Tính duy nhất và ổn định của bài toán calderón

NguyễnAnh Tú, người đã có những ý kiến, giúp đỡ tôi về nội dung cũng như việc đọc bản thảo và cho tôi những ý kiến chỉnh sửa quý báu để tôi có thể hoàn thành tốt Luận Văn này.Tôi xin đượ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS ĐẶNG ANH TUẤN

Hà Nội – 2015

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình, chuđáo của TS Đặng Anh Tuấn Nhân dịp này tôi xin được gửi tới thầy lời biết ơn sâusắc nhất Tôi cũng xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới ThS Chử Văn Tiệp, người đã giúp đỡ,gửi cho tôi những tài liệu tham khảo Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới TS NguyễnAnh Tú, người đã có những ý kiến, giúp đỡ tôi về nội dung cũng như việc đọc bản thảo

và cho tôi những ý kiến chỉnh sửa quý báu để tôi có thể hoàn thành tốt Luận Văn này.Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ

- Tin học, trường ĐHKHTN - ĐHQGHN về sự động viên khích lệ, giúp đỡ cũng nhưnhững trao đổi bổ ích trong suốt quá trình học tập và công tác Tôi xin được gửi lờicảm ơn tới các thành viên lớp K53A1T khóa 2008-2012 trường ĐHKHTN - ĐHQGHN

về việc giúp đỡ tôi trong việc sử dụng latex

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm KhoaToán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo, Phòng CTCT - SV, trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học tậpcũng như nhiên cứu

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới người thân, bạn bè những người đã giúp

đỡ, động viên tôi trong quá trình thực hiện Luận Văn này

Hà Nội, ngày 23 tháng 01 năm 2015

Học viên

Trần Thế Dũng

LỜI CẢM ƠN 1

0.1 Giới thiệu bài toán 5

1 Kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Các không gian Lp, Ck 9

1.2 Không gian Sobolev 13

2 Tính duy nhất 19 2.1 Phương trình Schr¨odinger 19

2.2 Nghiệm CGO 28

2.2.1 Ước lượng với q = 0 29

2.2.2 Ước lượng với q 6= 0 33

2.2.3 Xây dựng nghiệm CGO 35

2.3 Chứng minh tính duy nhất 36

3 Tính ổn định 39 3.1 Phương trình Schr¨odinger 42

3.2 Kết quả chính về tính ổn định 47

4 Tính duy nhất trên ∂Ω−,ε 54

2

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

• N: Tập hợp số tự nhiên

• Z+: Tập hợp số nguyên không âm

• |Ω|, |∂Ω| : Tương ứng là thể tích của Ω và diện tích của ∂Ω

• Sn−1

: Mặt cầu đơn vị trong Rn

• B(a, r) : Hình cầu mở tâm a bán kính r

• A∆B: Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B, A∆B = (A\B) ∪ (B\A)

• div (u) : Cho u : Ω ⊂ Rn

→ Cn được xác định bởi u(x) = (u1(x), u2(x), · · · , un(x))khi đó ta định nghĩa div (u) =

n

P

k=1

∂kuk.Cho u, v : Ω ⊂ Rn → C và α = (α1, α2, · · · , αn) ∈ Zn

+

• ∂ku: được xác định bởi ∂ku = ∂x∂u

k với x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Ω

• ∂αu : Đạo hàm riêng cấp |α| = α1 + α2+ · · · + αn của hàm số u

• ∇u : được định nghĩa ∇u = (∂1u, ∂2u, · · · , ∂nu)

• |∇u| : được định nghĩa |∇u| =

• Dju: được định nghĩa bởi Dju = 1i∂ju

• Du: được định nghĩa bởi Du = (D1u, D2u, · · · , Dnu)

• |Du|: được định nghĩa bởi |Du| =

MỞ ĐẦU

0.1 Giới thiệu bài toán

Cho một vật thể dẫn điện, gọi E(x) là điện trường tại vị trí x của vật thể, u(x) làđiện thế tại vị trí x của vật thể, I(x) là cường độ dòng điện tại vị trí x của vật thể.Khi đó ba đại lượng này có các mối quan hệ như sau:

1 Mối liên hệ giữa điện trường và điện thế E = −∇u

2 Định luật Ohm cho ta R(x)I(x) = E(x) trong đó R(x) là tính cản trở của vật thểtại vị trí x Ta có thể viết phương trình trên dưới dạng

I(x) = γ(x)E(x), (0.1)

trong đó γ(x) = R(x)1 là tính dẫn của vật thể tại vị trí x

3 Giả sử vật thể không có nguồn hay tụ, khi đó dòng qua biên của hình cầu mở Bbất kỳ bằng 0 tức là

Z

∂B

ν · IdS = 0,

trong đó ν là vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài của ∂B

Giả sử rằng I khả vi, khi đó theo định lý Gauss - Green (xem [5]), đẳng thức trên

Vì vậy

0 = ∇ · I = ∇ · γE = −∇ · γ∇u (0.2)Phương trình (0.2) được gọi là phương trình vật dẫn

Với giả thiết trên miền Ω vật thể không có nguồn hoặc tụ, cho một điện thế f trênbiên ∂Ω sẽ cảm sinh một điện thế u trong Ω, thỏa mãn bài toán biên Dirichlet

∂Ω.Ánh xạ Λγf, f ∈ H12(∂Ω) biểu thị dòng qua biên Một cách hiểu khác của ánh xạ DNnhư sau

xạ tuyến tính bị chặn từ H12(∂Ω) tới H−12(∂Ω)

Bài toán ngược Calderón đi xác định hàm γ khi biết thông tin về ánh xạ Λγ, tức

là nếu như ta đo được dòng trên biên Λγf, ∀f ∈ H1(∂Ω), ta muốn xác định γ Mộttrong số các ứng dụng của bài toán ngược Calderón là bài toán như thăm dò địa vật

lý, khi đó Ω sẽ được hiểu là Trái Đất, hay bài toán điện não đồ với Ω là não của conngười

Xoay quanh bài toán ngược này người ta thường nghiên cứu một số dạng sau:

1 Xét bài toán điện não đồ, ta đo dòng điện trên bề mặt vỏ não để tìm bệnh củamột người, ta quan tâm tới việc nếu tại hai thời điểm khác nhau cùng một người,nếu cho ta cùng dòng điện đo được trên bề mặt vỏ não thì có giúp cho chúng

ta xác định được cùng một bệnh hay không? Hay nói cách khác, bài toán ngượcCalderón có duy nhất nghiệm hay không? Theo ngôn ngữ toán học tính duy nhất

của bài toán ngược Calderón được phát biểu như sau Nếu Λγ1 = Λγ2 thì có suy

ra được γ1 = γ2 hay không?

2 Cho biết dòng trên biên Λγf, ∀f ∈ H1(∂Ω) hãy tìm cách xây dựng lại hàm γ.Trong Luận Văn này, chúng ta không tìm hiểu bài toán này

3 Trong thực tế, trong quá trình đo các dòng trên biên, vì những lý do khác nhau

sẽ xảy ra những sai số nhất định Một câu hỏi đặt ra, với sai số cho phép đó liệu

có thể giúp chúng ta biết được gần đúng thông tin về vật dẫn hay không? Câuhỏi trên được phát biểu dưới ngôn ngữ toán học: Nếu ||Λγ1− Λγ2||

H1(∂Ω)→H− 12 (∂Ω)

bé liệu có thể suy ra được ||γ1− γ2||L∞ (Ω) bé hay không?

4 Bài toán duy nhất nghiệm ta nghiên cứu tính duy nhất của bài toán khi ta biếtđược dòng trên toàn bộ biên ∂Ω Tuy nhiên trong thực tế, chẳng hạn Ω là nãocon người, không phải lúc nào chúng ta cũng có thể đo được dòng trên toàn bộbiên mà chỉ có thể đo được dòng trên một phần nào đó của biên Vậy nếu như tachỉ đo được dòng trên một phần của biên thì ta có suy ra được tính duy nhất củavật dẫn hay không? Theo ngôn ngữ toán học: Nếu Γ là tập con của ∂Ω và nếu

Λγ1f |Γ = Λγ2f |Γ, với mọi hàm f thì có suy ra được γ1 = γ2 hay không?

Một số kết quả liên quan tới bài toán ngược Calderón: trong trường hợp n = 2, K.Astala và L P¨aiv¨arinta trong [2] chứng minh được tính duy nhất của Λγ trong trườnghợp γ ∈ L∞(Ω) Với n ≥ 3, A Panchenko, L P¨aiv¨arinta và G Uhlmann trong [13] chỉ

ra tính duy nhất của Λγ với γ ∈ C32(Ω) Trong [12], A I Nachman đưa ra một cáchxây dựng lại hàm γ từ ánh xạ Λγ G Alessandrini trong [1] chứng minh ước lượng ổnđịnh dạng log cho hàm γ ∈ C2(Ω), γ bị chặn đều trong Hn2 +2(Ω) N Mandache trong[10] chỉ ra rằng ước lượng ổn định dạng log là tối ưu H Heck trong [7] chỉ ra ước lượng

ổn định dạng log với γ ∈ C3+ε(Ω) H Heck và J N Wang trong [8] chỉ ra ước lượng

ổn định dạng log − log trên ∂Ω cho hàm γ ∈ Hs+3(Ω) cho bài toán dữ liệu không đầyđủ

Trong Luận Văn này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả trong trường hợp n ≥ 3 dựatrên tài liệu tham khảo chính [14] Cụ thể ở chương 2, chúng tôi sẽ trình bày kết quả

về tính duy nhất của J Sylvester và G Uhlmann [15] với γ ∈ C2(Ω) Ta chứng minh

sự tồn tại nghiệm CGO (complex geometrical optics) của bài toán cho phương trìnhSchr¨odinger (−∆ + q)u = 0, q ∈ L∞(Ω) có dạng u(x) = eiζ·x(a(x) + r(x)) trong đó

ζ ∈ Cn thỏa mãn ζ · ζ = 0 và a ∈ H2(Ω) Ta sử dụng nghiệm CGO để chứng minh tínhduy nhất của ánh xạ Λq từ đó suy ra tính duy nhất của ánh xạ Λγ Chương 3, chúng

ta trình bày kết quả về tính ổn định của G Alessandrini trong [1] cho hàm dương

γ ∈ Hs(Ω), s > n2 + 2 cụ thể ta có ước lượng

||γ1− γ2||L ∞ (Ω) ≤ ω(||Λγ 1 − Λγ 2||

H1(∂Ω)→H− 12 (∂Ω)),trong đó ω : R → R+ là hàm đơn điệu không giảm thỏa mãn lim

t→0 +ω(t) = 0 và

ω(t) ≤ C| ln t|−σ, 0 < t < 1

e.Chương 4, chúng tôi trình bày kết quả về tính duy nhất của ánh xạ Λγ của A L.Bukhgeim và G Uhlmann trong [3] với γ ∈ C2(Ω) khi ta chỉ biết một phần dữ liệutrên biên ∂Ω

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta đưa ra các khái niệm và một số kết quả Các kết quảnày chúng tôi không đưa ra chứng minh ở trong Luận Văn này Các khái niệm và kếtquả này sẽ được dùng tới ở các chương sau

1.1 Các không gian Lp, Ck

Dưới đây ta xét Ω ⊂ Rn là tập mở

Định nghĩa 1.1 Cho p là số thực dương sao cho 1 ≤ p < ∞

(i) Định nghĩa không gian Lp(Ω) bởi

Định nghĩa 1.2 Một hàm đo được u trên Ω được gọi là bị chặn cốt yếu trên Ω nếutồn tại hằng số k sao cho

Chuẩn || · ||L∞ (Ω) của không gian L∞(Ω) được xác định bởi

||u||L∞ (Ω)= ess sup

Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn hệ tọa độ (U (p), ψp), p ∈ ∂Ω.

Ta cần một số kết quả về chuỗi Fourier trong không gian L2(Q) với Q = [−π, π]n

H là một không gian Hilbert

Ta chứng minh được L2(Q) với Q = [−π, π]n là không gian Hilbert tách được Tích

vô hướng trong L2(Q) được định nghĩa

(u, v) = (2π)−n

Z

Q

uvdx, u, v ∈ L2(Q)

Từ định lý trên ta có kết quả sau

Định lý 1.8 Nếu f ∈ L2(Q), Q = [−π, π]n và {ωk}k∈Zn là hệ trực chuẩn của L2(Q)thỏa mãn điều kiện (iii) trong Định lý 1.7 thì ta có:

(i) chuỗi Fourier

hội tụ trong L2(Q) tới hàm f thỏa mãn (f, ωk) = ck, ∀k ∈ Zn.

1.2 Không gian Sobolev

Trước khi đi vào định nghĩa các không gian Sobolev ta cần tới định nghĩa của biếnđổi Fourier

Biến đổi Fourier của hàm f ∈ L1(Rn) được xác định bởi

|| ˆfn− ˆfm||L2 (R n ) = ||fn− fm||L2 (R n ) → 0 khi n, m → ∞

Do đó { ˆfn} là dãy Cauchy trong L2

(Rn) Do L2(Rn) là không gian đủ, nên tồn tạihàm giới hạn ˆf của dãy { ˆfn} trong L2(Rn) Khi đó hàm ˆf được định nghĩa là biến đổiFourier của hàm f ∈ L2(Rn)

Định nghĩa 1.9 (i) Cho s ∈ R, s ≥ 0, ta định nghĩa không gian Hs(Rn) như sau

Hs(Rn) = {u ∈ L2(Rn) :

Z

Rn

(1 + |ξ|2)s|ˆu(ξ)|2dξ < ∞},

(ii) Với s < 0 không gian Hs(Rn) được định nghĩa bởi bao đóng của C0∞(Rn) với chuẩn

||u||Hs (R n ) xác định như trên

Ta có định lý sau

Định lý 1.10 ([6])

(i) Nếu u ∈ Hs+k(Rn) với s > n2 và k ∈ Z+, thì u ∈ Ck(Rn) Hơn nữa

||u||Ck (R n ) ≤ C||u||Hs+k (R n )

(ii) Nếu u ∈ Hs(Rn) và s ≥ 0, nếu f ∈ Ck(Rn), f có các đạo hàm riêng ∂αf liên tục

và bị chặn đều với |α| ≤ k Với k ≥ s là số nguyên thì f u ∈ Hs(Rn) Hơn nữa

||f u||Hs (R n )≤ ||f ||Ck (R n )||u||Hs (R n )

(iii) Nếu α, β ∈ R và 0 ≤ t ≤ 1, thì

||u||H(1−t)α+tβ (R n )≤ ||u||1−tHα (R n )||u||tHβ (R n ), ∀u ∈ Hmax{α,β}(Rn)

Ta cần khái niệm về không gian Sobolev Hs(Ω) với s ∈ R và Ω ⊂ Rn là tập mở, bịchặn với biên trơn

Định nghĩa 1.11 Không gian Hs(Ω), s ≥ 0 được định nghĩa bởi tập tất cả các hàm

u ∈ L2(Ω) sao cho u = v|Ω với v ∈ Hs(Rn), với chuẩn

Trong trường hợp s < 0 ta có định nghĩa với không gian Hs(Ω) như sau:

Định nghĩa 1.13 Không gian Hs(Ω) là không gian đối ngẫu của không gian H0−s(Ω)

Tương tự với không gian Hs(Rn) ta có định lý sau

(i) Cho f : Ω → C có đạo hàm tới cấp |s| bị chặn, liên tục Ánh xạ

Ngoài các không gian Sobolev Hs(Rn), Hs(Ω), Hs

0(Ω) chúng ta còn cần tới khônggian Hs(∂Ω)

Do Ω ⊂ Rn là tập con mở, bị chặn nên ∂Ω là một tập compact Từ đó, tồn tại

pj, j = 1, 2, · · · N, sao cho ∂Ω ⊂ ∪N

k=1U (pj) Chọn hàm χj ∈ C∞

0 (U (pj)), 1 ≤ j ≤ N,lấy giá trị trong [0, 1] sao cho

N

P

k=1

χj = 1 trong lân cận nào đó của ∂Ω

Định nghĩa 1.17 Không gian Sobolev Hs(∂Ω) được định nghĩa là bao đầy đủ của

(iv) H−12(∂Ω) là đối ngẫu của H12(∂Ω).

Mệnh đề 1.19 ([6]) Cho l, L ∈ Z và s ∈ R với l ≤ s ≤ L Giả sử rằng

f ∈ Cmax{|l|,|L|}(∂Ω) Khi đó ánh xạ

v ∈ C∞(∂Ω) 7→ f v

có mở rộng duy nhất thành ánh xạ tuyến tính, bị chặn trên Hs(∂Ω) và tồn tại hằng số

C chỉ phụ thuộc vào Ω, max{|l|, |L|}, n sao cho

||f u||Hs (∂Ω) ≤ C||f ||

L−s L−l

C |l| (∂Ω)||f ||

s−l L−l

C |L| (∂Ω)||u||Hs (∂Ω) ≤ C||f ||Cmax{|l|,|L|} (∂Ω)||u||Hs (∂Ω),với mọi u ∈ Hs(∂Ω)

Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa các không gian Sobolev Hs(Ω) với không gianSobolev Hs−12(∂Ω)

Định lý 1.20 ([6]) Cho s > 1

2 Xét ánh xạ

r : C∞(Ω) →C∞(∂Ω)

u 7→u|∂Ω.Tồn tại duy nhất ánh xạ

R : Hs(Ω) → Hs−1(∂Ω)

và các hằng số C, C0 sao cho các điều sau xảy ra

(i) R là mở rộng của r, tức là: Ru = ru với mọi u ∈ C∞(Ω).

(ii) R bị chặn, tức là

||Ru||

Hs− 12 (∂Ω) ≤ C||u||Hs (Ω).(iii) R là toàn ánh

(iv) Với mỗi f ∈ Hs−12(∂Ω), tồn tại u ∈ Hs(Ω) sao cho

Chương 2

Tính duy nhất

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thì ta luôn giả thiết rằng Ω ⊂ Rn là tập con

mở, bị chặn với biên trơn và n ≥ 3

Trong chương này chúng ta nghiên cứu kết quả về tính duy nhất của bài toánCalderón được chứng minh bởi J Sylvester và G Uhlmann trong [15] như sau

Định lý 2.1 Cho γ1, γ2 là hai hàm dương thuộc lớp C2(Ω) Nếu Λγ1 = Λγ2 thì γ1 = γ2trong Ω

Định lý trên được chứng minh bằng cách sử dụng kết quả về tính duy nhất củaphương trình Schr¨odinger

Định lý 2.2 Cho q1, q2 ∈ L∞(Ω) sao cho bài toán Dirichlet với −∆ + q1 và −∆ + q2trong Ω được đặt chỉnh Nếu Λq1 = Λq2 thì q1 = q2 trong Ω

2.1 Phương trình Schr¨ odinger

Cho q ∈ L∞(Ω), xét phương trình Schr¨odinger

(−∆ + q)u = 0 trong Ω, (2.1)

Bổ đề sau cho ta mối liên hệ giữa nghiệm của bài toán (2.1) và bài toán (0.3)

Bổ đề 2.3 Cho hàm dương γ ∈ C2(Ω) và u ∈ H1(Ω) thì với q = ∆

√ γ

√

γ ta có

− ∇ · γ∇(γ−1u) = γ1(−∆ + q)u (2.2)

19

Áp dụng ý (ii) của Định lý 1.14 với k = s = 1, f = γ−12 ∈ C1(Ω) ta nhận được

||γ−12uk− γ−12u||H1 (Ω) ≤ ||γ−12||C1 (Ω)||uk− u||H1 (Ω) (2.5)

Lấy giới hạn khi k → ∞ của (2.5) và sử dụng (2.4) ta nhận được

k→∞||γ(vj,k− vj)||L2 (Ω) = 0, ∀j = 1, 2, · · · , n (2.11)Đặt ωj,k = γvj,k, ωj = γvj Sử dụng Bổ đề 1.16, ta có

|| − ∂j(ωj,k) + ∂j(ωj)||H−1 (Ω) ≤ C||ωj,k− ωj||L2 (Ω), ∀j = 1, 2, · · · , n (2.12)

Lấy giới hạn khi k → ∞ của (2.12) và sử dụng (2.11), ta có

lim

k→∞|| − ∂j(ωj,k) + ∂j(ωj)||H−1 (Ω) = 0, ∀j = 1, 2, · · · , n (2.13)Lại có

− ∇ · γ∇(γ−12uk)H

−1 (Ω)

−→ −∇ · γ∇(γ−12u) (2.15)Tương tự ta có

Nếu q ∈ L∞(Ω), xét bài toán Dirichlet cho phương trình Schr¨odinger

Bài toán (2.17) được gọi là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau:

1 (Tồn tại) Với mỗi giá trị biên f ∈ H1(∂Ω) tồn tại nghiệm yếu u ∈ H1(Ω)

2 (Duy nhất) Nghiệm u là duy nhất

3 (Ổn định) Toán tử f 7→ u liên tục từ H12(∂Ω) → H1(Ω), tức là tồn tại hằng số

C > 0 sao cho

||u||H1 (Ω) ≤ C||f ||

H1(∂Ω).Nếu bài toán cho phương trình Schr¨odinger đặt chỉnh, khi đó ta có thể định nghĩa ánh

∂Ω.Một cách hiểu khác của ánh xạ Λq như sau:

(Λqf, g)∂Ω=

Z

Ω

(∇u · ∇v + quv)dx ∀f, g ∈ H1(∂Ω),

trong đó u là nghiệm của bài toán (2.17) còn v là hàm bất kỳ thuộc H1(Ω) với v|∂Ω= g

Bổ đề dưới đây chỉ ra tính hợp lý của định nghĩa trên và hơn nữa Λq là ánh xạ tuyếntính bị chặn

Bổ đề 2.4 Nếu q ∈ L∞(Ω) sao cho bài toán (2.17) đặt chỉnh khi đó Λq là ánh xạtuyến tính từ H12(∂Ω) vào H−12(∂Ω) và thỏa mãn

(Λqf, g)∂Ω= (f, Λqg)∂Ω ∀f, g ∈ H12(∂Ω)

trong đó u là nghiệm của bài toán (2.17) và v là hàm bất kỳ thuộc H1(Ω) với v|∂Ω= g.

(i) Sự không phụ thuộc vào việc chọn hàm v Do u là nghiệm yếu của bài toán (2.17)nên ta có

Vậy định nghĩa của T (g) không phụ thuộc vào việc chọn v

(ii) Tính Liên tục của ánh xạ T : Do g ∈ H1(∂Ω) nên theo Định lý 1.20, tồn tại

≤C0||u||H1 (Ω)||vg||H1 (Ω)

≤C00||f ||

H1(∂Ω)||g||

H1(∂Ω),suy ra T : H12(∂Ω) → C là ánh xạ tuyến tính, liên tục Từ đó tồn tại một phần

tử Λqf ∈ H−1(∂Ω) sao cho (Λqf, g) = T (g) Ánh xạ

Λq : H12(∂Ω) →H−12(∂Ω)

f 7→Λqf

(Λqf, g)∂Ω = |T (g)| ≤ C00||f ||

Hơn nữa, tồn tại hằng số C sao cho

||u||H1 (Ω)≤ C(||F ||H−1 (Ω)+ ||f ||

H1(∂Ω))

Với q = −λ, λ > 0 là giá trị riêng của toán tử Laplace trong Ω thì tồn tại

u ∈ H01(Ω), u 6= 0 sao cho ∆u = qu Khi đó ||u||H1 (Ω) > 0 còn ||u||

H1(∂Ω) = 0 tức

là tính ổn định của bài toán (2.17) bị phá vỡ Vậy bài toán (2.17) không phải lúc nàocũng đặt chỉnh Bổ đề sau cho ta mối liên hệ giữ ánh xạ DN Λγ và ánh xạ DN Λq vàmột điều kiện để bài toán (2.17) đặt chỉnh

Bổ đề 2.6 Cho hàm dương γ ∈ C2(Ω) Đặt q = ∆

√ γ

∇u · (ϕ∇γ12 + γ12∇ϕ) + (∆√γ)uϕ
dx

=Z

Ω

(∆√γ)uϕdx −

(ii) Duy nhất: Giả sử u1, u2 là hai nghiệm của phương trình (2.17), khi đó u = u1− u2

sẽ là nghiệm của bài toán

Do u = 0 là một nghiệm của bài toán (2.24) nên theo Bổ đề 2.5, bài toán (2.24)

có nghiệm tầm thường, từ đó bài toán (2.23) có nghiệm tầm thường, tức là ta có

||u||H1 (Ω) ≤ C||v||H1 (Ω)≤ C0||γ−12f ||

H1(∂Ω) ≤ C1||f ||

H1(∂Ω).(iv) Đẳng thức: Nếu u là nghiệm của phương trình (2.17) thì v = γ−1u là nghiệm củaphương trình (2.24) và

Λγ(γ−1f ) = γ∂v

∂ν

∂Ω= γ1∂u

∂ν

∂Ω.hay

∂Ω

Để chứng minh Định lý 2.1, ta cần tới bổ đề sau

Bổ đề 2.7 ([6]) Với giả thiết như trong Định lý 2.1, ta có

∂Ω= ∂γ2

∂ν

...

là tính ổn định toán (2.17) bị phá vỡ Vậy tốn (2.17) khơng phải lúc nàocũng đặt chỉnh Bổ đề sau cho ta mối liên hệ giữ ánh xạ DN Λγ ánh xạ DN Λq vàmột điều kiện để toán. .. đủ lớn Định nghĩa Gζ toán tử nghiệm

Gζ : L2(Ω) →H2(Ω)

f 7→r,với r nghiệm toán (D · D + 2ζ · D)r = f xác định Định lý 2.9

Định lý... data-page="28">

(ii) Duy nhất: Giả sử u1, u2 hai nghiệm phương trình (2.17), u = u1− u2

sẽ nghiệm toán

Do u = nghiệm toán (2.24) nên theo