Chuỗi fourier và các loại hội tụ của nó

Tiếp sau đó là nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi Fourier theonghĩa bình phương khả tích thông qua các xác định một không gian vecto vớitích trong và chuẩn tương ứng, và về sự hội tụ đều của

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI- 2014

Mục lục

Lời nói đầu 3

1 Chuỗi Fourier 5 1.1 Mở đầu về giải tích Fourier 5

1.1.1 Nhắc lại về phương trình đạo hàm riêng 5

1.1.2 Phương trình truyền sóng 7

1.1.3 Phương trình truyền nhiệt 14

1.1.4 Phương trình Laplace 17

1.2 Chuỗi Fourier 21

1.2.1 Chuỗi Fourier và khai trển hàm thành chuỗi Fourier 22 1.2.2 Tính duy nhất của chuỗi Fourier 25

2 Hội tụ của chuỗi Fourier 30 2.1 Hội tụ điểm của chuỗi Fourier 30

2.1.1 Tích chập 30

2.1.2 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier 32

2.2 Hội tụ của chuỗi Fourier theo nghĩa bình phương khả tích 43

2.2.1 Tích trong 43

2.2.2 Chứng minh sự hội tụ bình phương khả tích 46

2.3 Hội tụ đều của chuỗi Fourier 53

2.4 Trở lại sự hội tụ điểm của chuỗi Fourier 57

2.5 Hiện tượng Gibbs 63

2.5.1 Ví dụ về hiện tượng Gibbs 63

2.5.2 Hiện tượng Gibbs của các hàm tổng quát 70

2.5.3 Khắc phục hiện tượng Gibbs 77

Kết luận 81

Tài liệu tham khảo 82

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích Fourier là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng củaToán học nói chung và của Giải tích nói riêng Lý thuyết này được hình thành

từ những yêu cầu của thực tế và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khácnhau

Luận văn này đề cập tới lý thuyết chuỗi Fourier và sự hội tụ của nó Việcnghiên cứu sự hội tụ của chuỗi Fourier có ý nghĩa rất lớn đối với ứng dụngchuỗi Fourier vào giải quyết những bài toán khác nhau

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danhmục tài liệu tham khảo

Chương một sẽ nhắc lại một số khái niệm về phương trình vi phân đạohàm riêng Giới thiệu các bài toán tiêu biểu cho các phương trình đạo hàmriêng thường gặp như phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt

và phương trình Laplace Qua đó dẫn ta tới những vấn đề đầu tiên về giảitích Fourier Tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu về khái niệm chuỗi Fourier và cáctính chất cơ bản của nó

Chương hai sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của tích chập,nhân tốt, nhân Dirichlet, nhân Poisson, nhân Fejer Từ đó xét sự hội tụ điểmcủa chuỗi Fourier Tiếp sau đó là nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi Fourier theonghĩa bình phương khả tích thông qua các xác định một không gian vecto vớitích trong và chuẩn tương ứng, và về sự hội tụ đều của chuỗi Fourier Cuốicùng ta sẽ nêu ra hiện tượng Gibbs của các hàm có điểm gián đoạn và cáchkhắc phục

Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn

Minh Tuấn Toàn thể ban lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà nội đãgiúp tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa họcmột cách tốt đẹp Các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo những điều kiệnthuận lợi giúp tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn cũng như học tập.Các thầy và các bạn trong seminar Toán Giải Tích về những góp ý để tôi cóthể hoàn thành luận văn này.

-Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những sự giúp đỡ và đóng góp quý giáấy

Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và cácbạn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Đỗ Thanh Khuyên

Chương 1

Chuỗi Fourier

Trong chương này, luận văn sẽ nhắc lại một số bài toán phương trình đạohàm riêng tiêu biểu và phương pháp tìm nghiệm của chúng Trong quá trìnhnày sẽ xuất hiện một vài điều thú vị, khơi nguồn cho sự phát triển của giảitích Fourier Qua đó ta đưa ra khái niệm về chuỗi Fourier và tính duy nhấtcủa nó

1.1 Mở đầu về giải tích Fourier

1.1.1 Nhắc lại về phương trình đạo hàm riêng

Phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng)được bắt nguồn từ những bài toán thực tế như chuyển động sóng của âmthanh, bức xạ điện từ, sự lan truyền nhiệt,

Định nghĩa 1.1.1 (Phương trình vi phân đạo hàm riêng, [1]) Phươngtrình vi phân đạo hàm riêng là một phương trình liên hệ giữa hàm ẩn

u (x1, x2, , xn) và các đạo hàm riêng của nó, trong đó x1, x2, , xn là cácbiến độc lập

Cụ thể, phương trình đạo hàm riêng có dạng

Ví dụ 1.1.1 • Phương trình cấp một của hàm hai biến

là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trong trường hợp hàm haibiến

Xét phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực trong trường hợp haibiến

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux, uy) = 0 (1.2)Trong luận văn, chúng ta sẽ chỉ đề cập tới các phương trình đạo hàm riêngtuyến tính cấp hai dạng (1.2) Đối với phương trình này, ta sẽ nghiên cứu cụthể về phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt trong R2 Đây

là các phương trình đạo hàm riêng mà ta thường gặp trong lý thuyết và thựctế

Định nghĩa 1.1.3 (Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấphai) Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai (1.2) và điểm (x0, y0)bất kỳ trong tập E nào đó thuộc R2.

• Phương trình (1.2) thuộc loại phương trình elliptic nếu

a Phương trình dao động của sợi dây

Nghiên cứu sự chuyển động của một sợi dây căng thẳng theo chiều củatrục Ox Nhờ một tác động nào đó làm cho sợi dây dao động trong mặt phẳngthẳng đứng Ta coi mỗi điểm của dây dịch chuyển thẳng góc với trục Ox vàtrong cùng một mặt phẳng (x, u)

Gọi u là độ lệch của các phần tử vật chất so với vị trí cân bằng, nếu vậythì

u = u(x, t),tức là, u là hàm phụ thuộc thời gian t và hoành độ của các phần tử vật chấtx

Xét sợi dây đồng chất, không có ngoại lực tác động vào dây sau thời điểm

ban đầu Khi đó hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình

b Công thức nghiệm của phương trình truyền sóng

Nghiên cứu nghiệm của phương trình dao động của sợi dây ở phần trên

u(x, 0) = f (x), (1.4)

ut(x, 0) = g(x) (1.5)

Ta sẽ xây dựng công thức nghiệm cho bài toán này

Đầu tiên, ta sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nghiệm của bài toánCauchy trên

Lấy tích phân hai lần ta được

u(ξ, η) = F (ξ) + G(η),hay nghiệm của phương trình truyền sóng là

u(x, t) = F (x + at) + G(x − at)

g(y)dy] + C1,

G(x) = 1

2a[af (x) −

Z x 0

g(y)dy] + C2,trong đó, C1, C2 là các hằng số

Theo trên ta có F (x) + G(x) = f (x) nên C1+ C2 = 0

Do đó, nghiệm của bài toán truyền sóng (1.3) với các điều kiện ban đầu(1.4), (1.5) có dạng

u(x, t) = 1

2(f (x + at) + f (x − at)) +

12a

Z x+at x−at

g(y)dy (1.6)

Công thức nghiệm trên được gọi là công thức D’Alembert.

Ngoài ra, ta có thể sử dụng phương pháp tách biến để tìm nghiệm củabài toán trên

Ta tìm nghiệm không tầm thường u(x, t) của bài toán rung động của sợi dây(1.3) với các điều kiện biên (1.4) - (1.5) bằng phương pháp tách biến Và giả

sử sợi đây của ta được cố định hai đầu mút x = 0 và x = L, với L là hằng

số Ta tìm nghiệm dưới dạng

u(x, t) = X(x)T (t),trong đó X(x) là hàm chỉ phụ thuộc vào x và T (t) là hàm chỉ phụ thuộc t.Thế nghiệm trên vào (1.3) ta được

Ta thấy, vế trái của phương trình trên chỉ phụ thuộc vào t, vế phải chỉ phụthuộc x Vì vậy, phương trình trên chỉ có thể xảy ra nếu và chỉ nếu tồn tạihằng số λ sao cho

T00(t)

a2T (t) =

X00(x)X(x) = −λ,hay

Do T (t) 6= 0 nên ta được

X(0) = X(L) = 0 (1.9)Xét phương trình

√

−λL+ C2e−

√

−λL.Mặt khác, kết hợp (1.9) thì có C1 = C2 = 0 hay u(x, t) là nghiệm tầmthường

• λ = 0: phương trình trở thành X00(x) = 0 Do đó phương trình cónghiệm tổng quát

X(x) = ax + b, a, b là các hằng số

Kết hợp với (1.9) ta được a = b = 0 hay u(x, t) là nghiệm tầm thường

• λ > 0: phương trình có nghiệm tổng quát

√λL) = 0

Để phương trình (1.10) có nghiệm không tầm thường thì D 6= 0 Khi đó,sin√

Giả sử rằng u(x, t) là tất cả các nghiệm của bài toán Do điều kiện (1.5) nên

chuỗi trong biểu thức (1.13) có các số hạng khả vi Khi đó thay vào biểu thức(1.4) và (1.5) ta được

Trong phần sau ta sẽ xây dựng câu trả lời một cách chính xác Đây là vấn

đề cơ bản khởi xướng nghiên cứu giải tích Fourier

Với cách đánh giá đơn giản sau cho phép ta có thể dự đoán công thứctính An và Bn Thật vậy, ta nhân cả hai vế của phương trình đầu trong (1.14)với sinmπxL sau đó lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến L ta được

nên

Z L 0

f (x) sin mπx

L dx =

AmL

2 .Hay

Am = 2

L

Z L 0

f (x) sin mπx

L dx.

Tương tự

Bn = 2

nπa

Z L 0

g(x) sin mπx

L dx.

1.1.3 Phương trình truyền nhiệt

Bây giờ ta xét bài toán về sự khuếch tán nhiệt bằng cách tương tự nhưvới phương trình truyền sóng Cụ thể, ta xuất phát từ phương trình truyềnnhiệt phụ thuộc thời gian sau đó ta nghiên cứu các phương trình truyền nhiệt

ở trạng thái ổn định trong đường tròn đơn vị mà dẫn ta trở lại câu hỏi nhưphần trên

a Phương trình truyền nhiệt

Ta xét một vật rắn trong R3 và gọi u(x, y, z, t) là nhiệt độ của nó tại điểm(x, y, z) tại thời điểm t, và tại thời điểm t = 0 ta đưa vào vật thể một phân

bố nhiệt ban đầu Nếu tại những điểm khác nhau của vật có nhiệt độ khácnhau thì nhiệt sẽ truyền từ điểm nóng đến điểm ít nóng hơn

Trong trường hợp đặc biệt khi nhiệt truyền đi trong một vật liệu đẳnghướng và đồng nhất trong không gian 3-chiều, phương trình này là

• u = u(x, y, z, t) là hàm nhiệt độ;

• ∂u

∂t là mức độ thay đổi của nhiệt tại một điểm nào đó theo thời gian;

• uxx, uyy, uzz là các đạo hàm cấp hai (lưu chuyển nhiệt) của nhiệt độtheo hướng x, y, z;

• a là hệ số phụ thuộc vào độ dẫn nhiệt, mật độ và dung tích nhiệt củavật liệu

Phương trình (1.15) được gọi là phương trình truyền nhiệt của vật thể, và nóthuộc phương trình parabolic

Nếu chúng ta chỉ xét sự truyền nhiệt trong một thanh dài,nhỏ (trườnghợp một chiều) và không có sự trao đổi nhiệt giữa thanh này và môi trườngxung quanh thì phương trình truyền nhiệt của thanh là

∂u

∂t = a

2∂2u

b Nghiệm của phương trình truyền nhiệt

Xét sự truyền nhiệt trong thanh dài, nhỏ, đồng chất Bài toán hỗn hợpđối với phương trình này

∂u

∂t = a

2∂2u

∂x2, 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0, (1.16)với điều kiện ban đầu và các điều kiện biên

u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ L,u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0

(1.17)

Giả sử chúng ta tìm nghiệm của (1.16) không phải là nghiệm tầm thường vàthỏa mãn các điều kiện biên (1.17) theo phương pháp tách biến, tức là

u(x, t) = X(x)T (t) (1.18)Khi đó, để T (t) không tầm thường thì từ (1.17)







X(0)T (t) = 0X(L)T (t) = 0

T0(t) = −λa2T (t), (1.20)

X00(x) = −λX(x) (1.21)Chúng ta sẽ chỉ ra rằng các nghiệm của (1.21) cho các giá trị khác nhau của

X(x) = B sin(

√λx) + C cos(

√λx) (1.23)

Từ (1.19) ta có C = 0 và B sin(√

λL) = 0 Để bài toán có nghiệm không tầmthường thì B 6= 0 Do λ > 0 nên tất cả các giá trị của λ để phương trình(1.23) có nghiệm không tầm thường được cho bởi công thức λn = πL2n22, với

n = 1, 2,

Các giá trị riêng này tương ứng với các hàm riêng Xn = Dnsin nπxL

Khi đó, thay λn vào λ ở (1.22) được Tn(t) = Ane− L2

Thay vào (1.18) thì được các nghiệm riêng của bài toán dạng (Đặt En =

và ta đi xác định hệ số En sao cho chuỗi trên là nghiệm của bài toán hỗn hợp

đã cho Nếu chuỗi ở trên là nghiệm của phương trình truyền nhiệt thì

En = 2

L

Z L 0

f (x) sin nπx

L dx. (1.26)Vậy với điều kiện nào của hàm số f (x) thì ta có các hệ số En thỏa mãn(1.26)? Trước khi trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ xét thêm phương trìnhLaplace để thấy được sự tương tự với hai loại phương trình ta đã xét

∂2u

∂x2 + ∂

2u

∂y2 = 0 (1.27)

Định nghĩa 1.1.4 Trong không gian hai chiều, bài toán tìm một hàm thựcu(x, y) khả vi hai lần sao cho

∂2u

∂x2 + ∂

2u

∂y2 = 0 (1.28)Phương trình dạng (1.28) được gọi là phương trình Laplace

Phương trình trên còn được viết tổng quát lại là ∆u = 0 Trong đó:

• ∆u: toán tử Laplace hay Laplacian,

• u thỏa mãn phương trình (1.28) được gọi là hàm điều hòa

Dễ thấy, phương trình Laplace thuộc loại phương trình đạo hàm riêng elliptic.Bây giờ ta xét hình tròn đơn vị trong mặt

D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 < 1},

có biên là đường tròn đơn vị C = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 = 1}

Trong hệ tọa độ cực (r, θ) với 0 ≤ r ≤ 1 và 0 ≤ θ ≤ 2π, ta có

D = {(r, θ) : 0 ≤ r < 1} và C = {(r, θ) : r = 1}

Bài toán Dirichlet cho hình tròn đơn vị

Xét nhiệt độ ở trạng thái ổn định trong hình tròn đơn vị bán kính r = 1.Tìm nghiệm không tầm thường u của bài toán







∆u = 0 trên D,u(1, θ) = f (θ) trên C

Trong hệ tọa độ cực, phương trình Laplace có dạng

r2R00 + rR0

R = −

Θ00

Θ .Thấy rằng, vế trái của phương trình chỉ phụ thuộc vào r, còn vế phải củaphương trình chỉ phụ thuộc vào θ Do vậy, tồn tại một hằng số λ sao cho

Với λ > 0 phương trình có nghiệm

Θ(θ) = A cos

√

λθ + B sin

√λθ

Vậy, để Θ tuần hoàn chu kỳ 2π thì √

λ = n hay λ = n2 với n = 1, 2, Khi

đó ta có

Θn(θ) = ancos nθ + bnsin nθ (1.33)Thay λ = n2 vào phương trình thứ nhất của hệ (1.32) ta được

Do nghiệm u là các hàm tuần hoàn trên đường tròn đơn vị nên nó liên tục tại

0 Nhưng nghiệm riêng thứ hai là gián đoạn tại gốc tọa độ nên các nghiệm

có dạng (1.31) và liên tục trong đường tròn đơn vị là các hàm

Giả sử là các hệ số của ta được chọn thỏa mãn là chuỗi hình thức này hội tụ.Khi đó, nếu chuỗi (1.38) là nghiệm của bài toán thì điều kiện biên

có cùng khai triển Fourier thì chúng có nhất thiết phải bằng nhau không?

1.2.1 Chuỗi Fourier và khai trển hàm thành chuỗi Fourier

Trước khi định nghĩa chuỗi Fourier của một hàm, ta xét chuỗi hàm thuđược trong phần trước

Z π

−π

f (x)e−inxdx, (1.42)

và được gọi là hệ số Fourier của hàm f

Định nghĩa 1.2.1 ([5]) Xét hàm f khả tích tuần hoàn trên đoạn [−π, π]

Hệ số Fourier của hàm f (x) là các hệ số được xác định bởi

Để đơn giản, ta thường ký hiệu cn thay cho ˆf (n) và ta viết

để biểu thị chuỗi Fourier của hàm f (x)

Ở trên, ta đưa ra định nghĩa về hệ số Fourier và chuỗi Fourier của hàm

số f (x) khả tích và tuần hoàn trên [−π, π] Bây giờ,ta sẽ xét trường hợp tổngquát, cho hàm số f (x) : [a, b] → C khả tích và tuần hoàn chu kỳ L = b − a.Khi đó, bằng cách làm tương tự ta xác định hệ số Fourier của hàm f

cn = 1L

Z b a

f (x)e−2πinx/Ldx,và

Định nghĩa 1.2.2 ([3]) Cho f (x) là hàm khả tích và tuần hoàn trên đoạn[−π, π] Khi đó, các hệ số an, bn xác định bởi

an = 1π

Z π

−π

f (x) cos(nx)dx,

bn = 1π

Đặc biệt, nếu hàm f (x) có thêm tính chất là hàm số chẵn thì ta có côngthức cho chuỗi Fourier của hàm f (x) như sau

bn = 1π

f (x) sin(nx)dx

Ví dụ 1.2.1 Tìm chuỗi Fourier của hàm f (x) = (π − x)2/4 với 0 ≤ x ≤ 2π

và hàm f tuần hoàn chu kỳ 2π

(π − x)2

4 e

−inxdx

= −12πin

− 12πin

Z 2π 0

(π − x)e−inxdx

= 12πi2n2 e−inx(π − x)2π0 + 1

2πi2n2

Z 2π 0

(π − x)2/4dx

= − 12π

 (π − x)3

12

2π 0

= π

2

12.Kết hợp hai điều trên và tính chẵn của hàm f (x) ta được

f (x) ∼ π

2

12 +X

Ví dụ 1.2.2 Tìm chuỗi Fourier của hàm f (x) = x với −π ≤ x ≤ π và hàm

f tuần hoàn chu kỳ 2π

Tương tự như ví dụ trên

1.2.2 Tính duy nhất của chuỗi Fourier

Trước hết, ta định nghĩa thế nào là tổng riêng thứ N của chuỗi Fouriercủa hàm f

Định nghĩa 1.2.3 Cho hàm f khả tích và tuần hoàn với chu kỳ 2π Với N

là số nguyên dương, tổng riêng thứ N của chuỗi Fourier của hàm f được xácđịnh bởi

lý dưới đây

Định lý 1.2.1 ([5]) Giả sử f là một hàm khả tích trên [−π, π], f (−π) = f (π)với ˆf (n) = 0 với mọi n ∈ Z Khi đó nếu f liên tục tại điểm x0 ∈ [π, π] thì

f (x0) = 0

Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh cho trường hợp f là hàm thực Sau

đó ta sẽ chứng minh cho trường hợp f là hàm phức

f là hàm thực

Không mất tổng quát, ta giả sử f xác định trên [−π, π], tuần hoàn chu

kỳ 2π và liên tục tại x0 = 0 Phản chứng, giả sử f (x0) > 0

Trước hết, ta xây dựng một họ các đa thức lượng giác pk sao cho các hàm

pk đạt giá trị lớn nhất tại 0 và thỏa mãn R pk(x)f (x)dx → ∞ khi k → ∞

Ta sẽ chứng minh điều này trái với giả thiết ˆf (n) = 0 với mọi n ∈ Z Do fliên tục tại 0 nên từ định nghĩa thì với mọi  > 0 tồn tại δ = δ() sao cho vớimọi x ∈ [−π, π] mà |x| < δ thì |f (x) − f (0)| <  Vậy, với  = f (0)/2 > 0 ta

có thể chọn δ mà 0 < δ < π/2 sao cho f (x) > f (0)/2 với mọi x thỏa mãn

|x| < δ

Đặt

p(x) =  + cos x,trong đó  được chọn đủ nhỏ sao cho p(x) < 1 − /2 với mọi δ ≤ x ≤ π Tachọn η, 0 < η < δ sao cho p(x) > 1 + /2 với mọi |x| < η

Lấy {pk} xác định bởi

pk(x) = [p(x)]k

Đồ thị của đa thức p(x), p6(x), p15(x) trong trường hợp  = 0.1 được mô tảbởi Hình 1.1 Ta chứng minh {pk} là họ đa thức cần tìm Thật vậy, theo cáchdựng thì mỗi pk là một đa thức lượng giác Từ giả thiết ˆf (n) = 0 với mọi nthì

Đặt ¯f (x) = f (x) Khi đó

u(x) = f (x) + ¯f (x)

2 ,v(x) = f (x) − ¯f (x)

2i .

Do ˆf (n) = ˆ¯ f (−n) nên các hệ số Fourier của u và v triệt tiêu hết Khi đó

f = 0 tại các điểm mà f liên tục

Hệ quả 1.2.1 Nếu f liên tục trên [−π, π] và ˆf (n) = 0 với mọi n ∈ Z thì

Chương 2

Hội tụ của chuỗi Fourier

Ta có thể xây dựng lại hàm số ban đầu từ chuỗi Fourier của nó không?Câu trả lời là rất khó do chuỗi Fourier của hàm số liên tục không nhất thiếtphải hội tụ tại mỗi điểm Trong phần đầu của chương này, ta sẽ đưa ra một

số khái niệm mới mà một cách gián tiếp qua chuỗi Fourier, việc xây dựng lạihàm số của ta là hoàn toàn có thể Cùng với đó, chúng ta sẽ xem xét cụ thểcác kiểu hội tụ của chuỗi Fourier Đặc biệt hơn, ta sẽ xét một hiện tượng thú

vị về dáng điệu của tổng riêng của chuỗi Fourier tại điểm gián đoạn của hàm

số được trình bày ở cuối chương này

2.1 Hội tụ điểm của chuỗi Fourier

2.1.1 Tích chập

Trong phần này, ta đưa ra khái niệm tích chập của hai hàm khả tích trên

R, tuần hoàn chu kỳ 2π nhằm mục đích biểu diễn tổng riêng của hàm dướidạng tích chập

Định nghĩa 2.1.1 Cho f, g là hai hàm khả tích trên R, tuần hoàn chu kỳ

(f ∗ g)(x) được gọi là tích chập của hai hàm f và g trên đoạn [−π, π].

Tích phân phía trên là có nghĩa với mỗi x vì tích của hai hàm khả tíchcũng khả tích Hơn nữa, từ tính tuần hoàn của f và g, ta có thể đổi biến vàthu được

= (f ∗ DN)(x),trong đó DN là nhân Dirichlet thứ N cho bởi

(iii) f ∗ g = g ∗ f

(iv) (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)

(v) f ∗ g liên tục

(vi) [f ∗ g(n) = ˆf (n)ˆg(n)

2.1.2 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier

Trong phần này sẽ tìm phương pháp để có thể thiết lập lại hàm số banđầu khi biết chuỗi Fourier của nó Trước tiên, ta sẽ đi vào khái niệm nhântốt, từ đó dựa vào tổng riêng của chuỗi để xây dựng tổng Cesàro (hoặc tổngAbel) hội tụ đến hàm số cần xác định

Định nghĩa 2.1.2 Một họ các hàm {Kn(x)}∞n=1 xác định bởi Kn : [−π, π] →

R được gọi là các nhân tốt (good kernels) nếu nó thỏa mãn các tính chất sau

(a) Với mọi n ≥ 1,

12π

lim

n→∞(f ∗ Kn)(x) = f (x)

Nếu hàm f liên tục tại mọi điểm trên [−π, π] thì giới hạn trên là hội tụ đềutới f (x).

Chứng minh Do f liên tục tại x nên với  > 0 cho trước, tồn tại δ > 0 saocho |y| < δ thì |f (x − y) − f (x)| < 

Áp dụng tính chất (a) của nhân tốt ta được

12π

Z π

−π

Kn(y)[f (x − y) − f (x)]dy

≤ 12πZ

|y|<δ

|Kn(y)||f (x − y) − f (x)|dy+

+ 12πZ

δ≤|y|≤π

|Kn(y)||f (x − y) − f (x)|dy

≤ 2π

Z π

−π

|Kn(y)|dy + 2B

2πZ

δ≤|y|≤π

|Kn(y)|dytrong đó, B là hệ số bị chặn của f

Do tính chất (b) của nhân tốt nên tồn tại M > 0 sao cho

|(f ∗ Kn)(x) − f (x)| ≤ M

2π +

2B2πZ

Nếu f liên tục mọi nơi thì liên tục đều nên ta có thể chọn δ không phụ thuộc

x Khi đó, (f ∗ Kn) hội tụ đều đến f

Định nghĩa 2.1.3 Đa thức lượng giác

được gọi là nhân Dirichlet

Câu hỏi đặt ra cho chúng ta là liệu DN có là nhân tốt hay không Vì nếu

DN là nhân tốt thì theo Định lý 2.1.2, f liên tục tại x thì chuỗi Fourier của

f (x) hội tụ tới f (x) Nhưng điều này là không thể xảy ra

Thật vậy, DN là hàm chẵn nên thoản mãn tính chất thứ nhất của nhântốt

12π

DN = sin(N + 1/2)x

sin x/2 .Nhưng DN không phải là nhân tốt do không thỏa mãn tính chất thứ hai củađịnh nghĩa nhân tốt

Z π

−π

|DN(x)|dx ≥ c log N trong đó c > 0

Trong phần trước, ta đã có thể phân tích tổng riêng theo tích chập củahàm f với nhân Dirichlet

SN(f )(x) = (f ∗ DN)(x)

Như vậy, DN không là nhân tốt nên nếu f liên tục thì chưa chắc ta đã cókết luận của Định lý 2.1.2 Để có thể có kết quả tốt như Định lý 2.1.2 ta sẽxây dựng nhân Fejer và tổng Cesàro (trung bình Cesàro) từ nhân Dirichlet

Bổ đề 2.1.1 ([4]) Ta có

FN(x) = 1

N

sin2(N x/2)sin2(x/2) ,

và nhân Fejer là nhân tốt

Chứng minh Do nhân Dirichlet còn được xác định bởi

DN = sin(N + 1/2)x

sin x/2 .Nên

1sin(x/2)

1sin2(x/2)

1

2 sin2(x/2)[1 − cos(N x)]

= 1N

sin2(N x/2)sin2(x/2) .

Để chứng minh nhân Fejer là nhân tốt ta chú ý rằng nhân Fejer là xác địnhdương và

12π

Z π

−π

FN(x)dx = 1

Hơn nữa, với δ > 0, δ ≤ |x| ≤ π thì sin2(x/2) ≥ cδ > 0 nên

|FN(x)| =

1N

sin2(N x/2)sin2(x/2)

...

Hay σN(f )(x) hội tụ đến f (x)

Như đề cập trước đó, chuỗi Fourier hàm số liên tục khôngnhất thiết phải hội tụ điểm việc xây dựng lại hàm số từ chuỗiFourier khó khăn Nhưng kết... nhân tốt hay khơng Vì

DN nhân tốt theo Định lý 2.1.2, f liên tục x chuỗi Fourier

f (x) hội tụ tới f (x) Nhưng điều xảy

Thật vậy, DN hàm chẵn nên thoản... phươngpháp xây dựng hàm số không trực tiếp tổng riêng chuỗi mà từ trungbình cộng chúng Phương pháp ưu việt chỗ khơng đem lạitính hội tụ, mà cịn hội tụ đều, tới hàm f

Phương pháp gọi phương