Về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o -ĐỖ THỊ HƯỜNG VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC H

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

-ĐỖ THỊ HƯỜNG

VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA

CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN

HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

-ĐỖ THỊ HƯỜNG

VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA

CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN

HILBERT

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - 2014

Mục lục

1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong

1.1 Toán tử Volterra và ứng dụng cho các PTVP tuyến tính trong

không gian Banach 5

1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính thuần nhất 10

1.1.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính không thuần nhất 11

1.2 Phương trình tiến hóa và tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu 11

1.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không gian Banach 11

1.2.2 Họ toán tử tiến hóa và phương trình tiến hóa 15

1.2.3 Ví dụ 19

1.2.4 Các phương trình so sánh tích phân được 20

2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân trong không gian Hilbert 23 2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert 23

2.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm 23

2.1.2 Một số khái niệm ổn định nghiệm 25

2.2 Tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân với dạng tam giác trên trong tôpô yếu 29

2.2.1 Không gian L(H) và các khái niệm tôpô yếu, tôpô mạnh và tôpô đều 29

2.2.2 Khái niệm tính chính quy 30

2.2.3 Sự rút gọn về phương trình dạng tam giác trên 32

2.2.4 Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân dạng tam giác trên trong không gian Hilbert 34

2.3 Phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 37

2.3.1 Khái niệm hàm Lyapunov trong không gian Hilbert 37

2.3.2 Sử dụng định lí Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định

nghiệm của một lớp các PTVP trong không gian Hilbert 402.4 Một số ví dụ áp dụng 45Kết luận 54Tài liệu tham khảo 55

Mở Đầu

Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiêm của các phương trình vi phân(PTVP) trong không gian Hilbert có ý nghĩa hết sức quan trọng trong lý thuyếtđịnh tính các phương trình vi phân và trong các bài toán ứng dụng (xem [3]).Trong thời gian gần đây, lý thuyết PTVP trong không gian Banach nói chung

và PTVP trong không gian Hilbert được phát triển khá mạnh mẽ vì nó đáp ứngđược nhiều đòi hỏi đặt ra trong các mô hình ứng dụng Đặc biệt là các bài toán

mô tả bằng toán học các hiện tượng chuyển động của vật thể, quá trình sinhtrưởng và phát triển của các loài sinh vật (xem[6]) Trong bản luận văn này,tôi sẽ trình bày lại một cách hệ thống một số kết quả liên quan tới sự tồn tạinghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu và tính chất nghiệm củachúng Phương pháp nghiên cứu cơ bản của tôi là sử dụng tính chất của toán

tử Volterra kết hợp với việc sử dụng chuẩn Bielecki trong không gian Hilbert đểnghiên cứu sự tồn tai duy nhất nghiệm của các PTVP ở dạng phương trình toán

tử trong không gian hàm Để nghiên cứu tính chất nghiệm của PTVP trongkhông gian Hilbert, tôi đã sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ nhất của Lyapunovcho các PTVP dạng tam giác trên trong không gian Hilbert Trong phần cuốicủa luận văn, tôi đã trình bày lại phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứutính ổn định của các PTVP phi tuyến và một số ví dụ ứng dụng

Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương: chương một trình bày dáng điệutiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach, chươnghai trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong khônggian Hilbert và một số ví dụ áp dụng

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS ĐặngĐình Châu Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đãdành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việchoàn thành bản luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban lãnh đạo và các thầy côtrong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về

các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tậptại trường Đồng thời, tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học đã tạo những điềukiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn.Tôi muốn gửi lời cám ơn tới các thầy và các bạn trong seminar Phương trình

vi phân về những sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bảnthân tôi trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa vữngchắc về tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập để tôi cóthể hoàn thành xong bản luận văn này

Mặc dù, tôi đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Đỗ Thị Hường

Chương 1

Dáng điệu tiệm cận nghiệm của

phương trình vi phân trong không gian Banach

1.1 Toán tử Volterra và ứng dụng cho các PTVP tuyến tính

trong không gian Banach

Giả sử (X, ||.||) là một không gian Banach Xét PTVP trong không gian

(1.1)

trong đót ∈ [a; b], x : [a, b] →Xlà hàm (trừu tượng) phải tìm, hàmf : [a, b] ×X→

X liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz tức là tồn tạiL : [a, b] →R+ khả tích địaphương sao cho với mọi x, y ∈X ta có

||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L(t)||x − y|| (1.2)

Để chứng minh định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của (1.1) sau đây chúng

ta sẽ trình bày khái niệm toán tử Volterra và chuẩn Bielecki

Định nghĩa 1.1 Toán tử Volterra

Toán tử tích phân Volterra là toán tử V : C([a, b],X) → C([a, b],X) xác định bởi

Kí hiệu C([a, b],X) là tập hợp tất cả các hàm liên tục từ [a; b] vào X.

Kí hiệu chuẩn Bielecki

Khi đó , ta có toán tử Volterra V : C([a, b],X) → C([a, b],X)

Bổ đề 1.1 Trong không gian C([a, b],X) toán tử Volterra V : C([a, b],X) → C([a, b],X) thỏa mãn điều kiện sau

b) ||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ 1

p||x(t) − y(t)||

với 0 < L < 1 Khi đó, phương trình ˙x = Ax có nghiệm duy nhất

Định lý 1.1 (Định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm)

Giả sử f : [a, b] ×X→X là hàm liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2) Khi

đó, phương trình vi phân (1.1) có nghiệm duy nhất

s=t s=a

Xét phương trình vi phân

(

˙x(t) = f (t, x) x(t 0 ) = x 0

1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính thuần nhất

Khi đó, áp dụng định lí (1.1) ta có điều cần chứng minh.

1.1.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính không thuần nhất

Trong X xét phương trình

(

˙x(t) = A(t)x + f (t) x(t 0 ) = x 0

(1.6)

với t ∈R+, x : R+ →X là hàm cần tìm, A(t) :R+ → L(X) là toán tử bị chặn và

f (t) :R+ →X là hàm đo được mạnh và khả tích Bochner

Lấy T > 0, trên đoạn [0; T ] xét trên C([0, T ],X) phương trình

1.2 Phương trình tiến hóa và tính chất nghiệm của phương

trình vi phân tuyến tính có nhiễu

1.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có

nhiễu trong không gian Banach

Xét phương trình

˙x(t) = A(t)x + f (t, x) (1.9)với A(t) là toán tử tuyến tính liên tục và liên tục theo t và f (t, x) : [a, b] ×X→X

là hàm thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2)

Hệ quả 1.3 Phương trình vi phân (1.9) luôn có nghiệm duy nhất

Chứng minh Đặt F (t, x) = A(t)x + f (t, x) Ta có:

||F (t, x) − F (t, y)|| = ||A(t)x + f (t, x) − A(t)y − f (t, y)||

= ||[A(t)(x − y)] + [f (t, x) − f (t, y)]||

≤ ||A(t) + L(t)||.||x − y||

≤ (||A(t)|| + ||L(t)||).||x − y||

Do A(t) là hàm đo được mạnh và khả tích địa phương, L(t) là hàm khả tíchđịa phương nên theo định lí tồn tại duy nhất nghiệm thì phương trình (1.9) cónghiệm duy nhất

Sau đây, chúng ta sẽ chỉ rõ công thức nghiệm và một vài đánh giá nghiệmtrên khoảng vô hạn của phương trình vi phân sau trong không gian Banach X :

với x 0 = x(t 0 ) là nghiệm của (1.10)

Nếu f (t) liên tục vàA(t) là liên tục mạnh thì nghiệm của (1.11) là khả vi liêntục tại mọi t ∈ I và thỏa mãn (1.10) với mọi t ∈ I

Xét phương trình vi phân tổng quát

Theo tiêu chuẩn Dalambert chuỗi P∞

n=0

[M 0 τ 1 ]nn! hội tụ

3 Ta có Rt1t 0 ||A(t)||dt ≤ M 1 nên theo cách chứng minh phần 2 ta có:

trong đó U(t) : Z → A t Z − B r Z = A(t)Z − ZB(t) là toán tử tuyến tính Khi đó,phương trình (1.15) có duy nhất một nghiệm khả vi liên tục Z(t) mà thỏa mãnđiều kiện Z(t 0 ) = Z 0 , được biểu diễn bởi công thức

có nghiệm duy nhất thỏa mãn Z 2 (t) ≡ I

Ta xét bài toán Cauchy của phương trình vi phân không thuần nhất

(1.21)

Việc xây dựng toán tửU(t) không phụ thuộc vào việc chọn giá trị t 0 Ta kí hiệu

U(t) = U(t, 0) là toán tử Cauchy Khi đó, sử dụng toán tử tiến hóa nghiệm củabài toán Cauchy cho phương trình thuần nhất dx

dt = A(t)x, x(τ ) = xτ có thể viếtdưới dạng

Tương ứng với phương trình (1.23) và (1.24), ta có thể xét phương trình toántử

(d/dt)U(t, τ )X = A(t)U A (t, τ ).X.U B (τ, t) − U A (t, τ ).X.U B (τ, t)B(t)

= A(t)U(t, τ )X − U(t, τ )XB(t)

Từ đó ta có U(τ, τ )X = X và (1.28) là nghiệm toán tử của phương trình (1.18)

Do đó, nghiệm của phương trình

dX/dt = A(t)X − XB(t) + F (t) (1.29)

là cơ sở trực chuẩn và đặt x k =< x, e k > (k = 1, 2, , n) theo thứ tự là vector

x ∈Cn và a jk =< Ae k , e j > là ma trận của toán tử A trong cơ sở này

Phương trình (1.10) tương đương với hệ phương trình

1.2.4 Các phương trình so sánh tích phân được

Giả sử trên nửa khoảng [0; ∞) , xét hai phương trình

Trước tiên, ta sẽ xây dựng toán tử Volterra.

Với s ∈R+, ta xét dãy dãy V n (t) như sau:

V n (t) hội tụ tuyệt đối trên [s; t 0 ] trong đó t 0 ∈R+

Chứng minh Lấy τ ∈R+ Kí hiệu ∆τ 0 =(t; s)/t, s ∈R+; 0 ≤ s ≤ t ≤ τ 0

Xét phương trình (1.35) Từ tính chất của họ toán tử tiến hóa, ta suy ra

(U(t, s))t≥s là bị chặn mũ, tức là tồn tại M i 0 vàω i 0 sao cho

có nghiệm duy nhất là y(t) = W (t, t 0 )y 0

Chứng minh: Tính duy nhất nghiệm được suy ra trực tiếp từ bổ đề 1.1 và 1.3Nhận xét 1.1 W (t; s) : X → X với (t; s) ∈ ∆τ 0 là họ các toán tử bị chặn mũthỏa mãn các điều kiện của định lí 1.3

Chương 2

Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân trong không gian

Hilbert

2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert

2.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm

Cho H là không gian Hilbert tách được với cơ sở trực chuẩn là {e n }∞1 Khi

Trong đó, f : [a; b] ×H→H với t ∈ [a; b], x ∈ H

Như vậy, trong cơ sở trực chuẩn này thì PTVP (2.1) có thể viết được dướidạng hệ vô hạn các PTVP như sau

dx n

dt = fn(t, x1, x2, )

(2.2)

Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm của (2.1) là nghiệmtheo nghĩa cổ điển như sau:

Định nghĩa 2.1 Hàm trừu tượng x = x(t) với x : [a; b] → H xác định trên [a; b],khả vi liên tục theo t ∈ [a; b] được gọi là nghiệm của (2.1) nếu dx

dt = f (t, x), ∀t ∈[a; b]

Xét bài toán Cauchy

(

˙x(t) = f (t, x) x(t 0 ) = x 0

M là hằng số dương hữu hạn Khi đó, tồn tại lân cận của x 0 mà trong lân cận

đó (2.3) có duy nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện x(t 0 ) = x 0

Nhận xét: Định lí trên chỉ ra rằng nghiệm x(t) chỉ tồn tại và duy nhất trên

|t − t 0 | ≤ ε, ||x − x 0 || ≤ η với ε, η đủ nhỏ Định lí sau đây sẽ chỉ ra sự tồn tạinghiệm trên toàn đoạn [a, b]

Định lý 2.2 (Tính duy nhất nghiệm toàn cục)

Giả sử tồn tại miền [a, b] ×H mà trên đó hàm f (t, x) liên tục theo t và thỏa mãnđiều kiện Lipschitz Khi đó, với mọi (t 0 , x 0 ) ∈ [a, b] ×H thì bài toán Cauchy cónghiệm duy nhất x = x(t, t 0 , x 0 ) xác định trên [a, b]

Định lý 2.3 (Sự kéo dài nghiệm trong không gian Hilbert)

Giả sử với ||x|| < ∞, t ≤ t 0, hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||),trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất Rr

r 0

dr L(r) → ∞ khi r → ∞ Khi đó,mọi nghiệm của PTVP (2.3) có thể kéo dài được trên khoảng thời gian vô hạn

Với r = x(t) Do Rr

r 0

dr L(r) → ∞ khi r → ∞ nên nếu ||x|| → ∞ thì t → ∞ Do đó,nghiệm có thể thác triển ra vô hạn

Sau đây, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm về tính ổn định nghiệm củaphương trình vi phân

2.1.2 Một số khái niệm ổn định nghiệm

Giả sử H là không gian Hilbert tách được và

D = {(t, x) ∈ (a, b) × H : |t − t0| ≤ T ; ||x − x0|| ≤ r}

Xét phương trình vi phân

dx

trong đó, t ∈R+, x ∈ H, f : D → H là một hàm liên tục thỏa mãn f (t, 0) = 0 vàthỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là tồn tại L > 0 sao cho

∃L > 0, ∀(t, x 1 ), (t, x 2 ) ∈ D : ||f (t, x 1 ) − f (t, x 2 )|| ≤ L||x 1 − x 2 ||

Kí hiệu G = {x : x ∈ H, ||x|| ≤ h ≤ r < ∞} ; x(t) = x(t, t 0 , x 0 ) là nghiệm của(2.6) ; x(t 0 ) = x 0 , x 0 ∈ G

Định nghĩa 2.2 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi

là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu ∀ε > 0, t 0 ∈R+∃δ = δ(t 0 , ε) > 0, ∀x 0 ∈

G, ||x 0 || ≤ δ → ||x(t, t 0 , x 0 )|| < ε, ∀t ≥ t 0

Định nghĩa 2.3 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi

là ổn định đều theo Lyapunov khi t → +∞ nếu

∀ε > 0, t 0 ∈R+, ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀x 0 ∈ G, ||x 0 || ≤ δ → ||x(t, t 0 ), x 0 || < ε, ∀t ≥ t 0

Định nghĩa 2.4 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi

là ổn định tiệm cận khi t → +∞ nếu:

(i) nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định

(ii) Tồn tại ∆ = ∆(t 0 ) > 0 sao cho với mọi x 0 ∈ G và ||x 0 || < ∆ thì

lim

t→∞ ||x(t, t 0 , x 0 )|| = 0

Định nghĩa 2.5 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi

là ổn định tiệm cận đều khi t → +∞ nếu:

(i) nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định

(ii) Tồn tại ∆ > 0 (không phụ thuộc vào t 0) sao cho với mọi x 0 ∈ G và

||x 0 || < ∆ thì

lim

t→∞ ||x(t, t 0 , x 0 )|| = 0

Định nghĩa 2.6 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi

là ổn định mũ khi t → +∞ nếu đối với mỗi nghiệm x(t) = x(t, t 0 , x 0 ) của (2.6) ởtrong miền nào đó t 0 ≤ t < ∞, ||x|| ≤ h < M thỏa mãn bất đẳng thức

trình vi phân:

Xét phương trình

dx

với A(t) đo được mạnh và khả tích Bochner t ≥ 0

Phương trình (2.7) được gọi là ổn định (nói riêng là ổn định bên phải) nếumọi nghiệm của nó bị chặn trên nửa khoảng [0; ∞)

Bổ đề 2.1 Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.7) ổn định là toán tử Cauchycủa nó bị chặn đều

sup

t≥0

||U(t)|| < ∞

Chú ý 2.1 Điều kiện cần và đủ đối với sự ổn định bên phải là tồn tại hằng số

q > 0 sao cho với nghiệm x(t) bất kì của (2.7) thỏa mãn

t≥0

||U(t, t 0 )|| Hằng số q 0 phụ thuộc vào việc chọn t 0

Phương trình (2.7) được gọi là ổn định bên phải đều nếu tồn tại hằng số

N > 0 sao cho nghiệm x(t) bất kì thỏa mãn

trong đó N = sup

t≥s≥0

||U(t, s)|| < ∞

Chú ý 2.3 Giả sử A(t) = A là toán tử hằng Trong trường hợpU(t, s) = eA(t−s)

thì nghiệm x(t) ≡ 0 của phương trình ổn định đều nếu

Tính ổn định bên trái rõ ràng tương đương với tính giới nội đều của toán tử

U−1(t)

q′= sup

t≥0

||U−1(t)|| < ∞

Ta chú ý rằng nghiệm của phương trình liên hợp dX

dt = −A(t)X được biểudiễn dưới dạng X(t) = X(0)U−1(t), tính ổn định bên trái của (2.7) tương đươngvới tính ổn định bên phải của phương trình liên hợp của nó

Ta nói tính ổn định bên trái đều của nghiệm nếu||x(s)|| ≤ N||x(t)||, ∀0 ≤ s ≤ t

và N không phụ thuộc vào s, t Rõ ràng, tính ổn định bên trái đều tương đươngvới điều kiện

thì nghiệm U(t, τ ) của phương trình (2.7) là song ổn định

Chứng minh Ta có: ||x(t)|| = p< x(t), x(t) > Ta cần chứng minh tồn tại ε saocho

Do đó v(t) = c =const Chọn v(0) = c 0 = 1 Vậy v(t) = ||x(t)||2= 1 và

q||x(0)|| ≤ ||x(t)|| ≤ q′||x(0)||

Theo điều kiện (2.9) và (2.10) thì nghiệm x(t) ≡ 0 là song ổn định

2.2 Tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân với

dạng tam giác trên trong tôpô yếu

2.2.1 Không gian L(H) và các khái niệm tôpô yếu, tôpô mạnh và tôpô đều

Cho H là không gian Hilbert thực tách được (ta cũng coi H là không gianHilbert phức tương ứng) Kí hiệu L(H)là không gian của các toán tử tuyến tínhgiới nội trên H

Giả sử B(t) ∈ L(H) Khi đó, ta có các khái niệm sau:

1 B(t) hội tụ đều tới B(t 0 ) nếu |||B(t)|| − ||B(t 0 )||| → 0, t → t 0 nghĩa là

Ta viếtx′(x)thay cho< x, x′>và kí hiệuσ(H, H′)là một tôpô trênHvàσ(H′, H)

là một tôpô yếu trên H′ Không gian L(H) là không gian Banach với chuẩn

||T || = sup {||T x|| : ||x|| ≤ 1} , T ∈ L(H)

Trên L(H), ta xét hai tôpô như sau: ta viết L s (H)nếuL(H)là tôpô mạnh hội

tụ với chuẩn(H, ||.||)vàL σ (H)nếuL(H)là tôpô yếu hội tụ với chuẩn(H, σ(H, H′))

Bổ đề 2.3 Dãy (T α ) α ∈ A ⊂ L s (H) hội tụ tới T ∈ L s (H) nếu và chỉ nếu

1 ||T α − T || → 0 (hội tụ đều)

2 ||T α x − T x|| → 0, ∀x ∈ H ( hội tụ mạnh )

3 | < T α x − T x, x′ > | → 0, ∀x ∈ H, x′ ∈ H′ ( hội tụ yếu )