Vế hình học của công thức vết trên SL (2,IR)

Tham sè Langlands cho SL2,R.. Nhâm con nëi soi cõa SL2,R.. Cæng thùc têng Poisson... Tham sè ÷ñc gåi l th½ch hñp vîi G n¸u £nh cõaϕtrongGˇ khængn¬m trong nhâm con parabolic trø khi nâ l

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N

-HO€NG THÀ DUNG

V˜ HœNH HÅC CÕA CÆNG THÙC V˜T TR–N SL (2, R)

LUŠN V‹N TH„C Sž KHOA HÅC

Chuy¶n ng nh: TON GIƒI TCH

M¢ sè: 60460102

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc GS.TSKH É NGÅC DI›P

H€ NËI- 2014

Líi c£m ìn 2

Mð ¦u 3

1 Ki¸n thùc chu©n bà 5 1.1 Sì l÷ñc v· SL (2,R) 5

1.1.1 T¡c ëng ph¥n tuy¸n t½nh l¶n nûa tr¶n cõa m°t ph¯ng phùc 5 1.1.2 Ph¥n t½ch Iwasawa v  ph¥n t½ch Cartan cõa G 6

1.1.3 Nhâm con døng ë o tr¶n G 7

1.2 Mët sè ki¸n thùc li¶n quan 7

1.2.1 T½ch ph¥n quÿ ¤o 7

1.2.2 Li¶n hñp ên ành 8

1.2.3 Nhâm Weil v  nhâm Langlands, L-nhâm 8

1.3 Biºu di¹n cõa SL(2,R) 9

1.3.1 Gi£ h» sè cõa chuéi ríi r¤c, L - gâi 11

1.3.2 Biºu di¹n cõa GL(2,R) 11

1.3.3 Biºu di¹n cõa SL(2,R) 12

1.4 Tham sè Langlands cho SL(2,R) 12

1.4.1 Tham sè Langlands cho GL(2,R) 13

1.4.2 Tham sè Langlands cho SL(2,R) 14

1.5 Nhâm con nëi soi cõa SL (2,R) 15

1.6 K¸t luªn 15

2 V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t 16 2.1 V¸t cõa to¡n tû câ nh¥n 16

2.2 Cæng thùc têng Poisson 17

2.3 Bi¸n êi cæng thùc v¸t theo t½ch ph¥n quÿ ¤o 18

2.3.1 Tr÷íng hñp γ câ d¤ng ÷íng ch²o khi γ → 1 20

2.3.2 Tr÷íng hñp γ = r(θ) khi θ → 0 21

2.4 Ph²p chuyºn v¸ cõa cæng thùc v¸t 23

2.5 K¸t luªn 26

K¸t luªn 27

T i li»u tham kh£o 28

Ho n th nh ÷ñc luªn v«n n y, ngo i sü né lüc cõa b£n th¥n, tæi ¢ nhªn

÷ñc sü ch¿ b£o, gióp ï tø nhi·u ph½a cõa c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o, gia ¼nh v b¤n b±

°c bi»t tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi ng÷íi th¦y k½nh m¸n GS.TSKH

é Ngåc Di»p, ng÷íi ¢ trüc ti¸p truy·n thö ki¸n thùc, quy¸t ành h÷îng nghi¶ncùu v  tªn t¼nh h÷îng d¨n cho tæi ho n th nh b£n luªn v«n Tæi xin ch¥n th nhc£m ìn th¦y

Tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o khoa To¡n - Cì - Tin håc,Tr÷íng ¤i håc Khoa håc tü nhi¶n - ¤i håc Quèc gia H  Nëi, nhúng ng÷íi ¢trüc ti¸p gi£ng d¤y v  gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i tr÷íng C£m ìn

to n thº b¤n b± v  ng÷íi th¥n ¢ âng gâp þ ki¸n, gióp ï, ëng vi¶n tæi trongqu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n n y

Do thíi gian thüc hi»n luªn v«n khæng nhi·u, ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶n khi

l m luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸ v  sai sât K½nh mong nhªn ÷ñc

þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y cæ v  b¤n b± çng nghi»p º b£n luªn v«n ÷ñc

Gi£i t½ch i·u háa tr¶n nhâm Lie nâi chung d¨n ¸n vi»c ph¥n t½ch mët biºudi¹n b§t ký ra têng c¡c biºu di¹n b§t kh£ quy Biºu di¹n ch½nh quy cõa nhâmtr¶n khæng gian th÷ìng cõa nâ theo nhâm con ríi r¤c âng vai trá quan trång.Theo lþ thuy¸t biºu di¹n h m v¸t (theo ành ngh¾a h m suy rëng), x¡c ành duynh§t lîp t÷ìng ÷ìng cõa biºu di¹n.

V¸t cõa ph¦n ríi r¤c cõa biºu di¹n ch½nh quy ÷ñc vi¸t th nh chuéi c¡c v¸tcõa biºu di¹n nhån v  do â l  têng c¡c t½ch ph¥n quÿ ¤o t÷ìng ùng Cængthùc v¸t kh¡ phùc t¤p nh÷ng khi h¤n ch¸ xuèng nhâm con nëi soi th¼ k¸t qu£trð n¶n t÷ìng èi ìn gi£n · t i ÷ñc °t ra l : V¸ h¼nh håc cõa cæng thùcv¸t tr¶n SL (2,R) Nëi dung cõa luªn v«n gçm 2 ch÷ìng:

• Ch÷ìng 1: Tâm t­t mët sè ki¸n thùc chu©n bà

 Sì l÷ñc c§u tróc cõa SL(2,R)

 Biºu di¹n cõa SL(2,R)

 Tham sè Langlands cho SL(2,R)

 Nhâm con nëi soi cõa SL(2,R)

• Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y v· v¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t ph¦n ríi r¤c cõabiºu di¹n ch½nh quy tr¶n SL(2,R) v  thu gån cõa nâ tr¶n nhâm con nëi soicõa SL(2,R)

 V¸t cõa to¡n tû câ nh¥n

 Cæng thùc têng Poisson

 Bi¸n êi cæng thùc v¸t theo t½ch ph¥n quÿ ¤o

Do thíi gian thüc hi»n luªn v«n khæng nhi·u, ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶n khi

l m luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸ v  sai sât T¡c gi£ mong nhªn

÷ñc sü gâp þ v  nhúng þ ki¸n ph£n bi»n cõa quþ th¦y cæ v  b¤n åc

Xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, ng y 20 th¡ng 10 n«m 2014

Håc vi¶n

Ho ng Thà Dung

Ki¸n thùc chu©n bà

1.1 Sì l÷ñc v· SL (2, R)

SL (2,R) l  nhâm c¡c ma trªn c§p 2 × 2 tr¶n tr÷íng sè thüc R vîi ành thùcb¬ng 1:

Ta k½ hi»u G = SL (2,R), ¤i sè Lie cõa G l  g0 = sl(2,R) gçm c¡c ma trªnthüc c§p 2 × 2 câ v¸t b¬ng 0 v  câ cì sð gçm c¡c ma trªn:

1.1.1 T¡c ëng ph¥n tuy¸n t½nh l¶n nûa tr¶n cõa m°t ph¯ng phùc

K½ hi»u H = {z = x + iy|x, y ∈ R, y > 0} l  nûa tr¶n cõa m°t ph¯ng phùc T¡c

ëng ph¥n tuy¸n t½nh cõa G tr¶n H ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

− N¸u |tr (g) | < 2 th¼ g ÷ñc gåi l  elliptic.

− N¸u |tr (g) | = 2 th¼ g ÷ñc gåi l  parabolic

− N¸u |tr (g) | > 2 th¼ g ÷ñc gåi l  hyperbolic

1.1.2 Ph¥n t½ch Iwasawa v  ph¥n t½ch Cartan cõa G

Ph¥n t½ch Iwasawa cõa G l  ph¥n t½ch câ d¤ng G = KAN vîi

K =



uθ = exp θ(X − Y ) =

cosθ sin θ

− sin θ cosθ



| θ ∈ [0, 2π)

,

Ta câ K ∼ = S1, A ∼ =R v  N ∼ =R Cö thº vîi méi g =

eiθ = √a − ic

a 2 + c 2 , et =pa 2 + c 2 , s = √ab + cd

a 2 + c 2

Ho n to n t÷ìng tü, G công ÷ñc ph¥n t½ch d÷îi d¤ng G = AN K v  d¤ng

n y công ÷ñc gåi l  ph¥n t½ch Iwasawa cõa G Ngo i ra, ta cán câ ph¥n t½chCartan cõa G l  G = KAK

G γ \G = {G γ x | x ∈ G}.

ành ngh¾a 1.2 Mët ë o µ tr¶n Gγ\G ÷ñc gåi l  G - b§t bi¸n ph£i n¸uµ(Ax) = µ(A) vîi måi tªp Borel A trong G γ \G v  måi x ∈ G

ë o G - b§t bi¸n tr¡i công ÷ñc ành ngh¾a ho n to n t÷ìng tü Mët ë

o µ tr¶n G gåi l  ë o Haar n¸u nâ b§t bi¸n d÷îi t¡c ëng cõa G

èi vîi ph¥n t½ch IwasawaG = AN K, ph¦n tûx ∈ G ta câ ph¥n t½ch x = ank(vîia ∈ A, n ∈ N, k ∈ K), k½ hi»u da, dn, dk t÷ìng ùng l  ë o Haar tr¶n A, N, K.Khi â ë o tr¶n G, k½ hi»u dx, v  ta câ dx = da dn dk

A

daZ

¤o cõa γ ÷ñc cho bði cæng thùc:

γ0= xγx−1

Chof ∈ Cc∞(G), γ ∈ Gl  ph¦n tû ch½nh quy m¤nh, khi â t½ch ph¥n quÿ ¤o

ên inh cõa h m f èi vîi ph¦n tû γ ÷ñc cho bði

1.2.3 Nhâm Weil v  nhâm Langlands, L-nhâm

ành ngh¾a 1.3 Ta k½ hi»u WR l  nhâm Weil cõa R x¡c ành nh÷ sau:

- Nhâm Weil cõa C l  WC =C×

- Nhâm Weil cõa R l  nhâm con c¡c ma trªn trong SU (2) ÷ñc sinh bði



z 0

0 z ¯

, z ∈C×

r¬ng wσ2 = −1 do â mð rëng cõa WC =C× bðiGal(C/R)l  mð rëng khæng t¦mth÷íng.

ành ngh¾a 1.4 Nhâm Langlands, k½ hi»u LF, LF = WR, n¸u tr÷íng cì sð F

l  C ho°c R v  LF = WR× SL(2,C), n¸u F p-adic

K½ hi»u Gˇ l  nhâm Lie phùc thu gån cõaG = SL(2,R), khi âG = P GL(2,ˇ C).Nhâm Galois Gal(C/R) t¡c ëng tr¶n Gˇ qua tü çng c§u ch¿nh h¼nh ÷ñc gi£thi¸t giú nguy¶n t¡ch Nhâm G l  t¡ch n¶n t¡c ëng â l  t¦m th÷íng WR t¡c

ëng tîi Gal(C/R) qua ¡nh x¤ tü nhi¶n cõa nâ

ành ngh¾a 1.5 L-nhâm cõa G, k½ hi»u L G = ˇ GoWR

1.3 Biºu di¹n cõa SL(2, R)

ành ngh¾a 1.6 Cho G l  mët nhâm (GL(2,R) ho°c SL(2,R)), E l  khæng gianHilbert Mët biºu di¹n cõa G trong E l  mët çng c§u tø G v o nhâm tü ¯ngc§u tuy¸n t½nh li¶n töc GL(E) cõa E

π : G → GL(E),sao cho vîi måi v²c tì v ∈ E th¼ ¡nh x¤ tø G v o E x¡c ành bði x 7→ π(x)v l 

¡nh x¤ li¶n töc

Biºu di¹n π ÷ñc gåi l  biºu di¹n unita n¸u π(x) l  unita vîi måi x ∈ G

ành ngh¾a 1.7 Cho π biºu di¹n cõa nhâm G trong khæng gian Hilbert E, W

l  mët khæng gian con cõa E Ta nâi W l  G-b§t bi¸n n¸u π(x)W ⊂ W vîi måi

x ∈ G

ành ngh¾a 1.8 Mët biºu di¹n π : G → GL(E) gåi l  b§t kh£ quy n¸u E khæng

câ khæng gian con b§t bi¸n n o kh¡c ngo i {0} v  E

Cho π l  biºu di¹n cõa G trong khæng gian Hilbert E, gi£ sû r¬ng

E =MdE n ,

trong âEnl  khæng gian ri¶ng thù n cõaK =

ành ngh¾a 1.9 Biºu di¹n π cõa G trong khæng gian Hilbert E ÷ñc gåi l ch§p nhªn ÷ñc n¸u dimEn húu h¤n vîi måi n

X²t ph¥n t½ch Iwasawa cõa nhâm G = SL(2,R): G = PK (vîi P = AN), σ l biºu di¹n cõa P tr¶n khæng gian Hilbert V Gåi H(σ) l  khæng gian c¡c ¡nh x¤

f : G → V sao cho

f |K ∈ L2(K) v  f (py) = ∆(p)12 σ(p)f (y),trong â ∆(p) = α(a) l  h m modular tr¶n P

ành ngh¾a 1.10 Biºu di¹n π cõa G tr¶n H(σ) cho bði tành ti¸n ph½a ph£i tr¶nbi¸n, tùc l  π(y)f (x) = f (xy), gåi l  biºu di¹n c£m sinh cõa σ l¶n G

°t ρ(a) = α(a)1/2, vîi méi sè phùc s v  x = ank ∈ G x¡c ành

ρs(x) = ρs(ank) = ρ(a)s+1.Khi â

ρs(k) = ρs(n) = 1.

D¹ th§y h m µ s : P →C∗ cho bði µ s = ρ(a)s = as l  mët °c tr÷ng (tùc l  çngc§u li¶n töc v o C∗) N¸u nâ câ gi¡ trà tuy»t èi b¬ng 1 th¼ µs l  mët °c tr÷ngunita

K½ hi»u Hs l  khæng gian cõa biºu di¹n πs c£m sinh bði µs, nâ l  khæng gianHilbert c¡c h m x¡c ành tr¶n G sao cho

i) f (any) = ρs+1f (y);

ii) f |K ∈ L2(K)

ành ngh¾a 1.11 Hå c¡c biºu di¹n {πs} x¡c ành nh÷ tr¶n gåi l  biºu di¹nchuéi ch½nh cõa SL(2,R)

1.3.1 Gi£ h» sè cõa chuéi ríi r¤c, L - gâi

Cho G = SL(2,R), t¥m cõa G l  Z(G) = {g ∈ G| ∀x ∈ G, gx = xg}, π l  biºudi¹n chuéi ríi r¤c cõa G Ta nâi h m f ∈ Cc∞(G) l  mët gi£ h» sè (chu©n t­c)

èi vîi π n¸u vîi b§t k¼ biºu di¹n b§t kh£ quy t«ng vøa ph£i π0 ta câ

trong â Θπ l  °c tr÷ng cõa π

ành ngh¾a 1.12 X²t mët biºu di¹n chuéi ríi r¤c π v  k½ hi»u fπ l  gi£ h» sèt÷ìng ùng Hai biºu di¹n chuéi ríi r¤c π v  π0 cõa G ÷ñc gåi l  thuëc còng mëtL-gâi n¸u vîi b§t k¼ ph¦n tû nûa ìn ch½nh quy m¤nh γ ta câ

SOγ(fπ) = c(π, π0)SOγ(fπ0 ),trong â c(π, π0) l  h¬ng sè kh¡c khæng

1.3.2 Biºu di¹n cõa GL(2, R)

T§t c£ c¡c biºu di¹n b§t kh£ quy ch§p nhªn ÷ñc cõa GL(2,R)·u l  th÷ìngcon cõa chuéi ch½nh ρ(µ1, µ2), trong â µi l  °c tr÷ng cõa R× C¡c biºu di¹nchuéi ch½nh l  ÷ñc c£m sinh bði c¡c °c tr÷ng tø nhâm con Borel:ρ(µ1, µ2) l biºu di¹n ch½nh quy ph£i trong khæng gian c¡c h m trìn sao cho



= µ1(α)µ2(β)

α β

1 2

f (g).

Gi£ sû r¬ng t½chµ1µ2l  unita, ta câ ba lo¤i th÷ìng con theo gi¡ trà cõaµ = µ1µ−12

- Biºu di¹n chuéi ch½nh b§t kh£ quy π(µ1, µ2) khi µ 6= xn.sign(x) vîi n ∈Z\ {0}.Nhúng biºu di¹n n y l  unita hâa n¸u µ l  unita ho°c n¸u µ = |x|s vîi s l  sèthüc v  −1 < s < 1

- Biºu di¹n húu h¤n chi·u π(µ1, µ2) khi µ = xn.sign(x) Biºu di¹n n y l  unita

th nh ph¦n b§t kh£ quy m  hñp cõa nâ l  mët L-gâi cho SL(2,R).

Hai biºu di¹n π v  π0 l  còng thuëc mët L-gâi n¸u v  ch¿ n¸u tr¶n quan h» t÷ìng

Ta câ sü ph¥n lo¤i sau ¥y:

- Biºu di¹n chuéi ch½nh b§t kh£ quy π(µ)thu ÷ñc bði h¤n ch¸ cõaπ(µ1, µ2)tr¶nSL(2,R) vîi µ 6= xn.sign(x), n ∈Z.

- Biºu di¹n húu h¤n chi·u π(µ) thu ÷ñc bði h¤n ch¸ cõaπ(µ1, µ2) tr¶n SL(2,R)vîi µ = xn.sign(x), n 6= 0

- Biºu di¹n chuéi ríi r¤c L-gâi σ(D+|n|, D−|n|) thu ÷ñc bði h¤n ch¸ cõa σ(µ1, µ2)tr¶n SL(2,R) vîi µ = xn.sign(x), n ∈Z\ {0}

- Giîi h¤n cõa biºu di¹n chuéi ríi r¤c L-gâi σ(D0+, D−0)thu ÷ñc bði h¤n ch¸ cõaπ(µ1, µ2) tr¶n SL(2,R) vîi µ = sign(x)

C¡c L-gâi cõa biºu di¹n ÷ñc ch¿ rã bði c¡c °c tr÷ng µ v  µ−1 l  t÷ìng ÷ìng

1.4 Tham sè Langlands cho SL(2, R)

Tham sè Langlands l  lîp G−ˇ li¶n hñp cõa çng c§u ch¿nh h¼nh

ϕ : LR →LG,

sao cho hñp vîi ph²p chi¸u tü nhi¶n cõa L G → WR th nh

LR →LG → WR,

l  ph²p chi¸u tü nhi¶n cõa LR l¶n tr¶n WR sao cho £nh cõa c¡c ph¦n tû cõa WR

l  nûa ìn Tham sè ÷ñc gåi l  th½ch hñp (vîi G) n¸u £nh cõaϕtrongGˇ khængn¬m trong nhâm con parabolic trø khi nâ l  G

1.4.1 Tham sè Langlands cho GL(2, R)

Mët tham sè Langlands cho GL(2,R) l  lîp li¶n hñp çng c§u cõa WR trongGL(2,C) vîi £nh nûa ìn

Vîi z = ρ.eiθ, °tχs,n(z) = ρseinθ khi â tr¶n li¶n hñp c¡c ¡nh x¤ ch§p nhªn ÷ñc

(−1)m1 0

N¸u ϕ l  mët tham sè Langlands th¼

ϕ ⊗ ε ' ϕn¸u v  ch¿ n¸u ϕthuëc lîp ϕs,n vîi s v  n b§t k¼

T÷ìng ùng giúa biºu di¹n b§t kh£ quy v  tham sè Langlands cho GL(2,R) thu

÷ñc nh÷ d÷îi ¥y Ta câ mët song ¡nh tü nhi¶n giúa c¡c lîp t÷ìng ÷ìng cõa

biºu di¹n b§t kh£ quy ch§p nhªn ÷ñc cõaGL(2,R)v  c¡c lîp li¶n hñp cõa çngc§u ch§p nhªn ÷ñc cõa WR trong GL(2,C) nh÷ sau:

π(µ 1 , µ 2 ) 7−→ ϕ s 1 ,m 1 ,s 2 ,m 2 vîi µ i = |x|si sign(x)mi

v 

σ(µ 1 , µ 2 ) 7−→ ϕ s,n vîi µ 1 µ 2 (x) = |x|2ssign(x)n+1trong â µ 1 µ−12 (x) = xnsign(x) Tham sè Langlands t÷ìng ùng vîi biºu di¹nt«ng vøa ph£i n¸u £nh cõa ¡nh x¤ bà ch°n tùc l  s i thu¦n £o

1.4.2 Tham sè Langlands cho SL(2, R)

Tø song ¡nh giúa c¡c lîp t÷ìng ÷ìng cõa biºu di¹n v  lîp li¶n hñp cõa tham

sè Langlands cho GL(2,R) suy ra song ¡nh giúa c¡c lîp t÷ìng ÷ìng L-gâi cõabiºu di¹n b§t kh£ quy ch§p nhªn ÷ñc cõa SL(2,R) v  c¡c lîp li¶n hñp cõa c¡c

çng c§u ch§p nhªn ÷ñc cõa WR trong P GL(2,C)

- Tham sè hâa cho π(µ) l  lîp li¶n hñp cõa tham sè hâa ph²p chi¸u ϕs,m ÷ñcx¡c ành bði ϕs,m,0,0 vîi µ(x) = |x|ssign(x)m

- Tham sè hâa cho D±n l  lîp li¶n hñp cõa tham sè hâa ph²p chi¸u ϕn x¡c ànhbði ϕ0,n

ϕ0,n⊗ εl  b¬ng nhau i·u n y ch¿ ra r¬ng £nh ph²p chi¸u cõa α thuëc t¥m hâacõa £nh ph²p chi¸u cõa ϕ0,n

Cho ϕn l  tham sè hâa ph²p chi¸u x¡c ành bði ϕ0,n v  Sϕn l  t¥m hâa £nh cõa

ϕn v  Sϕ n l  th÷ìng cõa Sϕn bði th nh ph¦n li¶n thæng Sϕ0n cõa nâ nh¥n vîit¥m ZGˇ cõa Gˇ:

+ Khi n 6= 0 ta câ Sϕ n = Sϕn ' {1, α}

+ Khi n = 0 nhâm Sϕ00 l  mët xuy¸n nh÷ng Sϕ 0 l¤i ÷ñc sinh bði £nh cõa α

1.5 Nhâm con nëi soi cõa SL (2, R)

ành ngh¾a 1.13 Nhâm con nëi soi H cõa nhâm G l  nhâm tüa ch´ ra m L-nhâm L H l  th nh ph¦n li¶n thæng cõa t¥m hâa cõa mët ph¦n tû nûa ìn cõaL-nhâm L G

Trong t§t c£ c¡c v½ dö ð tr¶n nhúng èi t÷ñng trong tøng c°p ÷ñc thay th¸ bðili¶n hñp d÷îi ph¦n tû ω = iα trong chu©n hâa cõa SO(2) trong SL(2,C)

L÷u þ r¬ng n¸u σ l  ph¦n tû khæng t¦m th÷íng cõa nhâm Galois th¼ ph¦n tû

1.6 K¸t luªn

Ch÷ìng n y ¢ tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì b£n câ li¶n quan ¸n nëi dungch½nh cõa luªn v«n ð ch÷ìng 2 C¡c kh¡i ni»m nh÷ t¡c ëng ph¥n tuy¸n t½nh,ph¥n t½ch Iwasawa, nhâm con døng, ë o gióp ta hiºu hìn v· c§u tróc cõa

SL (2,R) °c bi»t ki¸n thùc v· biºu di¹n cõa SL (2,R), tham sè hâa Langlands

v  nhâm con nëi soi s³ âng vai trá chõ chèt trong c¡ch x¥y düng v  bi¸n êicæng thùc v¸t tr¶n SL (2,R)

V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t

Ch÷ìng n y s³ tr¼nh b y v· v¸t cõa to¡n tû câ nh¥n, cæng thùc têng Poisson,

tø â ta bi¸n êi cæng thùc v¸t theo t½ch ph¥n quÿ ¤o

2.1 V¸t cõa to¡n tû câ nh¥n

Cho G l  nhâm compact àa ph÷ìng, Γ l  nhâm con ríi r¤c cõa G v  R l biºu di¹n ch½nh quy cõa G tr¶n L2(Γ\G)

[R(g)φ](x) = φ(xg) vîi g ∈ G, x ∈ Γ\G.

Ùng vîi biºu di¹n unita cõa nhâm G ta câ biºu di¹n t÷ìng ùng cõa ¤i sè Haar

L1(G) (èi vîi t½ch chªp) cho bði

K½ hi»u [γ] = { δ−1γδ | δ ∈ Γ γ \Γ }, trong â Γ γ l  t¥m hâa cõa γ trong Γ Khi â,

2.3 Bi¸n êi cæng thùc v¸t theo t½ch ph¥n quÿ ¤o

K½ hi»u G = SL(2,R), Γ = SL(2,Z) v  H l  nhâm con nëi soi cõa nâ (tùc l 

H = SL(2,R) trong tr÷íng hñp °c tr÷ng t¦m th÷íng ho°c H = SO(2,R) trongtr÷íng hñp khæng t¦m th÷íng) X²t xuy¸n elliptic T = SO(2,R) v  κ l  mët

°c tr÷ng nëi soi t÷ìng ùng vîi nhâm con nëi soi H cõa G Ta câ κ = 1 n¸u

∆B(γ) = Y

α>0

(1 − γ−α),trong â t½ch ÷ñc l§y tr¶n c¡c nghi»m d÷ìng x¡c ành bði B Chån nhâm conBorel BH = B trong H chùa TH = T t÷ìng th½ch vîi ¯ng c§u j: TH ' T

Mët κ - t½ch ph¥n quÿ ¤o èi vîi ph¦n tû ch½nh quy γ ∈ T ÷ñc x¡c ành bði:

Oγκ(f ) =

Z

T \G

κ(x)f (x−1γx)d ˙x

Khi κ = 1, κ - t½ch ph¥n quÿ ¤o l  t½ch ph¥n quÿ ¤o ên ành v  ÷ñc k½ hi»u

l  SOγ(f )

Ta nh­c l¤i L-nhâm cõa G, k½ hi»u L G v  L G = ˇ GoWR = P GL(2,C)oWR.T÷ìng tü, L-nhâm L H = ˇ HoWR cõa H, l  th nh ph¦n li¶n thæng cõa t¥m hâacõa mët ph¦n tû nûa ìn trong L G

ành ngh¾a 2.1 Ph²p nhóng ch§p nhªn ÷ñc cõa L H v o trong L G l  mëtL-çng c§u η :LH → LG mð rëng tü nhi¶n cõa H → ˇˇ G sao cho h¤n ch¸ cõa nâtr¶n Hˇ l  ch¿nh h¼nh v  l  çng nh§t tr¶n WR

M»nh · 2.1 Gi£ sû câ mët ph²p nhóng ch§p nhªn ÷ñc η :LH →LG Ta câthº g­n vîi bë ba (G, H, η) mët °c tr÷ng χG,H cõa T vîi t½nh ch§t sau

Cho f l  mët gi£ h» sè èi vîi chuéi ríi r¤c tr¶n G, khi â tçn t¤i mët h m

fH l  tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c gi£ h» sè èi vîi chuéi ríi r¤c tr¶n H sao cho

γ = j(γH) ch½nh quy trong T v 

SO γ H (fH) = ∆GH(γH, γ)Oγκ(f )vîi ∆GH(γH, γ) l  thøa sè chuyºn cho bði cæng thùc

∆GH(γH, γ) = (−1)q(G)+q(H)χG,H∆B(γ−1).∆BH(γH−1)−1.Ph²p bi¸n êi f 7→ fH cõa gi£ h» sè câ thº ÷ñc mð rëng cho t§t c£ c¡c h mtrong Cc∞(G); º l m i·u n y ng÷íi ta ph£i mð rëng t÷ìng ùng γ 7→ γH (gåi l chu©n hâa), èi vîi t§t c£ c¡c ph¦n tû nûa ìn ch½nh quy v  x¡c ành c¡c thøa

sè chuyºn èi vîi xuy¸n

ành lþ 2.1 Gi£ sû câ mët ph²p nhóng ch§p nhªn ÷ñc η : LH → LG Ta câthº x¡c ành thøa sè chuyºn ∆GH(γH, γ) sao cho vîi b§t k¼ f ∈ Cc∞(G)tçn t¤i mët

h m fH ∈ Cc∞(H) vîi

SOγH(fH) = ∆GH(γH, γ)Oγκ(f )khi γH l  d¤ng chu©n cõa γ ch½nh quy nûa ìn v 

SOγH(fH) = 0

Kẵ hi»u G = SL( 2,R), Γ = SL( 2,Z) v  H l  nhâm nëi soi cõa nâ (tùc l 

H = SL( 2,R)... ë o gióp ta hiºu hìn v· c§u tróc cõa

SL (2,R) c biằt kián thực và biu diạn cừa SL (2,R), tham sè hâa... chá cừa(à1, à2) trản SL( 2,R)vợi à = xn.sign(x), n