X : g(x, ω) ≤ 0, h(x, λ) = 0, ∀ω ∈ Ω, ∀λ ∈ Λ}

Bài toán tối ưu kí hiệu là (OP) phát biểu như sau:

Tìm x ∈ X ¯ sao cho f (x) − f (¯ x) ≥ 0 với mọi x ∈ X thỏa mãn g(x, ω) ≤ 0, vớimọi ω ∈ Ω và h(x, λ) = 0 với mọi λ ∈ Λ. Đặt

A = B = Y = X, S1(a) = X,

S2(a) = {x ∈ X : g(x, ω) ≤ 0, h(x, λ) = 0, ∀ω ∈ Ω, ∀λ ∈ Λ} ,

T (a, b) = {b} ,với mọia, b ∈ A.

Quan hệ R được xác định như sau

R(a, b, y) đúng nếu f (y) − f (a) ≥ 0 với mọi y ∈ T (a, b).

Như vậy, (OP) là (VR)

Ví dụ 2.1.4 Bài toán cân bằng (Equilibrium Problem)

Cho tập X 6= ∅, φ là một hàm thực trên tập X × X Bài toán cân bằng được kíhiệu là (EP) phát biểu như sau

Tìm x ∈ X ¯ sao cho φ(¯ x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ X.Đặt A = B = Y = X, S1(a) = X = S2(a), T (a, b) = {b} với mọi a ∈ A, b ∈ B vàquan hệ R được xác định như sau

R(a, b, y) đúng nếu φ(a, y) ≥ 0 với mọi y ∈ T (a, b).

Như vậy, (EP) là (VR)

Ví dụ 2.1.5 Bài toán bao hàm thức biến phân (Variational Inclusion Problem)Cho F, G là hai ánh xạ đa trị xác định trên A × B × Y lấy giá trị trên khônggian Z. Bài toán bao hàm thức biến phân được kí hiệu là (VIP) phát biểu nhưsau: Tìm a ∈ A ¯ sao cho ¯ a ∈ S1(a) và F (¯ a, b, y) ⊆ G(¯ a, b, y) với mọi b ∈ S2(¯ và

y ∈ T (¯ a, b) Đặt A = B = Y = X, S1(a) = X = S2(a), T (a, b) = {b} với mọi a ∈ A,

b ∈ B và quan hệ R được xác định như sau

R(a, b, y) đúng nếu F (a, b, y) ⊆ G(a, b, y) với mọi b ∈ S2(a), y ∈ T (a, b).

Như vậy, (VIP) là (VR)

Ví dụ 2.1.6 Bài toán tựa cân bằng (Quasi-Equilibrium Problem )

Cho X là không gian tôpô,C là một tập con đóng của không gian véctơ tôpô Z

với intC khác rỗng, các ánh xạ đa trị S, G : X ⇒X và F : X × X ⇒Z. Bài toántựa cân bằng kí hiệu là (QEP) được phát biểu như sau:

Tìm a ∈ X ¯ sao cho

(1) ¯ là điểm bất động của clS,tức là ¯ a ∈ clS(¯ a);

(2) F (b, y) ⊆ Z\ − intC với mọi b ∈ S(¯ a) và y ∈ G(¯ a).

Đặt A = B = Y = X, S 1 (a) = clS(a), S 2 (a) = S(a), T (a, b) = G(a)với mọi a, b ∈ X,

F : X × X ⇒ Z. Quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau

R(a, b, y) đúng nếu F (b, y) ⊆ Z\ − intC với mọi b ∈ S2(a), y ∈ T (a, b).

Như vậy, (QEP) là (VR)

Cho X là không gian tôpô, A ⊆ X, ánh xạ S : X ⇒X và f : X × X → Z. Vớimỗi a ∈ A, C(a) là tập con của không gian véctơ tôpô Z. Một dạng khác của(QEP) là (QEP’) được phát biểu như sau:

Tìm a ∈ A ¯ sao cho

(1) ¯ a ∈ S(¯ a);

(2) f (¯ a, b) ∈ Z\ − intC(¯ a) với mọi b ∈ S(¯ a).

Đặt A = B = Y = X, S1(a) = S2(a) = S(a), T (a, b) = {b} với mọi a ∈ A và

F (x, b, y) = {f (x, b)} và G(x, b, y) = {Z\ − intC(x)} Bài toán (QEP’) là (VIP)

Ta xét bài toán(QEP0∗)là bài toán bổ trợ cho bài toán (QEP’), ở đây−intC(¯ a)

được thay thế bởi −clC(¯ a), cụ thể:

Tìm a ∈ A ¯ sao cho

(1) ¯ a ∈ S(¯ a);

(2) f (¯ a, b) ∈ Z\ − clC(¯ a) với mọi b ∈ S(¯ a).

Tương tự cách đặt như trên ta có bài toán (QEP0∗) là (VIP)

Ví dụ 2.1.7 Bài toán cân bằng véctơ tổng quát mạnh (Generalized strongvector equilibrium problem)

Cho X là không gian metric, Z là không gian véctơ metric và C ⊂ Y là nón lồiđóng Giả sử tập con K ⊂ X khác rỗng và F : K × K ⇒ Z\ {∅}. Bài toán cânbằng véctơ tổng quát mạnh kí hiệu là (GSVEP) phát biểu như sau

Tìm x ∈ K sao cho F (x, y) ∩ (−C\ {0Z}) = ∅ với mọi y ∈ K.

Đặt A = B = K = Y, C ⊂ Z là nón lồi đóng, S1(a) = K = S2(a), T (a, b) = {b} vớimọi a ∈ A, b ∈ B và quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau

R(a, b, y) đúng nếu F (a, y) ∩ (−C\ {0Z}) = ∅, với mọi y ∈ T (a, b).

Như vậy, (GSVEP) là (VR)

Ví dụ 2.1.8 Bài toán bất đẳng thức véctơ Ky Fan yếu (Weak vector Ky Faninequality problem)

Cho X là không gian tôpô, Z là không gian véctơ tôpô, tập K ⊂ X là tập khácrỗng, C ⊂ Z là nón lồi đóng với intC 6= ∅ và ánh xạ đa trị F : K × K ⇒ Z Bàitoán bất đẳng thức véctơ Ky Fan yếu kí hiệu là (P) được phát biểu như sau

Tìm x ∈ K sao cho F (x, η) 6⊂ −intC với mọi η ∈ K.

Đặt A = K = B = Y, S1(a) = K = S2(a), T (a, b) = {b} và quan hệ R(a, b, y) đượcxác định như sau

R(a, b, y) đúng nếu F (a, b) 6⊂ −intC, với mọi b ∈ S2(a).

P2(b) =a ∈ A : a ∈ S1(a)vàR(a, b, y)đúng với mọiy ∈ T (a, b) .

Định lý 2.2.1 ¯ a ∈ SolVR nếu và chỉ nếu a ∈ ¯ T

Nếu b ∈ S2(¯ thì theo điều kiện (2) của bài toán (VR) ta có R(¯ a, b, y) đúng vớimọi y ∈ T (¯ a, b). Mặt khác theo điều kiện (1) của bài toán (VR) thì ¯ a ∈ S1(¯ a).

Suy ra ¯ a ∈ P2(b). Kết hợp với trường hợp trên ta có ¯ a ∈ P (b) với bất kì b ∈ B.

a / ∈ S2−1(b) với mọi b ∈ B, tức là b / ∈ S2(¯ với mọi b ∈ B. Vì thế, S2(¯ a) ∩ B = ∅

hoặc S2(¯ a) = ∅ (mâu thuẫn) Vậy ¯ a ∈ S1(¯ a).

Tiếp theo ta đi chứng minh R(¯ a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2(¯ và y ∈ T (¯ a, b). Thậtvậy, nếu b ∈ S2(¯ thì ¯ a / ∈ A\S2−1(b) hay ¯ a / ∈ P1(b) Mà ¯ a ∈ P (b) nên ¯ a ∈ P2(b),tức là R(¯ a, b, y) đúng với mọi y ∈ T (¯ a, b) Vậy, ¯ là một nghiệm của bài toán(VR)

Hệ quả 2.2.1 Điểm ¯ a ∈ A là nghiệm của (VR) nếu và chỉ nếu tập B\P−1(¯

là tập rỗng Đặc biệt, nếu A = B thì (VR) có nghiệm nếu các điều kiện sau thỏamãn:

(i)Ánh xạ a 7→ A\P−1(a) có điểm bất động nếu A\P−1(a) có giá trị khác rỗng.(ii) Với mỗi a ∈ A, S 2 (a) ⊆ S 1 (a).

(iii) Với mỗi a ∈ A, a ∈ S1(a): R(a, a, y) đúng với mọi y ∈ T (a, a).

Chứng minh Trước hết ta đi chứng minh¯ a ∈ Sol(V R)nếu và chỉ nếuB\P−1(¯ a) =

∅ Thật vậy, giả sử¯ a ∈ Sol(V R), theo Định lí (2.2.1) ta có¯ a ∈ P (b)với mọi b ∈ B,nên b ∈ P−1(¯ với mọi b ∈ B. Vì thế b / ∈ B\P−1(¯ hay B\P−1(¯ a) = ∅ Ngượclại, giả sử B\P−1(¯ a) = ∅, nên b ∈ P−1(¯ với mỗi b ∈ B, tức là ¯ a ∈ P (b) với mỗi

b ∈ B. Suy ra a ∈ ¯ T

b∈B

P (b), theo Định lí (2.2.1) ta có ¯ là nghiệm của (VR).Tiếp tục ta chứng minh phần còn lại của hệ quả Giả sử với mỗi a ∈ A, A\P−1(¯ a) 6= ∅, theo (i) tồn tại a0 ∈ A\P−1(a0). Suy ra a0 ∈ P / −1(a0), tức là

a0 ∈ P (a / 0). Vì thế a0 ∈ P / 1(a0) hay a0 ∈ A\S / 2−1(a0), nên a0 ∈ S2−1(a0), tức là a0 làđiểm bất động của S2(a0), a0∈ S2(a0). Theo (ii) thì a0 ∈ S1(a0). Theo (iii) ta có

R(a0, a0, y) đúng với mọi y ∈ T (a0, a0), nên a0 ∈ P (a0). Do đó, a0 ∈ P−1(a0), mâuthuẫn với điều giả sử Vậy, A\P−1(¯ a) = ∅, theo phần trên của hệ quả thì a0 làmột nghiệm của bài toán (VR)